專題11.3整式乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)

【滬科版】

【考點(diǎn)1冢的基本運(yùn)算】........................................................................1

【考點(diǎn)2幕的逆運(yùn)算】..........................................................................2

【考點(diǎn)3利用幕的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】............................................................2

【考點(diǎn)4鼎的混合運(yùn)算】........................................................................3

【考點(diǎn)5利用哥的運(yùn)算進(jìn)行簡便計算】............................................................3

【考點(diǎn)6基的運(yùn)算中的新定義同題】.............................................................4

【考點(diǎn)7整式的乘法】..........................................................................5

【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】......................................................................6

【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】....................................................................7

【考點(diǎn)10乘法公式的幾何背景】.................................................................8

【考點(diǎn)11整式乘除的計算與化簡】...............................................................10

【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】................................................................11

【考點(diǎn)13因式分解的概念】.....................................................................12

【考點(diǎn)14因式分解（提公因式與公式法綜合）】..................................................13

【考點(diǎn)15因式分解（十字相乘法）】............................................................13

【考點(diǎn)16因式分解（分組分解法）】............................................................15

【考點(diǎn)17利用因式分解求值】...................................................................15

【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】.....................................................................16

A小浮一及三

【考點(diǎn)1幕的基本運(yùn)算】

【例1】（2022?湖南婁底?七年級期末）如果。2，-1"什5=Q16,那么"的值為（）

A.4B.5C.6D.7

【變式17］（2022?廣東?德慶縣德慶中學(xué)七年級期末）解答下列問題：

（1）已知3m=5,3n=2,求33m+2"l的值；

（2）若3x+4y-3=0,求27*81、的值.

【變式1-2］（2022?安徼合肥?七年級期末）已知3*=4,3丫=6,3工=12,則x、八z三者之間關(guān)系正確

的是（）

A.xy=2zB.x^y=2zC.x^2y=2zD.A+2/=Z

【變式1-3］（2022?漠龍江?大慶市第十九中學(xué)七年級期末）已知5=2^10,那么久的值為.

【考點(diǎn)2露的逆運(yùn)算】

【例2】（2022?四川?渠縣流江初級實(shí)險中學(xué)七年級期末）如果3'=5,3"=10,那么9。一》的值為

（）

A.-B.-C.-D.不能確定

248

【變式2-1]（2022?安徽?合肥新華實(shí)臉中學(xué)七年級期末）如果2m=5,2n=3,求：

⑴2m+2n的值;

⑵8m的值.

【變式2-2]（2022?北京昌平?七年級期末）將緊的運(yùn)算逆向思維可以得到"n+n=am.謨，am-n=am

a11,amn=（am）n,ambin=（ab）m,在解題過程中，根據(jù)算式的結(jié)構(gòu)特征，逆向運(yùn)用寐的運(yùn)算法則，?？?/p>

化繁為簡，化難為易，使問題巧妙獲解.

（1）52021X?）2021=;

（2）若3x9^x27.=311,求m的值；

【變式2-3]（2022?四川省渠縣中學(xué)七年級期末）（1）已知4勿=，8n=b,用含a,6的式子表示下列

代教式：

①求：22m+3n的值

②求：22m-6n的值.

（2）已知2X8XX16=223,求x的值.

【考點(diǎn)3利用森的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】

【例3】（2022?福建省羅源第二中學(xué)八年級期末）若a=3"\6=4如,c=5嗎比較a、6、c的大?。ǎ?/p>

A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.c>b>a

【變式37]（2022?江蘇?江陰市華士實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級期末）閱讀下列材料：

若a3=2/5=3,則a,b的大小關(guān)系是ab（填“<”或“>"）.

解：因?yàn)镼is=（a3）G=25=32,產(chǎn)=（匕=33=27,32>27,所以>d15,

所以Q>b.

解答下列問題：

（1）上述求解過程中，逆用了哪一條森的運(yùn)算性質(zhì)

A.同底數(shù)蕊的乘法B.同底數(shù)寐的除法C.蕊的乘

方D.積的乘方

⑵已知無5=2,y7=3,試比較x與y的大,小.

【變式3-2](2022?內(nèi)蒙古?赤峰市松山區(qū)大廟中學(xué)八年級期末)閱讀探究題：.

