2024年中考數(shù)學模擬試卷（初三專用）考試時間：120分鐘滿分：120分命題說明：本試卷以《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》為依據(jù)，覆蓋初三核心知識點（二次函數(shù)、圓、相似三角形、三角函數(shù)、統(tǒng)計概率等），注重基礎與能力結(jié)合，難度符合中考命題趨勢，適合初三學生考前模擬訓練。一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列實數(shù)運算正確的是（）A.\(|-2|+\sqrt{4}=0\)B.\((-3)^2=-9\)C.\(\sqrt[3]{-8}=-2\)D.\(\sqrt{9}=±3\)考點：實數(shù)的基本運算（絕對值、平方根、立方根、乘方）解題思路：逐一驗證選項：A：\(|-2|=2\)，\(\sqrt{4}=2\)，和為4，錯誤；B：負數(shù)的平方為正數(shù)，\((-3)^2=9\)，錯誤；C：立方根的符號與被開方數(shù)一致，\(\sqrt[3]{-8}=-2\)，正確；D：算術(shù)平方根為非負數(shù)，\(\sqrt{9}=3\)，錯誤。答案：C易錯點：混淆算術(shù)平方根與平方根（如D選項）、忽視立方根的符號。2.下列整式運算正確的是（）A.\(a^2\cdota^3=a^6\)B.\((a^2)^3=a^5\)C.\(a^6÷a^2=a^3\)D.\((ab)^2=a^2b^2\)考點：整式的冪運算（同底數(shù)冪乘除、冪的乘方、積的乘方）解題思路：根據(jù)冪運算規(guī)則判斷：A：同底數(shù)冪相乘，指數(shù)相加，\(a^2\cdota^3=a^5\)，錯誤；B：冪的乘方，指數(shù)相乘，\((a^2)^3=a^6\)，錯誤；C：同底數(shù)冪相除，指數(shù)相減，\(a^6÷a^2=a^4\)，錯誤；D：積的乘方，等于各因式乘方的積，正確。答案：D易錯點：冪運算的指數(shù)規(guī)則混淆（如乘方vs乘法）。3.分式\(\dfrac{x-1}{x^2-4}\)有意義的條件是（）A.\(x≠1\)B.\(x≠±2\)C.\(x≠2\)D.\(x≠-2\)考點：分式有意義的條件（分母不為零）解題思路：分母\(x^2-4=0\)時，\(x=±2\)，故分式有意義的條件是\(x≠±2\)。答案：B易錯點：遺漏分母因式分解后的根（如只考慮\(x=2\)而忽略\(x=-2\)）。4.二次函數(shù)\(y=2(x-1)^2+3\)的頂點坐標是（）A.\((1,3)\)B.\((-1,3)\)C.\((1,-3)\)D.\((-1,-3)\)考點：二次函數(shù)的頂點式（\(y=a(x-h)^2+k\)）解題思路：頂點式中頂點坐標為\((h,k)\)，故本題頂點為\((1,3)\)。答案：A易錯點：混淆頂點式中\(zhòng)(h\)的符號（如誤將\(x-1\)看作\(x+1\)）。5.如圖，\(AB\)是\(⊙O\)的直徑，弦\(CD⊥AB\)于點\(E\)，若\(CD=8\)，\(AE=2\)，則\(⊙O\)的半徑為（）（圖略：\(AB\)為直徑，\(CD\)垂直\(AB\)于\(E\)，\(E\)在\(OA\)上）A.5B.6C.8D.10考點：垂徑定理（垂直于弦的直徑平分弦）、勾股定理解題思路：設半徑為\(r\)，則\(OE=OA-AE=r-2\)。由垂徑定理得\(CE=CD/2=4\)，在\(Rt△OCE\)中，\(OC^2=OE^2+CE^2\)，即\(r^2=(r-2)^2+4^2\)，解得\(r=5\)。答案：A易錯點：未正確應用垂徑定理（如未將\(CD\)平分）或勾股定理列方程錯誤。6.如圖，在\(△ABC\)中，\(DE∥BC\)，若\(AD=2\)，\(DB=3\)，則\(\dfrac{AE}{EC}\)的值為（）（圖略：\(DE\)平行于\(BC\)，交\(AB\)于\(D\)，\(AC\)于\(E\)）A.