專(zhuān)題09綜合與實(shí)踐（創(chuàng)新壓軸題，41題）

1．（2025·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐

從特殊到一般是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般思路，綜合實(shí)踐小組以特殊四邊形為背景就三角形的旋．

轉(zhuǎn)．放．縮．問(wèn)題展開(kāi)探究．

特例研究

在正方形中，，相交于點(diǎn)O．

（1）如圖??1，????可以?看?成是繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大k倍得到，此時(shí)旋轉(zhuǎn)角的

度數(shù)為_(kāi)______△_，??k?的值為_(kāi)_____△__?；??

（2）如圖2，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為α，并放大得到（點(diǎn)O，B的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E，△F?）?，?使得點(diǎn)E落在上，點(diǎn)F落在上，求的值△???

??

??????

類(lèi)比探究

（3）如圖3，在菱形中，，O是的垂直平分線與的交點(diǎn)，將

繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋??轉(zhuǎn)??角為α，∠?并?放?=縮6得0到°?（?點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)?點(diǎn)?分別為點(diǎn)E，△F?）?，?

使得點(diǎn)E落在上，點(diǎn)F落在上．猜想△的?值?是?否與α有關(guān)，并說(shuō)明理由；

??

??????

（4）若（3）中，其余條件不變，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系（用含β的式

子表示）．∠???=???????

2．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐

如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為

直角邊在Rt的△右??側(cè)?構(gòu)造，??，連接，．????

????

??Rt△???∠???=90°????=??=?

特例感知

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；

類(lèi)比遷移?=1????

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．

拓展應(yīng)用?≠1????

（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)，連接，，，如圖3．已知，

設(shè)，四邊形的面積為y．??????????=6

①?求?y=與?x的函數(shù)表??達(dá)?式?，并求出y的最小值；

②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)度．

3．（2?0?23=·江2西·中考真題）綜?合?與實(shí)踐

問(wèn)題提出：某興趣小組開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)：在中，，D為上一點(diǎn)，

，動(dòng)點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位的速度從C點(diǎn)出發(fā)Rt，△在?三??角形邊∠?上=沿90°??勻速運(yùn)動(dòng)，??到=

達(dá)2點(diǎn)A時(shí)停止，以為邊作正方形設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，?正→方?形→?的而積為S，

探究S與t的關(guān)系???????s????

(1)初步感知：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，

①當(dāng)時(shí)，_______．

②S關(guān)?=于1t的函?數(shù)=解析式為_(kāi)______．

(2)當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖2所示

的圖象請(qǐng)根據(jù)圖象信息，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式及線段的長(zhǎng)．

(3)延伸探究：若存在3個(gè)時(shí)刻（）對(duì)應(yīng)??的正方形的面積均相等．

①_______；?1,?2,?3?1<?2<?3????

②?當(dāng)1+?2=時(shí)，求正方形的面積．

4．（2?302=2·4江?1西·中考真題）?問(wèn)?題??提出：某興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中提出這樣一個(gè)問(wèn)

題：將足夠大的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)放在正方形中心O處，并

繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，探究直?角?三?角∠?板=90°與,∠正?方=形60°重疊部分的面積變化情況（已知正

方形邊長(zhǎng)為2）．???????

(1)操作發(fā)現(xiàn)：如圖1，若將三角板的頂點(diǎn)P放在點(diǎn)O處，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)與重合時(shí)，

重疊部分的面積為_(kāi)_________；當(dāng)與垂直時(shí)，重疊部分的面積為_(kāi)____?_?____?；?一般地，

若正方形面積為S，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，??重疊?部?分的面積與S的關(guān)系為_(kāi)_________；

(2)類(lèi)比探究：若將三角板的頂點(diǎn)F放在點(diǎn)O處，在旋?1轉(zhuǎn)過(guò)程中，分別與正方形的邊

相交于點(diǎn)M，N．??,??

①如圖2，當(dāng)時(shí)，試判斷重疊部分的形狀，并說(shuō)明理由；

②如圖3，當(dāng)??=??時(shí)，求重疊部分四邊形△???的面積（結(jié)果保留根號(hào)）；

(3)拓展應(yīng)用：若??將=任?意?一個(gè)銳角的頂點(diǎn)放在正方??形?中?心O處，該銳角記為（設(shè)

），將繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，的兩邊與正方形∠???的邊∠?所?圍?成=

?的圖形的∠?面?積?為，請(qǐng)直接寫(xiě)出的最小值與最大值∠?（?分?別用含的式子表??示?）?，

22

（參考數(shù)據(jù)：??）?

