深圳深圳市福田區(qū)石廈學(xué)校中考數(shù)學(xué)期末幾何綜合壓軸題模擬匯編一、中考幾何壓軸題1．已知：，過平面內(nèi)一點分別向、、畫垂線，垂足分別為、、．（問題引入）如圖①，當點在射線上時，求證：．（類比探究）（1）如圖②，當點在內(nèi)部，點在射線上時，求證：．（2）當點在內(nèi)部，點在射線的反向延長線上時，在圖③中畫出示意圖，并直接寫出線段、、之間的數(shù)量關(guān)系．（知識拓展）如圖④，、、是的三條弦，都經(jīng)過圓內(nèi)一點，且．判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．2．如圖，已知和均為等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，將這兩個三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當時，點B、D、E在同一直線上，連接CE，則＝°，線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；（2）拓展探究：如圖②，當時，點B、D、E在同一直線上，連接CE，請判斷的度數(shù)及線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）解決問題：如圖③，，，AE＝2，連接CE、BD，在繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當時，請直接寫出EC的長．3．綜合與實踐動手操作利用旋轉(zhuǎn)開展教學(xué)活動，探究圖形變換中蘊含的數(shù)學(xué)思想方法．如圖1，將等腰直角三角形的邊繞點順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段，，，連接，過點作交延長線于點．思考探索（1）在圖1中：①求證：；②的面積為______；③______．拓展延伸（2）如圖2，若為任意直角三角形，．、、分別用、、表示．請用、、表示：①的面積：______；②的長：______；（3）如圖3，在中，，，，，，連接．①的面積為______；②點是邊的高上的一點，當______時，有最小值______．4．（1）證明推斷：如圖（1），在正方形ABCD中，點E，Q分別在邊BC，AB上，DQ⊥AE于點O，點G，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，GF⊥AE．①求證：DQ＝AE；②推斷：的值為；（2）類比探究：如圖（2），在矩形ABCD中，＝k（k為常數(shù)）．將矩形ABCD沿GF折疊，使點A落在BC邊上的點E處，得到四邊形FEPG，EP交CD于點H，連接AE交GF于點O．試探究GF與AE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，連接CP，當k＝時，若tan∠CGP＝，GF＝2，求CP的長．5．如圖，已知和均為等腰三角形，，，將這兩個三角形放置在一起．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，當時，點B、D、E在同一直線上，連接CE，則線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是_________，_________；（2）拓展探究：如圖②，當時，點B、D、E不在同一直線上，連接CE，求出線段BD、CE之間的數(shù)量關(guān)系及BD、CE所在直線相交所成的銳角的大?。ǘ加煤氖阶颖硎荆?，并說明理由：（3）解決問題：如圖③，，，，連接CE、BD，在繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中，當CE所在的直線垂直于AD時，請你直接寫出BD的長．6．綜合與實踐（問題背景）如圖1，矩形中，．點E為邊上一點，沿直線將矩形折疊，使點C落在邊的點處．（問題解決）（1）填空：的長為______．（2）如圖2，將沿線段向右平移，使點與點B重合，得到與交于點F，與交于點G．求的長；（拓展探究）（3）在圖2中，連接，則四邊形是平行四邊形嗎？若是，請予以證明；若不是，請說明理由．7．（問題呈現(xiàn)）下面是華師版八年級下冊數(shù)學(xué)教材第121頁的第1題，請結(jié)合圖①完成這道題的證明．如圖①，點是正方形的邊上的一點，點是的延長線上的一點，且．求證：．（拓展探究）如圖②，在中，，，，垂足為點，點是邊上的動點，點是邊上的一點，且．（1）直接寫出四邊形的面積．（2）若，則四邊形的周長為________．8．（問題探究）（1）如圖1，△ABC和△DEC均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點B，D，E在同一直線上，連接AD，BD．①請?zhí)骄緼D與BD之間的位置關(guān)系？并加以證明．②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，求線段AD的長．（拓展延伸）（2）如圖2，△ABC和△DEC均為直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．將△DCE繞點C在平面內(nèi)順時針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角∠BCD為α（0°≤α＜360°），作直線BD，連接AD，當點B，D，E在同一直線上時，畫出圖形，并求線段AD的長．9．如圖1，在中，，點P在斜邊上，點D?E?F分別是線段??的中點，易知是直角三角形．現(xiàn)把以點P為中心，順時針旋轉(zhuǎn)，其中．連接??．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖2，若點P是的中點，連接，可以發(fā)現(xiàn)____________；（2）類比探究如圖3，中，于點P，請判斷與的大小，結(jié)合圖2說明理由；（3）拓展提高在（2）的條件下，如果，且，在旋轉(zhuǎn)的過程中，當以點C?D?F?P四點為頂點的四邊形與以點B?E?F?P四點為頂點的四邊形都是平行四邊形時，直接寫出線段??的長．10．綜合與實踐：利用矩形的折疊開展數(shù)學(xué)活動，探究體會圖形在軸對稱，旋轉(zhuǎn)等變換過程中的變化，及其蘊含的數(shù)學(xué)思想和方法．動手操作：如圖①，矩形紙片ABCD的邊AB＝2，將矩形紙片ABCD對折，使點A與點D重合，點B與點C重合，折痕為EF，然后展開，EF與AC交于點H；如圖②，將矩形ABCD沿過點A的直線折疊，使點B落在對角線AC上，且點B與點H重合，展開圖形，折痕為AG，連接GH；若在圖①中連接BH，得到如圖③，點M是線段BH上的動點，點N是線段AH上的動點，連接AM，MN，且∠AMN＝∠ABH；若在圖②中連接BH，交折痕AG于點Q，隱去其它線段，得到如圖④．