專題10.7直線與圓錐曲線的位置關(guān)系課標(biāo)要求考情分析核心素養(yǎng)1.通過圓錐曲線與方程的學(xué)習(xí),進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想；

2.掌握直線與圓錐曲線的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問題.新高考近3年考題題號考點直觀想象數(shù)學(xué)運算邏輯推理2024(Ⅰ)卷//2024(Ⅱ)卷10，19直線與拋物線位置關(guān)系及其應(yīng)用；直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用2023(Ⅰ)卷22直線與圓錐曲線的位置關(guān)系2023(Ⅱ)卷5,10直線與橢圓的位置關(guān)系；直線與拋物線的位置關(guān)系2022(Ⅰ)卷11,16,21直線與拋物線位置關(guān)系及其應(yīng)用；橢圓的弦長；直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用2022(Ⅱ)卷16,21橢圓的中點弦問題；直線與雙曲線的位置關(guān)系1.直線與橢圓的位置關(guān)系聯(lián)立y=kx+mx2a設(shè)一元二次方程的判別式為?，當(dāng)?>0時，方程有兩解，直線與橢圓相交；當(dāng)?=0時，方程有一解，直線與橢圓當(dāng)?<0沒時，方程無解，直線與橢圓相離.2.直線與雙曲線的位置關(guān)系聯(lián)立y=kx+mx2a設(shè)一元二次方程的判別式為?，位置關(guān)系圖形特點(形)交點個數(shù)方程解(數(shù))相交一個公共點(直線與雙曲線的漸近線平行)b方程有1個解兩個公共點(在一支或兩支上)b?>0方程有2個解相切一個公共點?方程有1個解相離無公共點?<0方程無解注意：直線與雙曲線的關(guān)系中：一解不一定相切，相交不一定兩解，兩解不一定同支．3.直線與拋物線的位置關(guān)系聯(lián)立y=kx+my2=2px設(shè)一元二次方程的判別式為?，當(dāng)k≠0時，當(dāng)?>0時，方程有兩解，直線與拋物線當(dāng)?=0時，方程有一解，直線與拋物線當(dāng)?<0時，方程無解，直線與拋物線相離.當(dāng)k=0時，直線與拋物線y注意：=1\*GB2⑴直線與拋物線有一個公共點是直線與拋物線相切的必要不充分條件．=2\*GB2⑵研究直線與拋物線的關(guān)系時要注意直線斜率不存在的情況．4.直線與圓錐曲線的弦長公式=1\*GB2⑴弦長公式：直線l:y=kx+b與圓錐曲線交于A,B兩點，設(shè)Ax1,弦長AB==2\*GB2⑵拋物線的焦點弦拋物線y2=2px的焦點弦公式為AB=【重要結(jié)論】1.已知橢圓x2=1\*GB2⑴通徑的長度為eq\f(2b2,a).=2\*GB2⑵過左焦點的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則焦點弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；過右焦點弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，則焦點弦|CD|＝2a－e(x3＋x4)．(e為橢圓的離心率)=3\*GB2⑶A1，A2為橢圓的長軸頂點，P是橢圓上異于A1，A2的任一點，則.=4\*GB2⑷AB是橢圓的不平行于對稱軸的弦，O為原點，M為AB的中點，則kOM·kAB＝－eq\f(b2,a2).=5\*GB2⑸過原點的直線交橢圓于A，B兩點，P是橢圓上異于A，B的任一點，則kPA·kPB＝－eq\f(b2,a2).=6\*GB2⑹點P(x0，y0)在橢圓上，過點P的切線方程為eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.2.已知雙曲線x2=1\*GB2⑴點P處的切線PT平分?PF1F2在點P=2\*GB2⑵若Px0,y0在雙曲線上,則過P的雙曲線的切線方程是x0xa2?y0yb2=1.

=3\*GB2⑶若P=4\*GB2⑷AB是雙曲線的不平行于對稱軸且過原點的弦,M為AB的中點,則kOM?kAB=b2a2.