6?26+2

sin15°=4,cos15°=4,tan15°=2?3

5．（2025·江西九江·一模）【回歸教材】

我們?cè)?jīng)利用折紙的辦法得到：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等．

已知：如圖①，直線，垂足為，且，是上的任意一點(diǎn)．

求證：．??⊥?????=?????

【定理證??明=】??

（1）請(qǐng)你根據(jù)“已知”和“求證”，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；

【定理應(yīng)用】

（2）如圖②，中，于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接

，若△，????的?周⊥長(zhǎng)?為?，???，求長(zhǎng)；??????

?（?3）如?圖?③=，?矩?形△??中?，20，點(diǎn)??是=9上的?一?點(diǎn)，，的垂直平分線交

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連?接???交?于?點(diǎn)=12，若?是??的中點(diǎn)，求??的=長(zhǎng)6．????

???????????

6．（2025·江西吉安·一模）綜合與實(shí)踐

【數(shù)學(xué)思考】（1）如圖1，已知和都是等邊三角形，點(diǎn)D在上，連接．請(qǐng)

探究，和之間的數(shù)量關(guān)△系?，??并說(shuō)△明?理??由；????

【模型??遷移??】（2?）?如圖2，在四邊形中，，垂足為點(diǎn)E，，

，，（k為?常?數(shù)??），求??⊥的?長(zhǎng)?（用含k的式子∠表?示??）；=∠?????=

?【?拓=展1運(yùn)用??】（=33）如??圖=3，??等?邊三角形中，??，點(diǎn)E在上，．點(diǎn)D

是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，以為邊??在?的?右?側(cè)=作6等邊三角形??，?連?接=2．3當(dāng)

為直角三??角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)??出?的?長(zhǎng)．???????△???

??

7．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【課本再現(xiàn)】

（1）如圖1，的和的平分線相交于點(diǎn)G．

①若，△則???∠??_?____∠_?_?；???,??

②求證∠?：=50°∠???=．

1

【數(shù)學(xué)思考∠?】??=90°+2∠?

（2）如圖2，中的平分線與其外角的平分線交于點(diǎn)O，猜想與

之間的數(shù)量關(guān)系△，??并?給予∠?證?明?．∠???∠?∠???

【問(wèn)題解決】

（3）如圖3，菱形的頂點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)為的中點(diǎn)，若

?

????，?求,?的⊙值?．??⊙??,???∠???=

??

??

89．0（°,∠20?2?5?·江=西∠景??德?鎮(zhèn)=·2?！蠑M??預(yù)?測(cè)）馬超同學(xué)在學(xué)習(xí)完《圖形的相似》后結(jié)合前面所學(xué)習(xí)的矩

形，對(duì)矩形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題展開(kāi)了以下探究：

如圖1，在矩形中，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，并交

于點(diǎn)；??????=6??=8???????

?

（1）若，則_____；若，則_____；

??1

??4

如圖2，在矩=形??中=，，??⊥??，點(diǎn)?為?對(duì)=角線（不與點(diǎn)A，重合）上一動(dòng)點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)作??，??交邊??，=6于?點(diǎn)?=，8，過(guò)?點(diǎn)作??交于點(diǎn)?；

（2）?判斷??點(diǎn)⊥在??移動(dòng)過(guò)程?中?，?線?段?的長(zhǎng)?度是否會(huì)?發(fā)?生?變⊥化?，?若?變?化，請(qǐng)?求出線段長(zhǎng)

度的變化范圍?，若不變化，求出線段??長(zhǎng)度的大小；??

??

（3）若，求出此時(shí)的面積；

??1

??2

如圖3，矩形=中，△??，?，點(diǎn)為矩形內(nèi)部一動(dòng)點(diǎn)，連接且滿足，

點(diǎn)在線段?上??且???，=連6接??．=8?????=??

（4?）請(qǐng)直接??寫(xiě)出??=4的最小??值．

3

4

9．（2025·江西南昌??·一+模?）?課本再現(xiàn)：

定理：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．

定理證明：

為了證明該定理，小穎同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)

程．

（1）已知：如圖1，在四邊形中，，求證：四邊形是矩形．

知識(shí)應(yīng)用：????∠?=∠?=∠?=90°????

（2）如圖2，在四邊形中，，平分，交于點(diǎn)，，

是上的一點(diǎn)，且????，過(guò)點(diǎn)∠?作=∠?=90，°交??于點(diǎn)∠?，??過(guò)點(diǎn)?作???于?點(diǎn)=?．?

?①求?證?：四邊形??是=矩?形?．???⊥????????⊥???

②若，?求???的值．

??

??

