考點04基本不等式（3種核心題型+基礎(chǔ)保分練+綜合提升練+拓展沖刺練）【考試提醒】1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應(yīng)用．【知識點】1．基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時，等號成立．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．2．幾個重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．以上不等式等號成立的條件均為a＝b.3．利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數(shù)，如果積xy等于定值P，那么當x＝y(tǒng)時，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正數(shù)，如果和x＋y等于定值S，那么當x＝y(tǒng)時，積xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用基本不等式求最值應(yīng)滿足三個條件“一正、二定、三相等”．【核心題型】題型一利用基本不等式求最值(1)前提：“一正”“二定”“三相等”．(2)要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．命題點1配湊法【例題1】（2024·遼寧·一模）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，，將所求式子變形，利用基本不等式求解.【詳解】由，，，，當且僅當，即時等號成立.故選：A.【變式1】故選：D（2024·四川德陽·模擬預測）已知正實數(shù)，，滿足，則的最小值是.【答案】【分析】因式分解得到，變形后得到，利用基本不等式求出最小值.【詳解】因為為正實數(shù)，故，即，，當且僅當，即，此時，所以的最小值為.故答案為：【變式2】（2024·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·一模）已知函的最小值為m．(1)求m的值；(2)若a，b為正數(shù)，且，求的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）討論去絕對值，將轉(zhuǎn)換為分段函數(shù)，求最小值.（2）原式平方后，運用基本不等式求得最大值.【詳解】（1）∵，∴當時，，當時，，當時，，∴，即.（2）由（1）可得，∴，因為，所以，所以的最大值為，當且僅當，即時，等號成立．綜上所述：最大值為.【變式3】（2024·黑龍江·二模）已知實數(shù)，且，則取得最大值時，的值為（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】利用基本不等式求解.【詳解】，又，所以，所以，當且僅當，即，或取等號，所以或.命題點2常數(shù)代換法【例題2】（2024·江蘇南通·二模）設(shè)，，，則的最小值為（）A． B． C． D．3【答案】C【分析】由不等式“1”的代換求解即可.【詳解】因為，所以，因為，，所以.當且僅當，即時取等.故選：C.【變式1】（2024·四川成都·模擬預測）若是正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】觀察等式分母可知，利用基本不等式中“1”的妙用可得結(jié)果.【詳解】因為，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：A【變式2】（23-24高三上·浙江寧波·期末）已知，則下列選項中，能使取得最小值25的為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】A選項，利用基本不等式直接進行求解；B選項，利用基本不等式“1”的妙用求解；C選項，可以舉出反例；D選項，設(shè)，，利用三角恒等變換得到.【詳解】A選項，，當且僅當，即時，等號成立，A錯誤；B選項，因為，所以，故，當且僅當，即時，等號成立，B正確；C選項，當時，滿足，此時，C錯誤；D選項，，設(shè)，其中，則，因為，所以，故，顯然取不到最小值25，D錯誤.故選：B【變式3】（2024·全國·模擬預測）設(shè)正實數(shù)a，b滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，根據(jù)“1”的代換化簡得出.進而根據(jù)基本不等式，即可求得答案.【詳解】因為，所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為．故選：C．命題點3消元法【例題3】（2024·全國·模擬預測）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由基本不等式和可得，化簡可得，令，利用換元法，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)計算即可求解.【詳解】因為，所以，當且僅當時等號成立，所以．因為，令，則，，所以，由對勾函數(shù)在上單調(diào)遞增，則當時函數(shù)取到最小值，所以當時，，所以.故選：B．【變式1】（2023·重慶·模擬預測）已知，，且，則的最小值為（

