浙江省杭州市拱墅區(qū)啟正中學(xué)2024-2025學(xué)年八年級(jí)上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共10小題）1．（2024八上·拱墅期中）下圖的四個(gè)古漢字中，不是軸對(duì)稱圖形的是（）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱圖形【解析】【解答】解：A、此古漢字是軸對(duì)稱圖形，故A不符合題意，B、此古漢字不是軸對(duì)稱圖形，故B符合題意，C、此古漢字是軸對(duì)稱圖形，故C不符合題意，D、此古漢字是軸對(duì)稱圖形，故D不符合題意，故答案為：B.【分析】如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形，利用此定義對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷可得到不是軸對(duì)稱圖形的選項(xiàng)2．（2024八上·拱墅期中）把一根長12厘米的鐵絲按下面所標(biāo)長度剪開，剪成的三段首尾順次相接可以圍成三角形的是（）A． B．C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系【解析】【解答】解：A.2+4=6，不能圍成三角形；B.3+3=6，不能圍成三角形；C.2+3<7，不能圍成三角形；D.2+5>5，5+5>2，能圍成三角形；故選：D．

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊”依次判斷即可．???????3．（2024八上·拱墅期中）人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”，這樣做的道理是（）A．兩點(diǎn)之間線段最短 B．三角形的穩(wěn)定性C．兩點(diǎn)確定一條直線 D．垂線段最短【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形的穩(wěn)定性【解析】【解答】解：人字梯中間一般會(huì)設(shè)計(jì)一“拉桿”是為了形成三角形，利用三角形具有穩(wěn)定性來增加其穩(wěn)定性，故答案為：B．

【分析】利用三角形具有穩(wěn)定性解答即可．4．（2024八上·拱墅期中）如果a>b，那么下列各式中錯(cuò)誤的是（）A．a(chǎn)?2>b?2 B．a(chǎn)3>b3 C．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】不等式的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵a>b，∴a?2>b?2，a3>b∴A，B不符合題意，選項(xiàng)C符合題意，∵a>b，∴5a>5b∴5a+2>5b+2∴D不符合題意；故答案為：C.【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可。5．（2024八上·拱墅期中）將一副直角三角板按照如圖所示的方式擺放，則∠ABC的度數(shù)為（）A．65° B．70° C．75° D．8°【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)【解析】【解答】解：由題意得，∠FBC=90°，∠DAE=45°，∵∠DAE=∠F+∠FBA，∴∠FBA=45°?30°=15°，∴∠ABC=∠FBC?∠FBA=75°，故答案為：C．

【分析】利用三角形外角的性質(zhì)可求出∠FBA的度數(shù)．然后根據(jù)∠ABC=∠FBC-∠FBA，代入計(jì)算即可.6．（2024八上·拱墅期中）對(duì)于命題“若a2>bA．a(chǎn)=2，b=1 B．a(chǎn)=2，b=?1C．a(chǎn)=?1，b=0 D．a(chǎn)=?1，b=?2【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】舉反例判斷命題真假【解析】【解答】解：∵命題“若a2>b∴當(dāng)a=2，b=1時(shí)，若22>1∴當(dāng)a=2，b=?1時(shí)，若22>(?1)∴當(dāng)a=?1，b=0時(shí)，若(?1)2>0∴當(dāng)a=?1，b=?2時(shí)，不符合若(?1)2故選：C．

【分析】根據(jù)題意舉反例逐一判斷即可解題．7．（2024八上·拱墅期中）如圖，是一個(gè)帶有吸管的圓柱形水杯，底面直徑為10cm，高度為12cm，現(xiàn)有一根25cm的吸管（底端在杯子底上），放入水杯中，則露在水杯外面的吸管長度為acm，則a的取值范圍是（）A．13≤a≤25 B．25?2C．25?261≤a≤13 【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用【解析】【解答】解：∵將一根長為25cm的吸管，置于底面直徑為10cm，高度為12cm的圓柱形水杯中，∴在杯子中吸管最短是等于杯子的高，最長是等于杯子斜對(duì)角長度，∴當(dāng)杯子中吸管最短是等于杯子的高時(shí)，吸管長為12cm，最長時(shí)等于杯子斜對(duì)角長度是：122∴a的取值范圍是：25?261即25?261故答案為：C．