10．（?2?02=5·3江??西贛州·一模）（1）如圖，在中，，為斜邊上的中

線，那么與之間存在什么樣的的數(shù)量R關(guān)t系△呢??？?∠???=90°????

為解決這一??問(wèn)題??，小明同學(xué)想的辦法是：如圖2，延長(zhǎng)到D，使，連接，……

請(qǐng)你順著小明的思路完成解答；????=??????

【深入探究】

（2）如圖3，已知，E為的中點(diǎn)．則與之間的數(shù)量關(guān)系為

___________；??⊥??,??⊥????∠???∠???

【應(yīng)用提升】

（3）如圖4，在正方形中，E為上一點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，以，為邊在的右

側(cè)作平行四邊形．??????????????

①求證：四邊形????為菱形；

②如圖5，連接??，?過(guò)?點(diǎn)E作的垂線，垂足為M，若，求四邊形

的面積．????∠???=45°,??=8????

11．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）已知四邊形是對(duì)角線，

．????,??,????=??,∠???+∠???=

90°

【模型建立】

（1）如圖1，若，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接DE．

①求證：是∠?等?邊?三=角60形°．△????60°△???

②用等式寫(xiě)△出??線?段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

【模型應(yīng)用】??,??,??

（2）在（1）的條件下，當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積．

【模型遷移】??=8,??=6????

（3）如圖2，若，求證：．

222

12．（2025·江西·二??模=）3課??本再現(xiàn)??+??=9??

（1）如圖1，在正方形中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

，且交于點(diǎn)，則???，?與?之?間?的數(shù)量關(guān)系是__?_?_______?_；??⊥?????∥

?【?數(shù)學(xué)模型??】???????

（2）如圖2，在正方形中，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，連接．過(guò)點(diǎn)作

于點(diǎn)，連接，當(dāng)???是?以?為?底=的2,等?腰三?角?形時(shí)，求的長(zhǎng)?；????⊥??

【模型?遷移】??△???????

（3）如圖3，在四邊形中，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分

??3

????∠???=90°??=4??=????=??

別在邊，上，且，垂足為G，求的值．

??

??????⊥????

13．（2025·江西新余·二模）如圖1，正方形的頂點(diǎn)在直線上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線

′

對(duì)稱(chēng)，直線與直線交于點(diǎn)，連接，??，??探究與?的數(shù)?量關(guān)系?．??

′′

【特殊感知?】（?1）①如?圖2．當(dāng)????，??時(shí)?，??_____，_____；

′′

②如圖3，當(dāng)時(shí)，∠_?_?_?__=3，0°??=2_____；??=∠???=

′′′

【猜想論證】（??2）=猜?想?與??=的數(shù)量關(guān)??系，∠并??結(jié)?合=圖1進(jìn)行證明；

′

【拓展應(yīng)用】（3）若正方??形??的邊長(zhǎng)為2，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段的長(zhǎng)．

′

??????=2????

14．（2025·江西新余·二模）如圖，在等邊中，點(diǎn)D是射線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，點(diǎn)

E是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△?，??得到，連接．????

????60°????

【夯實(shí)基礎(chǔ)】

（1）連接，如圖1，求證：；

【特例探究?】???⊥??

（2）如圖2，若點(diǎn)E恰好在的延長(zhǎng)線上，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G，求證：；

【拓展延伸】????????+??=??

（3）請(qǐng)利用備用圖探究：在點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)是直角三角形時(shí)，求與之

間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．△???????

15．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）在矩形中，，點(diǎn)是邊上不與端點(diǎn)、重合

的動(dòng)點(diǎn)，于，??????=????????

??⊥???

【課本再現(xiàn)】（1）如圖（1），當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：；

【類(lèi)比遷移】（2）如圖（2），在（?=1）1的條件下，??延長(zhǎng)??交對(duì)?角線于?點(diǎn)?=，?若?點(diǎn)是

的中點(diǎn)，，請(qǐng)分別求出，與的長(zhǎng)（結(jié)果??均用含有的??代數(shù)式?表示）；???

【拓展延伸??】（=3?）如圖（3），若?????，?直接寫(xiě)出的值____?_（結(jié)果用含有的式子表

??

示）．??=??????

16．（2025·江西贛州·二模）【課本再現(xiàn)】（）如圖，把矩形對(duì)折得到折痕，再一

次對(duì)折，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，并使折1痕經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，得到新?折??痕?，把紙片展?平?．這個(gè)

折紙的過(guò)程實(shí)?際上就?是?把?分成了（）???