解決問題：（1）在圖②中，∠ACB＝，BC＝，＝，與△ABG相似的三角形有個；（2）在圖②中，AH2＝AE·（從圖②中選擇一條線段填在空白處），并證明你的結(jié)論；（3）在圖③中，△ABH為三角形，設(shè)BM為x，則NH＝（用含x的式子表示）；拓展延伸：（4）在圖④中，將△ABQ繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)α（0°≤α≤180°），得到△A′BQ′，連接DQ′，則DQ′的最小值為，當tan∠CBQ′＝時，△DBQ′的面積最大值為．11．綜合與實踐——探究特殊三角形中的相關(guān)問題問題情境：某校學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，將兩塊完全相同的且含角的直角三角板和按如圖1所示位置放置，且的較短直角邊為2，現(xiàn)將繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖2，與交于點，與交于點，與交于點．（1）初步探究：勤思小組的同學(xué)提出：當旋轉(zhuǎn)角時，是等腰三角形；（2）深入探究：敏學(xué)小組的同學(xué)提出在旋轉(zhuǎn)過程中，如果連接，，那么所在的直線是線段的垂直平分線．請幫他們證明；（3）再探究：在旋轉(zhuǎn)過程中，當旋轉(zhuǎn)角時，求與重疊的面積；（4）拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過程中，是否能成為直角三角形？若能，直接寫出旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)；若不能，說明理由．12．等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC于F，將腰AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)至AB′，記旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB′，過C作CE垂直于直線BB′，垂足為E，連接CB′．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，當時，的度數(shù)為_______；連接EF，則的值為________．（2）拓展探究：當，且時，①（1）中的兩個結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；②解決問題：當A，E，F(xiàn)三點共線時，請直接寫出的值．13．（1）問題發(fā)現(xiàn)如圖1，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點A，D，E在同一直線上，連接BE．填空：①∠AEB的度數(shù)為；②線段AD，BE之間的數(shù)量關(guān)系為．（2）拓展探究如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點A，D，E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM，AE，BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）解決問題如圖3，在正方形ABCD中，CD＝，若點P滿足PD＝1，且∠BPD＝90°，請直接寫出點A到BP的距離．14．（問題情境）（1）如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG，連接DG、BE，則DG與BE的數(shù)量關(guān)系是；（類比探究）（2）如圖2，四邊形ABCD是矩形，AB=2，BC=4，點E是AD邊上的一個動點，以CE為邊在CE的右側(cè)作矩形CEFG，且CG：CE=1：2，連接DG、BE．判斷線段DG與BE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由；（拓展提升）（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BG，則2BG+BE的最小值為．15．探究：如圖1和圖2，四邊形中，已知，，點、分別在、上，．（1）①如圖1，若、都是直角，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°至，使與重合，直接寫出線段、和之間的數(shù)量關(guān)系____________________；②如圖2，若、都不是直角，但滿足，線段、和之間①中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請寫出證明過程；若不成立，請說明理由．（2）拓展：如圖3，在中，，，點、均在邊上，且，若，求的長．16．（問題情境）在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝α（0°＜α＜180°），點P為直線BC上一動點（不與點B、C重合），連接AP，將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)得到線段PQ旋轉(zhuǎn)角為α，連接CQ．（特例分析）（1）當α＝90°，點P在線段BC上時，過P作PF∥AC交直線AB于點F，如圖①，易得圖中與△APF全等的一個三角形是，∠ACQ＝°．（拓展探究）（2）當點P在BC延長線上，AB：AC＝m：n時，如圖②，試求線段BP與CQ的比值；（問題解決）（3）當點P在直線BC上，α＝60°，∠APB＝30°，CP＝4時，請直接寫出線段CQ的長．17．問題提出（1）如圖（1），在等邊三角形ABC中，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等邊三角形AMN，連接CN，則∠ACN＝°．類比探究（2）如圖（2），在等邊三角形ABC中，點M是BC延長線上的任意一點（不含端點C），其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請說明理由．拓展延伸（3）如圖（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，點M是BC上的任意一點（不含端點B、C），連接AM，以AM為邊作等腰三角形AMN，使AM＝MN，連接CN．添加一個條件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，寫出你所添加的條件，并說明理由．18．如圖（1），已知點在正方形的對角線上，垂足為點，垂足為點．