初中數(shù)學(xué)幾何題型分類練習(xí)幾何是初中數(shù)學(xué)的核心板塊之一，不僅占中考總分的30%~40%，更能培養(yǎng)邏輯推理、空間想象與數(shù)形結(jié)合能力。然而，幾何題靈活多變，很多學(xué)生因“題型不熟悉、方法沒掌握”導(dǎo)致失分。本文將初中幾何分為線段與角、三角形、四邊形、圓、圖形變換五大板塊，逐一梳理核心考點(diǎn)、典型題型及解法，并配套針對性練習(xí)，幫你精準(zhǔn)突破幾何難點(diǎn)。一、線段與角：基礎(chǔ)計算與分類討論核心考點(diǎn)：線段的和差、中點(diǎn)；角的余補(bǔ)角、角平分線；直線上點(diǎn)的位置不確定性（多解問題）。1.典型題型及解法（1）線段中點(diǎn)與多解問題例：已知線段\(AB=10\)，點(diǎn)\(C\)在直線\(AB\)上，且\(AC=2BC\)，求\(AC\)的長度。解法思路：直線上的點(diǎn)\(C\)可能在線段\(AB\)上，也可能在\(AB\)的延長線上（分類討論的關(guān)鍵）。①當(dāng)\(C\)在線段\(AB\)上時，\(AC+BC=AB=10\)，設(shè)\(BC=x\)，則\(AC=2x\)，得\(2x+x=10\)，\(x=\frac{10}{3}\)，\(AC=\frac{20}{3}\)；②當(dāng)\(C\)在\(AB\)延長線上時，\(AC-BC=AB=10\)，設(shè)\(BC=x\)，則\(AC=2x\)，得\(2x-x=10\)，\(x=10\)，\(AC=20\)。結(jié)論：\(AC=\frac{20}{3}\)或\(20\)。（2）角平分線與余補(bǔ)角綜合例：已知\(\angle\alpha=30^\circ\)，\(\angle\beta\)的余角比\(\angle\alpha\)的補(bǔ)角小\(10^\circ\)，求\(\angle\beta\)。解法思路：用代數(shù)方法表示余角、補(bǔ)角（將幾何問題轉(zhuǎn)化為方程）：\(\angle\beta\)的余角為\(90^\circ-\angle\beta\)；\(\angle\alpha\)的補(bǔ)角為\(180^\circ-30^\circ=150^\circ\)；根據(jù)題意列方程：\((90^\circ-\angle\beta)+10^\circ=150^\circ\)，解得\(\angle\beta=-50^\circ\)？不對，檢查邏輯：題目說“\(\angle\beta\)的余角比\(\angle\alpha\)的補(bǔ)角小10°”，即\(\angle\beta\)的余角\(=\angle\alpha\)的補(bǔ)角\(-10^\circ\)，正確方程應(yīng)為\(90^\circ-\angle\beta=150^\circ-10^\circ\)，解得\(\angle\beta=-50^\circ\)？不，等一下，余角必須是正數(shù)，所以\(\angle\beta\)必須小于\(90^\circ\)，這里可能題目表述問題，應(yīng)該是“\(\angle\alpha\)的補(bǔ)角比\(\angle\beta\)的余角大10°”，即\(150^\circ=(90^\circ-\angle\beta)+10^\circ\)，解得\(\angle\beta=-50^\circ\)？不對，可能我算錯了，等一下，\(\angle\alpha=30^\circ\)，補(bǔ)角是150°，\(\angle\beta\)的余角是90°-∠β，題目說“\(\angle\beta\)的余角比\(\angle\alpha\)的補(bǔ)角小10°”，即（∠β的余角）=（∠α的補(bǔ)角）-10°，也就是90°-∠β=150°-10°=140°，解得∠β=90°-140°=-50°，這顯然不可能，說明題目可能有錯，或者我理解錯了，應(yīng)該是“\(\angle\alpha\)的余角比\(\angle\beta\)的補(bǔ)角小10°”，這樣的話，∠α的余角是60°，∠β的補(bǔ)角是180°-∠β，方程是60°=（180°-∠β）-10°，解得∠β=110°，這樣才合理?？赡軇偛诺睦优e錯了，換一個：已知∠α=40°，∠β的補(bǔ)角比∠α的余角大20°，求∠β。解法：∠α的余角是50°，∠β的補(bǔ)角是180°-∠β，根據(jù)題意，180°-∠β=50°+20°=70°，解得∠β=110°，這樣就對了?？偨Y(jié)：遇到余補(bǔ)角問題，一定要明確“誰比誰大/小”，用方程表示關(guān)系，同時注意角的范圍（余角0°~90°，補(bǔ)角0°~180°）。2.針對性練習(xí)（1）線段\(AB=8\)，點(diǎn)\(M\)是\(AB\)中點(diǎn)，點(diǎn)\(N\)是\(AM\)中點(diǎn)，求\(BN\)的長度。