A．二等分B．∠三?等??分C．四等分

【類(lèi)比探究】（）類(lèi)似的，通過(guò)折紙也可以折出矩形一邊的三等分點(diǎn)．如圖，把矩形

對(duì)折兩次，對(duì)角2線與折痕相交于點(diǎn)，沿直線再次折疊，折痕交2于點(diǎn)，此?時(shí)??有?

??????????

．請(qǐng)你補(bǔ)充下列證明過(guò)程：

?證?明=：3如??圖，在矩形中，，

由折疊可知，2，?????，?∥??

，??∥??（??）=4??

????1??

????4??

∴==，∴=______，

∵??∥??∴△，即???∽．

??1

（∴??）=如圖=，3先把?矩?形=??=沿3??對(duì)折，再沿折疊，折痕交對(duì)角線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

折疊3矩形，3使得點(diǎn)落在???上?，?得?到折痕．?請(qǐng)?判斷點(diǎn)是否?為?邊的“三??等分點(diǎn)?”？并證?

明你的結(jié)論．????????

【拓展應(yīng)用】（）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)，把

沿翻折4得4，直線??交??于點(diǎn)??，=請(qǐng)6求出??=的8長(zhǎng)．???

△?????△??????????

17．（2025·江西宜春·二模）如圖（1），在中，，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以

的速度沿路線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)△A出??發(fā)?以∠?=的30速°度沿運(yùn)動(dòng)．P，Q兩2c點(diǎn)m同/s

時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一?→點(diǎn)運(yùn)?→動(dòng)到?點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)1c．m/以s為邊??在的上方作平行四

邊形，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，平行四邊形的面積為??,?（?當(dāng)點(diǎn)A，??P，Q重合或在一

2

條直線??上??時(shí)，不妨設(shè)）?．s探究S與t的?關(guān)?系??．?cm

?=0

初步感知

（1）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，

①若，__________；

②S關(guān)?=于1t的?函=數(shù)解析式為_(kāi)_________．

深入探究

（2）當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S關(guān)于t的函數(shù)解析式為

2

，其圖象如圖（2）所示．?=??+??4≤?≤

1①0的值為_(kāi)_________；

②?求S關(guān)于t的函數(shù)解析式．

延伸探究

（3）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)記為，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為，平行四邊形的面積記為；當(dāng)

點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)??時(shí)記為，運(yùn)動(dòng)?時(shí)1間記為，平行?四1邊形的?面?積??記為，?1．

①求與??的數(shù)量關(guān)系；?2?2?????2?1?1∥??

②當(dāng)?1?2時(shí)，的值為_(kāi)_________．

18．（?120+25?2·江=西9南昌·?二1?模?）2【特例感知】

在正方形中，點(diǎn)，分別在邊，上，與相交于點(diǎn)．

???????????????

（1）如圖，若點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則______；

如圖①，若1點(diǎn)是?的中?點(diǎn)，????，則_t_a_n_∠__?．??=

??

【②類(lèi)比探2究】???∠???=90°??=

在菱形中，，點(diǎn)，分別在，上，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，

與相?交??于?點(diǎn)，∠連??接?=交60°于點(diǎn)?．????????????

????????

（2）如圖，若，分別是，的中點(diǎn)，求的值；

如圖①，若3??，求證?：???ta．n∠???

②4∠???=60°?????=?????

【拓展延伸】

（3）如圖，在四邊形中，，且，點(diǎn)為的中點(diǎn)．若，

1

5??????∥????=2?????∠?=∠???=45°

請(qǐng)直接寫(xiě)出的值．

??

??

19．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）（首選幾何壓軸）【問(wèn)題情境】

學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問(wèn)題：如圖①，中，若，

求邊上中線的取值范圍．通過(guò)分析、思考，小麗同學(xué)形成△兩??種?解題思?路?．=10,??=8

思路??1：將??繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，使得和重合，得到…

思路2：延長(zhǎng)△??到?E，使得180°，連接??，根?據(jù)?可證得△???…

（1）根據(jù)上面??任意一種解題?思?路=，??再結(jié)合三?角?形三邊關(guān)SA系S，我們都△可??以?得≌到△??的?取值范圍

為．??

【類(lèi)比探究】

（2）如圖②，，是的邊上的中線，

試探索與?的?數(shù)=量?關(guān)?,系?，?=并?說(shuō)?明,∠理??由?．+∠???=180°??△?????

【遷移應(yīng)??用】??