=5\*GB2⑸若Px0【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.2第13題P128】已知雙曲線x2?y22=1．

(1)求直線y=x+1被雙曲線截得的弦長；

(2)過點P(1,1)能否作一條直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點2.【人教A版選擇性必修一復(fù)習(xí)參考題3第12題P146】設(shè)P是拋物線y2=2x上任意一點，則點P到直線x?y+3=0的距離的最小值為

，此時點P的坐標(biāo)為

．考點考點一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系【典例精講】例1.(2023·江蘇省鹽城市模擬)過點P(2,1)作直線l，使l與雙曲線x24?y2A.1條 B.2條 C.3條 D.4條例2.(2023·湖南省永州市月考)已知直線y=kx?k?1與曲線C:x2+2y2=m(m>0)恒有公共點，則m的取值范圍是

A.[3,+∞) B.(?∞,3] C.(3,+∞) D.(?∞,3)例3.(2023·江蘇省泰州市月考)我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”.事實上，有很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.如：與(x?a)2+(y?b)2相關(guān)的代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為點Ax,y與點Ba,b之間距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點，若實數(shù)x,y滿足A.0,6 B.3,6 C.0,12 D.3,12【方法儲備】判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：=1\*GB2⑴判斷直線l與圓錐曲線C的位置關(guān)系時，利用方程思想，聯(lián)立方程組得到一元二次方程，借助方程根個數(shù)，判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.在判斷直線與雙曲線、拋物線的位置關(guān)系時，注意直線與雙曲線、拋物線僅有一個公共點時，可能為相交或相切.=2\*GB2⑵對于過定點的直線，也可以通過定點在橢圓內(nèi)部或橢圓上判定直線和橢圓有交點.=3\*GB2⑶利用數(shù)形結(jié)合的方法可以迅速判斷某些直線和圓錐曲線的位置關(guān)系.尤其是在解決有關(guān)直線與雙曲線的位置關(guān)系問題時,靈活利用直線與漸近線的關(guān)系可以快速解題.【拓展提升】練11(2023·陜西省西安市期中)過雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)A.(1,3) B.(1,2) C.(練12(2024·江西省贛州市月考)設(shè)橢圓Γ:x2a2+y2b2=1a>b>0的左焦點為F?c,0，點A3c,0在橢圓外，P，Q在橢圓上，且A.?12 B.?34 C.練13(2024·江蘇省南通市月考)(多選)已知橢圓C：x24+y2=1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，橢圓的上頂點和右頂點分別為A，B，若P，Q兩點都在橢圓A.|PF1|+|QF1|為定值4 B.△AF1B的面積為1+3

考點二弦長、中點弦問題考點二弦長、中點弦問題【典例精講】例4.(2023·浙江省杭州市聯(lián)考)已知離心率為2的雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點F2(2,0)，過點F2作一條直線l與雙曲線交于A.4 B.8 C.6 D.10例5.(2023·廣東省東莞市期中)已知M(1,2)為拋物線C:y2=2px(p>0)上一點，過點T(0,1)的直線與拋物線C交于A，B兩點，且直線MA與MB的傾斜角互補(bǔ)，則|TA|?|TB|=

．例6.(2023·江蘇省南通市月考)已知直線l交橢圓x220+y216=1于M、N兩點，橢圓與y軸的正半軸交于點B，若△BMNA.5x+6y?28=0 B.5x?6y?28=0