\(\dfrac{2}{5}\)B.\(\dfrac{2}{3}\)C.\(\dfrac{3}{2}\)D.\(\dfrac{3}{5}\)考點：相似三角形的判定與性質(zhì)（平行線分線段成比例）解題思路：\(DE∥BC\)，故\(△ADE∽△ABC\)，相似比為\(AD/AB=2/(2+3)=2/5\)，因此\(AE/AC=2/5\)，故\(AE/EC=2/3\)。答案：B易錯點：混淆相似比與線段比（如誤將\(AE/EC\)算作\(2/5\)）。7.如圖，某同學站在教學樓前，測得旗桿頂端的仰角為\(30°\)，已知教學樓高\(10m\)，同學與旗桿的水平距離為\(15m\)，則旗桿的高度為（）（圖略：同學在教學樓頂，水平距離旗桿底部15m，仰角30°）A.\(10+5\sqrt{3}\)B.\(10+15\sqrt{3}\)C.\(15\sqrt{3}\)D.\(5\sqrt{3}\)考點：三角函數(shù)的應用（仰角、正切函數(shù)）解題思路：設旗桿比教學樓高\(h\)，則\(\tan30°=h/15\)，\(h=15×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=5\sqrt{3}\)，故旗桿高度為\(10+5\sqrt{3}\)。答案：A易錯點：忘記加上教學樓的高度（如直接選\(5\sqrt{3}\)）。8.從\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)這五個數(shù)中任取一個數(shù)，作為二次函數(shù)\(y=x^2+bx+1\)中\(zhòng)(b\)的值，則該二次函數(shù)圖像與\(x\)軸有兩個不同交點的概率是（）A.\(\dfrac{1}{5}\)B.\(\dfrac{2}{5}\)C.\(\dfrac{3}{5}\)D.\(\dfrac{4}{5}\)考點：概率（古典概型）、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（判別式）解題思路：二次函數(shù)與\(x\)軸有兩個不同交點的條件是\(\Delta=b^2-4×1×1>0\)，即\(b^2>4\)，解得\(b<-2\)或\(b>2\)。在給定的數(shù)中，沒有符合條件的\(b\)值？等一下，題目中的數(shù)是\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(b^2>4\)的話，\(b=-2\)時\(b^2=4\)，等于4，不滿足；\(b=2\)時也是4，不滿足；其他數(shù)的平方都小于4，所以沒有符合條件的？不對，可能我算錯了，判別式是\(\Delta=b^2-4ac\)，這里\(a=1\)，\(c=1\)，所以\(\Delta=b^2-4\)，要\(\Delta>0\)，即\(b^2>4\)，所以\(b<-2\)或\(b>2\)，給定的數(shù)中沒有，那概率是0？但選項中沒有0，可能題目中的二次函數(shù)是\(y=x^2+bx-1\)？或者我哪里錯了？等一下，題目中的二次函數(shù)是\(y=x^2+bx+1\)，那\(\Delta=b^2-4\)，當\(b=-3\)時\(\Delta=5>0\)，但題目中的數(shù)沒有-3，可能題目有誤，或者我應該換一個題目。比如把二次函數(shù)改成\(y=x^2+bx-1\)，則\(\Delta=b^2+4>0\)，無論\(b\)取何值，都有兩個不同交點，概率是1，但選項中也沒有。或者題目中的數(shù)是\(-3\)，\(-2\)，\(-1\)，\(0\)，\(1\)，\(2\)，\(3\)，這樣\(b=-3\)或3時滿足，概率是2/7，但選項中也沒有。可能我剛才的題目選得不好，換一個概率題：比如從1，2，3，4，5中任取一個數(shù)，作為\(k\)的值，使得一次函數(shù)\(y=kx+1\)的圖像經(jīng)過第一、二、三象限的概率是多少。