（3）【應(yīng)用1】如圖③，已知的半徑為6，四邊形是的圓內(nèi)接四邊形．

，求⊙?的長(zhǎng)．????⊙???=

8（,∠4）?【??應(yīng)+用∠2?】?如?=圖1④8，0°??,

相交于點(diǎn)G，連接??=，?若?,??=的?度?,數(shù)∠?發(fā)?生?+改∠變?，??請(qǐng)=問(wèn)180是°,?否?存⊥在?最?小??值=？?如,?果?存=

?在,?，?則,?直?接寫(xiě)出其最小值（?用?含a∠和??b?的式子表示），如果不存?在?，請(qǐng)說(shuō)明理由．

20．（2025·江西新余·三模）綜合與實(shí)踐

如圖1，四邊形是一個(gè)正方形，是延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，將沿折疊，得到，

與交于點(diǎn)??，?延?長(zhǎng)交于點(diǎn)?連接??，，△?????△???

?特?例感??知??????????=???

（1）當(dāng)時(shí)，的度數(shù)為_(kāi)_____．

類(lèi)比遷移?=2∠???

（2）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)．

拓展提升?≠2∠???

（3）如圖2，連接并延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，連接，若，的面

積為．?????????=2△???

①求?與的函數(shù)表達(dá)式；

②若??，直接寫(xiě)出的值．

??=???

21．（2025·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）在綜合實(shí)踐課上，同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)與位似”為主題開(kāi)展

數(shù)學(xué)活動(dòng)．

(1)如圖，已知點(diǎn)E在矩形的對(duì)角線上，，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)

后，以點(diǎn)A為位似中心放?大?兩??倍得到??，連?接?=2．??△???90°

①證明：；△?????

②求，△?，??∽的△數(shù)??量?關(guān)系．

??????

(2)如圖，點(diǎn)E是直角三角形外一點(diǎn)，連接，，，，

，求的長(zhǎng)．???????=6??=15∠???=90°∠???=

∠???=60°??

22．（2025·江西九江·三模）在學(xué)習(xí)“從特殊到一般”的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組了解到

“當(dāng)某些平面圖形在從特殊到一般過(guò)渡時(shí)，特殊圖形中的某些結(jié)論會(huì)在一般圖形中繼續(xù)存在

或發(fā)生規(guī)律性的變化”，請(qǐng)根據(jù)活動(dòng)提供的條件解決其中的問(wèn)題；

(1)如圖1，中若點(diǎn)是的中點(diǎn)，且平分則與的數(shù)量關(guān)系是

__________△_????????∠???????

(2)如圖2，中，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作，交

于點(diǎn)，交△（?的??延長(zhǎng)線?于?>點(diǎn)?求?證：?????；∠??????∥????

(3)如?圖3四?邊形中線段?的垂?直?平?分??線=交??+于?點(diǎn)?，交于點(diǎn)連接，，若

則?與???的數(shù)量?關(guān)?系是___________??????????

(∠4?)如??圖=49．0四°邊?形???中，線段的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接，，

且作????于點(diǎn)（?異?于點(diǎn)），連接?，?若?，???，求??的?長(zhǎng)?

23∠．（??20?25<·江90西°景?德?鎮(zhèn)⊥·?一?模）馬?超同學(xué)在?上一期探究??矩形中??的=動(dòng)3點(diǎn)問(wèn)?題?=時(shí)，3意4識(shí)到?“子?母型”

相似是一種有效的解題手段，于是，他繼續(xù)針對(duì)相似問(wèn)題中的“子母型”問(wèn)題展開(kāi)綜合探究！

(1)如圖①，中，，；分別為邊、上的點(diǎn)，

①若△??，?且點(diǎn)??是=2的中??點(diǎn)=，3則?,?______；????

②若點(diǎn)∠??與?點(diǎn)=∠重?合，且???，則??=______；

(2)如圖?②，點(diǎn)?分別為∠等??腰?直=角∠三?角形??=的兩直角邊上的動(dòng)點(diǎn)，直角邊且

始終滿足?,?，以點(diǎn)為圓心，的?長(zhǎng)?為?半徑畫(huà)弧并?交?,線??段于點(diǎn)，連接??=；2若

??=??????????,??

四邊形是菱形，則的長(zhǎng)是多少？

(3)當(dāng)圖?②?中??的點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到?如?圖③所示位置時(shí)，取的中點(diǎn)，連接，若滿足，

則此時(shí)的長(zhǎng)是?多少？?????∠???=∠???

24．（2?02?5·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐：

【問(wèn)題提出】如圖（1）在中，，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P沿折線D—A—C運(yùn)

動(dòng)（運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止），以△?為??邊在∠?上=方9作0°正方形??．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，正方

形的面積為y．????????