（1）證明與推斷：求證：四邊形是正方形；推斷：的值為__；（2）探究與證明：將正方形繞點順時針方向旋轉(zhuǎn)角，如圖（2）所示，試探究線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）拓展與運用：若，正方形在繞點旋轉(zhuǎn)過程中，當三點在一條直線上時，則．19．問題呈現(xiàn)：已知等邊三角形邊的中點為點，，的兩邊分別交直線，于點，，現(xiàn)要探究線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系．（1）特例研究：如圖1，當點，分別在線段，上，且，時，請直接寫出線段，與的數(shù)量關(guān)系：________；（2）問題解決：如圖2，當點落在射線上，點落在線段上時，（1）中的結(jié)論是否成立？若不成立，請通過證明探究出線段，與等邊三角形的邊長之間的數(shù)量關(guān)系；（3）拓展應(yīng)用：如圖3，當點落在射線上，點落在射線上時，若，，請直接寫出的長和此時的面積．20．在與中，且，點D始終在線段AB上（不與A、B重合）．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若度，的度數(shù)______，______；（2）類比探究：如圖2，若度，試求的度數(shù)和的值；（3）拓展應(yīng)用：在（2）的條件下，M為DE的中點，當時，BM的最小值為多少？直接寫出答案．【參考答案】***試卷處理標記，請不要刪除一、中考幾何壓軸題1．【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點F作FN解析：【問題引入】見解析；【類比探究】（1）見解析；（2）圖見解析，；【知識拓展】，證明見解析【分析】[問題引入]利用AAS證明△POE≌△POD，即可得出結(jié)論；[類比探究]（1）過點F作FN⊥OB，F(xiàn)M⊥OA，垂足分別為N、M，F(xiàn)M與PE交于點Q，先證明△PFQ為等邊三角形，得出FG=PH，再運用矩形性質(zhì)得出OM=OF，ON=OF，即可證得結(jié)論；（2）作FN⊥OB于點N，F(xiàn)M⊥OA于點M，射線FM交PE于點Q，作PH⊥FQ于點H，F(xiàn)G⊥PQ于點G，同（1）可證：NE=FG=PH=MD，ON=OM=OF，即可得出結(jié)論；[知識拓展]過點O作OM⊥AB，ON⊥EF，OQ⊥CD，垂足分別為M、N、Q，利用垂徑定理可得出PB-PA=2PM，PF-PE=2PN，PD-PC=2PQ，再運用[類比探究]得：PM+PN=PQ，從而證得結(jié)論．【詳解】[問題引入]證明：∵，，，∴．∵，∴．∴．[類比探究]（1）過點作，，垂足分別為、，與交于點．∵，，，則為等邊三角形，、邊上的高相等，即．在矩形、矩形中，有，，∴．∴．∵，，∴，同理，，∴，∴．（2）結(jié)論：．作于點，于點，射線與的交點為，作于點，于點，同（1）可證，，∴．[知識拓展]數(shù)量關(guān)系：．理由如下：過點作，，，垂足分別為、、．由垂徑定理可得．∴．同理，，由[類比探究]得，∴，∴．∴．【點睛】本題是圓的綜合題，考查了全等三角形判定和性質(zhì)，等邊三角形判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，矩形性質(zhì)，垂徑定理等，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)及垂徑定理等相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．2．（1）；（2），理由見解析；（3）CE的長為2或4，理由見解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當點E在點D解析：（1）；（2），理由見解析；（3）CE的長為2或4，理由見解析．【分析】（1）證明，得出CE＝BD，，即可得出結(jié)論；（2）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出：①當點E在點D上方時，先判斷出四邊形APDE是矩形，求出AP＝DP＝AE＝2，再根據(jù)勾股定理求出，BP＝6，得出BD＝4；②當點E在點D下方時，同①的方法得，AP＝DP＝AE＝1，BP＝6，進而得出BD＝BP+DP＝8，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）為等腰三角形，，∴是等邊三角形，同理可得是等邊三角形故答案為：．（2），理由如下：在等腰三角形ABC中，AC＝BC，，，同理，，，，，，，，點B、D、E在同一條直線上:；（3）由（2）知，，，在中，，，①當點E在點D上方時，如圖③，過點A作交BD的延長線于P，，，四邊形APDE是矩形，，矩形APDE是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，，；②當點E在點D下方時，如圖④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝6，BD＝BP+DP＝8，，綜上CE的長為2或4．【點睛】本題是幾何變換的綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出三角形ACE和三角形ABD相似是關(guān)鍵．3．（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過點作交延長線解析：（1）①見解析；②；③；（2）①；②；（3）①24；②，【分析】（1）①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，，然后利用AAS，即可得到結(jié)論成立；②求出，即可求出面積；③求出，即可求出答案；（2）①過點作交延長線于點，由（1）可知，求出的長度，即可求出答案；②求出CH的長度，利用勾股定理，即可求出答案；（3）①過點A作AE⊥BC，過點作交延長線于點，然后證明，求出，CH的長度，即可求出面積；②點C是點B關(guān)于AE的對稱點，則BD=CD，設(shè)與AE的交點為點D，使得有最小值為，為線段的長度，然后利用勾股定理求出，再利用平行線分線段成比例求出DE的長度即可．【詳解】解：（1）如圖：①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，則，，∵，∴，∴，∴（AAS）；②∵，∴，∴的面積為；故答案為：．③在直角三角形中，∵，，∴；故答案為：．（2）①過點作交延長線于點，由（1）可知，，∴，，∴的面積為：故答案為：；②∵，由勾股定理，則；故答案為：；（3）①過點A作AE⊥BC，過點作交延長線于點，如圖與（1）同理，可證，∵，∴，∴，∵，，，，∴；∴，∴，∴，，∴，∴的面積為：；故答案為：18．②由題意，點C是點B關(guān)于AE的對稱點，則BD=CD，設(shè)與AE的交點為點D，則此時有最小值，如圖：此時的最小值為線段的長度，∵；∵AE∥，∴，即，∴，∴，∴當時，有最小值．