）．A．4 B．6 C．8 D．12【答案】A【分析】利用基本不等式和消元思想對本題目進行求解.【詳解】解：已知，且xy+2x+y=6，y=2x+y=2x+=2(x+1)，當且僅當時取等號，故2x+y的最小值為4.故選:A【變式2】(2023·煙臺模擬)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________．【答案】6【解析】方法一(換元消元法)由已知得9－(x＋3y)＝xy＝eq\f(1,3)·x·3y≤eq\f(1,3)·，當且僅當x＝3y，即x＝3，y＝1時取等號．即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，令x＋3y＝t，則t>0且t2＋12t－108≥0，得t≥6，即x＋3y的最小值為6.方法二(代入消元法)由x＋3y＋xy＝9，得x＝eq\f(9－3y,1＋y)，所以x＋3y＝eq\f(9－3y,1＋y)＋3y＝eq\f(9－3y＋3y1＋y,1＋y)＝eq\f(9＋3y2,1＋y)＝eq\f(31＋y2－61＋y＋12,1＋y)＝3(1＋y)＋eq\f(12,1＋y)－6≥2eq\r(31＋y·\f(12,1＋y))－6＝12－6＝6，當且僅當3(1＋y)＝eq\f(12,1＋y)，即y＝1，x＝3時取等號，所以x＋3y的最小值為6.【變式3】（2024·浙江·模擬預測）已知，求的最小值．【答案】【分析】根據(jù)條件，代入消去，將的表達式分離常數(shù)得，利用基本不等式求得結(jié)果.【詳解】，，，，當且僅當，即時等號成立，所以.故的最小值為.題型二基本不等式的常見變形應(yīng)用基本不等式的常見變形(1)ab≤≤eq\f(a2＋b2,2).(2)eq\f(2,\f(1,a)＋\f(1,b))≤eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．【例題4】（2023·全國·三模）已知，，且，則下列不等式不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)基本不等式逐項判斷ABD，消元，化簡，結(jié)合不等式性質(zhì)判斷C.【詳解】因為，，且，由基本不等式可得（當且僅當時取等號），A正確；由基本不等式知，則，即（當且僅當時取等號），B正確；由題得，由已知，故，所以，故，C正確；由基本不等式可得，即（當且僅當時取等號），D錯誤.故選：D.【變式1】（2023·遼寧·二模）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【分析】由為等腰直角三角形，得到，，然后在中，得到CD判斷.【詳解】解：由圖知：，在中，，所以，即，故選：C【變式2】（2023·陜西寶雞·二模）設(shè)a，，則“”是“”的（

）A．充要條件 B．必要不充分條件 C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】由基本不等式結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得出答案.【詳解】若，則成立，當且僅當時取等，若，不妨設(shè)，則不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：C.【變式3】（2024·全國·模擬預測）已知正項數(shù)列的前項和為，，則下列說法正確的是（

）A． B．是遞減數(shù)列C． D．【答案】ABD【分析】令，求得的值可以判斷A；利用數(shù)列的前項和與裂項的關(guān)系求出數(shù)列的通項，再利用分子有理的特點，采用裂項相消的方法求和可判斷B；采用裂項相消的方法求和可判斷C；先恒等變形，再連續(xù)使用兩次基本不等式及其變形可判斷D．【詳解】選項A：由，令，得，又，所以，故選項A正確；選項B：因為為正項數(shù)列，且，所以，所以當時，，又滿足上式，所以，所以，顯然是遞增數(shù)列，且，所以是遞減數(shù)列，故選項B正確；選項C：，所以，故選項C錯誤；選項D：，所以，因為，所以等號取不到，所以，故選項D正確．故選：ABD.【點睛】方法點睛：與基本不等式相關(guān)的4種?？碱愋停叫问剑?，當且僅當時，等號成立．利用基本不等式求最值，一定要注意“一正、二定、三相等”缺一不可．整式形式：，，，，以上不等式當且僅當時，等號成立．分式形式：，當且僅當時，等號成立．倒數(shù)形式：，當且僅當時，等號成立；，當且僅當時，等號成立．題型三基本不等式的實際應(yīng)用利用基本不等式求解實際問題時，要根據(jù)實際問題，設(shè)出變量，注意變量應(yīng)滿足實際意義，抽象出目標函數(shù)的表達式，建立數(shù)學模型，再利用基本不等式求得函數(shù)的最值．【例題5】（2023·湖南岳陽·模擬預測）如圖，某人沿圍墻修建一個直角梯形花壇，設(shè)直角邊米，米，若米，問當米時，直角梯形花壇的面積最大．

