2.3.1.2有理數(shù)的混合運(yùn)算有理數(shù)的混合運(yùn)算是對(duì)有理數(shù)加減、乘除、乘方運(yùn)算的綜合應(yīng)用，它需要在遵循嚴(yán)格運(yùn)算順序的基礎(chǔ)上，靈活運(yùn)用各種運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算過程。掌握混合運(yùn)算的規(guī)則和技巧，是提升數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的關(guān)鍵環(huán)節(jié)?；旌线\(yùn)算的順序規(guī)則有理數(shù)混合運(yùn)算的核心順序可概括為“先乘方，再乘除，最后加減；有括號(hào)的先算括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算”，具體分級(jí)如下：第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法（同級(jí)運(yùn)算，從左到右依次進(jìn)行）。第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法（同級(jí)運(yùn)算，從左到右依次進(jìn)行）。第三級(jí)運(yùn)算：乘方（優(yōu)先級(jí)最高，需最先計(jì)算）。若算式中含有多層括號(hào)，需按照“小括號(hào)→中括號(hào)→大括號(hào)”的順序逐層計(jì)算，每去掉一層括號(hào)后，再按上述分級(jí)順序進(jìn)行運(yùn)算。例如計(jì)算\(10-[2^3+(5-3??2)?·(-1)]\)，運(yùn)算步驟如下：小括號(hào)內(nèi)：先算乘法\(3??2=6\)，再算減法\(5-6=-1\)；中括號(hào)內(nèi)：先算乘方\(2^3=8\)，再算除法\(-1?·(-1)=1\)，最后算加法\(8+1=9\)；括號(hào)外：算減法\(10-9=1\)。運(yùn)算順序的具體應(yīng)用不含括號(hào)的混合運(yùn)算：嚴(yán)格遵循“先乘方，再乘除，最后加減”的順序。例如計(jì)算\(-2^2+3??(-4)?·(-\frac{1}{2})\)：第一步（乘方）：\(-2^2=-4\)（注意區(qū)別\(-2^2\)與\((-2)^2\)）；第二步（乘除）：\(3??(-4)=-12\)，\(-12?·(-\frac{1}{2})=24\)；第三步（加減）：\(-4+24=20\)。含多層括號(hào)的混合運(yùn)算：從內(nèi)到外逐層去括號(hào)，每步只處理當(dāng)前最內(nèi)層的運(yùn)算。例如計(jì)算\(\{1-[(-1)^3+(1-0.5??\frac{1}{3})]??6\}?·(-2)\)：最內(nèi)層小括號(hào)：\(0.5??\frac{1}{3}=\frac{1}{6}\)，\(1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\)；中層括號(hào)：\((-1)^3=-1\)，\(-1+\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}\)，\(-\frac{1}{6}??6=-1\)；外層括號(hào)：\(1-(-1)=2\)；括號(hào)外：\(2?·(-2)=-1\)。簡(jiǎn)化運(yùn)算的技巧優(yōu)先處理乘方運(yùn)算：乘方運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)和數(shù)值往往對(duì)后續(xù)計(jì)算影響較大，需優(yōu)先準(zhǔn)確計(jì)算。例如計(jì)算\((-3)^2-2^3??(-\frac{1}{2})^3\)：先算乘方：\((-3)^2=9\)，\(2^3=8\)，\((-\frac{1}{2})^3=-\frac{1}{8}\)；再算乘法：\(8??(-\frac{1}{8})=-1\)，注意符號(hào)變化；最后算減法：\(9-(-1)=10\)。巧用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算：乘法分配律：在含括號(hào)的乘法運(yùn)算中，可將括號(hào)外的因數(shù)分配到括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)。例如計(jì)算\((\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4})??