故答案為：；．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問題等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的作出輔助線，從而進行解題．4．（1）①見解析；②1；（2）＝k，理由見解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠解析：（1）①見解析；②1；（2）＝k，理由見解析；（3）【分析】（1）①由正方形的性質(zhì)得AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAH．所以∠HAO+∠OAD＝90°，又知∠ADO+∠OAD＝90°，所以∠HAO＝∠ADO，于是△ABE≌△DAH，可得AE＝DQ．②證明四邊形DQFG是平行四邊形即可解決問題．（2）結(jié)論：＝k．如圖2中，作GM⊥AB于M．證明：△ABE∽△GMF即可解決問題．（3）如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．利用相似三角形的性質(zhì)求出PM，CM即可解決問題．【詳解】解：（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠ABE＝90°＝∠DAQ．∴∠QAO+∠OAD＝90°．∵AE⊥DQ，∴∠ADO+∠OAD＝90°．∴∠QAO＝∠ADO．∴△ABE≌△DAQ（ASA），∴AE＝DQ．②解：結(jié)論：＝1．理由：∵DQ⊥AE，F(xiàn)G⊥AE，∴DQ∥FG，∵FQ∥DG，∴四邊形DQFG是平行四邊形，∴FG＝DQ，∵AE＝DQ，∴FG＝AE，∴＝1．故答案為1．（2）解：結(jié)論：．理由：如圖2中，作GM⊥AB于M．∵AE⊥GF，∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°，∴∠BAE＝∠FGM，∴△ABE∽△GMF，∴＝，∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°，∴四邊形AMGD是矩形，∴GM＝AD，∴．（3）解：如圖2中，作PM⊥BC交BC的延長線于M．∵FB∥GC，F(xiàn)E∥GP，∴∠CGP＝∠BFE，∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝，∴可以假設(shè)BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k，∵＝，F(xiàn)G＝2，∴AE＝3，∴（3k）2+（9k）2＝（3）2，∴k＝1或﹣1（舍棄），∴BE＝3，AB＝9，∵BC：AB＝2：3，∴BC＝6，∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6，∵∠EBF＝∠FEP＝∠PME＝90°，∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°，∴∠FEB＝∠EPM，∴△FBE∽△EMP，∴＝＝，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題屬于相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題．5．（1），60；（2），；（3）或【分析】（1）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當點在點上方時，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，解析：（1），60；（2），；（3）或【分析】（1）證明，得出，，即可得出結(jié)論；（2）證明，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出，再求出，①當點在點上方時，先判斷出四邊形是矩形，求出，再根據(jù)勾股定理求出，，得出；②當點在點下方時，同①的方法得，，，進而得出，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如圖①中，在為等腰三角形，，，是等邊三角形，，，同理：，，，，，，，點、、在同一直線上，，，，故答案為：，60．（2）如圖②中，，、所在直線相交所成的銳角的大小為．理由：延長交的延長線于，設(shè)交于點．在等腰三角形中，，，，同理，，，，，，，，，，．、所在直線相交所成的銳角的大小為．（3）由（2）知，，，在中，，，①當點在點上方時，如圖③，過點作交的延長線于，當時，可證，，，，四邊形是矩形，，矩形是正方形，，在中，根據(jù)勾股定理得，，．②當點在點下方時，如圖④同①的方法得，，，，綜上所述，的長為或．【點睛】此題是幾何變換綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)，判斷出△ACE∽△ABD是解本題的關(guān)鍵．6．（1）6；（2）；（3）四邊形不是平行四邊形，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)已知條件和矩形的性質(zhì)可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10，最后運用勾股定理解解析：（1）6；（2）；（3）四邊形不是平行四邊形，理由見解析．【分析】（1）先根據(jù)已知條件和矩形的性質(zhì)可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10，最后運用勾股定理解答即可；（2）先根據(jù)折疊的性質(zhì)和勾股定理可求得，進而求得BE、EC，然后連接，根據(jù)平移的性質(zhì)可得，進而說明，最后運用相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）先由折疊可得，再根據(jù)平移的性質(zhì)和等腰三角形的判定與性質(zhì)得到，過點作于點H，則且，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得；設(shè)，則，在中，運用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以發(fā)現(xiàn)即，即可發(fā)現(xiàn)四邊形不可能是平行四邊形．【詳解】解：（1）如圖：∵矩形中，∴CD=AB=10，AD=BC=8根據(jù)折疊的性質(zhì)可得DC＇=DC=10在直角三角形ADC＇中，AC＇=．（2）由折疊可知：．在中，根據(jù)勾股定理可求得，∴．在中，設(shè)，根據(jù)勾股定理，得，解得，即．