【口讀材料】

比較兩個底數(shù)大于1的正教簌的大小，可以在底數(shù)(或指數(shù))相同的情況下，比較指數(shù)(或底數(shù))的大小,

如：25>23,55>45

在底數(shù)(或指數(shù))不相同的情況下，可以化相同，進(jìn)行比較，如：271°與325,

解：2710=(33)1°=33°,...30>25,，33°>325

[類比解答]比較2531253的大小.

[拓展拔高]比較3555,4444,5333的大小.

【變式3-3](2022?河北石家莊?七年級期末)閱讀：已知正整數(shù)％bfc,若對于同底數(shù)，不同指數(shù)的

兩個減小和砂(。工1),當(dāng)b>c時，則有戒>相；若對于同指數(shù)，不同底數(shù)的兩個寐心和力，當(dāng)a>c時,

則有力>/,根據(jù)上述材制，回答下列問題.[注(2),(3)寫出比較的具體過程]

(1)比較大?。?20420,9612741：(填“>”、或“二”)

(2)比較233與322的大??；

(3)比較312x5“與31°x512的大，卜.

【考點(diǎn)4幕的混合運(yùn)算】

【例4】(2022?福建漳州?七年級期末)計算

(1)(zn-n)2?(n-?n)3-(?i-mi4

(2)(d2n)3(b3)4n+(b5)n+1

⑶(Q2)3一03.Q3+(2Q3)2

(4)(-4am+1)3+[2(2am)2?a]

【變式47】(2022?陜西西安?七年級期末)計算：(27.必產(chǎn)+(_刈2.(_%2)3?(/)4

【變式4-2](2022?重慶市第十一中學(xué)校七年級期末)計算：

(1)%-X2-X3+(X2)3-2(爐)2；

(2)(-4am+1)3+[2(2am)2.a].

【變式4-3](2022?黑龍江?巴彥縣第一中學(xué)八年級期末)計算：(1)x2-x4+(x3)2-5x6

(2)(-2a)6-(-3a3)24-[-(2a)2]3

【考點(diǎn)5利用幕的運(yùn)算進(jìn)行簡便計算】

/1\101

【例5】(2022?黑龍江?哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校七年級期末)計算02審°°x(x?101=.

則2s=2+2?+…+22021+22022②

②-①得，2S-S=S=22°22一1.

請仿照小明的方法解決以下問題：

(1)2+22+220=;

(2)求1+打卷+...++擊=:

(3)求(-2)+(—2尸+…+(-2)10°的和；(請寫出計算過程)

(4)求Q+2Q2+3必+...十/m的和(其中a。。且Q=i).(請寫出計算過程)

【變式6-3](2022?山東德州?八年級期末)一般地，〃個相同的因數(shù)a相乘a.....a,記為a〃；如

2X2X2=23=8,此時3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log?8(即Iogz8=3),一般地，若a〃=b(a>0且

aH1,b>0),則〃叫做以a為底，的對數(shù)，記為log*(即logab=〃),如3，=81,則4叫做以3為底

81的對數(shù)，記為log381(即log§81=4).

(1)計算下列各對數(shù)的值：log24=;Iog2l6=：log?64=;

(2)你能得到1限4、Iogz16、Iog264之間滿足怎樣的關(guān)系式：：

(3)由(2)的結(jié)果，請你歸納出loga取logaMloga制之間滿足的關(guān)系式：;

(4)根據(jù)賽的運(yùn)算以及對數(shù)的含義臉證(3)的結(jié)論.

【考點(diǎn)7整式的乘法】

【例7】(2022?福建?大同中學(xué)八年級期末)計算(2%+3y-4)(2%+ay+b)得到的多項(xiàng)式不含x、y的

一次項(xiàng)，其中a,6是常數(shù)，則a-b的值為()

A.1B.-1C.-7D.7

【變式77](2022?江西景德鎮(zhèn)?七年級期末)小邢同學(xué)在計算(％+a)(x+b)中的“b”看成了“6”，

算的結(jié)果為/+3%—18,而且小穎同學(xué)在計算(x+a)(x+b)時將“+Q”看成了“一?！?，算的結(jié)果為/一

X-12.

(1)求出a、b的值；

⑵計算出Q+a)。+匕)的正確結(jié)果，

【變式7-2](2022?江蘇?揚(yáng)州市江都區(qū)第三中學(xué)七年級期末)我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝用“三角形”解釋二

項(xiàng)和的乘方規(guī)律，稱之為“楊輝三角”，這個“三角形”給出了(a+b)〃(n=1,2,3,4,…)的展開式的

系數(shù)規(guī)律(按〃的次數(shù)由大到小的順序).

