2023年初高中銜接素養(yǎng)提升專題講義第二講分式和根式類問題的延伸（精講）（原卷版）【知識點透析】【知識點一】分式的相關知識1．分式的意義形如的式子，若B中含有字母，且，則稱為分式．當M≠0時，分式具有下列性質：；．2．繁分式像，這樣，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．【知識點精講】【例1】若，求常數(shù)的值．【變式1】（2022·四川·九年級專題檢測）已知實數(shù)x、y滿足x-3+【例2】（2022·安徽合肥·七年級期末）觀察下列各式：①11×2=1-12；

②12×3=12-（1）請用以上規(guī)律計算：12+（2）若1(m+1)(【變式1】（1）試證：（其中n是正整數(shù)）；（2）計算：；．【變式2】（2022·廣西百色·七年級期末）下列一組方程：①x+2x=3，②x+6由①得：x+1×2x=1+2，解是x由②得：x+2×3x=2+3，解是x由③得：x+3×4x=3+4，解是x請根據(jù)以上小晶發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，回答下列問題：（1）第④個方程是，解是：；（2）若n為正整數(shù)，則第n個方程是，解是：；（3）若n為正整數(shù)，求關于x的方程x+【例3】（（2022·安徽合肥·二模）觀察下列不等式：①122<11×2；②根據(jù)上述規(guī)律，解決下列問題：（1）完成第5個不等式：___________；（2）寫出你猜想的第n個不等式：_____________(用含n的不等式表示)；（3）利用上面的猜想，比較n+2n+1【例4】（（2022·山東·濟寧市第十五中學八年級階段練習）閱讀下面的解題過程：已知：xx2+1解：xx2+1=13知所以x4故x2x4該題的解法叫做“倒數(shù)法”，請你利用“倒數(shù)法”解決下面的題目：已知：aa2-【知識點二】根式類問題一、基本知識一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式．其性質如下：(1)(2)(3) (4)二次根式的意義二、拓展知識2.1無理式：根號下含有字母的式子并且開不盡方的根式叫做無理式.例如：，是無理式，而不是無理式2.2分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同時乘分母的有理化因式.例如：.2.3有理化因式：兩個含有根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含根式，那么這兩個代數(shù)式叫做互為有理化因式.常用的有理化因式有：①與②與【知識點精講】【例5】將下列式子化為最簡二次根式：（1）；（2）；（3）．【變式1】（2022·重慶八中九年級階段練習）與最接近的整數(shù)是（）A．3 B．4 C．5 D．6【變式2】化簡下列各式：(1) (2)【例6】閱讀下列材料，然后回答問題：在進行類似于二次根式的運算時，通常有如下兩種方法將其進一步化簡：方法一：＝＝＝方法二：＝＝＝＝（1）請用兩種不同的方法化簡：；（2）化簡：．【變式1】化簡：．【變式2】（2022·湖南衡陽·九年級）滿足不等式的整數(shù)m的個數(shù)是_____．【變式3】（2022·江蘇·八年級專題練習）觀察下列二次根式化簡：﹣1，，?從中找出規(guī)律并計算＝___．【例7】（2021·全國·九年級專題檢測）數(shù)學教育家波利亞曾說：“對一個數(shù)學問題，改變它的形式，變換它的結構，直到發(fā)現(xiàn)有價值的東西，這是數(shù)學解題的一個重要原則”．材料一：平方運算和開方運算是互逆運算．如a2±2ab+b2＝（a±b）2，那么，如何將雙重二次根式化簡．我們可以把轉化為完全平方的形式，因此雙重二次根式得以化簡．材料二：在直角坐標系xOy中，對于點P(x，y)和Q(x，y′)給出如下定義：若則稱點Q為點P的“橫負縱變點”．例如：點(3，2)的“橫負縱變點”為(3，2)，點(﹣2，5)的“橫負縱變點”為(﹣2，﹣5)．問題：（1）點的“橫負縱變點”為，點的“橫負縱變點”為；（2）化簡：【變式1】先閱讀然后解答問題：化簡解：原式＝根據(jù)上面所得到的啟迪，完