如圖：連接，則由平移可知，，且．于是可得，∴，又∵，∴．（3）四邊形不是平行四邊形，理由如下：由折疊可知；又∵平移可知，且，∴，∴，即是等腰三角形，∴．如圖，過點作于點H，則且，∴．設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理，得，解得，∴，∴．而在中，，根據(jù)勾股定理可求得，∴，即，故四邊形不可能是平行四邊形．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用相似三角形的判定與性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．7．問題呈現(xiàn)：證明見解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】問題呈現(xiàn)：由同角的余角相等可知，，由正方形的性質(zhì)知，，，則利用證可得，可得；拓展探究：（1）根據(jù)，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，解析：問題呈現(xiàn)：證明見解析；拓展探究：（1）3；（2）．【分析】問題呈現(xiàn)：由同角的余角相等可知，，由正方形的性質(zhì)知，，，則利用證可得，可得；拓展探究：（1）根據(jù)，，可得是等腰直角三角形，，并可得，，可求得，根據(jù)證可得，可得四邊形的面積=，據(jù)此求解即可；（2）過點作交于點，根據(jù)是等腰直角三角形，，是斜邊上的中垂線，的角平分線，可得：也是等腰直角三角形，，可得，再根據(jù)，可求出，根據(jù)，則四邊形的周長為：，據(jù)此求解即可．【詳解】證明：，，，，，在與中，，．【拓展探究】（1）在中，，，是等腰直角三角形，∴又，是斜邊上的中垂線，的角平分線，，；又∵∴在和中，，，∴四邊形的面積=（2）如下圖示，過點作交于點∵由（1）可知，是等腰直角三角形，，是斜邊上的中垂線，的角平分線，則可得：也是等腰直角三角形，，∴，若，則∴∵∴，，則四邊形的周長為：．故答案是：．【點睛】本題綜合考查了同角的余角相等、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，已知正弦，正切求邊長，解直角三角形等知識點，熟悉相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點作于點，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似解析：（1）①，證明見解析；②4；（2）畫圖見解析，或【分析】（1）①由“”可證，可得，可得；②過點作于點，由勾股定理可求，，的長，即可求的長；（2）分點在左側(cè)和右側(cè)兩種情況討論，根據(jù)勾股定理和相似三角形的性質(zhì)可求解．【詳解】解：（1）和均為等腰直角三角形，，，，，，且，，，，，，故答案為：；②如圖，過點作于點，，，，，，，故答案為：4；（2）若點在右側(cè)，如圖，過點作于點，，，，，．，，，，，，，，，，，即，，，，，若點在左側(cè)，，，，，．，，，，，，，，，，，，即，，，，．【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是添加恰當輔助線．9．（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．解析：（1）1，1；（2）結(jié)論：，理由見解析；（3），，．【分析】（1）利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．（2）結(jié)論：．如圖3中，連接．利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．（3）分兩種情形：如圖中，當時，滿足條件，如圖中，當點落在上時，四邊形是矩形，四邊形是矩形，分別求解即可．【詳解】解：（1）如圖2中，連接，．，，，，，，，，，，，同法可證，，，．故答案為1，1．（2）結(jié)論：．理由：如圖3中，連接．，，，，，，，，，同法可證，，，，，，，．（3）如圖中，當時，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，同法可證，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，，，由（2）可知，，，．如圖中，當點落在上時，四邊形是矩形，四邊形是矩形，此時，由（2）可知，，，．綜上所述，，，．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問題，屬于中考壓軸題．10．（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點H為AC中點，可得AC=2AH，由折疊，點B與點H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可解析：（1）30°，6，4，7；（2）AG；（3）等邊，；（4）3，，6【分析】（1）由點H為AC中點，可得AC=2AH，由折疊，點B與點H重合，與四邊形ABCD為矩形，可證GH為AC的垂直平分線，可得AG=CG，∠GCH=∠GAH，可求∠ACB=30°，利用三角函數(shù)可求BC=，AG=4，BF=FC=，可求，與△ABG相似的三角形由7個；（2）由EF為折痕，可證△AEH∽△AHG，可得即可；（3）由四邊形ABCD為矩形，點H為對角線AC中點，可證△ABH為等邊三角形，再證△ABM∽△MHN，可得即可；（4）連結(jié)BD，當點Q′在BD上時，Q′D最小，先求BC=，AQ′=，可求Q′D最小=，當BQ′⊥BD時，△BDQ′面積最大∠CBQ′=60°，S△BDQ′最大=．【詳解】解（1）∵點H為AC中點，∴AC=2AH，∵折疊，點B與點H重合，∴AB=AH=2，BG=HG，∠BAG=∠HAG=，∠B=∠AHG，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，∴∠AHG=∠B=90°，∴GH為AC的垂直平分線，∴AG=CG，∠GCH=∠GAH，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH，∵∠BAH+∠BCH=180°-∠B=90°，∴3∠ACB=90°∴∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GCH=30°，∴tan30°=，AB=2，∴BC=，∵tan∠BAG=tan30°=，∴BG=，∴AG=2BG=4，BF=FC=，∴GF=BF-BG=3-2=1，∴，∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=30°，∴∠BAG=∠HAG=∠GHF=∠HCF=∠GCH=∠EAH=∠DAC=∠