中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)專題綜合練習(xí)一、函數(shù)的核心概念與基礎(chǔ)回顧函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心主線，它將變量之間的依賴關(guān)系抽象為代數(shù)表達式與幾何圖像的結(jié)合，是連接代數(shù)、幾何與實際問題的橋梁。1.函數(shù)的定義設(shè)在一個變化過程中有兩個變量\(x\)與\(y\)，如果對于\(x\)的每一個確定的值，\(y\)都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么就稱\(y\)是\(x\)的函數(shù)，\(x\)是自變量。2.函數(shù)的表示方法解析法：用數(shù)學(xué)式子表示函數(shù)（如\(y=2x+1\)）；圖像法：用坐標系中的曲線表示函數(shù)（如一次函數(shù)的直線、二次函數(shù)的拋物線）；列表法：用表格記錄自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系（如平方根函數(shù)的取值表）。二、一次函數(shù)：線性關(guān)系的建模與應(yīng)用（一）知識點回顧1.定義：形如\(y=kx+b\)（\(k,b\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）的函數(shù)，稱為一次函數(shù)。當(dāng)\(b=0\)時，\(y=kx\)是正比例函數(shù)（特殊的一次函數(shù)）。2.性質(zhì)：\(k\)的符號決定增減性：\(k>0\)時，\(y\)隨\(x\)增大而增大；\(k<0\)時，\(y\)隨\(x\)增大而減小；\(b\)是函數(shù)圖像與\(y\)軸的交點縱坐標（截距），圖像過點\((0,b)\)；圖像是直線，兩點即可確定一條直線。3.與方程、不等式的關(guān)系：一次函數(shù)\(y=kx+b\)的圖像與\(x\)軸交點的橫坐標，是方程\(kx+b=0\)的解；不等式\(kx+b>0\)的解集，是圖像在\(x\)軸上方的\(x\)取值范圍；\(kx+b<0\)對應(yīng)圖像在\(x\)軸下方的區(qū)域。（二）典型例題解析例1：求過點\(A(2,5)\)和\(B(-1,-1)\)的一次函數(shù)解析式。解題思路：用待定系數(shù)法，設(shè)解析式為\(y=kx+b\)，代入兩點坐標建立方程組求解。解：代入\(A(2,5)\)得：\(5=2k+b\)；代入\(B(-1,-1)\)得：\(-1=-k+b\)；用第一個方程減第二個方程：\(5-(-1)=2k+b-(-k+b)\)，即\(6=3k\)，解得\(k=2\)；將\(k=2\)代入\(-1=-k+b\)，得\(-1=-2+b\)，解得\(b=1\)；因此，一次函數(shù)解析式為\(y=2x+1\)。例2：已知一次函數(shù)\(y=-3x+6\)，求：（1）圖像與\(x\)軸、\(y\)軸的交點坐標；（2）不等式\(-3x+6\geq0\)的解集。解：（1）與\(x\)軸交點：令\(y=0\)，則\(-3x+6=0\)，解得\(x=2\)，交點為\((2,0)\)；與\(y\)軸交點：令\(x=0\)，則\(y=6\)，交點為\((0,6)\)；（2）\(-3x+6\geq0\)等價于\(y\geq0\)，即圖像在\(x\)軸及上方的區(qū)域，對應(yīng)\(x\leq2\)，解集為\((-\infty,2]\)。（三）練習(xí)鞏固1.基礎(chǔ)題：求過點\((0,3)\)和\((1,5)\)的一次函數(shù)解析式。（答案：\(y=2x+3\)）2.提升題：已知一次函數(shù)\(y=kx+2\)與\(x\)軸交于點\((4,0)\)，求\(k\)的值，并判斷當(dāng)\(x>4\)時，\(y\)的符號。（答案：\(k=-0.5\)，\(y<0\)）三、二次函數(shù)：拋物線的性質(zhì)與最值探究（一）知識點回顧1.