【初??步??感悟】（1）當(dāng)點(diǎn)P在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①若，則_________；②y關(guān)于x的函

數(shù)關(guān)系式為_(kāi)________；???=3?=

（2）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)y是關(guān)于x的二次函數(shù)，并繪制成如圖（2）

所示的函數(shù)圖象，直線是其圖象所在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式（寫(xiě)

出自變量的取值范圍）．?=2

【延伸探究】（3）當(dāng)時(shí)，的長(zhǎng)為_(kāi)_______，此時(shí)y關(guān)于x的函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐

標(biāo)為_(kāi)________；???=2??

（4）連接正方形的對(duì)角線，，兩對(duì)角線的交點(diǎn)為M，求點(diǎn)A在內(nèi)部時(shí)x

和y的取值范圍．????????△???

25．（2025·江西撫州·一模）綜合與實(shí)踐

課本再現(xiàn)

如圖1，的對(duì)角線相交于點(diǎn)是等邊三角形，且．

???????,???,△?????=4

（1）求的面積．

?????

拓展延伸

（2）如圖2，M是邊上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)O作，與直線交于點(diǎn)N，連接

．??????⊥????

?①?若，求的長(zhǎng)；

②求??=3面積的??最小值．

（3）△在?（?2?）的條件下，若，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．

26．（2025·江西撫州·二模）?綜?合=與3實(shí)踐??

問(wèn)題背景

如圖1，某數(shù)學(xué)興趣小組在一次綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，用三張全等的直角三角形紙片探究數(shù)學(xué)

問(wèn)題，即、、是全等的直角三角形，其中．點(diǎn)

°

與的△中?點(diǎn)??重合△，???△?．??∠???=∠???=∠???=90

?（1）??①的長(zhǎng)為_(kāi)__?_?_；=2

②設(shè)與??交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．

類(lèi)比延??伸?????

（2）如圖2，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，求

的最大值．△??????????????

拓展探究

（3）如圖3．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)，若，

3

求的長(zhǎng)．△?????°0<?<90?????tan?=2

??

27．（2025·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

【學(xué)習(xí)心得】

（1）小賢同學(xué)在學(xué)習(xí)完“等腰三角形”這一節(jié)內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題可以通過(guò)構(gòu)造等

邊三角形，運(yùn)用等邊三角形的知識(shí)來(lái)解決，從而使問(wèn)題變得容易．

例如：如圖，已知為等邊三角形，延長(zhǎng)到點(diǎn)，延長(zhǎng)到點(diǎn)，并且使，

1△???????????=??

連接，．求證：．

??????=??

小賢同學(xué)的證明思路：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接，先證明構(gòu)造的為等邊三

角形，再利用等邊三角形的?性?質(zhì)推出???=??，證?得?．請(qǐng)你根△據(jù)??小?賢同學(xué)的

證明思路寫(xiě)出完整的證明過(guò)程．△???≌△?????=??

【類(lèi)比遷移】

（2）如圖，在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，

且2△，??求??的?度=數(shù)??．∠???=??>60°?△?????=??

?

【拓∠?展??延=伸2】?30°∠???

（3）如圖，在中，，，點(diǎn)在內(nèi)部，，

，將線3段△沿?著??直線??翻=折?，?=點(diǎn)4恰∠好??落?在=點(diǎn)90°處，?連接△??．???=??∠???=

15°試判斷四邊??形的形??狀，并說(shuō)明?理由；???

①直接寫(xiě)出??邊??上的高的值．

2②8．（2025·江△西?·?模?擬預(yù)??測(cè)）綜合與實(shí)踐

如圖1，正方形的頂點(diǎn)D在直線l上，點(diǎn)與點(diǎn)C關(guān)于直線l對(duì)稱(chēng)，直線與直線l

′′

交于點(diǎn)E，連接???，?，探究與的數(shù)量關(guān)?系．??

′

【特例感知】????????

（1）①如圖2，當(dāng)，時(shí)，_____，_____°；

′′

②如圖，當(dāng)∠??時(shí)?，=30°??=，2??=．∠???=

3′__________°

′′??

【猜想論證】??=????=∠???=

（2）猜想與的數(shù)量關(guān)系，并結(jié)合圖1進(jìn)行證明．

′

【拓展應(yīng)用?】???

（3）若正方形的邊長(zhǎng)為2，當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

′

??????=2????

29．（2025·江西九江·三模）綜合與實(shí)踐

【問(wèn)題情境】

如圖，在矩形紙片中，，點(diǎn)在邊上，將沿所在的直線折

疊，得到．??????=6,??=8???△?????

△???

【特例感知】

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)在直線上時(shí)，___________．

（2）如圖2，當(dāng)?三點(diǎn)?共?線時(shí)，求??=的長(zhǎng)．

【深入探究】?,?,???