11(a4-b)1=a+b

121(a+b)2=a2+2ab+b2

1331(a+b)3=a34-3a2b+3ab2+53

14641(a+b)4=a44-4a3b+6a2b2+4ab3+b4

請依據(jù)上述規(guī)律，寫出（”—：）2022展開式中含“2020項(xiàng)的系數(shù)是（）

A.2022B.-4044C.-2020D.4042

【變式7-3]（2022?全國?八年級專題練習(xí)）設(shè)…。2021，。2022都是止數(shù)，M=（%+Q?+…+

。2021）（。2+。3+…+…。2022），%=（%+。2+。2022）（。2+。3+…。2021），試比較■欣〃的大小.

【考點(diǎn)8整式乘法的應(yīng)用】

【例8】（2022?浙江寧波?七年級期末）如圖①，現(xiàn)有邊長為5和a+b的正方形紙片各一張，長和寬分別

為￡、Q的長方形紙片一張，其中QVb.把紙片/、〃/按圖②所示的方式放入紙片〃內(nèi)，已知圖②中陰影

部分的面積滿足$=8$2，則。，方滿足的關(guān)系式為（

圖①圖②

A.3b=4aB.2b=3aC.3b=5aD.b=2a

【變式8-1】（2022?山東泰安?期末）如圖①所示，在一個邊長為a的正方形紙片上剪去兩個小長方形,

得到一個如圖②的圖案，再將剪下的兩個小長方形拼成一個新的長方形，如圖③所示，則新長方形的面積

可表示為___________

圖③

【變式8-2]（2022?安徽?宿城第一初級中學(xué)七年級期末）如田，一個長方形中剪下兩個大小相同的正方

形（有關(guān)線段的長如圖所示）留下一個“廠型的圖形（陰影部分）

（1）用含乙y的代數(shù)式表示"r'型圖形的面積并化簡.

⑵若y=3x=30米，”廠型區(qū)域鋪上價格為每平方米20元的草坪，請計算草坪的造價.

【變式8-3]（2022?浙江?余姚市舜水中學(xué)七年級期末）如圖，長為10,寬為％的大長方形被分割成7小

塊，除陰影部分48外，其余5塊是形狀、大小完全相同的小長方形，其較短一邊長為y.

（1）由圖可知，每個小長方形較長一邊長為.（用含y的代數(shù)式表示）

（2）分別用含％,y的代數(shù)式表示陰影部分48的面積.

（3）當(dāng)y取何值時，陰影部分力與陰影部分口的面積之差與￡的值無關(guān)？并求出此時陰影部分71與陰影部分后的

面枳之差.

【考點(diǎn)9利用乘法公式求值】

[例9]（2022?江蘇?揚(yáng)州市祁江區(qū)實(shí)臉學(xué)校七年級期末）若x?+（A-1）A+9是一個完全平方式，則k

值為.

【變式97】（2022?湖南株洲?七年級期末）已知a-6=2,/+y=20,則外值是（）

A.-8B.12C.8D.9

【變式9-2]（2022?湖北武漢?八年級期末）如圖，正方形的邊長為葉5,面積記為S,,長方形的兩邊

長分別為/TT+3,加+9,面積記為S?（其中勿為正整數(shù)）.若某個圖形的面積S介于S,,S?之間（不包括S,

S?）,S的整數(shù)值有且只有15個，則榕.

m+5

m+3

“t+5

【變式，-3】(2。22?江蘇鎮(zhèn)江?七年級期末)閱讀下列材料：

教科書中這樣寫道：“我們把多項(xiàng)式。2+2。6+匕2及。2一2協(xié)+/叫做完全平方式”，如果一個多項(xiàng)式不

是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使女子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項(xiàng)，使

整個式子的值不變，這種方法叫做配方法.即將多項(xiàng)式32+bx+c(Ac為常數(shù))寫成(x+/i)2+k(力、k

為常數(shù))的形式.配方法是一種重要的解決數(shù)學(xué)問題的方法，不僅可以將有些看似不能分解的多項(xiàng)式分解

因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問題及求代數(shù)式最大、最小值等問題.