【分析】利用勾股定理可求出最長時(shí)等于杯子斜對(duì)角長度，根據(jù)杯子內(nèi)吸管的長度的取值范圍得出杯子外面長度的取值范圍，可得到a的取值范圍.8．（2024八上·拱墅期中）如圖，課本上給出了小明一個(gè)畫圖的過程，這個(gè)畫圖過程說明的事實(shí)是（）A．兩個(gè)三角形的兩條邊和夾角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等B．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形全等C．兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等D．兩個(gè)三角形的兩個(gè)角和夾邊對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-SSS【解析】【解答】解：根據(jù)作圖可知：兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，其中角的對(duì)邊不確定，可能有兩種情況，故三角形不能確定，所以兩個(gè)三角形的兩條邊和其中一邊對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，這兩個(gè)三角形不一定全等，故答案為：C．【分析】根據(jù)全等三角形的判定及畫圖的過程，對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可9．（2024八上·拱墅期中）若一個(gè)等腰三角形的一條邊是另一條邊的k倍，我們把這樣的等腰三角形叫做“k倍邊等腰三角形”．如果一個(gè)等腰三角形是“4倍邊等腰三角形”，且周長為18cm，則該等腰三角形底邊長為（）A．12cm B．12cm或2cm C．2cm D．4cm或12cm【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的性質(zhì)【解析】【解答】解：設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm（x＞0），則較長邊長為4xcm．①當(dāng)xcm為腰時(shí)，∵x+x＜4x，∴x，x，4x不能組成三角形；②當(dāng)4xcm為腰時(shí)，4x，4x，x能夠組成三角形，∵4x+4x+x＝18，∴x＝2，∴該等腰三角形底邊長為2cm.故答案為：C.【分析】設(shè)該等腰三角形的較短邊長為xcm（x＞0），則較長邊長為4xcm，分xcm為腰、4xcm為腰，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的三邊關(guān)系就可確定出三角形的三邊長，結(jié)合周長為18cm就可求出x的值，進(jìn)而可得等腰三角形的底邊長.10．（2024八上·拱墅期中）如圖，四邊形ABDC中，AC=DC=3，∠BAC的角平分線AD⊥BD與點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，則△ABD與△EBC面積之差的最大值為（）A．9 B．4.5 C．3 D．1.5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；三角形全等的判定-ASA【解析】【解答】解：延長AC交BD的延長線于H，過點(diǎn)D作DT⊥AH于T，設(shè)△ACD的面積為S，∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2，∵AD⊥BD，∴∠ADB=∠ADH=90°，在△ABD和△AHD中，∠1=∠2AD=AD∴△ABD≌△AHDASA∴S△ABD∵AC=DC=3，∴∠2=∠3，又∵∠2+∠H=90°,∠3+∠CDH=90°，∴∠H=∠CDH，∴DC=CH=3，∴AC=CH=3，∴S△CDH∴S△AHD∴S△ABD∴S△ABH∵AC=CH，∴S△ABC∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴S△EBC∴S△ABD又∵S=∴當(dāng)DT為最大時(shí)，S為最大，則S△ABD根據(jù)“垂線段”最短得：DT≤DC，∴DT=DC=3時(shí)，DT為最大，最大值為3，∴S的最大值為：1.5×3=4.5，∴S△ABD故答案為：B．

【分析】延長AC交BD的延長線于H，過點(diǎn)D作DT⊥AH于T，設(shè)△ACD的面積為s，利用角平分線的定義可證得∠1=∠2，利用垂直的概念可知∠ADB=∠ADH，利用ASA可證得△ABD≌△AHD，利用全等三角形的性質(zhì)可推出兩個(gè)三角形的面積相等，利用等邊對(duì)等角及余角的性質(zhì)可推出∠H=∠CDH，利用等邊對(duì)等角可求出AC、CH的長，同時(shí)可證得S△CDH=S△ACD=S，由此可推出S△ABH=4S，利用AC=CH，可表示出△HBC，△ABC的面積；由此可推出S△ABD?S△EBC=2S?S=S，利用三角形的面積公式可得到二、填空題（共6小題）11．（2024八上·拱墅期中）在電影院里，如果用3，13表示3排13號(hào)，那么2排6號(hào)可以表示為【答案】2【知識(shí)點(diǎn)】用坐標(biāo)表示地理位置【解析】【解答】解：∵用3，13表示3排13號(hào)