【答案】【分析】先求出面積的表達式，再根據(jù)基本不等式即可得解.【詳解】由題意米，則直角梯形花壇的面積，當且僅當，即時，等號成立，所以當米時，直角梯形花壇的面積最大．故答案為：.【變式1】（2024·黑龍江哈爾濱·一模）已知某商品近期價格起伏較大，假設(shè)第一周和第二周的該商品的單價分別為m元和n元，甲、乙兩人購買該商品的方式不同，甲每周購買100元的該商品，乙每周購買20件該商品，若甲、乙兩次購買平均單價分別為，則（

）A． B． C． D．的大小無法確定【答案】B【分析】由題意求出的表達式，利用基本不等式，比較大小，即得答案.【詳解】由題意得，，因為，故，，即，故選：B【變式2】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）小明在春節(jié)期間，預約了正月初五上午去美術(shù)館欣賞油畫，其中有一幅畫吸引了眾多游客駐足觀賞，為保證觀賞時可以有最大視角，警衛(wèi)處的同志需要將警戒線控制在距墻多遠處最合適呢？（單位：米，精確到小數(shù)點后兩位）已知該畫掛在墻上，其上沿在觀賞者眼睛平視的上方3米處，其下沿在觀賞者眼睛平視的上方1米處.（

）A．1.73 B．1.41 C．2.24 D．2.45【答案】A【分析】由題意作出圖形，選設(shè)觀賞者與油畫的水平距離為，觀賞時的視角為，求出中的三邊，由余弦定理求得的表達式，依題應(yīng)使最大，即使最小，求出表達式的最小值以及此時的值即得.【詳解】如圖，設(shè)觀賞者的眼睛在點處，油畫的上沿在點處，下沿在點處，點在線段延長線上，且保持與點在同一水平線上，則即觀賞時的視角.依題意，不妨設(shè)，則，在中，由余弦定理，，因，則，當且僅當時，即時等號成立，由可得，則，則，因函數(shù)在上單調(diào)遞減，故得，即最大視角為，此時觀賞者距離油畫的直線距離為.故選：A.【變式3】（2024·廣東韶關(guān)·二模）在工程中估算平整一塊矩形場地的工程量W（單位：平方米）的計算公式是，在不測量長和寬的情況下，若只知道這塊矩形場地的面積是10000平方米，每平方米收費1元，請估算平整完這塊場地所需的最少費用（單位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【分析】設(shè)矩形場地的長為米，則，結(jié)合基本不等式計算即可求解.【詳解】設(shè)矩形場地的長為米，則寬為米，，當且僅當，即時，等號成立.所以平整這塊場地所需的最少費用為元.故選：C【課后強化】基礎(chǔ)保分練單選題1.（2024·河南南陽·一模）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．8 B．9 C．10 D．11【答案】B【分析】利用條件轉(zhuǎn)化得，將問題式化簡結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】由，且，可得.所以.又因為，當且僅當，即時取等號，所以.故選：B.2．（2023·河南開封·三模）已知，，且，，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】使用基本不等式求解，注意等號成立條件.【詳解】，∵，∴等號不成立，故；，∵，∴等號不成立，故，綜上，.故選：A.3．（22-23高三上·湖南長沙·階段練習）甲、乙兩名司機的加油習慣有所不同，甲每次加油都說“師傅，給我加300元的油”，而乙則說“師傅幫我把油箱加滿”，如果甲、乙各加同一種汽油兩次，兩人第一次與第二次加油的油價分別相同，但第一次與第二次加油的油價不同，乙每次加滿油箱，需加入的油量都相同，就加油兩次來說，甲、乙誰更合算（

）A．甲更合算 B．乙更合算C．甲乙同樣合算 D．無法判斷誰更合算【答案】A【分析】根據(jù)題意列出甲乙兩次加油的平均單價，進而根據(jù)不等式即可求解.【詳解】設(shè)兩次的單價分別是元/升，甲加兩次油的平均單價為，單位：元/升，乙每次加油升，加兩次油的平均單價為，單位：元/升，因為，，，所以，即，即甲的平均單價低，甲更合算.故選：A4．（2024·陜西西安·一模）“中國剩余定理”又稱“孫子定理”，最早可見于中國南北朝時期的數(shù)學著作《脅子算經(jīng)》卷下第二十六題，叫做“物不知數(shù)”，原文如下：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何?現(xiàn)有這樣一個相關(guān)的問題：被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序排成一列，構(gòu)成數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，則的最小值為（