【知識理解】

(1)若多項(xiàng)式/+kx+i6是一個完全平方式，那么常數(shù)〃的值為()

A.4B.8C.±8D.±16

(2)若多項(xiàng)式/+4%+m是一個完全平方式，那么常數(shù)m的值為；

(3)配方：%2—6%—10=(%-3)2-;X24-2x+4=;

【知識運(yùn)用】

⑷通過配方發(fā)現(xiàn)，代數(shù)式/一41+7有最小值，則最小值為;

(5)利用配方法因式分解：a2+2a-3=a2+2a+—4=(a+I)2—4=：

(6)已知Hi?+2mn+2n2—8n+16=0,則m=、n=:

(7)若M=(Q+1)(Q—3),/V=2(a-l)(a-2),則我______”(用“＜、＞”號填空).

【考點(diǎn)10乘法公式的幾何背景】

【例10】(2022?四川?金堂縣淮口中學(xué)校七年級期末)用兩種不同方法計算同一圖形的面積，可以得到

一個等式，如圖1,是用長為x,寬為必的四個全等長方形拼成一個大正方形，用兩種不同的方法

計算陰影部分(小正方形)的面積，可得到(x-y)2、(x+y)2、處三者之間的等量關(guān)系式：;

如圖2所示的大正方體是若干個小正方體和長方體拼成的，用兩種不同的方法計算大正方體的體積，我們

也可以得到一個等式：.

利用上面所得的結(jié)論解答：

(1)已知xy,盧*3,5xy=~,求六卜的值；

4

(2)已知|a+8—4|+(ab-2)2=0,求/+//值.備注：a'+Z/二(K。)(，一.

⑴如圖①，可以求出陰影部分的面積是(寫成兩數(shù)平方差的形式)；

(2)如圖②，若將圖①中陰影部分戰(zhàn)剪下來，重新拼成一個長方形，面積是(寫成多項(xiàng)式乘法的形式)；

(3)比較圖①，圖②陰影部分的面積，可以得到公式.

⑷知識應(yīng)用：運(yùn)用你得到的公式解決以下問題：計算：(>6-2c)(升卅2c)：

(5)若4/_9y2=l0,4/6y=4,求2x-3y的值.

【變式10-2](2022?福建-明溪縣教師進(jìn)修學(xué)校七年級期木)閱讀理解：

若x滿足(210-x)(x-200)=-204,試求(210-x)2+(x-200)2的值,

解：設(shè)(210-x)=a,(x-200)=b,則Q匕=-204,且a+6=(210-x)+(*—200)=10,

222

V(a4-b)=a+2ab+bt

：.a2+爐=(a+切2_2ab=102-2x(-204)=508,即(210-%)2+(x-200)2的值為508.

解決問題

GH

（1）若x滿足（2022-x）（x-2010）=22,則（2022-x）2+（%-2010）2=;

⑵若（2022-x）?+（x-2002）2=2020,求（2022-%）（%-2002）的值；

（3）如圖，在長方形彳仇》中，48=10,BC=6,點(diǎn)、E,尸分別是6aGZ?上的點(diǎn)，aBE=DF=x,分別以尸C,

CE為邊在長方形ABCD外例作正方形CFGH和CEMN,若長方形為用的面積為40平方單位，則圖中陰影部分

的面積和為多少？

【變式10-3】（2022?湖南?常榛市第二中學(xué)七年級期末）（1）①如圖1,已知正方形力BCD的邊長為a,

正方形FGCH的邊長為b,長方形48GE和EFHO為陰影部分，則陰影部分的面積是（寫成平方差的形

式）；

②將圖1中的長方形力3GE和EFHD剪下來，拼成圖2所示的長方形，則長方形4//0E的面積是（寫

成多項(xiàng)式相乘的形式）；

。BgH

III

EG（E）D

圖2

（2）比較圖1與圖2的陰影部分的面積，可得乘法公式.

（3）利用所得公式計算：2（1+?（1+或）（1+套）（1+卷）+參

【考點(diǎn)11整式乘除的計算與化簡】

【例11】（2022?浙江?峰州市馬寅初初級中學(xué)七年級期末）老師在黑板上書寫了一個正確的演算過程，

隨后用手掌捂住了一個多項(xiàng)式，形式如下：

——x（一:孫）=3%2y—xy2+：盯，所捂多項(xiàng)式是.

【變式11-1】（2022?浙江?永嘉縣崇德實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級期末）若定義表示（3xyz）3,表示-3ade》，則

運(yùn)算:2—引的結(jié)果為（）

A.-72nB.72nC.mnD.—mn

【變式11-2】（2022?上東淄博?期末）王老師給學(xué)生出了一道題：

求（2%+丫）（2%-丫）+2（2%-丫）2+（2肛2-16/丫）+（—2%）的值，其中“y=-1.