解：一次函數(shù)經(jīng)過第一、二、三象限的條件是\(k>0\)，所以\(k=1,2,3,4,5\)都滿足，概率是5/5=1，但選項中沒有?；蛘邠Q一個：從-1，0，1，2中任取一個數(shù)，作為\(a\)的值，使得二次函數(shù)\(y=ax^2+1\)的圖像開口向上的概率是多少。解：開口向上的條件是\(a>0\)，所以\(a=1,2\)，概率是2/4=1/2，選項中有嗎？比如選項B是1/2，但之前的選項是A到D。可能我應該回到原題，可能題目中的二次函數(shù)是\(y=x^2+bx-2\)，則\(\Delta=b^2+8>0\)，無論\(b\)取何值都滿足，概率是1，但選項中沒有。或者題目中的“兩個不同交點”是“兩個交點”（包括重根），但題目說“不同”，所以必須\(\Delta>0\)?？赡芪覄偛诺念}目有誤，換一個正確的概率題：8.一個不透明的袋子中裝有3個紅球和2個白球，這些球除顏色外無其他差別，從中隨機摸出一個球，記下顏色后放回，再隨機摸出一個球，則兩次都摸到紅球的概率是（）A.\(\dfrac{9}{25}\)B.\(\dfrac{6}{25}\)C.\(\dfrac{3}{5}\)D.\(\dfrac{4}{25}\)考點：概率（古典概型、放回抽樣）解題思路：第一次摸紅球的概率是3/5，第二次摸紅球的概率也是3/5，兩次獨立，故概率為3/5×3/5=9/25。答案：A易錯點：混淆放回與不放回（如不放回的話概率是3/5×2/4=3/10）。9.如圖，將\(△ABC\)繞點\(A\)順時針旋轉(zhuǎn)\(90°\)得到\(△AB'C'\)，若點\(B\)的坐標為\((2,1)\)，則點\(B'\)的坐標為（）（圖略：\(△ABC\)在平面直角坐標系中，\(A\)為原點）A.\((1,-2)\)B.\((-1,2)\)C.\((-2,1)\)D.\((1,2)\)考點：圖形的旋轉(zhuǎn)（坐標變換）解題思路：繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°的坐標變換公式為\((x,y)→(y,-x)\)，故\(B(2,1)\)旋轉(zhuǎn)后為\((1,-2)\)？不對，等一下，繞點\(A\)旋轉(zhuǎn)，如果\(A\)是原點，順時針旋轉(zhuǎn)90°的公式是\((x,y)→(y,-x)\)嗎？比如點\((1,0)\)順時針旋轉(zhuǎn)90°到\((0,-1)\)，符合；點\((0,1)\)順時針旋轉(zhuǎn)90°到\((1,0)\)，符合；點\((2,1)\)順時針旋轉(zhuǎn)90°到\((1,-2)\)，但選項A是(1,-2)，但可能我記錯了，繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°的公式是\((x,y)→(-y,x)\)，順時針是\((x,y)→(y,-x)\)，對的。比如點\(B(2,1)\)順時針旋轉(zhuǎn)90°到\((1,-2)\)，選項A是(1,-2)，但可能題目中的\(A\)不是原點？題目中說“將\(△ABC\)繞點\(A\)順時針旋轉(zhuǎn)90°”，但圖中\(zhòng)(A\)為原點，所以正確。答案：A易錯點：混淆旋轉(zhuǎn)方向（順時針vs逆時針）或坐標變換公式。10.已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c(a≠0)\)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）（圖略：拋物線開口向上，與\(x\)軸交于\((-1,0)\)和\((3,0)\)，頂點在第四象限）A.\(a<0\)B.\(b^2-4ac<0\)C.\(2a+b=0\)D.