）A．60 B．61 C．75 D．76【答案】B【分析】先由“兩個等差數(shù)列的公共項構(gòu)成的新的等差數(shù)列的公差為兩個等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)”得，再由基本不等式求得的最小值.【詳解】被除余且被除余的正整數(shù)按照從小到大的順序所構(gòu)成的數(shù)列是一個首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，∴，當且僅當，即時取等號，∴當時取最小值為．故選：B.5．（2023·河南信陽·模擬預測）若，則函數(shù)有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值 D．最大值【答案】D【分析】由題意，，，利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，.當且僅當，即時等號成立，所以函數(shù)有最大值.故選：D.6．（2024·四川涼山·二模）已知正數(shù)滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由得到，然后代入，利用基本不等式求最值即可.【詳解】，則，又，所以，當且僅當，即時等號成立.故選：C.二、多選題7．（2024·江蘇·一模）已知，且，，則(

)A． B．C． D．【答案】ACD【分析】用對數(shù)表示x，y，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的計算、基本不等式等即可逐項計算得到答案．【詳解】∵，∴，同理，∵在時遞增，故，故A正確；∵，∴B錯誤；∵，，∴，當且僅當時等號成立，而，故，∴C正確；∴，即，∴D正確．故選：ACD．8．（2024·貴州貴陽·一模）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】首先結(jié)合選項變形，再根據(jù)基本不等式，即可判斷選項.【詳解】A.，當時，等號成立，故A正確；B.，當時，等號成立，故B正確；C.，故C正確；D.，當時等號成立，故D正確.故選：ABCD三、填空題9.（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為.【答案】【分析】設(shè)，將向量轉(zhuǎn)化為基底表示，可得，再利用基本不等式求解.【詳解】設(shè)，則因為，所以，即，即，由，得，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為.故答案為：.10．（2024·江西九江·二模）在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知A，B，C成等差數(shù)列，，則面積的最大值是，.【答案】12【分析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得B，結(jié)合重要不等式及三角形面積公式即可求得三角形面積的最大值；運用正弦定理可得，，由余弦定理可得，代入求解即可.【詳解】由題意知，，又，所以，又，，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號，所以，當且僅當時取等號.故面積的最大值為.因為，，所以，，所以，由余弦定理得，所以.故答案為：；.四、解答題11．（2024·四川廣安·二模）已知，，均為正數(shù)，且.(1)是否存在，，，使得，說明理由；(2)證明：.【答案】(1)不存在，理由見解析(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得，則，利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，即可說明；（2）將平方，再利用基本不等式計算可得.【詳解】（1）不存在，，，使得.理由如下：因為，，都是正數(shù)，且，所以，所以，當且僅當，即時取等號，即的最小值為，所以不存在，，，使得.（2）因為，當且僅當時等號成立，所以.12．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)(1)求不等式的解集；(2)設(shè)的最小數(shù)為，正數(shù)滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題意可得，利用零點分段法分類討論，分別計算可得；（2）由（1）可得，將式子變形為，再由乘“1”法及基本不等式計算可得.【詳解】（1）不等式，即，即，所以或或，解得或或，綜上可得，所以不等式的解集為；（2）因為的最小數(shù)為，所以，可得，所以，解得，所以，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．綜合提升練一、單選題1．（2024·廣東湛江·一模）已知，，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用不等式，將等式左邊轉(zhuǎn)化為因式表示，求解即可.【詳解】因為，得：（當且僅當時成立），即得：，則，得：，所以的最小值為，故選：A.2．（2024·遼寧鞍山·二模）已知，均為銳角，，則取得最大值時，的值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】先利用展開變形，可得，再利用展開變形，將用表示出來，利用基本不等式求最值及等號成立條件即可.【詳解】,則，所以，整理得，因為，均為銳角，且，即，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，所以取得最大值時，的值為.故選：D.3．（23-24高三上·浙江金華·期末）若，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．【答案】D【分析】由角度關(guān)系得到，再用兩角差的正切公式展開，設(shè)，結(jié)合基本不等式求出最值，注意取等號的條件.【詳解】因為，所以，設(shè)，則，當且僅當時，等號成立.故選：D4．（2024·黑龍江齊齊哈爾·二模）早在西元前6世紀，畢達哥拉斯學派已經(jīng)知道算術(shù)中項，幾何中項以及調(diào)和中項，畢達哥拉斯學派哲學家阿契塔在《論音樂》中定義了上述三類中項，其中算術(shù)中項，幾何中項的定義與今天大致相同．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】令，，結(jié)合基本不等式可得，化簡可得，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的二次函數(shù)在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】不妨設(shè)，，則，，所以，當且僅當時取等號，即，當且僅當時取等號，所以，（）所以當時，取得最小值，故選：D．5．（2024·陜西西安·一模）已知二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點，圖象在、兩點處的切線相交于點．若，則的面積的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得切線方程及點坐標，結(jié)合韋達定理及面積公式可得面積的最值.【詳解】設(shè)，，則與是方程的兩根，則，，，又，則函數(shù)在點處的切線方程為，同理函數(shù)在點處的切線方程為，則，解得，即點，則，當且僅當時等號成立，故選：C.6．（2023·山東泰安·模擬預測）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品.實驗一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（