（答案：6）（2）點(diǎn)\(C\)在直線\(AB\)上，\(AC=3\)，\(BC=5\)，求\(AB\)的長度。（答案：2或8）（3）已知\(\angle\alpha=50^\circ\)，\(\angle\beta\)的補(bǔ)角是\(\angle\alpha\)余角的3倍，求\(\angle\beta\)。（答案：20°）二、三角形：全等與特殊三角形的分類討論核心考點(diǎn)：三角形三邊關(guān)系；內(nèi)角和與外角；全等三角形（判定與性質(zhì)）；等腰三角形（分類討論）；直角三角形（勾股定理）。1.典型題型及解法（1）三角形三邊關(guān)系的取值范圍例：三角形兩邊長為2和5，第三邊長為整數(shù)，求第三邊的可能值。解法思路：根據(jù)三邊關(guān)系：\(5-2<第三邊<5+2\)，即\(3<第三邊<7\)；第三邊為整數(shù)，故可能值為4、5、6。（2）等腰三角形的分類討論（邊不確定）例：等腰三角形的兩邊長為3和5，求周長。解法思路：等腰三角形的腰可能是3或5（分類討論的關(guān)鍵），需檢查是否滿足三邊關(guān)系：①腰為3時，三邊為3、3、5，滿足\(3+3>5\)，周長為11；②腰為5時，三邊為5、5、3，滿足\(5+5>3\)，周長為13。結(jié)論：周長為11或13。（3）全等三角形的判定與性質(zhì)綜合例：如圖，\(AB=CD\)，\(AD=BC\)，求證：\(\angleA=\angleC\)。解法思路：連接\(BD\)（構(gòu)造公共邊），證明\(\triangleABD\cong\triangleCDB\)；判定依據(jù)：\(SSS\)（\(AB=CD\)，\(AD=BC\)，\(BD=DB\)）；由全等三角形對應(yīng)角相等，得\(\angleA=\angleC\)。（4）勾股定理的多解問題例：直角三角形的兩邊長為3和4，求第三邊的長度。解法思路：直角三角形的斜邊可能是4或第三邊（分類討論的關(guān)鍵）：①若4為斜邊，則第三邊為\(\sqrt{4^2-3^2}=\sqrt{7}\)；②若第三邊為斜邊，則第三邊為\(\sqrt{3^2+4^2}=5\)。結(jié)論：第三邊為\(\sqrt{7}\)或5。2.針對性練習(xí)（1）三角形的兩邊長為3和7，第三邊長為偶數(shù)，求第三邊。（答案：6或8）（2）等腰三角形的頂角為100°，求底角。（答案：40°）（3）如圖，\(AC=BD\)，\(\angleA=\angleB\)，求證：\(\triangleAOC\cong\triangleBOD\)。（提示：用\(SAS\)，\(AC=BD\)，\(\angleA=\angleB\)，\(AO=BO\)？不，等一下，圖中應(yīng)該有\(zhòng)(O\)是\(AB\)與\(CD\)的交點(diǎn)，所以\(\angleAOC=\angleBOD\)（對頂角相等），所以用\(AAS\)：\(\angleA=\angleB\)，\(\angleAOC=\angleBOD\)，\(AC=BD\)，所以\(\triangleAOC\cong\triangleBOD\)）（4）直角三角形的斜邊長為5，一條直角邊長為3，求另一條直角邊。（答案：4）三、四邊形：特殊四邊形的性質(zhì)與判定核心考點(diǎn)：平行四邊形（性質(zhì)：對邊相等、對角相等、對角線互相平分；判定：兩組對邊分別相等、一組對邊平行且相等）；矩形（性質(zhì)：四個角都是直角、對角線相等；判定：有一個角是直角的平行四邊形、對角線相等的平行四邊形）；菱形（性質(zhì)：四邊相等、對角線互相垂直平分；判定：四邊相等的四邊形、對角線互相垂直的平行四邊形）；正方形（性質(zhì)：兼具矩形與菱形的性質(zhì)；判定：有一個角是直角的菱形、對角線相等的菱形）。1.典型題型及解法（1）平行四邊形的性質(zhì)應(yīng)用例：平行四邊形\(ABCD\)中，\(\angleA=60^\circ\)，\(AB=2\)，\(AD=3\)，求\(BC\)和\(CD\)的長度。解法思路：平行四邊形對邊相等，故\(BC=AD=3\)，\(CD=AB=2\)。（2）矩形的折疊問題例：矩形\(ABCD\)中，\(AB=6\)，\(BC=8\)，將矩形沿對角線\(AC\)折疊，點(diǎn)\(B\)落在點(diǎn)\(B'\)處，求\(B'D\)的長度。解法思路：折疊的性質(zhì)：\(AB'=AB=6\)，\(\angleAB'C=\angleB=90^\circ\)；設(shè)\(B'D=x\)，則\(AD=8\)，\(CD=6\)，\(B'C=BC=8\)；在\(Rt\triangleAB'D\)和\(Rt\triangleCB'D\)中，用勾股定理：\(AB'^2+B'D^2=AD^2-(B'C-B'D)^2\)？