(-12)\)：原式\(=\frac{1}{2}??(-12)-\frac{1}{3}??(-12)+\frac{1}{4}??(-12)=-6+4-3=-5\)。加法結(jié)合律與交換律：在加減運(yùn)算中，將易湊整、互為相反數(shù)的數(shù)結(jié)合。例如計(jì)算\(3^2+(-5)+(-9)+5\)：原式\(=9+[(-5)+5]+(-9)=9+0-9=0\)。乘法交換律與結(jié)合律：在乘除運(yùn)算中，將互為倒數(shù)、能約分的數(shù)結(jié)合。例如計(jì)算\((-8)??(-\frac{1}{2})??(-0.125)??4\)：原式\(=[(-8)??(-0.125)]??[(-\frac{1}{2})??4]=1??(-2)=-2\)。拆數(shù)與湊整技巧：對(duì)于接近整數(shù)的數(shù)，可拆分為整數(shù)與小數(shù)的和或差，再用分配律簡(jiǎn)化。例如計(jì)算\(99??(-5)^2\)：原式\(=(100-1)??25=100??25-1??25=2500-25=2475\)。實(shí)際應(yīng)用問題解析財(cái)務(wù)預(yù)算問題：某公司一周的收支情況如下（收入為正）：周一收入\(2^4??100\)元，周二支出\((-3)^3??20\)元，周三收入\(5^2??30\)元，周四支出\(|-4^2|??15\)元，周五無收支。求該公司這一周的凈利潤(rùn)。解：各項(xiàng)收支計(jì)算如下：周一：\(16??100=1600\)元；周二：\(-27??20=-540\)元；周三：\(25??30=750\)元；周四：\(-16??15=-240\)元；凈利潤(rùn)：\(1600-540+750-240=(1600+750)-(540+240)=2350-780=1570\)元。工程進(jìn)度問題：一項(xiàng)工程需要完成\(1000\)立方米的土方量，第一天完成了\(2^3??15\)立方米，第二天完成了\((-3)^2??20\)立方米（負(fù)號(hào)表示返工），第三天完成了\(5^2??8\)立方米。問還需完成多少立方米？解：已完成量：\(8??15+9??20+25??8=120+180+200=500\)立方米；剩余量：\(1000-500=500\)立方米。易錯(cuò)點(diǎn)警示與規(guī)避運(yùn)算順序錯(cuò)誤：常見錯(cuò)誤：未先算乘方，例如\(2+3^2=5^2=25\)（正確應(yīng)為\(2+9=11\)）；同級(jí)運(yùn)算未從左到右，例如\(10?·2??5=10?·10=1\)（正確應(yīng)為\(5??5=25\)）。規(guī)避方法：在算式中標(biāo)注運(yùn)算順序，用箭頭或序號(hào)標(biāo)記每一步的計(jì)算對(duì)象，嚴(yán)格按“三級(jí)運(yùn)算→二級(jí)運(yùn)算→一級(jí)運(yùn)算”的順序推進(jìn)。乘方符號(hào)混淆：常見錯(cuò)誤：\((-2)^4=-16\)（正確應(yīng)為\(16\)）；\(-(-3)^2=9\)（正確應(yīng)為\(-9\)）。規(guī)避方法：計(jì)算乘方時(shí)，先明確底數(shù)是否包含負(fù)號(hào)，再根據(jù)“奇負(fù)偶正”規(guī)律判斷結(jié)果符號(hào)，可單獨(dú)寫出乘方的展開形式輔助判斷。括號(hào)處理不當(dāng)：常見錯(cuò)誤：去括號(hào)時(shí)漏乘或符號(hào)錯(cuò)誤，例如\(2??(3-4)=6-4=2\)（正確應(yīng)為\(6-8=-2\)）；多層括號(hào)遺漏內(nèi)層運(yùn)算，例如\([1+(2??3)]^2=(1+2)^2??3^2=9??9=81\)（正確應(yīng)為\((1+6)^2=49\)）。規(guī)避方法：去括號(hào)時(shí)逐項(xiàng)處理，每去一層括號(hào)后檢查是否所有項(xiàng)都已參與運(yùn)算，多層括號(hào)可分步書寫中間結(jié)果。運(yùn)算律濫用：常見錯(cuò)誤：在非同級(jí)運(yùn)算中濫用交換律，例如\(3-5??2=(3-5)??2=-4\)（正確應(yīng)為\(3-10=-7\)）。規(guī)避方法：牢記運(yùn)算律僅適合同級(jí)運(yùn)算或符合分配律條件的情況，乘除運(yùn)算不可隨意與加減運(yùn)算交換順序。典型例題解析例1：計(jì)算\(-1^4-(1-0.5)??\frac{1}{3}??[2-(-3)^2]\)解：①