∴2排6號(hào)可表示為故答案為：2，【分析】利用已知條件可知排位橫坐標(biāo)號(hào)為縱坐標(biāo)，據(jù)此可求解12．（2024八上·拱墅期中）如圖，∠A=50°，∠ABO=28°，∠ACO=32°，則∠BOC=°.【答案】110【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)【解析】【解答】解：∵∠BDC=∠A+∠ABO，

∴∠BDC=50°+28°=78°；

∵∠BOC=∠BDC+∠ACO，

∴∠BOC=78°+32°=110°

故答案為：110

【分析】利用三角形外角的性質(zhì)可知∠BDC=∠A+∠ABO，代入計(jì)算可求出∠BDC的度數(shù)；再利用三角形外角的性質(zhì)可證得∠BOC=∠BDC+∠ACO，代入計(jì)算可求出∠BOC的度數(shù)13．（2024八上·拱墅期中）在△ABC中，如果∠A：∠B：∠C=4：5：9，則∠A=°．【答案】40【知識(shí)點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理【解析】【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=4：5：9，設(shè)∠A=4x°，∠B=5x°，∠C=9x°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴4x°+5x°+9x°=180°．∴x=10．∴∠A=40°．故答案為：40．【分析】利用已知條件設(shè)∠A=4x°，∠B=5x°，∠C=9x°，利用三角形的內(nèi)角和為180°，可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到∠A的度數(shù).14．（2024八上·拱墅期中）如圖，用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻長16米）的長方形ABCD菜園，則AB長的取值范圍為．【答案】12≤x<20【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式組的應(yīng)用【解析】【解答】解：設(shè)AB的長為x米，由題意可得，40?2x>040?2x≤16解得：12≤x<20．故答案為：12≤x<20．

【分析】設(shè)AB的長為x米，利用已知條件：用40m長的籬笆圍成一邊靠墻（墻長16米）的長方形，可表示出AD的長，再根據(jù)AD＞0且AD≤16，可得到關(guān)于x的不等式組，然后求出不等式組的解集即可.15．（2024八上·拱墅期中）如圖，三角形ABC被分成7塊面積相等的小三角形，其中AC=96，BC=70，則GI的長度為．【答案】30【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積【解析】【解答】解：∵三角形ABC被分成7塊面積相等的小三角形，

∴S△ADES△CDE=15，

∴AEEC=15，

∴EC=56AC=56×96=80；

同理可得：EGGC16．（2024八上·拱墅期中）青朱出入圖（圖1）是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理引入的圖形，該圖中的兩個(gè)青入的三角形分別與兩個(gè)青出的三角形全等，朱入與朱出的三角形全等，朱方與青方是兩個(gè)正方形．為便于敘述，將其繪成圖2，若記朱方對(duì)應(yīng)正方形GDJH的邊長為a，青方對(duì)應(yīng)正方形ABCD的邊長為b，已知b?a=3，a2+b【答案】10【知識(shí)點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景；三角形全等及其性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；“趙爽弦圖”模型【解析】【解答】解：如圖，∵朱方對(duì)應(yīng)正方形GDJH的邊長為a，青方對(duì)應(yīng)正方形ABCD的邊長為b，∴GD=GH=a，CD=BC=b，∵朱入與朱出的三角形全等，∴△FNK≌△GHI，∴FN=GH=a，∵兩個(gè)青入的三角形分別與兩個(gè)青出的三角形全等，∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB，∴S△IJC=S∴陰影部分面積為S=====ab，∵b?a=3，a2∴ab=a即陰影部分的面積為10，故答案為：10．