\(a+b+c=0\)考點：二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)（開口方向、判別式、對稱軸、特殊點坐標）解題思路：逐一分析選項：A：拋物線開口向上，故\(a>0\)，錯誤；B：拋物線與\(x\)軸有兩個交點，故\(\Delta=b^2-4ac>0\)，錯誤；C：對稱軸為\(x=(-1+3)/2=1\)，對稱軸公式為\(x=-b/(2a)\)，故\(-b/(2a)=1\)，即\(2a+b=0\)，正確；D：當\(x=1\)時，\(y=a+b+c\)，頂點在第四象限，故\(a+b+c<0\)，錯誤。答案：C易錯點：對稱軸公式記錯（如誤記為\(x=b/(2a)\)）或特殊點坐標代入錯誤。二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）11.因式分解：\(3x^2-12=\_\_\_\_\_\)考點：因式分解（提公因式法+平方差公式）解題思路：先提公因式3，得\(3(x^2-4)\)，再用平方差公式分解為\(3(x+2)(x-2)\)。答案：\(3(x+2)(x-2)\)易錯點：提公因式不徹底（如只提3得\(3(x^2-4)\)而未繼續(xù)分解）。12.若反比例函數(shù)\(y=\dfrac{k}{x}\)的圖像經(jīng)過點\((2,-3)\)，則\(k\)的值為\_\_\_\_\_?？键c：反比例函數(shù)的比例系數(shù)（代入點坐標求\(k\)）解題思路：將點\((2,-3)\)代入\(y=\dfrac{k}{x}\)，得\(-3=\dfrac{k}{2}\)，解得\(k=-6\)。答案：\(-6\)易錯點：符號錯誤（如誤算為\(k=6\)）。13.如圖，\(PA\)是\(⊙O\)的切線，切點為\(A\)，\(OP\)交\(⊙O\)于點\(B\)，若\(∠P=30°\)，\(OA=2\)，則\(PB\)的長為\_\_\_\_\_。（圖略：\(PA\)切\(zhòng)(⊙O\)于\(A\)，\(OP\)過圓心\(O\)，交\(⊙O\)于\(B\)）考點：切線的性質(zhì)（切線垂直于半徑）、三角函數(shù)解題思路：\(PA\)是切線，故\(OA⊥PA\)，在\(Rt△OPA\)中，\(∠P=30°\)，\(OA=2\)，則\(OP=2OA=4\)（30°角所對直角邊是斜邊的一半），故\(PB=OP-OB=4-2=2\)。答案：2易錯點：未應用切線性質(zhì)（如未意識到\(OA⊥PA\)）或三角函數(shù)值記錯。14.一組數(shù)據(jù)：\(3\)，\(5\)，\(7\)，\(x\)，\(9\)的中位數(shù)是\(6\)，則\(x\)的值為\_\_\_\_\_?？键c：中位數(shù)（將數(shù)據(jù)排序后中間的數(shù)）解題思路：數(shù)據(jù)共有5個，中位數(shù)是第3個數(shù)。排序后為\(3\)，\(5\)，\(x\)，\(7\)，\(9\)（假設\(x\)在5和7之間），則第3個數(shù)是\(x\)，故\(x=6\)。答案：6易錯點：未正確排序（如將\(x\)放在最后，導致中位數(shù)為7）。15.如圖，在\(Rt△ABC\)中，\(∠C=90°\)，\(AC=6\)，\(BC=8\)，點\(P\)是\(AB\)上的動點，過點\(P\)作\(PD⊥AC\)于\(D\)，\(PE⊥BC\)于\(E\)，則四邊形\(PDCE\)的面積的最大值為\_\_\_\_\_。（圖略：\(PD⊥AC\)，\(PE⊥BC\)，\(PDCE\)為矩形）考點：動點問題（二次函數(shù)最值）、相似三角形解題思路：設\(AD=x\)，則\(PD∥BC\)，\(△ADP∽△ACB\)，故\(PD/BC=AD/AC\)，即\(PD=8x/6=4x/3\)，\(DC=AC-AD=6-x\)，四邊形\(PDCE\)為矩形，面積\(S=DC×PD=(6-x)×(4x/3)=-(4/3)x^2+8x\)，配方得\(S=-(4/3)(x-3)^2+12\)，故最大值為12。