不，更簡單的方法是建立坐標(biāo)系：設(shè)\(A(0,0)\)，\(B(6,0)\)，\(C(6,8)\)，\(D(0,8)\)，對角線\(AC\)的方程為\(y=\frac{4}{3}x\)；點(diǎn)\(B(6,0)\)關(guān)于\(AC\)的對稱點(diǎn)\(B'(a,b)\)，則\(BB'\)的中點(diǎn)\((\frac{a+6}{2},\frac{b+0}{2})\)在\(AC\)上，且\(BB'\perpAC\)（斜率乘積為-1），即\(\frac{a-6}\times\frac{4}{3}=-1\)，\(\frac{2}=\frac{4}{3}\times\frac{a+6}{2}\)，解得\(a=\frac{6}{25}\)，\(b=\frac{192}{25}\)，則\(B'D\)的長度為\(\sqrt{(\frac{6}{25}-0)^2+(\frac{192}{25}-8)^2}=\sqrt{(\frac{6}{25})^2+(-\frac{8}{25})^2}=\sqrt{\frac{36+64}{625}}=\sqrt{\frac{100}{625}}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}\)？等一下，可能我算錯了，換一種方法：折疊后，\(\angleACB'=\angleACB\)，而\(AD\parallelBC\)，所以\(\angleDAC=\angleACB\)，故\(\angleDAC=\angleACB'\)，所以\(B'D=AD-AB'\)？不，等一下，在矩形中，\(AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=10\)，設(shè)\(B'D=x\)，則\(B'C=BC=8\)，\(CD=AB=6\)，在\(\triangleB'CD\)中，用余弦定理：\(B'D^2=B'C^2+CD^2-2\timesB'C\timesCD\times\cos\angleB'CD\)，而\(\angleB'CD=\angleBCD-\angleB'CB=90^\circ-2\angleACB\)，\(\cos\angleACB=\frac{BC}{AC}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}\)，所以\(\cos2\angleACB=2\cos^2\angleACB-1=2\times(\frac{4}{5})^2-1=\frac{32}{25}-1=\frac{7}{25}\)，故\(\cos\angleB'CD=\cos(90^\circ-2\angleACB)=\sin2\angleACB=2\sin\angleACB\cos\angleACB=2\times\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{24}{25}\)，所以\(x^2=8^2+6^2-2\times8\times6\times\frac{24}{25}=64+36-2\times8\times6\times\frac{24}{25}=100-\frac{2304}{25}=\frac{____}{25}=\frac{196}{25}\)，所以\(x=\frac{14}{5}=2.8\)，對，剛才坐標(biāo)系的方法算錯了，應(yīng)該是這樣?？偨Y(jié)：折疊問題的關(guān)鍵是找對稱點(diǎn)，利用“對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等”的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理或余弦定理求解。（3）菱形的對角線計算例：菱形的邊長為5，一條對角線長為6，求另一條對角線的長度。解法思路：菱形的對角線互相垂直平分，設(shè)另一條對角線長為\(2x\)，則一半為\(x\)；根據(jù)勾股定理：\((\frac{6}{2})^2+x^2=5^2\)，即\(3^2+x^2=25\)，解得\(x=4\)，故另一條對角線長為\(8\)。2.針對性練習(xí)（1）平行四邊形\(ABCD\)中，\(\angleA+\angleC=120^\circ\)，求\(\angleB\)的度數(shù)。（答案：120°）（2）矩形的對角線長為10，一邊長為6，求另一邊長。（答案：8）（3）菱形的對角線長為6和8，求菱形的邊長。（答案：5）（4）正方形的邊長為2，求對角線的長度。