乘方運(yùn)算：\(-1^4=-1\)，\((-3)^2=9\)；②

括號(hào)內(nèi)運(yùn)算：\(1-0.5=0.5\)，\(2-9=-7\)；③

乘除運(yùn)算：\(0.5??\frac{1}{3}??(-7)=\frac{1}{2}??\frac{1}{3}??(-7)=-\frac{7}{6}\)；④

加減運(yùn)算：\(-1-(-\frac{7}{6})=-1+\frac{7}{6}=\frac{1}{6}\)。例2：計(jì)算\((-2)^3??0.5-(-1.6)^2?·(-2)^2\)解：①

乘方運(yùn)算：\((-2)^3=-8\)，\((-1.6)^2=2.56\)，\((-2)^2=4\)；②

乘除運(yùn)算：\(-8??0.5=-4\)，\(2.56?·4=0.64\)；③

加減運(yùn)算：\(-4-0.64=-4.64\)（或化為分?jǐn)?shù)\(-\frac{116}{25}\)）。例3：計(jì)算\(4??(-3)^2-5??(-2)^3+6\)解：①

乘方運(yùn)算：\((-3)^2=9\)，\((-2)^3=-8\)；②

乘法運(yùn)算：\(4??9=36\)，\(5??(-8)=-40\)；③

加減運(yùn)算：\(36-(-40)+6=36+40+6=82\)。有理數(shù)的混合運(yùn)算考驗(yàn)的是對(duì)運(yùn)算規(guī)則的熟練掌握和細(xì)節(jié)把控能力。解題時(shí)需保持清晰的邏輯，先明確運(yùn)算順序，再分步拆解復(fù)雜算式，靈活運(yùn)用運(yùn)算律簡(jiǎn)化計(jì)算，同時(shí)警惕符號(hào)、括號(hào)等易出錯(cuò)環(huán)節(jié)。通過大量練習(xí)形成規(guī)范的運(yùn)算習(xí)慣，能有效提高運(yùn)算的準(zhǔn)確性和效率，為后續(xù)學(xué)習(xí)更復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識(shí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。2024人教版數(shù)學(xué)七年級(jí)上冊(cè)授課教師：

.班級(jí)：

.

時(shí)間：

.

2.3.1.2有理數(shù)的混合運(yùn)算第二章

有理數(shù)的運(yùn)算aiTujmiaNg知道有理數(shù)加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算的運(yùn)算順序.會(huì)進(jìn)行有理數(shù)的混合運(yùn)算.符號(hào)計(jì)算絕對(duì)值加法減法乘法除法乘方同號(hào)取相同的符號(hào)絕對(duì)值相加異號(hào)取絕對(duì)值大的符號(hào)絕對(duì)值相減減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)絕對(duì)值相乘同號(hào)得正異號(hào)得負(fù)絕對(duì)值相除除以一個(gè)不為0的數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0【教材P53】例3計(jì)算：

（1）2×(-3)3-4×(-3)+15；一級(jí)運(yùn)算（加減運(yùn)算）左邊算式中包含哪幾種運(yùn)算？二級(jí)運(yùn)算（乘法運(yùn)算）三級(jí)運(yùn)算（乘方運(yùn)算）例題【教材P53】例3計(jì)算：

（1）2×(-3)3-4×(-3)+15；解：（1）原式=2×(-27)-(-12)+15=-54+12+15=-27；乘方運(yùn)算乘法運(yùn)算加減運(yùn)算（2）原式

=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)（2）(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).

=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)

=-8+42+4.5

=-38.5有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方混合運(yùn)算的順序：（1）先乘方，再乘除，最后加減；（2）同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行；（3）如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行.歸納及時(shí)鞏固計(jì)算：（1）；解：原式=；在運(yùn)算過程中，先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)、小數(shù)化為分?jǐn)?shù)再進(jìn)行計(jì)算較為簡(jiǎn)便.（2）(-4)×[(-3)2+2]-(-3)3÷2.原式

=(-4)×(9+2)-(-27)÷2=(-4)×11+13.5=-44+13.5=-30.5（3）－22+(－2)4×－|0.28|÷.原式

=-4+16×-

0.28÷=-4+2-

0.28×100=-2-

28

=-

30.

拓展有理數(shù)的基本運(yùn)算分為三級(jí)：加與減是第一級(jí)運(yùn)算，乘與除是第二級(jí)運(yùn)算，乘方是第三級(jí)運(yùn)算.例題【教材P53】例4觀察下面三行數(shù)：

-2，4，-8，16，-32，64，…；①

0，6，-6，18，-30，66，…；②-1，2，-4，8，-16，32，….③（1）第①行中的數(shù)可以看成按什么規(guī)律排列？解：第①行中的數(shù)可以看成按如下規(guī)律排列：-2，(-2)2，(-2)3，(-2)4，….-2，4，-8，16，-32，64，…；①

0，6，-6，18，-30，66，…；②-1，2，-4，8，-16，32，….③（2）第②③行中的數(shù)與第①行中的數(shù)分別有什么關(guān)系？對(duì)比第①②兩行中位置對(duì)應(yīng)的數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：第②行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)的數(shù)加2，即-2+2，(-2)2+2，(-2)3+2，(-2)4+2，….對(duì)比第①③兩行中位置對(duì)應(yīng)的數(shù)，可以發(fā)現(xiàn)：第③行中的數(shù)是第①行中相應(yīng)數(shù)的，即(-2)×，(-2)2×，(-2)3×，(-2)4×，….-2，4，-8，16，-32，64，…；①

0，6，-6，18，-30，66，…；②-1，2，-4，8，-16，32，….③（2）第②③行中的數(shù)與第①行中的數(shù)分別有什么關(guān)系？-2，4，-8，16，-32，64，…；①

0，6，-6，18，-30，66，…；②-1，2，-4，8，-16