同學(xué)們看/題目后發(fā)表不同的看法.

小明說："條件y=-l是多余的.”

小亮說：“不給y=-l這個條件，就不能求出結(jié)果，所以不多余.”

⑴你認(rèn)為他倆誰說的有道理？為什么？

⑵若本題的結(jié)果等于M試求加的值.

【變式11-3】（2022?重慶市萬州第二高級中學(xué)八年級期末）已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且多項(xiàng)式x'+ax'+bx

+c能被多項(xiàng)式x?+3x-4整除，

（1）求4a+c的值；

（2）若a、b、c為整數(shù)，且c2a>1,試確定a、b、c的值.

【考點(diǎn)12整式混合運(yùn)算的應(yīng)用】

【例12】（2022?北京?八年級期末）隨著某種產(chǎn)品的原料液價，因而廠家決定對產(chǎn)品進(jìn)行提價，設(shè)該產(chǎn)

品原價為1元，現(xiàn)在有兩種提價方案：

方案1:第一次提價斕，第二次提價詞；

方案2：第一次、二次提價均為電絲.

其中v是不相等的正數(shù)，請判斷在分別實(shí)施這兩種方案后哪種方案最終價格更高？并用乘法公式證明.

【變式127]（2022?重慶?八年級期末）近年來，重慶成為了眾多游客前來旅游的網(wǎng)紅城市.某商場根

據(jù)游客的喜好，推出4B兩種土特產(chǎn)禮盒，4種禮盒內(nèi)有3袋磁器口麻花，3包火鍋底料；B種禮盒里有2

袋磁器口麻花，3包火鍋底料，2袋合川桃片.兩種禮盒每盒成本價分別為盒內(nèi)所有土特產(chǎn)的成本價之和.巳

知母袋合川桃片的成本價是每包火鍋底料成本價的一半，彳種禮盒每盒的售價為108元，利潤率為20%.今

年10月1日賣出48兩種禮盒共計80盒，工作人員在核算當(dāng)三賣出禮盒總成本時把磁器口麻花和火鍋底

料的成本價看反了，導(dǎo)致當(dāng)日賣出禮盒的實(shí)際總成本比核算時的成本少了280元，則當(dāng)日賣出禮盒的實(shí)際

總戌本為__元.

【變式12-2】（2022?重慶南開中學(xué)七年級期末）春天是耕種的最佳時節(jié)，我校兩個勞動實(shí)踐小組在試臉

田里種植了黃瓜、番茄、辣椒三種蔬菜，單位面積種植黃瓜、番茄、辣椒的株數(shù)之比為1:2：2.第一小組

種植黃瓜、番茄、辣椒面積之比為3：2：4,第二小組在余下的實(shí)驗(yàn)田里繼續(xù)種植這三種蔬菜，將余下試驗(yàn)

田面積的工種植辣椒，辣椒的種植總面積將達(dá)到這三種蔬菜種植總面積的三，且第二小組種植三種蔬菜的總株

68

數(shù)是第一小組種植三種蔬菜的總株數(shù)的3則最后實(shí)臉田里種植黃瓜和番茄的總株數(shù)之比為.

【變式12-3】(2022?重慶巳蜀中學(xué)七年級期末)南山植物園殳落在省級南山風(fēng)景名勝區(qū)群山之中，與重

慶主城區(qū)夾長江面峙，是一個以森林為基礎(chǔ)，花卉為特色的綜合性公園.備受重慶人民的喜愛；每到春季，

上山賞花的人絡(luò)繹不絕；一植物園附近的市民嗅到了商機(jī)，開辦了植物花卉門市；將4&C三種花卉包

裝戌“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”、“粉色回憶”三種不同的禮盒進(jìn)行銷售；用力花卉2支、8花卉4支、

?；ɑ?0支包裝成“如沐春風(fēng)”禮盒；用力花卉2支、8花卉2支、C種花卉4支包裝成“惜懂少女”禮盒；

用,4花卉2支、8花卉3支、。花卉6支包裝成“粉色回憶”禮盒；包裝費(fèi)忽略不計，且每支S花卉的成本

是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春風(fēng)”禮盒的總成本是每盒“懵懂少女”禮盒總成本的2倍；該商

家籽三種禮盒均以利泗率50%進(jìn)行定價銷售；某周末，該門市為了加大銷量，將“如沐春風(fēng)”、“懵懂少女”

兩種禮盒打八折進(jìn)行銷售，且兩種禮盒的銷量相同，“粉色回憶”禮盒打九折銷售；銷售完畢后統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，

三種禮盒的總成本恰好為總利泗的4倍，則該周末“粉色回憶”禮盒的總利酒與三種禮盒的總利泗的比值

為—.