BCA=30°，∵∠B=∠AHG=∠HFG=∠HFC=∠AEH=∠D=∠GHC=∠CBA=90°，∴△ABG∽△AHG∽△HFG∽△CFH∽△CHG∽△AEH∽△ADC∽△CBA，∴與△ABG相似的三角形由7個，故答案為：30°；6；4；7；（2）∵EF為折痕，∴EH⊥AD，∵∠EAH=∠HAG=30°∠AHG=∠AEH=90°∴△AEH∽△AHG，∴，∴故答案為AG；（3）∵四邊形ABCD為矩形，點H為對角線AC中點，∴AH=CH=BH，由圖2知AB=AH，∴AH=BH=AB，∴△ABH為等邊三角形，∴∠ABH=∠AHB=60°，∵∠AMN＝∠ABH；∴∠AMN＝∠ABH=∠AHB=60°，∴∠BAM+∠AMB=180°-∠ABH=120°，∠AMB+∠NMH=180°-∠AMN=120°，即∠BAM+∠AMB=∠AMB+∠NMH，∴∠BAM=∠NMH，∴△ABM∽△MHN，∴，∵AB=，MH=，∴，∴，故答案為：等邊；，（4）連結(jié)BD，當點Q′在BD上時，Q′D最小∵AB=2，AD=BC=6，∴BC=∵AQ′=Q′H=∴Q′D最小=當BQ′⊥BD時，△BDQ′面積最大∵tan∠DAC=，∴∠DAC=30°，∴∠CBQ′=90°-∠DBC=90°-30°=60°∴tan∠CBQ'=S△BDQ′最大=；故答案為；；6．【點睛】本題考查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積，掌握查折疊性質(zhì)，矩形性質(zhì)，線段垂直平分線，銳角三角函數(shù)，三角形相似判定與性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，兩圖形的最小距離，最大面積求法是解題關(guān)鍵．11．（1）15o或60o；（2）見解析；（3）；（4）能，30o或60o【分析】（1）分三種情況討論：當時，當當利用三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)從而可得答案；（2）先證明，得到證明，再證明，解析：（1）15o或60o；（2）見解析；（3）；（4）能，30o或60o【分析】（1）分三種情況討論：當時，當當利用三角形的內(nèi)角和定理與旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)從而可得答案；（2）先證明，得到證明，再證明，得到結(jié)合從而可得結(jié)論；（3）先求解的面積，再證明，結(jié)合，從而可得重疊部分的面積；（4）當∠CNP=90°時，依據(jù)對頂角相等可求得∠ANF=90°，然后依據(jù)∠F=60°可求得∠FAN的度數(shù)，由旋轉(zhuǎn)的定義可求得∠α的度數(shù)；當∠CPN=90°時．由∠C=30°，∠CPN=90°，可求得∠CNP的度數(shù)，然后依據(jù)對頂角相等可得到∠ANF的度數(shù)，然后由∠F=60°，依據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可求得∠FAN的度數(shù)，于是可得到∠α的度數(shù)．【詳解】解：（1）當時，當＞綜上：當或，是等腰三角形；故答案為：或．（2）由題可知，，，，．由旋轉(zhuǎn)可知，∴，∴．，∴．又∵，，∴．∴，∴點在的垂直平分線上．∵，∴點在的垂直平分線上，∴所在的直線是的垂直平分線．（3）如答圖，∵，，∴，∴是直角三角形，∵，∴，，∴．∵，，∴．∵．∴，∵由（2）可知．∴．∵．∴．（4）如圖所示：當∠CNP=90°時．∵∠CNP=90°，∴∠ANF=90°．又∵∠AFN=60°，∴∠FAN=180°-60°-90°=30°．∴∠α=30°．如圖所示：當∠CPN=90°時．∵∠C=30°，∠CPN=90°，∴∠CNP=60°．∴∠ANF=60°．又∵∠F=60°，∴∠FAN=60°．∴∠α=60°．綜上所述，∠α=30°或60°．【點睛】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的判定，直角三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的全等的判定與性質(zhì)，線段的垂直平分線的判定，解直角三角形，重疊部分的面積的計算，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．12．（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直解析：（1）∠CB′E=60°，；（2）①兩個結(jié)論成立，理由見解析；（3）或．【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)解答即可；（2）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)解答即可；②當A，E，F(xiàn)三點共線時，分兩種情況討論，利用三角函數(shù)解答即可．【詳解】解：（1）∵AB=AC，∠BAC=120°，AF⊥BC，∴∠ABC=∠ACB=30°，BF=FC，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，∴∠ABB′=∠AB′B==70°，∵AC=AB′，∠B′AC=120°-40°=80°，∴∠AB′C==50°，∴∠CB′E=180°-70°-50°=60°，連接EF，∵BF=FC，則EF為直角三角形BEC斜邊上的中線，∴EF=BF=FC，在Rt△ABF中，，∴；（2）①兩個結(jié)論成立，理由如下：連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AB=AC=AB′，等腰△ABB′中，∠BAB′=α，則∠AB′B==90°?α，等腰△AB′C中，∠CAB′=α?120°，則∠AB′C==150°?α，∴；∵AB=AC，AF⊥BC．∴∠FAC=60°，Rt△CEB′中，=sin60°=，Rt△CFA中，=sin60°=，∴，∵∠FCE=∠ACB′=30°+∠ACE，∴△CEF~△CB′A∴；②當A，E，F(xiàn)三點共線時，分以下兩種情況討論，（Ⅰ）當點E在FA的延長線上時，如圖，由①可知，∠B'=60°，∵CE⊥BB'，而BC=2EF=2BF，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB+B'E=，∴；（Ⅱ）當點E在AF的延長線上時，如圖，同理可得，∠CB'E=60°，BC=2EF=2BF，∵CE⊥BB'，∴∠CEB'=∠CEB=90°，EB=CE，設(shè)BF=x，則EF=CF=x，EB=CE=，在Rt△CB'E中，B'E=CE，∴BB'=EB-B'E=，∴；綜上，的值為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．13．