定義：形如\(y=ax^2+bx+c\)（\(a,b,c\)為常數(shù)，\(a\neq0\)）的函數(shù)，稱為二次函數(shù)。2.三種表達式：一般式：\(y=ax^2+bx+c\)（全面反映系數(shù)與圖像的關(guān)系）；頂點式：\(y=a(x-h)^2+k\)（\((h,k)\)為頂點坐標，\(x=h\)為對稱軸）；交點式：\(y=a(x-x_1)(x-x_2)\)（\(x_1,x_2\)為圖像與\(x\)軸的交點橫坐標，需滿足判別式\(\Delta\geq0\)）。3.性質(zhì)：開口方向：\(a>0\)時，拋物線開口向上；\(a<0\)時，開口向下；頂點坐標：一般式通過配方法轉(zhuǎn)化為頂點式，頂點坐標為\(\left(-\frac{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)\)；對稱軸：直線\(x=-\frac{2a}\)；最值：開口向上時，頂點為最小值點；開口向下時，頂點為最大值點；與\(x\)軸的交點：判別式\(\Delta=b^2-4ac\)，\(\Delta>0\)時有兩個不同交點，\(\Delta=0\)時有一個交點（頂點在\(x\)軸上），\(\Delta<0\)時無交點。（二）典型例題解析例3：將二次函數(shù)\(y=2x^2-4x+5\)化為頂點式，并求頂點坐標與最值。解題思路：用配方法將一般式轉(zhuǎn)化為頂點式。解：\(y=2x^2-4x+5=2(x^2-2x)+5=2(x^2-2x+1-1)+5=2(x-1)^2-2+5=2(x-1)^2+3\)；因此，頂點式為\(y=2(x-1)^2+3\)，頂點坐標為\((1,3)\)；由于\(a=2>0\)，拋物線開口向上，最小值為3（無最大值）。例4：求二次函數(shù)\(y=-x^2+2x+3\)在區(qū)間\([0,4]\)上的最大值與最小值。解題思路：先求頂點坐標，判斷對稱軸是否在區(qū)間內(nèi)，再比較頂點與區(qū)間端點的函數(shù)值。解：將函數(shù)化為頂點式：\(y=-(x^2-2x)+3=-(x-1)^2+4\)，頂點坐標為\((1,4)\)，對稱軸\(x=1\)，在區(qū)間\([0,4]\)內(nèi)；計算區(qū)間端點函數(shù)值：當(dāng)\(x=0\)時，\(y=0+0+3=3\)；當(dāng)\(x=4\)時，\(y=-16+8+3=-5\)；因此，區(qū)間內(nèi)最大值為4（頂點處），最小值為-5（\(x=4\)時）。（三）練習(xí)鞏固1.基礎(chǔ)題：求二次函數(shù)\(y=x^2-6x+8\)的頂點坐標與對稱軸。（答案：頂點\((3,-1)\)，對稱軸\(x=3\)）2.提升題：已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+2\)的圖像過點\((1,0)\)和\((2,3)\)，求\(a,b\)的值，并判斷其開口方向。（答案：\(a=1,b=-3\)，開口向上）四、反比例函數(shù)：雙曲線的規(guī)律與實際應(yīng)用（一）知識點回顧1.定義：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)為常數(shù)，\(k\neq0\)）的函數(shù)，稱為反比例函數(shù)（也可表示為\(xy=k\)）。2.性質(zhì)：圖像是雙曲線，關(guān)于原點對稱；\(k\)的符號決定象限：\(k>0\)時，雙曲線在第一、三象限；\(k<0\)時，在第二、四象限；增減性：在每個象限內(nèi)，\(k>0\)時\(y\)隨\(x\)增大而減小；\(k<0\)時\(y\)隨\(x\)增大而增大（注意：不能說“在全體實數(shù)上增減”）；漸近線：\(x\)軸與\(y\)軸（圖像無限接近但不相交）。（二）典型例題解析例5：已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)的圖像過點\((3,-2)\)，求\(k\)的值，并判斷點\((-2,3)\)是否在該圖像上。