【考點(diǎn)13因式分解的概念】

[例13](2022?江蘇徐州?七年級期末)下列各式由左邊到右邊的變形，屬于因式分解的是()

A.ab+ac+d=cz(cz+b)+dB.a2—1=(a4-l)(a—1)

C.(a+h)(a-b)=a2—b2D.a2—4a+5=(a-2)2+1

【變式13T】(2022?山東?海川中學(xué)八年級期末)下列多項(xiàng)式中，能用完全平方公式分解因式的是()

A.x-A+1B.1-2xy^x2yC.a2-1D.a2+2ab-t)

【變式13-2】(2022?云南省個舊市第二中學(xué)八年級期末)下列多項(xiàng)式中，不能進(jìn)行因式分解的是

()

A.a』-3/+2aB.a—2ab-\-t)-10.—/+//D.-a—b*

【變式13-3】(2022?上海?七年級期末)下列各式中，正確分解因式的個數(shù)為()

①%3+2xy+x=x(x2+2y)

②爐+2xy+4y2=(x+2y)2

@-2x2+8y2=-(2x+4y)(x-2y)

@G3—abc+a2b—a2c=a(a—c)(a+b')

⑤(77i—n)(2x—5y—7z)+(m—n)(3y-lOx+3z)=—(m—n)(8x+2y+4z)

A.1B.2C.3D.4

【考點(diǎn)14因式分解(提公因式與公式法綜合)】

【例14】(2022?福建省泉州實(shí)磴中學(xué)八年級期末)因式分解：

(1)4a2-l6a+l6;

(2)a2(x-y)+16(y-%).

【變式147](2022?廣東?佛山市順德養(yǎng)正學(xué)校八年級期末)已知Q+b=；,Qb=先因式分解，再

28

求值：a3b+2a2b2+ab3.

【變式14-2】(2022?甘肅?臨澤縣第三中學(xué)八年級期末)分解因式.

^)a3b-2a2b2+ab3

(2)x2(x-4)4-10x(x-4)+25(x-4)

【變式14-3】(2022?浙江?寧波大學(xué)青藤書院七年級期末)國式分解：

(1)mx2-my2;

(2)2/?(a-6)-3〃(6-a).

【考點(diǎn)15因式分解(十字相乘法)】

【例15】(2022?廣東?揭西縣寶塔實(shí)驗(yàn)學(xué)校八年級期末)閱讀與思考：

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.

由(X+Q)(X+g)=/+3+q)x+pq,得x+(Q+q)x~\~pq=(x+p)(x+q);

利用這個式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式因式分解.

例如：將式子/+3x+2因式分解.

分析：這個式子的常數(shù)項(xiàng)2=1X2,一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2,所以J+3x+2=/+(1+2)x+1X2

解：/+3x+2=(x+1)(x+2).

請仿照上面的方法，解答下列問題：

(1)因式分解：x+7x-18=;

(2)填空：若J十°x—8可分解為兩個一次因式的積，則整數(shù)0的所有可能值是

⑶利用因式解法解方程：/一6*+8=0;

【變式157](2022?上海閔行-七年級期末)在因式分解的學(xué)習(xí)中我們知道對二次三項(xiàng)式％2+(a+b)x+

ab可用十字相乘法方法得出M3+冷％4-ab=(xIa)(x4b),用上述方法將下列各式因式分解：

(1)x2+Sxy—6y2=.

(2)x2—(4a+2)x+3a2+6a=.

(3)x2—b(5x—a—6b)—a2=.

(4)(2018x)2-2017x2019%-1=.

【變式15-2】(2022?浙江杭州?七年級期末)分解因式：a+2)a—3)a+4)(x—5)+13=.