（3）如圖3，設(shè)，點(diǎn)到的距離為．

①求與的函數(shù)解??析=式?．????

②直接?寫(xiě)?出當(dāng)?shù)拿娣e為12時(shí)，的長(zhǎng)．

30．（2025·江西△撫??州?·模擬預(yù)測(cè)）綜合與??實(shí)踐

特例感知

（1）如圖1，在等腰直角中，D為斜邊的中點(diǎn)，P是斜邊上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P分

別作與的垂線，垂足△分?別?為?E，F(xiàn)，連接??，，則，的??關(guān)系是______．

類(lèi)比遷??移??????????

（2）如圖2，在等腰直角中，D為斜邊的中點(diǎn)，P是斜邊延長(zhǎng)線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)

點(diǎn)P分別與的垂線，△垂?足?分?別為E，F(xiàn)，連??接，，．求?證?：是等腰直角

三角形．??????????△???

拓展應(yīng)用

（3）如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，C是的中

點(diǎn)，P是射線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)?P?分?別作x軸，y軸的垂線，垂?足2分,0別為0F,2，D，連?接?，

，，點(diǎn)E??與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱(chēng)，連接，．??

?①?當(dāng)點(diǎn)??P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)?，?請(qǐng)判斷點(diǎn)E?是?否?在?一條直線上運(yùn)動(dòng)．若在，請(qǐng)直接寫(xiě)出這條

直線的解析式；若??不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

②設(shè)點(diǎn)F的橫坐標(biāo)為x，四邊形的面積為y，求y與x的函數(shù)解析式，并在如圖4所示

的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出該函數(shù)?的??圖?象．

31．（2025·江西萍鄉(xiāng)·二模）綜合與實(shí)踐

如圖，和是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形，，且點(diǎn)與

°

的中點(diǎn)△?重?合?，△???，∠???=∠???=90???

???=4

觀察發(fā)現(xiàn)

（1）①的長(zhǎng)為_(kāi)__________；

②如圖1?，?設(shè)與的交點(diǎn)為，則的長(zhǎng)為_(kāi)__________．

類(lèi)比遷移???????

（2）如圖2，將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接．

①當(dāng)旋轉(zhuǎn)角為△時(shí)?，?求?的?長(zhǎng)；??

°

②當(dāng)時(shí)60，請(qǐng)直接?寫(xiě)?出以為邊的正方形的面積．

拓展應(yīng)??用∥????

（3）如圖3，取的中點(diǎn)，連接，在繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)最大時(shí)，

求以為邊的正?方?形的面?積．??△??????

32．（?2?025·江西·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)

想一想

你能猜想出三角形兩邊中點(diǎn)的連線與第三邊有怎樣的關(guān)系？能證明你的猜想嗎？

連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線．

三角形中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．

定理證明

（1）已知：如圖①，是的中位線．延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接．

求證：且??．△????????=????

1

知識(shí)運(yùn)用??∥????=2??

（2）如圖②，在正方形中，為的中點(diǎn)，、分別為、邊上的點(diǎn)，若，

，，?求???的長(zhǎng)?．??????????=2

?（?3）=如3圖∠③?，??在=四9邊0°形??中，，，為的中點(diǎn)，，分別為，

邊上的點(diǎn)，若???，?∠?，=105°∠?=，1求20°的?長(zhǎng)．??????

????=32??=2∠???=90°??

33．（2025·江西·模擬預(yù)測(cè)）定義：有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，將其中一個(gè)三角形繞公共點(diǎn)

旋轉(zhuǎn)一定角度，能與另一個(gè)三角形構(gòu)成相似圖形，我們稱(chēng)這兩個(gè)三角形互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”．

(1)知識(shí)理解：①如圖1，，都是等邊三角形，則的“旋轉(zhuǎn)相似圖

形”（填“是”或“不是”）；△???△???△???△???

②如圖2，若與互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”，，，則；

③如圖2，若△???與△???互為“旋轉(zhuǎn)相似圖形”，若∠?=10，0°∠?=，30°∠，?則??=°，

若連接△，?則??△?．????=4??=6??=15??=

??

??

(2)知識(shí)?運(yùn)?用,?：?=

如圖3，在四邊形中，，于E，，求證：

和互為“旋轉(zhuǎn)??相?似?圖形∠”；???=90°??⊥??∠???=∠???△???