【分析】利用正方形的性質(zhì)可知GD=GH=a，CD=BC=b，利用全等三角形的性質(zhì)可得到FN=GH=a，S△IJC=S△KAM，三、解答題17．（2024八上·拱墅期中）計(jì)算：（1）5x?2>11x+3；（2）x?x+2【答案】（1）解：5x?2>11x+3，移項(xiàng)，得5x?11x>3+2，合并同類項(xiàng)，得?6x>5，化系數(shù)為1，得x<?（2）解：去分母，得6x?3(x+2)<2(2?x)，去括號(hào)，得6x?3x?6<4?2x，移項(xiàng)，得6x?3x+2x<4+6，合并同類項(xiàng)，得5x<10，化系數(shù)為1，得x<2【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次不等式【解析】【分析】（1）先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，然后將x的系數(shù)化為1（x的系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向改變）.（2）先去分母（不等式右邊的1不能漏乘），去括號(hào)（括號(hào)外的數(shù)要與括號(hào)里的每一項(xiàng)相乘，不能漏乘，同時(shí)注意符號(hào)問題），移項(xiàng)合并，然后將x的系數(shù)化為1.（1）解：5x?2>11x+3，移項(xiàng)，得5x?11x>3+2，合并同類項(xiàng)，得?6x>5，化系數(shù)為1，得x<?5（2）去分母，得6x?3(x+2)<2(2?x)，去括號(hào)，得6x?3x?6<4?2x，移項(xiàng)，得6x?3x+2x<4+6，合并同類項(xiàng)，得5x<10，化系數(shù)為1，得x<2．18．（2024八上·拱墅期中）解不等式組2x+1<3x+3x?1≥3x【答案】解：2x+1<3x+3①x?1≥3x②，

解不等式①得x>?2，

解不等式②得x≤?12，

∴不等式組的解集為：?2<x≤?【知識(shí)點(diǎn)】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解【解析】【分析】分別求出不等式組中的每一個(gè)不等式的解集，再確定出不等式組的解集，然后求出不等式組的整數(shù)解即可19．（2024八上·拱墅期中）已知，△ABC中AE⊥BC，BD平分∠ABC，∠C=37°，∠BAC=2∠C，求∠AFD的度數(shù)．【答案】解：∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∵∠C=37°，

∴∠EAC=90°?37°=53°，

∵∠BAC=2∠C=74°，∠BAC=∠BAE+∠EAC，

∴∠BAE=74°?53°=21°，

∴∠ABC=90°?∠BAE=69°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD=12∠ABC=34.5°，【知識(shí)點(diǎn)】三角形外角的概念及性質(zhì)；直角三角形的兩銳角互余【解析】【分析】利用直角三角形的兩銳角互余依次求出∠C、∠EAC、∠ABC的度數(shù)，再利用角平分線的概念求出∠ABD的度數(shù)，最后利用三角形的外角的性質(zhì)可求出∠AFD的度數(shù).20．（2024八上·拱墅期中）某業(yè)主貸款2.2萬元購進(jìn)一臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)某種產(chǎn)品．已知產(chǎn)品的成本是每個(gè)5元，售價(jià)是每個(gè)8元，應(yīng)付的稅款和其他費(fèi)用是售價(jià)的10%．若每個(gè)月能生產(chǎn)、銷售2000個(gè)產(chǎn)品，問至少幾個(gè)月后能賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款？【答案】解：設(shè)需要x個(gè)月才能賺回這臺(tái)機(jī)器款．由題意得：（2000×8?2000×5?2000×8×10%）x≥22000，解之：x≥5，

∵x為最小正整數(shù)，

∴x=5.

答：至少需要5個(gè)月才能賺回這臺(tái)機(jī)器．【知識(shí)點(diǎn)】一元一次不等式的應(yīng)用【解析】【分析】設(shè)x個(gè)月后能賺回這臺(tái)機(jī)器的貸款，根據(jù)每一個(gè)產(chǎn)品的售價(jià)乘以銷售量-每一個(gè)產(chǎn)品的成本價(jià)乘以銷售量-應(yīng)付的稅款和其他費(fèi)用大于等于22000，據(jù)此列不等式，然后求出不等式的最小正整數(shù)解即可.21．（2024八上·拱墅期中）如圖，已知B，E，C，F(xiàn)在一條直線上，BE=CF,AC∥DE,∠A=∠D．（1）求證：△ABC≌△DFE；（2）若BF=30,EC=10，求BE的長．【答案】（1）證明：∵BE=CF，∴BC=EF，