（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一解析：（1）①60°；②相等；（2）∠AEB=90°，AE=2CM+BE，證明見解析；（3），【分析】（1）由條件易證△ACD≌△BCE，從而得到：AD=BE，∠ADC=∠BEC．由點A，D，E在同一直線上可求出∠ADC，從而可以求出∠AEB的度數(shù)．（2）仿照（1）中的解法可求出∠AEB的度數(shù)，證出AD=BE；由△DCE為等腰直角三角形及CM為△DCE中DE邊上的高可得CM=DM=ME，從而證到AE=2CH+BE．（3）由PD=1可得：點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上；由∠BPD=90°可得：點P在以BD為直徑的圓上．顯然，點P是這兩個圓的交點，由于兩圓有兩個交點，接下來需對兩個位置分別進行討論．然后，添加適當?shù)妮o助線，借助于（2）中的結(jié)論即可解決問題．【詳解】解：（1）①如圖1．∵△ACB和△DCE均為等邊三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等邊三角形，∴∠CDE=∠CED=60°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=120°，∴∠BEC=120°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=60°．故答案為：60°．②∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE．故答案為：AD=BE．（2）∠AEB=90°，AE=BE+2CM．理由：如圖2．∵△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE．在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE，∠ADC=∠BEC．∵△DCE為等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°．∵點A，D，E在同一直線上，∴∠ADC=135°，∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=90°．∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME．∵∠DCE=90°，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM．（3）點A到BP的距離為或．理由如下：∵PD=1，∴點P在以點D為圓心，1為半徑的圓上．∵∠BPD=90°，∴點P在以BD為直徑的圓上，∴點P是這兩圓的交點．①當點P在如圖3①所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交BP于點E，如圖3①．∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ADB=45°．AB=AD=DC=BC=，∠BAD=90°，∴BD=2．∵DP=1，∴BP=．∵∠BPD=∠BAD=90°，∴A、P、D、B在以BD為直徑的圓上，∴∠APB=∠ADB=45°，∴△PAE是等腰直角三角形．又∵△BAD是等腰直角三角形，點B、E、P共線，AH⊥BP，∴由（2）中的結(jié)論可得：BP=2AH+PD，∴=2AH+1，∴AH=．②當點P在如圖3②所示位置時，連接PD、PB、PA，作AH⊥BP，垂足為H，過點A作AE⊥AP，交PB的延長線于點E，如圖3②．同理可得：BP=2AH﹣PD，∴=2AH﹣1，∴AH=．綜上所述：點A到BP的距離為或．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、圓周角定理、三角形全等的判定與性質(zhì)等知識，考查了運用已有的知識和經(jīng)驗解決問題的能力，是體現(xiàn)新課程理念的一道好題．而通過添加適當?shù)妮o助線從而能用（2）中的結(jié)論解決問題是解決第（3）的關(guān)鍵．14．（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE解析：（1）DG=BE；（2），DG⊥BE；（3）4．【分析】（1）通過證明△DCG和△BCE（SAS）全等，得到DG=BE．（2）通過證明△DCG∽△BCE得到，所以．∠BEC=∠DGC．延長BE、GD相交于點H．因為矩形ECGF，所以∠FEC=∠FGC=90°，所以∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，所以∠H=∠F=90°，所以DG⊥BE．（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．首先證明點G的運動軌跡是線段GM，將2BG+BE的最小值轉(zhuǎn)化為求2（BG+DG）的最小值．【詳解】（1）DG=BE理由：∵正方形ABCD，∴CD=CB，∠BCD=90°∵正方形ECGF，∴CG=CE，∠ECG=90°∴∠ECG=∠BCD=90°∴∠DCG=∠BCE在△DCG和△BCE中∴△DCG≌△BCE（SAS）∴DG=BE（2），DG⊥BE．理由如下：延長BE、GD相交于點H．∵矩形ECGF、矩形ABCD，∴∠ECG=∠BCD=90°，∴∠DCG=∠BCE，∵CD：CB=2：4=1：2，CG：CE=1：2，∴CD：CB=CG：CE，∵∠DCG=∠BCE，∴△DCG∽△BCE，∴，∠BEC=∠DGC，∴∵矩形ECGF∴∠FEC=∠FGC=∠F=90°∴∠HEF+∠BEC=180°-∠FEC=90°，∠FGH+∠DGC=90°，∴∠H=∠F=90°∴DG⊥BE（3）作EN⊥BC于N，GM⊥BC交BC的延長線于M．易證△ECN∽△CGM，∴，∵EN=AB=2，∴CM=1，∴點G的運動軌跡是直線MG，作點D關(guān)于直線GM的對稱點G′，連接BG′交GM于G，此時BG+GD的值最小，最小值=BG′由（2）知，∴BE=2DG∴2BG+BE=2BG+2DG=2（BG+DG）∴2BG+BE的最小值就是2（BG+DG）的最小值．∵BG′=，∴2BG+BE的最小值為4故答案為4．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)．在判斷全等和相似時出現(xiàn)“手拉手”模型證角相等．這里注意利用三邊關(guān)系來轉(zhuǎn)化線段的數(shù)量關(guān)系求出最小值．15．（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GA解析：（1）①EF=BE+DF；②成立，理由見解析；（2）．【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，求出∠EAF=∠GAF=45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，得出AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，推出C、D、G在一條直線上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF=GF，即可得出結(jié)果；