解題思路：代入已知點求\(k\)，再驗證另一點是否滿足函數(shù)關(guān)系式。解：代入點\((3,-2)\)得：\(-2=\frac{k}{3}\)，解得\(k=-6\)，因此函數(shù)解析式為\(y=-\frac{6}{x}\)；驗證點\((-2,3)\)：右邊\(=-\frac{6}{-2}=3\)，等于左邊\(y=3\)，因此點\((-2,3)\)在圖像上。例6：若反比例函數(shù)\(y=\frac{m}{x}\)的圖像在第二、四象限，求\(m\)的取值范圍，并說明當(dāng)\(x>0\)時\(y\)的增減性。解：雙曲線在第二、四象限，說明\(k=m<0\)，因此\(m\)的取值范圍是\(m<0\)；當(dāng)\(x>0\)時，函數(shù)圖像在第四象限，由于\(m<0\)，在該象限內(nèi)\(y\)隨\(x\)增大而增大。（三）練習(xí)鞏固1.基礎(chǔ)題：求過點\((2,4)\)的反比例函數(shù)解析式。（答案：\(y=\frac{8}{x}\)）2.提升題：已知反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)與一次函數(shù)\(y=2x+1\)的圖像交于點\((1,a)\)，求\(k\)和\(a\)的值。（答案：\(a=3\)，\(k=3\)）五、函數(shù)綜合：圖像、性質(zhì)與跨專題應(yīng)用（一）知識點回顧1.函數(shù)圖像的平移：一次函數(shù)\(y=kx+b\)：向左平移\(h\)個單位得\(y=k(x+h)+b\)，向右平移\(h\)個單位得\(y=k(x-h)+b\)；向上平移\(k\)個單位得\(y=kx+b+k\)，向下平移\(k\)個單位得\(y=kx+b-k\)（總結(jié)：左加右減，上加下減）；二次函數(shù)\(y=a(x-h)^2+k\)：平移規(guī)律與一次函數(shù)一致，頂點\((h,k)\)隨平移變化。2.函數(shù)圖像的符號判斷：一次函數(shù)\(y=kx+b\)：\(k>0\)時圖像從左到右上升，\(k<0\)時下降；\(b>0\)時交\(y\)軸正半軸，\(b<0\)時交負半軸；二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)：\(a>0\)時開口向上，\(a<0\)時開口向下；\(c>0\)時交\(y\)軸正半軸，\(c<0\)時交負半軸；反比例函數(shù)\(y=\frac{k}{x}\)：\(k>0\)時在第一、三象限，\(k<0\)時在第二、四象限。（二）典型例題解析例7：將二次函數(shù)\(y=x^2\)的圖像向左平移2個單位，再向下平移3個單位，求平移后的函數(shù)解析式。解題思路：根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律，頂點從\((0,0)\)變?yōu)閈((-2,-3)\)，因此頂點式為\(y=(x+2)^2-3\)。解：平移后的函數(shù)解析式為\(y=(x+2)^2-3\)，展開后為\(y=x^2+4x+1\)。例8：已知函數(shù)\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）和\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）的圖像如圖所示，判斷\(k\)和\(b\)的符號。解題思路：先看反比例函數(shù)圖像所在象限判斷\(k\)的符號，再看一次函數(shù)的增減性與截距判斷\(b\)的符號。解：反比例函數(shù)圖像在第二、四象限，說明\(k<0\)；一次函數(shù)圖像從左到右下降（\(k<0\)，符合上述結(jié)論），且與\(y\)軸交于正半軸，說明\(b>0\)；因此，\(k<0\)，\(b>0\)。（三）練習(xí)鞏固1.基礎(chǔ)題：將一次函數(shù)\(y=3x-1\)向右平移1個單位，求平移后的解析式。（答案：\(y=3(x-1)-1=3x-4\)）2.