【變式15-3](2022?貴州銅仁?七年級期末)

(1)【閱讀與思考】

整式乘法與因式分解是方向相反的變形.如何把二次三項(xiàng)式a/+bx+c(QH0)分解因式呢？我們已經(jīng)知

道：(%%++Q)=。102產(chǎn)+。遙2%+=Q1Q2%2+(。遙2+tlzCl)%+反過來，就

2

得到：aia2x+(aLc2+a2c1)x+crc2=(%%+口乂電%+c2).我們發(fā)現(xiàn)，二次三項(xiàng)式a/+加+c(a*0)

的二次項(xiàng)的系數(shù)a分解成由。2，常數(shù)項(xiàng)c分解成口。2，并且把力,a2,G，c2,如圖1所示擺放，按對角線交

叉相乘再相加，就得到十，如果。在2十a(chǎn)2cl的值正好等于a/十.十c的--次項(xiàng)系數(shù)6,刃卜么十

bx+c就可以分解為(a6++。2),其中由,Ci位于圖的上一行，a2,C2位于下一行.像這種借助畫

十字交叉圖分解系數(shù)，從而幫助我們把二次三項(xiàng)式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”.

例如，將式子/一十一6分解因式的具體步度為：首先把二次項(xiàng)的系數(shù)1分解為兩個因數(shù)的積，即1=1x1,

把常數(shù)項(xiàng)一6也分解為兩個因數(shù)的枳，印一6=2x(—3);然后把1,1,2,一3按圖2所示的擺放，按對角線

交叉相乘再相加的方法，得到1x(—3)+1X2=-1,恰好等于一次項(xiàng)的系數(shù)一1,于是產(chǎn)一3一6就可以分

解為(x+2)(%—3).

請同學(xué)們認(rèn)真觀察和思考，嘗試在圖3的虛線方框內(nèi)填入適當(dāng)?shù)臄?shù)，并用“十字相乘法”分解因式：x2+

x-6=.

(2)【理解與應(yīng)用】

請你仔細(xì)體會上述方法并嘗試對下而兩個二次三項(xiàng)式進(jìn)行分解因式：

①2x2+5x-7=;

②6x2—7xy+2y2—.

(3)【探究與拓展】

對干形如a/+bxy+cy2+dX+ey+/的關(guān)于x,y的二元二次多項(xiàng)式也可以用“十字相乘法”來分解，如

圖4.將a分解成mzi乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果77iq+np=

b,pk+p/=e,mk+nj=d,即第1,2列、第2,3列和第1,3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=

(mx+py+/)(nx+qy+k),請你認(rèn)真閱讀上述材料并嘗試挑戰(zhàn)下列問題：

①分解因式3/+5xy-2y2+%+9y—4=;

②若關(guān)于％,y的二元二次式％2+7xy—18y2-5x4-my-24可以分解成兩個一次因式的枳，求m的值.

圖1圖2圖3圖4

【考點(diǎn)16因式分解（分組分解法）】

【例16】（2022?上海市婁山中學(xué)九年級期末）分解因式：x2-y2+4y-4=.

【變式16-1】（2022?上海?七年級期末）因式分解：9-4x2+4xy-y2

【變式16-2】（2022?湖南常德?七年級期末）分解因式：3x-xy-2y-）&y.

【變式16-3】（2022?福建省福州延安中學(xué)八年級期末）（1）將一個多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公

式繼續(xù)分解的方法是分組分解法.例如：am~an^bmbn=（anffan）+{bm^bri）—a（如■〃）+b（/zrn）=（>b）

（加?〃）.

①分解因式：ab-2a-2/74-4；

②若a,b（a>b）都是正整數(shù)且滿足ab-2a-26-4=0,求2m■/?的值；

（2）若a,6為實(shí)數(shù)且滿足ab-a-6-1=0,整式―/+3a〃X-9a-76,求整式附的最小值.

【考點(diǎn)17利用因式分解求值】

【例17】（2022?湖南永州-七年級期末）在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，有一種用“因式分解法”生成密碼

的方法：將一個多項(xiàng)式因式分解，如將多項(xiàng)式/+2/一%一2國式分解的結(jié)果為。-1）（X+1）（%+2）.當(dāng)

%=18時，x-1=17,x+1=19,%+2=20,此時可以得到數(shù)字密碼171920.

⑴根據(jù)上述方法，當(dāng)x=28,y=11時，對于多項(xiàng)式一秒2分解因式后可以形成數(shù)字密碼：.

⑵將關(guān)于％的多項(xiàng)式（瓶一71）/一（血+：九）》分解因式后，利用題目中所示的方法，當(dāng)％=18時可以得到數(shù)

字密碼182016,求m,n的值.

【變式17T】（2022?湖南?武岡府故育科學(xué)研究所七年級期末）巳知nm=l,m-n=2t則相%一小"的值

是（）

A.-1B.3C.2D.-2

【變式17-2】（2022?浙江?七年級期末）已知Q—匕=3,b-c=-4,則代數(shù)式M—QC—6（a—c）的值

是.

