第一節(jié)集合第一章內(nèi)容索引0102強基礎(chǔ)固本增分研考點精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.通過實例,了解集合的含義,理解元素與集合的“屬于”關(guān)系.2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集.3.理解兩個集合的并集與交集的含義,能求兩個集合的并集與交集.4.理解在給定集合中一個子集的補集的含義,能求給定子集的補集.強基礎(chǔ)固本增分1.集合的有關(guān)概念(1)集合元素的三個特性:

確定性

、

無序性

、

互異性

.

(2)元素與集合的關(guān)系:①屬于,記作

∈

;②不屬于,記作

?

.

(3)集合的三種表示方法:

列舉法

、

描述法

、圖示法.

Venn圖、數(shù)軸、區(qū)間等(4)六個特定的常用數(shù)集及記法:數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集正實數(shù)集符號NN+或N*ZQRR+2.集合間的基本關(guān)系

關(guān)系自然語言符號語言Venn圖子集集合A中的

任何一個元素

都屬于集合B

A?B(或B?A)

真子集集合A?B,且A≠BA?B(或B?A)

集合相等對于兩個集合A與B,如果集合A是集合B的子集,且集合B也是集合A的子集,那么稱集合A與集合B相等

A=B

微點撥

空集(?)是不含任何元素的集合,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算

運算自然語言符號語言Venn圖交集由既屬于集合A又屬于集合B的所有元素組成的集合A∩B={x|x∈A,且x∈B}

并集由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素組成的集合A∪B={x|x∈A,或x∈B}

補集對于一個集合A,由全集U中所有不屬于A的元素組成的集合?UA={x|x∈U,且x?A}

根據(jù)“補集思想”可以得到“正難則反”的思維方法

微點撥

集合的運算性質(zhì)(1)并集的性質(zhì):A∪?=?∪A=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A?B?A.(2)交集的性質(zhì):A∩?=?∩A=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B.(3)補集的性質(zhì):A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A;?U(A∩B)=(?UA)∪(?UB);?U(A∪B)=(?UA)∩(?UB).常用結(jié)論1.子集個數(shù)的確定:若有限集A中有n個元素,則A的子集有2n個,真子集有(2n-1)個,非空真子集有(2n-2)個.2.集合元素的個數(shù):若用card(A)來表示有限集合A中元素的個數(shù),則card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B).自主診斷題組一

思考辨析(判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫“√”,錯誤的畫“×”)1.集合{x2+x,0}中的實數(shù)x可取任意值.(

)2.{x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.(

)3.對任意集合A,B,一定有A∩B?A∪B.(

)4.若A∩B=A∩C,則B=C.(

)××××題組二

雙基自測5.

已知A={x|x是菱形},B={x|x是矩形},則A∩B=

{x|x是正方形}

.

6.(1)設(shè)a,b∈R,P={1,a},Q={-1,-b},若P=Q,求a-b的值;(2)已知集合A={x|0<x<a},B={x|1<x<2},若B?A,求實數(shù)a的取值范圍.解

(1)由題意,得a=-1,-b=1,即a=b=-1,所以a-b=0.(2)根據(jù)集合間的關(guān)系,結(jié)合數(shù)軸可知,只需a≥2即可,即實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥2}.研考點精準(zhǔn)突破考點一集合的含義與表示題組(1)(2022·廣東廣州三模)若a∈{1,3,a2},則實數(shù)a的可能取值有(

)A.1 B.0,1 C.0,3 D.0,1,3(2)(2022·山東濟南二模)已知集合A={1,2},B={2,4},C={z|z=xy,x∈A,y∈B},則C中元素的個數(shù)為(

)A.1 B.2 C.3 D.4(3)(多選)(2023·河北滄州高三檢測)下列說法正確的有(

)A.{x|x+y=1}={y|x+y=1}B.{(x,y)|x+y=2}={x|x+y=2}C.{x|x>2}={y|y>2}D.{1,2}={2,1}答案

(1)C

(2)C

(3)ACD解析

(1)當(dāng)a=0時,則a∈{1,3,0},符合題設(shè);當(dāng)a=1時,顯然不滿足集合中元素的互異性,不符合題設(shè);當(dāng)a=3時,則a∈{1,3,9},符合題設(shè).∴a=0或a=3均可.(2)由題意,當(dāng)x=1時,z=xy=1;當(dāng)x=2,y=2時,z=xy=4;當(dāng)x=2,y=4時,z=xy=16,即C中有3個元素.(3)x+y=1中x的取值范圍為R,所以{x|x+y=1}=R,同理{y|x+y=1}=R,所以A正確;{(x,y)|x+y=2}表示直線x+y=2上點的集合,而{x|x+y=2}=R,所以{(x,y)|x+y=2}≠{x|x+y=2},所以B錯誤;集合{x|x>2},{y|y>2}都表示大于2的實數(shù)構(gòu)成的集合,所以C正確;由于集合的元素具有無序性,所以{1,2}={2,1},所以D正確.考點二集合間的基本關(guān)系答案

(1)C

(2)C

(3)(-∞,1]引申探究1(變條件)若本題組(2)中條件“A?C?{0,1,2,3,4}”變?yōu)椤癆?C?{0,1,2,3,4}”,其余不變,滿足條件的集合C可以為什么?解

滿足條件的集合C可以為{0,1,2,3},{0,1,2,4}.引申探究2(變條件)若本題組(3)中,把條件“B?A”變?yōu)椤癆?B”,其他條件不變,則實數(shù)m的取值范圍是

.