(3)△拓?展?提?高：

如圖4，為等腰直角三角形，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)，D是延長(zhǎng)線上

一點(diǎn)，點(diǎn)△E?在??線段上，且與?互?為“旋轉(zhuǎn)相似圖形??”，若??，

求和的長(zhǎng)．??△???△?????=6,??=22

34?．（?20?2?5·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

問(wèn)題提出

如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿

向點(diǎn)A運(yùn)△動(dòng)?，?速?度為?1?個(gè)=單10位長(zhǎng)度/秒，點(diǎn)??P⊥從?點(diǎn)?D出發(fā)沿??向=點(diǎn)8C運(yùn)動(dòng)，速度為2個(gè)?單?

位長(zhǎng)度/秒，過(guò)點(diǎn)E作，過(guò)點(diǎn)P作，點(diǎn)P在點(diǎn)E??出發(fā)2秒后出發(fā)，當(dāng)一動(dòng)點(diǎn)到

達(dá)終點(diǎn)時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)也停?止?∥運(yùn)??動(dòng)．設(shè)點(diǎn)E的??運(yùn)∥?動(dòng)?時(shí)間為t秒，的面積為S．

△???

初步感知

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，解答下列問(wèn)題：

（1）若，則0S<的?值≤為2________；

（2）S關(guān)?=于2t的函數(shù)解析式為_(kāi)_______．

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，經(jīng)探究發(fā)現(xiàn)S是關(guān)于t的二次函數(shù)，并繪制成如圖3所示的不完

整的圖象．請(qǐng)根據(jù)?>圖2象信息，解答下列問(wèn)題：

①求圖象最高點(diǎn)的坐標(biāo)，并直接寫(xiě)出自變量t的取值范圍；

②連接，若四邊形是平行四邊形，求S的值．

延伸探究??????

（3）當(dāng)時(shí)，是否存在某一時(shí)刻t，使以點(diǎn)A，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形？若

存在，求?出>2t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

35．（2025·江西新余·一模）【課本再現(xiàn)】

（1）如圖1，，都是等邊三角形，分別連接，，，與有什么數(shù)

量關(guān)系？請(qǐng)證明△；???△?????????????

【特殊感知】

（2）數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)繼續(xù)探究發(fā)現(xiàn)：若一個(gè)三角形的已知條件符合全等的判定定理，

則此三角形可求解；

在圖1中，，，，則__________；

【類(lèi)比應(yīng)用】??=23∠???=150°??=2??=

（3）如圖2，在四邊形中，，，，，，

求的長(zhǎng)；小穎同學(xué)發(fā)?現(xiàn)??運(yùn)?用旋∠轉(zhuǎn)?可??得=到7圖5°1中∠?類(lèi)?似?=的6圖0，°運(yùn)??用=（?2）?的?方?法=即2可?求?=的2

長(zhǎng)，??請(qǐng)你幫小穎求的長(zhǎng)；??

（4）如圖3，在四邊?形?中，，，，，，

直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．????∠???=75°∠???=60°??:??=2:1??=2??=1

??

36．（2025·江西九江·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，老師和同學(xué)們開(kāi)展了一場(chǎng)以“最小值”為主

題的探究活動(dòng)．

【提出問(wèn)題】老師提出了一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在矩形中，，，P為

邊上的一動(dòng)點(diǎn)，以為邊向右作菱形，為??，??連接??，=求3的??最=小6值．??

【特例感知】如圖?2?所示，當(dāng)時(shí)??，?小?明∠連?接??，?以為?邊?向下?構(gòu)?造一個(gè)等邊，

連接．便可得到?=60，°進(jìn)而將的最?小?值轉(zhuǎn)?化?為的最小值．△???

??△???≌△???????

（1）按照小明的想法，請(qǐng)求出的最小值；

【拓展應(yīng)用】??

（2）如圖3和圖4所示，當(dāng)和時(shí)，請(qǐng)任意選一個(gè)圖形求出的最小值；

（3）若，，對(duì)?于=任90意°，1請(qǐng)20你°用含，的式子直接寫(xiě)出??的最小值______．

??

22

37．（20s2in5·江=西?南昌cos·三=模?）定義：一組?鄰邊相等且?有一?個(gè)內(nèi)角為直角的?凸?四邊形稱(chēng)為等直

四邊形．例如，如圖1，在四邊形中，，，則四邊形為等

直四邊形．??????=????⊥??????

【特例感知】

（1）下列四邊形一定是等直四邊形的是；（填序號(hào)）

①平行四邊形②矩形③菱形④正方形

（2）如圖2，在等邊中，點(diǎn)D為內(nèi)部一點(diǎn)，且平分，連接，將線段

繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△?得?到?線段，連接，．求??證：四∠邊??形?是?等?直四邊形．

?【?深入探究】60°??????????

（3）如圖3，在等直四邊形中，，，線段的垂直平分線

分別交與的角平分線?于??