【變式17-3】（2022?河南周口?八年級期末）已知a=2019x+2016,b=2019x+2017,c=2019x+2018,

則多項(xiàng)式a2+bz+c2-ab-be-ac的值為.

【考點(diǎn)18因式分解的應(yīng)用】

【例18】(2022?湖南永州?七年級期末)在當(dāng)今“互聯(lián)網(wǎng)+”時代，有一種用“因式分解法”生成密碼

的方法：將一個多項(xiàng)式因式分解，如將多項(xiàng)式式+2/一工一2因式分解的結(jié)果為(x—l)(x+l)a+2).當(dāng)

x=18Ht,x-1=17,x+1=19,x+2=20,此時可以得到數(shù)字密碼171920.

(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)％=28,y=11時，對于多項(xiàng)式/一％y2分解因式后可以形成數(shù)字密碼：.

(2)將關(guān)于％的多項(xiàng)式(機(jī)一ri)/+分解因式后，利用題目中所示的方法，當(dāng)％=18時可以得到數(shù)

字密碼182016,求m,九的值.

【變式187](2022?浙江?義烏市稠州中學(xué)教育集團(tuán)七年級期末)先閱讀下列材料，然后解決后面的問

題.

材料：一個三位數(shù)abc(百位數(shù)為a,十位數(shù)為6,個位數(shù)為c),若尹則稱這個三位數(shù)abc為“協(xié)和

數(shù)”，同時規(guī)定(%于0),〃稱為“協(xié)和系數(shù)”，如264,因?yàn)樗陌傥簧蠑?shù)字2與個位數(shù)字4之和等

a

于十位上的數(shù)字6,所有264是“協(xié)和數(shù)”，則“協(xié)和數(shù)”A=2X4=8.

⑴判斷132,123,321這三個數(shù)中，_是“協(xié)和數(shù)”.

⑵對于“協(xié)和數(shù)”應(yīng)，求證：“協(xié)和數(shù)”次能被11整除.

(3)已知有兩個十位數(shù)相同的“協(xié)和數(shù)”。/瓦，a2bb2(a1>a2),且自一心=1，若丫=3+k2,用含6

的式子表-示y.

【變式18-2】(2022?廣東?廣州六中八年級期末)對任意一人數(shù)加，如果m等于兩個正整數(shù)的平方和，

那么稱這個數(shù)m為“平方和數(shù)"，若m=a?+力2(仄b為正整數(shù))，記A(?n)=ab.例如：29=22+5?,

29就是一個“平方和數(shù)”，則4(29)=2x5=10.

⑴判斷45是否是“平方和數(shù)”，若是，請計算4(45)的值：若不是，請說明理由；

⑵若k是一個不超過50的“平方和數(shù)”，且A(k)=與2,求k的值;

⑶對任意一個數(shù)m,如果m等于兩個整數(shù)的平方和，那么稱這人數(shù)m為''廣義平方和數(shù)”，若m和〃都是

“廣義平方和數(shù)”，請說明它們的乘積加也是“廣義平方和數(shù)”.

【變式18-3】(2022?福建省永春第一中學(xué)八年級期末)學(xué)習(xí)整式乘法時，老師拿出三種型號卡片，如圖

1.

（1）利用多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則，計算：（Q+2b）（Q+b）=:

（2）選取1張力型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)取張8型卡片才能用他們拼成一個新的正方形，此新的正方

形的邊長是（用含a,6的代數(shù)式表示）：

（3）選取4張。型卡片在紙上按圖2的方式拼圖，并剪出中間正方形作為第四種。型卡片，由此可檢臉的等量

關(guān)系為;

⑷選取1張。型卡片，3張C型卡片按圖3的方式不重復(fù)的登放長方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長度固定不變,

MN的長度可以變化，且MNAO.圖中兩陰影部分（長方形）的面積分別表示為Si，52，若Si-Sz=3b2,

則。與b有什么關(guān)系？請說明理由.

專題11.3整式乘法與因式分解十八大必考點(diǎn)

【滬科版】

【考點(diǎn)?累的基本運(yùn)算】........................................................................1

【考點(diǎn)2寡的逆運(yùn)算】..........................................................................2

【考點(diǎn)3利用箱的運(yùn)算進(jìn)行比較大小】...........................................................2

【考點(diǎn)4累的混合運(yùn)算】..................