C.6x+5y?28=0 D.6x?5y?28=0【方法儲備】1.弦及弦中點問題的解決方法(1)根與系數(shù)的關(guān)系：直線與圓錐曲線的方程聯(lián)立，消元，利用根與系數(shù)關(guān)系表示中點坐標(biāo)；(2)點差法：將弦的兩端點的坐標(biāo)帶入圓錐曲線的方程，作差構(gòu)造中點、斜率間的關(guān)系.若已知弦的中點坐標(biāo)，可求弦所在直線的斜率.2.求弦長(1)當(dāng)弦的兩端點坐標(biāo)易求時，可直接利用兩點間的距離公式求解.(2)當(dāng)直線的斜率存在時，斜率為k的直線l與橢圓或雙曲線相交于AxAB=【拓展提升】練21(2024·遼寧省沈陽市模擬)已知F為橢圓C:x2a2+y2=1(a>0)的右焦點，過原點的直線與橢圓C相交于A,B兩點，且AF⊥x軸，若A.233 B.433練22(2024·山東省濟(jì)南市月考)已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距為2，A為橢圓的右焦點，過點A在x軸上方作兩條斜率分別為1和?1的射線，與E分別交于B，CA.23 B.2 C.2或3 D.23練23(2024·四川省成都市月考)

如圖，設(shè)拋物線C:y=x2的焦點為F，動點P在直線l:x?y?2=0上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點．

(1)求△ABP的重心G的軌跡方程．(2)證明∠PFA=∠PFB1.(2024·江西省高安市月考)(多選)已知曲線C：y|y|=x，F(xiàn)1(?14,0)，F(xiàn)2(14,0)A.曲線C關(guān)于y軸對稱

B.|PF2|+|PM|的最小值是54

C.若PF2的中點在曲線C上，則|PF1|=34

2.(2024·廣東省清遠(yuǎn)市月考)(多選)已知雙曲線E:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(?4,0)，F(xiàn)2(4,0)，過點F2的直線與雙曲線E的右支交于P，Q兩點，PF1A.雙曲線E的漸近線方程為y=±3x

B.若直線y=kx+2與雙曲線E有且僅有1個公共點，則k=±2

C.|PQ|的最小值為12

3.(2024·湖南省長沙市月考)已知拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線為l，過點(?1,0)的直線交C于A，B兩點，AB的中點為M，分別過點A，B，M作l的垂線，垂足依次為D，E，Q，則當(dāng)|MQ||DE|取最小值時，|AB|=

【答案解析】教材改編1【人教A版選擇性必修一習(xí)題3.2第13題P128】解：(1)聯(lián)立y=x+1x2?y22=1，得x2?2x?3=0．

解得x=?1y=0，x=3y=4，

則直線y=x+1被雙曲線截得的弦的兩個端點為(?1,0)，(3,4)，

∴弦長為(?1?3)2+(0?4)2=42；

(2)假設(shè)存在直線l與雙曲線交于A，B兩點，且點P(1,1)是線段AB的中點．

設(shè)A(x1,∴kAB=y1?y2x1?x2=2，

故直線l的方程為y?1=2(x?1)，即y=2x?1．

由y=2x?1x2?y22=1，消去y教材改編2【人教A版選擇性必修一復(fù)習(xí)參考題3第12題P146】解：方法一：設(shè)P(x0,則點P到直線x?y+3=0的距離d=|當(dāng)y0=1時，dmin=5方法二：設(shè)與拋物線相切且與直線x?y+3=0平行的直線方程為x?y+m=0，由x?y+m=0,y2=2x,因為Δ=(?2)2?4×2m=0所以平行直線的方程為x?y+1此時點到直線的最短距離轉(zhuǎn)化為兩平行線之間的距離，則dmin=3?122=52例1解：由雙曲線的方程可知其漸近線方程為y=±1則點P(2,1)在漸近線y=1又雙曲線的右頂點為A(2,0)，如圖所示．滿足條件的直線l有兩條：x=2，y?1=?1例2解：∵直線方程為y=kx?k?1，∴直線恒過定點(1,?1)．∵曲線C的方程為x2∴曲線C表示橢圓．∵直線y=kx?k?1與曲線C:x∴點(1,?1)在橢圓內(nèi)或橢圓上，∴12+2×