）A．大于克 B．小于克C．大于等于克 D．小于等于克【答案】C【分析】設(shè)出力臂和藥品數(shù)量，根據(jù)杠桿原理得到，再根據(jù)均值不等式計算得到答案.【詳解】設(shè)天平左、右兩邊臂長分別為，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為，，則由杠桿原理得：，于是，故，當且僅當時取等號.故選：C.7．（2024·云南楚雄·模擬預測）足球是一項深受人們喜愛的體育運動.如圖，現(xiàn)有一個11人制的標準足球場，其底線寬，球門寬，且球門位于底線的中間，在某次比賽過程中，攻方球員帶球在邊界線上的點處起腳射門，當最大時，點離底線的距離約為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可設(shè)，，利用兩角差的正切公式可得當時，取得最大時，代入數(shù)據(jù)可得結(jié)果.【詳解】設(shè)，，所以；記可得；，當取最大時，取最大即可，易知，此時取到最大值，當且僅當時，即時，等號成立，將代入可得.故選：C8．（23-24高三上·浙江寧波·期末）設(shè)實數(shù)x，y滿足，，不等式恒成立，則實數(shù)k的最大值為（

）A．12 B．24 C． D．【答案】B【分析】令，不等式變形為，求出的最小值，從而得到實數(shù)的最大值.【詳解】，，變形為，令，則轉(zhuǎn)化為，即，其中