∵AC∥DE，

∴∠ACB=∠DEF，

在△ABC和△DFE中，

∠A=∠D∠ACB=∠DEFBC=EF，

（2）解：∵BF=30,EC=10，BE=CF，BE+CF+EC=BF，∴BE=CF=【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定-AAS【解析】【分析】（1）利用BE=CF，可證得BC=EF，平行線的性質(zhì)可證∠ACB=∠DEF，利用AAS可證得結(jié)論.

（2）利用已知可證得BE+CF+EC=BF，據(jù)此可求出BE的長.（1）證明：∵BE=CF，∴BC=EF，∵AC∥DE，∴∠ACB=∠DEF，在△ABC和△DFE中，∠A=∠D∠ACB=∠DEF∴△ABC≌△DFEAAS（2）∵BF=30,EC=10，BE=CF，BE+CF+EC=BF，∴BE=CF=30?1022．（2024八上·拱墅期中）如圖，在△ABC中，DE是邊BC的垂直平分線，分別交邊AC，BC于點(diǎn)D，E，BF⊥AC，且F為線段AD的中點(diǎn)，延長BF與BC的垂直平分線交于G點(diǎn)，連接CG．（1）若D是AC的中點(diǎn)，求證：AC=2AB；（2）若∠ACB=30°，求證：△BGC為等邊三角形．【答案】（1）證明：如圖，連接BD，

∵DE是邊BC的垂直平分線，

∴DB=DC，

∵D為AC的中點(diǎn)，

∴DA=DC=12AC，

∴DB=DA，

∵BF⊥AC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，

∴AB=BD，

∴AB=BD=AD，

（2）證明：∵DB=DC，∠ACB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，

∴∠ADB=∠DBC+∠DCB=60°，

∵AB=BD，

∴△ABD為等邊三角形，

∴∠DBF=12∠ABD=30°，

∴∠CBF=∠DBC+∠DBF=60°，

∵BC的垂直平分線為DE，

∴BG=CG，

【知識(shí)點(diǎn)】線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)【解析】【分析】（1）連接BD，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可證得DB=DC，利用線段中點(diǎn)的定義可推出DB=DA，由此可證得BC垂直平分AD，利用線段垂直平分線的性質(zhì)可證得AB=BD，據(jù)此證得結(jié)論.

（2）利用等邊對(duì)等角可求出∠DBC的度數(shù)，利用三角形外角的性質(zhì)可求出∠ADB的度數(shù)，利用有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可證得△ABD是等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)可求出∠DBF、∠CBF的度數(shù)，再利用垂直平分線的性質(zhì)可證得BG=CG，然后根據(jù)有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，可證得結(jié)論.（1）證明：如圖，連接BD，∵DE是邊BC的垂直平分線，∴DB=DC，∵D為AC的中點(diǎn)，∴DA=DC=1∴DB=DA，∵BF⊥AC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，∴AB=BD，∴AB=BD=AD，∴AC=2AD=2AB；（2）證明：∵DB=DC，∠ACB=30°，∴∠DBC=∠DCB=30°，∴∠ADB=∠DBC+∠DCB=60°，∵AB=BD，∴△ABD為等邊三角形，∴∠DBF=1∴∠CBF=∠DBC+∠DBF=60°，∵BC的垂直平分線為DE，∴BG=CG，∴△BCG為等邊三角形．23．（2024八上·拱墅期中）如圖1，△ABC是等腰直角三角形，D是BC中點(diǎn)，BF⊥AE交AE于點(diǎn)G．（1）求證：△ABH≌△CAE；（2）若BF平分∠ABC，求證：AH=EF；（3）如圖2，若F是AC中點(diǎn)，且EF+AE=kFC，請(qǐng)直接寫出k值．【答案】（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC，∠C=45°，

∵D為BC的中點(diǎn)，

∴AD⊥BC，∠BAD=12∠BAC=45°，

∴∠BAH=∠C，

∵AE⊥BF，

∴∠AGB=90°，

∴∠BAG+∠EAC=∠BAG+∠ABG=90°，（2）證明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABG=∠EBG，