（2）把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和勾股定理求出∠ABC=∠C=45°，BC=4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，求出∠FAD=∠DAE=45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，BF=CE=3-x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．【詳解】解：（1）①如圖1中，∵把△ABE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG，使AB與AD重合，∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，BE=DG，∠B=∠ADG=90°，

∵∠ADC=90°，∴∠ADC+∠ADG=90°∴F、D、G共線．

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠DAG+∠DAF=45°，即∠EAF=∠GAF=45°，

在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，

∵BE=DG，

∴EF=GF=DF+DG=BE+DF，

故答案為：EF=BE+DF；②成立，理由如下：如圖2，把△ABE繞A點旋轉(zhuǎn)到△ADG，使AB和AD重合，則AE=AG，∠B=∠ADG，∠BAE=∠DAG，∵∠B+∠ADC=180°，∴∠ADC+∠ADG=180°，∴C、D、G在一條直線上，與①同理得，∠EAF=∠GAF=45°，在△EAF和△GAF中，，∴△EAF≌△GAF（SAS），∴EF=GF，∵BE=DG，∴EF=GF=BE+DF；（2）∵△ABC中，，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠C=45°，．如圖3，把△AEC繞A點旋轉(zhuǎn)到△AFB，使AB和AC重合，連接DF．則AF=AE，∠FBA=∠C=45°，∠BAF=∠CAE，∵∠DAE=45°，∴∠FAD=∠FAB+∠BAD=∠CAE+∠BAD=∠BAC-∠DAE=90°-45°=45°，∴∠FAD=∠DAE=45°，在△FAD和△EAD中，，∴△FAD≌△EAD（SAS），∴DF=DE，設(shè)DE=x，則DF=x，∵BC=4，∴BF=CE=4-1-x=3-x，∵∠FBA=45°，∠ABC=45°，∴∠FBD=90°，由勾股定理得：DF2=BF2+BD2，x2=（3-x）2+12，解得：，即DE=．【點睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)等知識，此題運用了類比的思想，一般先在特殊圖形中找到規(guī)律，然后再推廣到一般圖形中，對學(xué)生的分析問題，解決問題的能力要求比較高．16．（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF解析：（1）△PQC，90；（2）；（3）線段CQ的長為2或8．【分析】（1）△ABC是等腰直角三角形，PF∥AC，得到△BPF是等腰直角三角形，證明AF＝CP，利用旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)證明AP＝PQ，∠PAF＝∠QPC，從而可得結(jié)論，（2）過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，再證明△AFP≌△PCQ，利用△ABC∽△FBP的性質(zhì)可得答案，（3）分情況討論：當P在CB的延長線上時，證明△APC≌△QPC，利用等邊三角形的性質(zhì)可得答案，當P在BC的延長線上時，連接AQ，利用等邊三角形的性質(zhì)，證明△ACQ≌△PCQ，從而可得答案．【詳解】解：（1）如圖①，∵∠ABC＝90°，AB＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∵PF∥AC，∴∠BPF＝∠BFP＝45°，∴△BPF是等腰直角三角形，∴BF＝BP，∴AF＝CP，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝PQ，∠APQ＝90°，而∠BPF＝45°，∴∠QPC＝45°﹣∠APF，又∵∠PAF＝∠PFB﹣∠APF＝45°﹣∠APF，∴∠PAF＝∠QPC，∴△APF≌△PQC，∴∠PCQ＝∠AFP＝135°，又∵∠ACB＝45°，∴∠ACQ＝90°，故答案為：△PQC，90；（2）如圖②，過P作PF∥AC，交BA的延長線于F，則，又∵AB＝BC，∴AF＝CP，又∵∠FAP＝∠ABC+∠APB＝α+∠APB，∠CPQ＝∠APQ+∠APB＝α+∠APB，∴∠FAP＝∠CPQ，由旋轉(zhuǎn)可得，PA＝PQ，∴△AFP≌△PCQ，∴FP＝CQ，∵PF∥AC，∴△ABC∽△FBP，∴，∴（3）如圖，當P在CB的延長線上時，∠CPQ＝∠APQ﹣∠APB＝60°﹣30°＝30°，∴∠APC＝∠QPC，又∵AP＝QP，PC＝PC，∴△APC≌△QPC，∴CQ＝AC，又∵BA＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∠BAP＝∠ABC﹣∠APB＝30°，∴BP＝AB＝BC＝PC＝2，∴QC＝AC＝BC＝2；如圖，當P在BC的延長線上時，連接AQ，由旋轉(zhuǎn)可得，AP＝QP，∠APQ＝∠ABC＝60°，∴△APQ是等邊三角形，∴AQ＝PQ，∠APQ＝60°＝∠AQP，又∵∠APB＝30°，∠ACB＝60°，∴∠CAP＝30°，∠CPQ＝90°，∴∠CAP＝∠APA，∴AC＝PC，∴△ACQ≌△PCQ，∴∠AQC＝∠PQC＝∠AQP＝30°，∴Rt△PCQ中，CQ＝2CP＝8．綜上所述，線段CQ的長為2或8．【點睛】本題屬于相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)的運用，解決問題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造全等三角形或相似三角形，利用全等三角形的對應(yīng)邊相等，相似三角形的對應(yīng)邊成比例進行推算．17．（1）60；（2）