提升題：已知二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)的圖像開口向下，交\(y\)軸于正半軸，且對稱軸在\(y\)軸右側(cè)，判斷\(a,b,c\)的符號。（答案：\(a<0\)，\(b>0\)，\(c>0\)）六、函數(shù)應(yīng)用：從實際問題到數(shù)學(xué)模型（一）知識點回顧函數(shù)應(yīng)用的核心是建立數(shù)學(xué)模型，將實際問題中的變量關(guān)系轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式，再通過函數(shù)性質(zhì)解決問題。常見類型：1.一次函數(shù)應(yīng)用：行程問題（速度\(\times\)時間=路程）、工程問題（效率\(\times\)時間=工作量）、銷售問題（單價\(\times\)數(shù)量=銷售額）；2.二次函數(shù)應(yīng)用：最值問題（利潤最大化、面積最大化、高度最大化）；3.反比例函數(shù)應(yīng)用：反比例關(guān)系問題（壓力\(\times\)受力面積=壓強，速度\(\times\)時間=路程）。（二）典型例題解析例9：某工廠生產(chǎn)一批零件，每天生產(chǎn)\(x\)個，需要\(y\)天完成，且\(y\)與\(x\)之間滿足反比例函數(shù)關(guān)系。已知當(dāng)\(x=100\)時，\(y=20\)，求：（1）\(y\)與\(x\)之間的函數(shù)解析式；（2）若每天生產(chǎn)120個，需要多少天完成？解：（1）設(shè)反比例函數(shù)解析式為\(y=\frac{k}{x}\)，代入\(x=100\)，\(y=20\)得：\(20=\frac{k}{100}\)，解得\(k=2000\)，因此函數(shù)解析式為\(y=\frac{2000}{x}\)；（2）當(dāng)\(x=120\)時，\(y=\frac{2000}{120}\approx16.67\)，因此需要17天完成（天數(shù)取整數(shù)）。例10：某商店銷售某種商品，每件成本為50元，售價為\(x\)元時，每天的銷售量為\(y=-10x+1000\)件（\(50\leqx\leq100\)）。求每天的利潤\(W\)與售價\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)售價為多少時，利潤最大？解題思路：利潤=（售價-成本）\(\times\)銷售量，建立二次函數(shù)模型，求其最大值。解：利潤\(W=(x-50)y=(x-50)(-10x+1000)=-10x^2+1500x-____\)；這是一個二次函數(shù)，\(a=-10<0\)，開口向下，頂點處利潤最大；頂點橫坐標\(x=-\frac{2a}=-\frac{1500}{2\times(-10)}=75\)；因此，當(dāng)售價為75元時，利潤最大，最大利潤為\(W=-10\times75^2+1500\times____=____\)元。（三）練習(xí)鞏固1.基礎(chǔ)題：某汽車行駛時，油箱內(nèi)油量\(y\)（升）與行駛時間\(t\)（小時）滿足一次函數(shù)關(guān)系，已知行駛2小時后油量為30升，行駛5小時后油量為15升，求油箱初始油量。（答案：40升）2.提升題：用長為20米的籬笆圍成一個矩形菜園，求菜園面積\(S\)與一邊長\(x\)之間的函數(shù)關(guān)系式，并求面積的最大值。（答案：\(S=x(10-x)=-x^2+10x\)，最大值25平方米）七、答案與解析（節(jié)選）二、一次函數(shù)練習(xí)鞏固1.設(shè)解析式為\(y=kx+3\)，代入\((1,5)\)得\(5=k+3\)，解得\(k=2\)，故\(y=2x+3\)。2.代入\((4,0)\)得\(0=4k+2\)，解得\(k=-0.5\)；當(dāng)\(x>4\)時，\(y=-0.5x+2<0\)。三、二次函數(shù)練習(xí)鞏固1.頂點橫坐標\(x=-\frac{-6}{2\times1}=3\)，代入得\(y=9-18+8=-1\)，故頂點\((3,-1)\)，對稱軸