答案：12易錯點：未建立正確的函數(shù)關(guān)系式（如用\(BP\)表示變量時出錯）。三、解答題（本大題共8小題，共75分）解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。16.（本題滿分6分）計算：\((π-3.14)^0+(-1/2)^{-2}-2\sin60°+|\sqrt{3}-2|\)考點：實數(shù)的混合運算（零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角三角函數(shù)值、絕對值）解題思路：分別計算每一項，再合并：零指數(shù)冪：\((π-3.14)^0=1\)（任何非零數(shù)的零次冪為1）；負整數(shù)指數(shù)冪：\((-1/2)^{-2}=(-2)^2=4\)（\(a^{-n}=1/a^n\)）；特殊角三角函數(shù)值：\(\sin60°=\sqrt{3}/2\)，故\(2\sin60°=\sqrt{3}\)；絕對值：\(\sqrt{3}<2\)，故\(|\sqrt{3}-2|=2-\sqrt{3}\)。解答過程：原式\(=1+4-\sqrt{3}+2-\sqrt{3}\)\(=(1+4+2)+(-\sqrt{3}-\sqrt{3})\)\(=7-2\sqrt{3}\)答案：\(7-2\sqrt{3}\)易錯點：特殊角三角函數(shù)值記錯（如\(\sin60°\)記為\(1/2\)）、負整數(shù)指數(shù)冪符號錯誤（如\((-1/2)^{-2}\)記為\(-4\)）。17.（本題滿分6分）解不等式組：\(\begin{cases}2x-1<5\\x+2≥1\end{cases}\)，并求其整數(shù)解。考點：解一元一次不等式組（求交集）解題思路：分別解兩個不等式，再取解集的交集。解答過程：解第一個不等式：\(2x-1<5\)，移項得\(2x<6\)，解得\(x<3\)；解第二個不等式：\(x+2≥1\)，移項得\(x≥-1\)；故不等式組的解集為\(-1≤x<3\)，整數(shù)解為\(-1,0,1,2\)。答案：整數(shù)解為\(-1,0,1,2\)易錯點：不等式方向錯誤（如解\(2x<6\)時誤得\(x>3\)）、遺漏整數(shù)解（如忘記\(-1\)）。18.（本題滿分8分）解分式方程：\(\dfrac{x}{x-2}+\dfrac{3}{2-x}=2\)考點：解分式方程（去分母、驗根）解題思路：先將分母化為相同（\(2-x=-(x-2)\)），再去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求解后驗根。解答過程：原方程可化為：\(\dfrac{x}{x-2}-\dfrac{3}{x-2}=2\)；合并左邊：\(\dfrac{x-3}{x-2}=2\)；去分母（兩邊乘\(x-2\)）：\(x-3=2(x-2)\)；展開右邊：\(x-3=2x-4\)；移項得：\(-x=-1\)，解得\(x=1\)；驗根：將\(x=1\)代入\(x-2=1-2=-1≠0\)，故\(x=1\)是原方程的解。答案：\(x=1\)易錯點：去分母時漏乘常數(shù)項（如右邊2未乘\(x-2\)）、未驗根（如\(x=2\)是增根）。19.（本題滿分8分）如圖，在平行四邊形\(ABCD\)中，\(E\)、\(F\)分別是\(AB\)、\(CD\)的中點，連接\(DE\)、\(BF\)。求證：\(DE=BF\)。（圖略：平行四邊形\(ABCD\)，\(E\)為\(AB\)中點，\(F\)為\(CD\)中點）考點：平行四邊形的性質(zhì)（對邊平行且相等）、全等三角形的判定（SAS）解題思路：利用平行四邊形的性質(zhì)得到\(AB=CD\)、\(AB∥CD\)，再證\(△ADE≌△CBF\)或四邊形\(DEBF\)為平行四邊形。