例3解：因為x2+y2+4x+4+x2+y2?4x+4

=(x+2)2+(y?0)2+(x?2)2+(y?0)2=42，

可轉(zhuǎn)化為點(x,y)到點(?2,0)和點(2,0)的距離之和為42，

故點(x,y)在橢圓x28+y練11解：已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點為F，

若過右焦點F且斜率為3的直線與雙曲線的左、右支各有一個交點，

則該直線的斜率小于漸近線的斜率的絕對值ba，∴練12解：取橢圓的右焦點為E，連接PE，QF，如下圖所示，

由題意可知，點F?c,0為橢圓Γ因為點A3c,0、Ec,0，易知點E為線段又因為P為AQ的中點，所以PE//QF，取線段PQ的中點M，連接OM，則APPM所以O(shè)M//PE，則OM//QF，所以kOM設(shè)點Px1,y1所以x12a2+所以kOM因為橢圓Γ的離心率為e=ca=所以kOMkPQ=?3故選：B．練13解：A選項：根據(jù)對稱性，連接OP，OQ，

則|OF2|=|OF1|，|OP|=|OQ|，易知四邊形PF1QF2是平行四邊形，

∴|PF2|=|QF1|，∴|PF1|+|QF1|=|PF1|+|PF2|=4，故A正確；

B選項：由題意知|BF1|=a+c=2+3，又A(0,1)，

∴△AF1B的面積為12×(2+3)×1=1+32，故B不正確；

例4解：因為F2(2,0)，即c=2，又e=ca=2a=2，

所以a=1，b2=3，即雙曲線方程為x2?y23=1．

結(jié)合直線l斜率不存在的情況及離心率為2，可得直線l斜率存在且不為0，

設(shè)直線l方程為y=k(x?2)，(k≠0)，P(x1,y1),Q(x2,y2)，

把y=k(x?2)代入雙曲線方程并整理得

(3?k2)x2+4k2x?4k2?3=0，易得Δ>0，例5解：由點M(1,2)在拋物線C:y2=2px上得：22=2p，即p=2．

所以拋物線C的方程為：y2=4x.由題意知直線的斜率一定存在，

設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，A(x1,y1)，B(x2,y2).

由直線MA與MB的傾斜角互補(bǔ)得kMA+kMB=0，即

y1例6解：設(shè)M(x1,y1)，N(x2,y2)，

又橢圓x220+y216=1即4x2+5y2=80，

所以易知B(0,4)，F(xiàn)(2,0)，

所以由重心坐標(biāo)得0+x1+x23=2，4+y1+y23=0?x1+x2=6=1\?GB3①y1+y2=?4練21解：設(shè)Fc,0，如圖，記F′為C的左焦點，連接AF′，

則由橢圓的對稱性可知AF′=BF，由3BF=5AF，

因為AF⊥x軸，

所以FF′=AF′所以AF′+AF=8m=2aa所以C的長軸長為2a=4故選：B．練22解：

由焦距為2知A(1,0)，a2?b2=1，

設(shè)直線AB與E的另外一個交點為D，B(x1,y1)，D(x2,y2)，

則C，D關(guān)于x軸對稱，即|AD|=|AC|，

由△ABC的面積為13，得12|AB|?|AC|=13，即|AB|?|AD|=23，

將直線BD：y=x?1代入E的方程整理，得(2a2?1)x2?2a2x+(2a2?a4)=0，

顯然2a練23解：(1)設(shè)切點A，B的坐標(biāo)分別為(x1,x12)和(x2,x22)(x1≠x2)，

∴切線AP的方程為2x1x?y?x12

y=y1+y2+yP3=x12+x22+x1x23=(x1+x2)2?x1x23=練1解：對于A選項，易知點(1,1)在曲線C上，但點(?1,1)不在曲線上，所以曲線C不關(guān)于y軸對稱，故A錯誤；

對于B選項，當(dāng)y≥0時，曲線C的方程為y2=x，易知拋物線y2=x的焦點為點F2，

拋物線y2=x的準(zhǔn)線為x=?14，過點P作PD⊥l，垂足為點D，

由拋物線的定義可得|PF2|=|PD|，所以|PF2|+|PM|=|PD|+|PM|，

當(dāng)且僅當(dāng)M、P、D三點共線時，|PF2|+|PM|的最小值為點M到直線l的距離54，

同理當(dāng)y<0時，