當且僅當，即時取等號，可知.故選：B【點睛】思路點睛：不等式恒成立問題，先分離參數(shù)后，然后利用基本不等式求最值.利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.二、多選題9．（23-24高三上·河北滄州·階段練習）已知，，且，則下列說法正確的有（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)均值不等式判斷A，利用“1”的變形技巧及均值不等式判斷BD，由重要不等式及不等式性質(zhì)判斷C.【詳解】當，時，，即，所以，即，當且僅當，即時取等號，故A錯誤；因為，，所以，當且僅當，即時取等號，故B正確；由A可知，，當且僅當，即時取等號，故C正確；因為，，所以，當且僅當，即時取等號，故D正確．故選：BCD．10．（23-24高三上·湖南常德·期末）已知，則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)和基本不等式判斷AB，利用特值法判斷CD．【詳解】∵，∴即，∴，A正確；由基本不等式知：，當且僅當時等號成立又，∴∴即,當且僅當時等號成立；已知,故，B正確;令，，C錯誤；令，，分母為零無意義，D錯誤．故選：AB．11．（2024·全國·模擬預測）已知正實數(shù)a，b，c滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】選項A，利用不等式的性質(zhì)可判斷；選項B，根據(jù)，可判斷；選項C和D，利用均值不等式可判斷.【詳解】選項A：由，得，則，所以，A錯誤．選項B：因為，所以，B正確．選項C：由，得，，所以，當且僅當時取等號，C正確．選項D：因為，當且僅當時取等號，所以，D正確．故選：BCD三、填空題12．（2024·陜西咸陽·二模）已知總體的各個個體的值由小到大依次為2，4，4，6，a，b，12，14，18，20，且總體的平均值為10．則的最小值為．【答案】/【分析】根據(jù)平均數(shù)的概念可求的值，再利用不等式可求的最小值.【詳解】因為各個個體的值是有小到大排列的，所以，又總體平均值為，所以.所以（當且僅當時取“”）.故答案為：13．（2024·遼寧大連·一模）對于任意的正數(shù)m，n，不等式成立，則λ的最大值為【答案】/【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為成立，利用，結(jié)合基本不等式求得最小值，即可求解.【詳解】因為都為正數(shù)，則不等式成立，即為成立，又由，當時，即時，等號成立，所以，即的最小值為.故答案為：.14．（2024·四川瀘州·二模）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，則的最大值為．【答案】【分析】利用正余弦定理，結(jié)合三角恒等變換得到，再利用基本不等式即可得解.【詳解】由余弦定理得，兩式相減得，因為，所以，由正弦定理得，即，所以，則，因為在中，不同時為，，故，所以，又，所以，則，故，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，則的最大值為.故答案為：.【點睛】易錯點睛：在應(yīng)用基本不等式求最值時，要把握不等式成立的三個條件，就是“一正——各項均為正；二定——積或和為定值；三相等——等號能否取得”，若忽略了某個條件，就會出現(xiàn)錯誤．四、解答題15．（2024·四川成都·二模）已知函數(shù)，不等式的解集為.(1)求實數(shù)的值；(2)函數(shù)的最小值為，若正實數(shù)滿足，求的最小值.【答案】(1)(2)最小值為4【分析】（1）根據(jù)解集得到方程，解出即可；（2）根據(jù)乘“1”法即可得到最小值.【詳解】（1），易知，.的解集為，，解得.（2）由（1）得，的最小值為1，即.，當且僅當時，等號成立.的最小值為4.16．（2023·陜西寶雞·二模）已知函數(shù)．(1)求的解集；(2)設(shè)的最小值為，若正數(shù)，，滿足，求的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）分，和三種情況求解即可；（2）先分情況求出的最小值為2，則，兩邊平方化簡后利用基本不等式可求得的最大值．【詳解】（1）當時，，解得；當時，，解得（舍去）；當時，，解得．綜上，的解集為．（2）當時，；當時，；當時，．所以的最小值為2，即，則，所以，當且僅當時，取等號，即，所以的最大值為．17．（2024·青?！ひ荒＃┮阎龜?shù)滿足．求證：(1)；(2)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合基本不等式，即可得證；（2）由，結(jié)合基本不等式，即可得證.【詳解】（1）證明：因為正數(shù)滿足，由，當且僅當時，等號成立，可得，即，所以，當且僅當時，等號成立.