解答過程：證法一：∵四邊形\(ABCD\)是平行四邊形，∴\(AD=BC\)，\(∠A=∠C\)，\(AB=CD\)；∵\(E\)、\(F\)分別是\(AB\)、\(CD\)的中點，∴\(AE=AB/2\)，\(CF=CD/2\)，故\(AE=CF\)；在\(△ADE\)和\(△CBF\)中，\(\begin{cases}AD=BC\\∠A=∠C\\AE=CF\end{cases}\)，∴\(△ADE≌△CBF\)（SAS），故\(DE=BF\)。證法二：∵四邊形\(ABCD\)是平行四邊形，∴\(AB∥CD\)，\(AB=CD\)；∵\(E\)、\(F\)分別是\(AB\)、\(CD\)的中點，∴\(BE=AB/2\)，\(DF=CD/2\)，故\(BE=DF\)；又\(BE∥DF\)，故四邊形\(DEBF\)是平行四邊形，∴\(DE=BF\)（平行四邊形對邊相等）。答案：見解答過程易錯點：未正確應用平行四邊形的性質(zhì)（如誤將\(AD=AB\)）或全等三角形的判定條件（如用SSA）。20.（本題滿分10分）為了解學生的課外閱讀情況，某校隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，統(tǒng)計了他們每周的課外閱讀時間（單位：小時），并繪制了如下的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖（部分信息未給出）。請根據(jù)圖表信息回答下列問題：（圖略：條形統(tǒng)計圖顯示：0-2小時10人，2-4小時15人，4-6小時\(a\)人，6-8小時\(b\)人；扇形統(tǒng)計圖顯示：0-2小時占20%，2-4小時占30%，4-6小時占\(c\)，6-8小時占\(d\)）（1）本次調(diào)查的樣本容量是\_\_\_\_\_；（2）補全條形統(tǒng)計圖（求\(a\)、\(b\)的值）；（3）若該校有1200名學生，估計每周課外閱讀時間在4小時以上（含4小時）的學生人數(shù)。考點：統(tǒng)計（條形統(tǒng)計圖與扇形統(tǒng)計圖的結(jié)合、樣本容量、用樣本估計總體）解題思路：（1）樣本容量=0-2小時的人數(shù)÷對應百分比；（2）用樣本容量乘各區(qū)間的百分比求\(a\)、\(b\)；（3）計算4小時以上的百分比，再乘總?cè)藬?shù)。解答過程：（1）0-2小時有10人，占20%，故樣本容量=10÷20%=50；（2）2-4小時占30%，人數(shù)=50×30%=15（與條形圖一致）；4-6小時占\(c\)，人數(shù)\(a=50-10-15-b\)，需先求\(d\)？等一下，扇形統(tǒng)計圖中各部分百分比之和為100%，故\(c+d=100%-20%-30%=50%\)；但條形圖中0-2小時10人，2-4小時15人，所以4-6小時和6-8小時的人數(shù)之和=____=25人；假設扇形統(tǒng)計圖中4-6小時占40%，則\(a=50×40%=20\)，\(b=25-20=5\)，\(d=5÷50=10%\)，這樣百分比之和為20%+30%+40%+10%=100%，符合要求（可能圖中\(zhòng)(c=40%\)，\(d=10%\)）；（3）4小時以上（含4小時）的百分比=40%+10%=50%，故估計人數(shù)=1200×50%=600人。答案：（1）50；（2）\(a=20\)，\(b=5\)（補全條形圖略）；（3）600人。易錯點：樣本容量計算錯誤（如用2-4小時的人數(shù)除以20%）、百分比計算錯誤（如將4小時以上的百分比算成40%）。21.（本題滿分12分）某商店銷售一種進價為每件40元的商品，若每件售價為50元，每月可賣出210件；若每件售價每上漲1元，每月少賣出10件（每件售價不超過65元）。設每件商品的售價上漲\(x\)元（\(x\)為整數(shù)），每月的銷售利潤為\(y\)元。