∵BG=BG，∠AGB=∠EGB=90°，

∴△ABG≌△EBGASA，

∴AB=BE，

∴BF垂直平分AE，

∴AF=EF，

∵BF=BF，

∴△ABF≌△EBFSSS，

∴∠BAF=∠BEF=90°，

∵∠C=45°，

∴∠CFE=90°?∠C=45°，

∴EF=CE，

由（1）知，△ABH≌△CAE，

∴AH=CE（3）5【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等的判定；線段垂直平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】（3）解：過點(diǎn)C作MC⊥AC，交AE的延長線于點(diǎn)M，∵∠CAM=∠ABF，∴△ACM≌△BAFSAS∴CM=AF，∵F為AC的中點(diǎn)，∴AF=CF=CM，∵∠ACB=45°，∴∠FCE=∠ECM，∵CE=CE，∴△FCE≌△MCESAS∴EF=EM，∴AE+EF=AM=BF，在Rt△ABF中，AB=AC=2AF，∴BF=A∴AE+EF=5∴k=5【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)可證得AB=AC，∠C=45°，利用等腰直角三角形的高線，可推出∠BAH=∠C，利用垂直的概念和余角的性質(zhì)可證得∠ABH=∠CAE，然后利用ASA可證得結(jié)論.

（2）利用角平分線的概念可證得∠ABG=∠EBG，利用ASA可證得△ABG≌△EBG，利用全等三角形的性質(zhì)可得到AB=BE，利用垂直平分線的性質(zhì)可推出AF=EF，利用SSS可證得△ABF≌△EBF，由此可證得∠BEF=90°，從而可推出EF=CE，利用全等三角形的性質(zhì)可推出AH=CE，據(jù)此可證得結(jié)論.

（3）過點(diǎn)C作MC⊥AC，交AE的延長線于點(diǎn)M，利用SAS可證得△ACM≌△BAF，利用全等三角形的性質(zhì)可證得CM=AF，AM=BF，據(jù)此可知AF=CF=CM，同時(shí)可證得∠FCE=∠ECM，利用SAS可證得△FCE≌△MCE，可得到EF=ME，由此可證AE+EF=BF，利用勾股定理可表示出BF的長，從而可求出k的值.（1）證明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴AB=AC，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠BAH=∠C，∵AE⊥BF，∴∠AGB=90°，∴∠BAG+∠EAC=∠BAG+∠ABG=90°，∴∠ABH=∠CAE，∴△ABH≌△CAEASA（2）證明：∵BF平分∠ABC，∴∠ABG=∠EBG，∵BG=BG，∴△ABG≌△EBGASA∴AB=BE，∴BF垂直平分AE，∴AF=EF，∵BF=BF，∴△ABF≌△EBFSSS∴∠BAF=∠BEF=90°，∵∠C=45°，∴∠CFE=90°?∠C=45°，∴EF=CE，由（1）知，△ABH≌△CAE，∴AH=CE，∴AH=EF；（3）解：過點(diǎn)C作MC⊥AC，交AE的延長線于點(diǎn)M，∵∠CAM=∠ABF，∴△ACM≌△BAFSAS∴CM=AF，∵F為AC的中點(diǎn)，∴AF=CF=CM，∵∠ACB=45°，∴∠FCE=∠ECM，∵CE=CE，∴△FCE≌△MCESAS∴EF=EM，∴AE+EF=AM=BF，在Rt△ABF中，AB=AC=2AF，∴BF=A∴AE+EF=5∴k=524．（2024八上·拱墅期中）綜合實(shí)踐在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂角頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角形構(gòu)成的，在兩個(gè)等腰三角形位置變化的過程中，始終存在一對(duì)全等三角形．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組稱此圖形為“手拉手模型”．請(qǐng)你和數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)一起研究下面的問題．【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=30°，點(diǎn)D在AC上，連接BD、CE，且B、D、E三點(diǎn)共線，則圖中與線段BD相等的線段是，∠BEC=°．【初步運(yùn)用】（2）如圖2，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=