（2）證明：由，當且僅當，即，等號成立.所以.18．（2024·廣東·一模）海參中含有豐富的蛋白質(zhì)、氨基酸、維生素、礦物質(zhì)等營養(yǎng)元素，隨著生活水平的提高，海參逐漸被人們喜愛．某品牌的海參按大小等級劃分為5、4、3、2、1五個層級，分別對應(yīng)如下五組質(zhì)量指標值：，，，，．從該品牌海參中隨機抽取10000顆作為樣本，統(tǒng)計得到如圖所示的頻率分布直方圖．(1)質(zhì)量指標值越高，海參越大、質(zhì)量越好，若質(zhì)量指標值低于400的為二級，質(zhì)量指標值不低于400的為一級．現(xiàn)利用分層隨機抽樣的方法按比例從不低于400和低于400的樣本中隨機抽取10顆，再從抽取的10顆海參中隨機抽取4顆，記其中一級的顆數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望；(2)甲、乙兩人計劃在某網(wǎng)絡(luò)購物平臺上參加該品牌海參的訂單“秒殺”搶購活動，每人只能搶購一個訂單，每個訂單均由箱海參構(gòu)成．假設(shè)甲、乙兩人搶購成功的概率均為，記甲、乙兩人搶購成功的訂單總數(shù)量為Y，搶到海參總箱數(shù)為Z．①求Y的分布列及數(shù)學期望；②當Z的數(shù)學期望取最大值時，求正整數(shù)n的值．【答案】(1)分布列見解析，期望(2)①分布列見解析，期望值；②正整數(shù)n的值為5；【分析】（1）利用頻率分布直方圖計算出分層抽樣比為，可得抽取的10顆樣本中有6顆二級品，4顆一級品，利用超幾何分布公式計算概率即可得分布列和期望值；（2）①易知訂單總數(shù)量為Y的所有可能取值為，分別求得對應(yīng)概率可得Y的分布列和期望值；②顯然，利用期望值性質(zhì)計算可得，再由基本不等式即可得Z的數(shù)學期望取最大值時，正整數(shù)n的值為5.【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知，質(zhì)量指標為二級與一級的分層隨機抽樣的比例為；所以抽取的10顆樣本中有6顆二級品，4顆一級品；從抽取的10顆海參中隨機抽取4顆，記其中一級的顆數(shù)為X，則X的所有可能取值為；易知，,,,；所以可得X的分布列為可得數(shù)學期望.（2）根據(jù)題意可知訂單總數(shù)量為Y的所有可能取值為，則；；；所以Y的分布列為數(shù)學期望；易知，所以；又，所以的數(shù)學期望，當且僅當，即時，等號成立，取得最大值；因此Z的數(shù)學期望取最大值時，正整數(shù)n的值為5.19．（2023·四川達州·二模）在中，角、、所對的邊分別為、、，.(1)求；(2)若，求面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的余弦公式化簡可得出，即可求得的值；（2）分析可知、均為銳角，利用兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式可得出，求出的最小值，即可求得的最小值.【詳解】（1）解：，.由正弦定理得..因為，則，，，則，所以，，即，所以，，，即.（2）解：由（1）得.若，則、均為鈍角，則，矛盾，所以，，，此時、均為銳角，合乎題意，，當且僅當時，等號成立，且為鈍角.，則，且為銳角，由，解得，即，當且僅當時，等號成立，，.因此，面積的最小值為.拓展沖刺練一、單選題1．（2024·遼寧·一模）已知．則“且”是“”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)條件，利用充分條件和必要條件的判斷方法，即可求出結(jié)果.【詳解】當且時，，所以，當且僅當，即時取等號，所以由且可以得出，顯然，當，有成立，但得不出且，所以“且”是“”的充分而不必要條件，故選：A.2．（2024·山東濟寧·一模）已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，，則面積的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理對已知條件進行邊角轉(zhuǎn)化，求得，結(jié)合余弦定理以及不等式求得的最大值，再求三角形面積的最大值即可.【詳解】因為，由正弦定理可得：，即，，又，，故；由，解得；由余弦定理，結(jié)合，可得，即，解得，當且僅當時取得等號；故的面積，當且僅當時取得等號.即的面積的最大值為.故選：A.3．（2024·湖北武漢·模擬預測）在三棱錐中，，，，，且，則二面角的余弦值的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先得的軌跡方程，進一步作二面角的平面角為，結(jié)合軌跡的參數(shù)方程以及余弦定理、基本不等式即可求解，注意取等條件.【詳解】因為，所以，點的軌跡方程為（橢球），