（1）求\(y\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量\(x\)的取值范圍；（2）當\(x\)取何值時，每月的銷售利潤最大？最大利潤是多少？考點：二次函數(shù)的應用（利潤問題）解題思路：（1）利潤=（售價-進價）×銷售量，售價=50+x，進價=40，銷售量=____x；（2）將函數(shù)關(guān)系式配方成頂點式，結(jié)合\(x\)的取值范圍求最大值。解答過程：（1）售價為\(50+x\)元，進價40元，故每件利潤為\((50+x-40)\)元=（10+x）元；銷售量為\(____x\)件（\(x≥0\)，且\(50+x≤65\)，故\(x≤15\)）；因此，\(y=(10+x)(____x)=-10x^2+110x+2100\)；自變量\(x\)的取值范圍是\(0≤x≤15\)（\(x\)為整數(shù)）。（2）將\(y=-10x^2+110x+2100\)配方：\(y=-10(x^2-11x)+2100\)\(=-10[(x-5.5)^2-5.5^2]+2100\)\(=-10(x-5.5)^2+302.5+2100\)\(=-10(x-5.5)^2+2402.5\)；∵\(x\)為整數(shù)，且\(-10<0\)，拋物線開口向下，∴當\(x=5\)或\(x=6\)時，\(y\)取得最大值；計算\(x=5\)時，\(y=(10+5)(____)=15×160=2400\)；\(x=6\)時，\(y=(10+6)(____)=16×150=2400\)；故最大利潤為2400元。答案：（1）\(y=-10x^2+110x+2100\)（\(0≤x≤15\)，\(x\)為整數(shù)）；（2）當\(x=5\)或6時，最大利潤為2400元。易錯點：銷售量表達式錯誤（如寫成\(210+10x\)）、配方錯誤（如符號錯誤）、未考慮\(x\)為整數(shù)（如直接取\(x=5.5\)）。22.（本題滿分12分）如圖，\(AB\)是\(⊙O\)的直徑，\(C\)是\(⊙O\)上一點，過點\(C\)作\(⊙O\)的切線，交\(AB\)的延長線于點\(D\)，連接\(AC\)、\(BC\)，若\(∠D=30°\)，\(CD=2\sqrt{3}\)。（1）求\(⊙O\)的半徑；（2）求證：\(AC=BC\)。（圖略：\(AB\)為直徑，\(CD\)切\(zhòng)(⊙O\)于\(C\)，\(D\)在\(AB\)延長線上，\(∠D=30°\)）考點：圓的切線性質(zhì)（切線垂直于半徑）、圓周角定理（直徑所對圓周角為直角）、三角函數(shù)解題思路：（1）利用切線性質(zhì)得\(OC⊥CD\)，在\(Rt△OCD\)中用三角函數(shù)求半徑；（2）證明\(∠A=∠B=45°\)，故\(AC=BC\)。解答過程：（1）求半徑：∵\(CD\)是\(⊙O\)的切線，\(C\)為切點，∴\(OC⊥CD\)（切線垂直于半徑），故\(∠OCD=90°\)；在\(Rt△OCD\)中，\(∠D=30°\)，\(CD=2\sqrt{3}\)，\(\tan∠D=OC/CD\)，即\(\tan30°=OC/(2\sqrt{3})\)，\(OC=2\sqrt{3}×\tan30°=2\sqrt{3}×\dfrac{\sqrt{3}}{3}=2\)；故\(⊙O\)的半徑為2。（2）證明\(AC=BC\)：∵\(AB\)是\(⊙O\)的直徑，∴\(∠ACB=90°\)（直徑所對圓周角為直角）；由（1）得\(OC=2\)，\(OD=2OC=4\)（30°角所對直角邊是斜邊的一半），故\(AB=2OC=4\)，\(BD=OD-OB=4-2=2\)，\(AD=AB+BD=4+2=6\)；在\(Rt△ACD\)中，\(∠D=30°\)，\(AD=6\)，\(AC=AD×\sin∠D=6×\dfrac{1}{2}=3\)；在\(Rt△BCD\)中，\(∠D=30°\)，\(BD=2\)，\(BC=BD×\sin∠D=2×\dfrac{1}{2}=1\)？不對，等一下，我