答案

[3,+∞)規(guī)律方法1.判斷兩集合關(guān)系的方法

2.根據(jù)兩集合的關(guān)系求參數(shù)的方法已知兩個集合之間的關(guān)系求參數(shù)時,要明確集合中的元素,對含參數(shù)的集合是否為空集進行分類討論,做到不漏解.(1)若集合中的元素是一一列舉的,依據(jù)集合間的關(guān)系,轉(zhuǎn)化為解方程(組)求解,此時注意集合中元素的互異性.(2)若集合表示的是不等式的解集,常依據(jù)數(shù)軸轉(zhuǎn)化為方程(組)或不等式(組)求解,此時注意檢驗端點值能否取到.考點三集合的基本運算(多考向探究預(yù)測)考向1集合的運算題組(1)(2022·新高考Ⅱ,1)已知集合A={-1,1,2,4},B={x||x-1|≤1},則A∩B=(

)A.{-1,2} B.{1,2} C.{1,4} D.{-1,4}(3)(2022·全國甲,理3)設(shè)全集U={-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,2},B={x|x2-4x+3=0},則?U(A∪B)=(

)A.{1,3} B.{0,3} C.{-2,1} D.{-2,0}(4)(2023·廣東江門模擬)已知全集U=R,設(shè)集合A={x|x2-x-6≤0},B={x|x-1<0},則A∪(?UB)=(

)A.{x|1≤x≤3} B.{x|-2≤x<-1}C.{x|x≥-2} D.{x|x≤3}答案

(1)B

(2)D

(3)D

(4)C解析

(1)B={x|0≤x≤2},則A∩B={1,2},故選B.(3)由題意知B={1,3},則A∪B={-1,1,2,3},所以?U(A∪B)={-2,0},故選D.(4)解不等式x2-x-6≤0,得-2≤x≤3,即A={x|-2≤x≤3}.解不等式x-1<0,得x<1,即B={x|x<1},所以?UB={x|x≥1}.所以A∪(?UB)={x|x≥-2}.規(guī)律方法

解決集合運算問題的三個注意點

考向2利用集合的運算求參數(shù)的值例題(2022·廣東汕頭三模)已知全集為R,A={x|x2-1>0},B={x|x-a<0},(?RA)∩B={x|-1≤x<0},則實數(shù)a=(

)A.1 B.2 C.-1 D.0答案

D解析

由題意,A={x|x2-1>0}={x|x>1或x<-1},則(?RA)={x|-1≤x≤1},由(?RA)∩B={x|-1≤x<0}和B={x|x<a},可知B={x|x<0},從而可知a=0.規(guī)律方法

根據(jù)集合的運算結(jié)果求參數(shù)的值或取值范圍的方法(1)將集合間的運算關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個集合之間的關(guān)系.若集合中的元素能一一列舉,則用觀察法得到不同集合中元素之間的關(guān)系;若集合是與不等式有關(guān)的集合,則一般利用數(shù)軸解決,要注意端點值能否取到.(2)將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為解方程(組)或不等式(組)問題求解.(3)根據(jù)求解結(jié)果來確定參數(shù)的值或取值范圍.對點訓(xùn)練(2022·山東威海三模)設(shè)集合A={x|x2-2x-3<0},B={x|2x-a<0},且A∩B={x|-1<x<1},則實數(shù)a=(

)A.-1 B.-2 C.1 D.2答案

D考點四與集合有關(guān)的新定義問題A.[0,1]∪(2,+∞) B.[0,1)∪(2,+∞)C.[0,1] D.[0,2]答案

A解析

2x-x2≥0,即x(x-2)≤0,解得0≤x≤2,即A={x|0≤x≤2}.又B={x|x>1},所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},則A×B={x|0≤x≤1,或x>2}.規(guī)律方法

解決集合新定義問題的2個策略

緊扣新定義先分析新定義的特點,常見的新定義有新概念、新公式、新運算和新法則等,把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚,并能夠應(yīng)用到解題的過程中,這是解答新定義型問題的關(guān)鍵所在用好集合的性質(zhì)集合的性質(zhì)(集合中元素的性質(zhì)、集合的運算性質(zhì)等)是解答集合新定義問題的基礎(chǔ),也是突破口,在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些條件,在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì)對點訓(xùn)練(2023·湖北襄陽高三檢測)對于兩個正整數(shù)m,n,定義某種運算“☉”如下,當(dāng)m,n都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時,m☉n=m+n;當(dāng)m,n中一個為正偶數(shù),另一個為正奇數(shù)時,m☉n=mn,則在此定義下,集合M=