又因為，所以點的軌跡方程為，（雙曲線的一支）

過點作，而面，所以面，

設(shè)為中點，則二面角為，所以不妨設(shè)，所以，所以，令，所以，等號成立當且僅當，所以當且僅當時，.故選：A.【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是用定義法作出二面角的平面角，結(jié)合軌跡方程設(shè)參即可順利得解.4．（23-24高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學考試）某校在校慶期間舉辦羽毛球比賽，某班派出甲?乙兩名單打主力，為了提高兩位主力的能力，體育老師安排了為期一周的對抗訓練，比賽規(guī)則如下：甲、乙兩人每輪分別與體育老師打2局，當兩人獲勝局數(shù)不少于3局時，則認為這輪訓練過關(guān)；否則不過關(guān).若甲?乙兩人每局獲勝的概率分別為，，且滿足，每局之間相互獨立.記甲、乙在輪訓練中訓練過關(guān)的輪數(shù)為，若，則從期望的角度來看，甲?乙兩人訓練的輪數(shù)至少為（

）A．27 B．24 C．32 D．28【答案】A【分析】先求得每一輪訓練過關(guān)的概率，利用二項分布的期望列方程，結(jié)合基本不等式以及二次函數(shù)的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】設(shè)每一輪訓練過關(guān)的概率為，則，，當且僅當時等號成立.函數(shù)的開口向上，對稱軸為，所以，依題意，，則，，所以至少需要輪.故選：A【點睛】方法點睛：求解相互獨立事件和獨立重復事件結(jié)合的問題，要注意區(qū)別兩者的不同，相互獨立事件的概率可以不相同，獨立重復事件概率是相同的.求最值的方法可以考慮二次函數(shù)的性質(zhì)，也可以考慮基本不等式，利用基本不等式時，要注意“一正二定三相等”.二、多選題5．（2024·江蘇·一模）已知函數(shù)，則（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關(guān)于點對稱C．不等式無解 D．的最大值為【答案】BD【分析】對于選項A:驗證是否成立即可判斷；對于選項B:驗證是否成立即可判斷；對于選項C:利用即可驗證有解；對于選項D:利用二倍角公式，結(jié)合基本不等式即可判斷.【詳解】對于選項A:不是的周期，故A錯誤;對于選項B:關(guān)于對稱，故B正確；對于選項C:有解，故C錯誤；對于選項D:，若，則，若則，當且僅當，即時，原式取等，故D正確.故選:BD.6．（23-24高三上·江蘇連云港·階段練習）已知，，則（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】由已知條件，利用對數(shù)式的運算判斷范圍，通過構(gòu)造函數(shù)，利用基本不等式和導數(shù)求最值判斷不等式是否成立.【詳解】已知，則，有，由，得，則，即，所以，A選項正確；函數(shù)，有，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，，即，時等號成立，已知，由，所以，B選項正確；已知，則，，當且僅當，即等號成立，所以，有，得，C選項錯誤；設(shè)，有，則，，有，設(shè)，有，設(shè)，則，所以，即，，所以，在上恒成立，得在上單調(diào)遞增，，即，D選項正確.故選：ABD.【點睛】方法點睛：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，要證明不等式，構(gòu)造一個適當?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.7．（2023·全國·模擬預測）實數(shù)，滿足，則（

）A．B．的最大值為C．D．的最大值為【答案】ACD【分析】對于A選項，利用基本不等式即可判斷；對于B選項，利用參數(shù)方程即可求解；對于C選項，利用B選項即可求解；對于D選項，令即可求解,【詳解】對于A選項，由，得，所以，當且僅當時取“=”，故A正確；對于B選項，令且，則，其中，，又，所以的最大值為1，所以的最大值，故B錯誤；對于C選項，由B中的分析知，，其中，，又，所以，故C正確；對于D選項，令，則，且，所以當時，取最大，故D正確.故選：ACD.三、填空題8．（2024·四川成都·模擬預測）已知實數(shù)，若，則的最小值為．【答案】/【分析】由乘“1”的方法，利用基本不等式求最值.【詳解】由，，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為為.故答案為：.9．（2024·福建漳州·模擬預測）如圖，某城市有一條公路從正西方向通過路口后轉(zhuǎn)向西北方向，圍繞道路打造了一個半徑為的扇形景區(qū)，現(xiàn)要修一條與扇形景區(qū)相切的觀光道，則的最小值為．【答案】【分析】在中，利用余弦定理結(jié)合基本不等式可得