（答案：\(2\sqrt{2}\)）四、圓：基本性質(zhì)與切線判定核心考點(diǎn)：圓的基本元素（半徑、直徑、弧、弦、圓心角、圓周角）；圓周角定理（圓周角等于圓心角的一半）；切線的性質(zhì)（切線垂直于過切點(diǎn)的半徑）與判定（過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線）；圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)（對角互補(bǔ)）。1.典型題型及解法（1）圓周角與圓心角的關(guān)系例：圓\(O\)中，弧\(AB\)等于弧\(CD\)，\(\angleAOB=60^\circ\)，求\(\angleCOD\)的度數(shù)。解法思路：等弧所對的圓心角相等，故\(\angleCOD=\angleAOB=60^\circ\)。（2）切線的判定例：如圖，\(AB\)是圓\(O\)的直徑，點(diǎn)\(C\)在圓\(O\)上，\(AD\perpCD\)于點(diǎn)\(D\)，且\(AC\)平分\(\angleBAD\)，求證：\(CD\)是圓\(O\)的切線。解法思路：切線的判定方法：有切點(diǎn)，連半徑，證垂直（本題中\(zhòng)(C\)在圓上，故連\(OC\)，證\(OC\perpCD\)）；證明：\(OC=OA\)（半徑相等），故\(\angleOAC=\angleOCA\)；\(AC\)平分\(\angleBAD\)，故\(\angleOAC=\angleDAC\)；因此\(\angleOCA=\angleDAC\)，故\(OC\parallelAD\)（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）；因為\(AD\perpCD\)，所以\(OC\perpCD\)，故\(CD\)是圓\(O\)的切線。（3）圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)例：圓內(nèi)接四邊形\(ABCD\)中，\(\angleA=100^\circ\)，求\(\angleC\)的度數(shù)。解法思路：圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，故\(\angleC=180^\circ-\angleA=80^\circ\)。2.針對性練習(xí)（1）圓\(O\)中，弦\(AB=8\)，圓心到\(AB\)的距離為3，求圓\(O\)的半徑。（答案：5）（2）如圖，\(PA\)切圓\(O\)于點(diǎn)\(A\)，\(OP=5\)，\(OA=3\)，求\(PA\)的長度。（答案：4）（3）圓內(nèi)接四邊形\(ABCD\)中，\(\angleA:\angleB:\angleC=2:3:4\)，求\(\angleD\)的度數(shù)。（答案：90°）（4）已知直線\(l\)與圓\(O\)相切于點(diǎn)\(P\)，\(OP=4\)，求直線\(l\)到圓心\(O\)的距離。（答案：4）五、圖形變換：平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱核心考點(diǎn)：平移（坐標(biāo)變換：左減右加，上加下減）；旋轉(zhuǎn)（性質(zhì)：對應(yīng)邊相等、對應(yīng)角相等、旋轉(zhuǎn)角相等）；軸對稱（性質(zhì)：對應(yīng)點(diǎn)連線垂直于對稱軸，且被對稱軸平分；最短路徑問題：將軍飲馬）。1.典型題型及解法（1）平移的坐標(biāo)變換例：點(diǎn)\(A(2,3)\)向右平移3個單位，再向下平移2個單位，求對應(yīng)點(diǎn)\(A'\)的坐標(biāo)。解法思路：向右平移3個單位，橫坐標(biāo)加3；向下平移2個單位，縱坐標(biāo)減2；故\(A'(2+3,3-2)=(5,1)\)。（2）旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)應(yīng)用例：點(diǎn)\(B(1,2)\)繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)，求對應(yīng)點(diǎn)\(B'\)的坐標(biāo)。解法思路：繞原點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)\(90^\circ\)的坐標(biāo)變換公式：\((x,y)\to(y,-x)\)；故\(B'(2,-1)\)。（3）軸對稱的最短路徑問題（將軍飲馬）例：如圖，點(diǎn)\(A\)、\(B\)在直線\(l\)的同側(cè)，在直線\(l\)上找一點(diǎn)\(P\)，使\(PA+PB\)最小。解法思路：作點(diǎn)\(A\)關(guān)于直線\(l\)的對稱點(diǎn)\(A'\)，