線性代數(shù)重點難點復(fù)習(xí)題集第一章行列式：核心概念與計算技巧一、重點難點梳理1.基本定義：n階行列式的展開式（逆序數(shù)定義）、余子式與代數(shù)余子式（\(A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\)）。2.核心性質(zhì)：換行/列符號改變、某行/列乘k加到另一行/列行列式不變、提公因子、轉(zhuǎn)置行列式不變。3.特殊行列式：對角/三角行列式（主對角線元素乘積）、范德蒙德行列式（\(\prod_{1\leqi<j\leqn}(a_j-a_i)\)）、分塊行列式（對角分塊矩陣的行列式為各塊行列式乘積）。4.抽象行列式：結(jié)合矩陣運算（逆、伴隨、相似）的行列式計算（如\(|A^*|=|A|^{n-1}\)、\(|P^{-1}AP|=|A|\)）。二、典型例題解析例題1：抽象行列式計算已知A為n階可逆矩陣，\(|A|=2\)，求\(|2A^{-1}+3A^*|\)。解析：利用伴隨矩陣與逆矩陣的關(guān)系\(A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1}\)，代入得：\[2A^{-1}+3A^*=2A^{-1}+6A^{-1}=8A^{-1}=8^nA^{-1}\]注：關(guān)鍵在于將伴隨矩陣轉(zhuǎn)化為逆矩陣，利用行列式數(shù)乘性質(zhì)（\(|kA|=k^n|A|\)）。例題2：范德蒙德行列式應(yīng)用計算行列式\(D=\begin{vmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^2&b^2&c^2\end{vmatrix}\)，并求其值為0的條件。解析：該行列式為范德蒙德行列式，值為\((b-a)(c-a)(c-b)\)。當(dāng)\(a=b\)或\(a=c\)或\(b=c\)時，\(D=0\)。注：范德蒙德行列式是判斷向量組線性相關(guān)性的重要工具（如向量組\((1,a,a^2)^T\)線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)\(a\)互不相等）。三、解題技巧總結(jié)化簡優(yōu)先：用性質(zhì)將行列式化為三角或?qū)切问?，再計算主對角線乘積。展開定理：選擇零元素多的行/列展開，減少計算量。抽象行列式：利用矩陣運算性質(zhì)（如\(|AB|=|A||B|\)、\(|A^{-1}|=1/|A|\)）轉(zhuǎn)化為已知行列式。第二章矩陣：運算與秩的分析一、重點難點梳理1.基本運算：矩陣乘法（不交換、結(jié)合律）、轉(zhuǎn)置（\((AB)^T=B^TA^T\)）、逆矩陣（\(AB=E\RightarrowB=A^{-1}\)）。2.矩陣的秩：定義（階梯形矩陣非零行數(shù)目）、性質(zhì)（\(r(AB)\leq\min(r(A),r(B))\)、\(r(A^T)=r(A)\)、\(r(A+B)\leqr(A)+r(B)\)）。3.逆矩陣求法：初等變換法（\([A|E]\to[E|A^{-1}]\)）、伴隨矩陣法（\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*\)，適用于低階矩陣）。4.分塊矩陣：對角分塊矩陣的逆（\(\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}\)）、三角分塊矩陣的逆（需用公式推導(dǎo)）。二、典型例題解析例題1：初等變換法求逆矩陣求矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}\)的逆矩陣。解析：構(gòu)造增廣矩陣\([A|E]\)，進(jìn)行初等行變換：\[\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\2&2&1&0&1&0\\3&4&3&0&0&1\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&0&1&3&-2\\0&1&0&-3/2&-3&5/2\\0&0&1&1&1&-1\end{pmatrix},\]故\(A^{-1}=\begin{pmatrix}1&3&-2\\-3/2&-3&5/2\\1&1&-1\end{pmatrix}\)。注：初等變換法是求逆矩陣的最有效方法，尤其適用于高階矩陣。例題2：矩陣秩的不等式應(yīng)用已知\(A\)為\(m\timesn\)矩陣，\(B\)為\(n\timesp\)矩陣，且\(AB=0\)，證明\(r(A)+r(B)\leqn\)。解析：將\(B\)按列分塊\(B=(\beta_1,\beta_2,\dots,\beta_p)\)，則\(AB=(A\beta_1,\dots,A\beta_p)=0\)，故每個\(\beta_i\)都是\(Ax=0\)的解。\(Ax=0\)的解空間維數(shù)為\(n-r(A)\)，因此\(r(B)\leqn-r(A)\)，即\(r(A)+r(B)\leqn\)。注：該結(jié)論是矩陣秩的核心不等式，常用于證明題。三、解題技巧總結(jié)逆矩陣：優(yōu)先用初等變換法，避免伴隨矩陣法的大量計算。矩陣秩：通過初等行變換化為階梯形，非零行數(shù)目即為秩；抽象矩陣的秩常用不等式（如\(r(AB)\leq\min(r(A),r(B))\)）。分塊矩陣：對角分塊矩陣的逆最易計算，三角分塊矩陣需注意逆矩陣的結(jié)構(gòu)。第二章向量組：線性相關(guān)性與秩一、重點難點梳理1.線性組合與表示：向量\(\beta\)可由\(\alpha_1,\dots,\alpha_m\)線性表示\(\Leftrightarrowr(\alpha_1,\dots,\alpha_m)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta)\)。2.線性相關(guān)/無關(guān)：定義：存在不全為零的數(shù)\(k_1,\dots,k_m\)，使得\(k_1\alpha_1+\dots+k_m\alpha_m=0\)（相關(guān)）；否則無關(guān)。判定：具體向量組（矩陣秩\(<m\)則相關(guān)）、抽象向量組（用定義或定理，如“含零向量必相關(guān)”“無關(guān)組延長后仍無關(guān)”）。3.極大線性無關(guān)組：向量組中線性無關(guān)且能表示所有向量的子組；求法（矩陣列向量組的極大無關(guān)組對應(yīng)階梯形主元列）。4.向量組的秩：極大無關(guān)組的向量個數(shù)，等于對應(yīng)矩陣的秩。二、典型例題解析例題1：具體向量組的線性相關(guān)性判斷向量組\(\alpha_1=(1,2,3)^T\)、\(\alpha_2=(2,4,6)^T\)、\(\alpha_3=(3,5,7)^T\)的線性相關(guān)性，并求極大無關(guān)組。解析：將向量組作為列向量組成矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&6&7\end{pmatrix}\)，初等行變換得：\[A\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&-1\\0&0&-2\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&2&3\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.\]\(r(A)=2<3\)，故向量組線性相關(guān)。主元列對應(yīng)原向量\(\alpha_1,\alpha_3\)，故極大無關(guān)組為\(\{\alpha_1,\alpha_3\}\)（或\(\{\alpha_1,\alpha_2\}\)）。注：極大無關(guān)組不唯一，但秩唯一。例題2：抽象向量組的線性無關(guān)判定已知\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，證明\(\beta_1=\alpha_1+\alpha_2\)、\(\beta_2=\alpha_2+\alpha_3\)、\(\beta_3=\alpha_3+\alpha_1\)線性無關(guān)。解析：設(shè)\(k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0\)，代入得：\[(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0.\]因\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)無關(guān)，故系數(shù)全為零：\[\begin{cases}k_1+k_3=0,\\k_1+k_2=0,\\k_2+k_3=0.\end{cases}\]解得\(k_1=k_2=k_3=0\)，故\(\beta_1,\beta_2,\beta_3\)線性無關(guān)。注：抽象向量組的相關(guān)性判定需用定義，結(jié)合已知無關(guān)組的條件。三、解題技巧總結(jié)線性相關(guān)：具體向量組用矩陣秩判定（秩\(<\)向量個數(shù)則相關(guān)）；抽象向量組用定義或定理（如“若有一個向量可由其他表示，則相關(guān)”）。極大無關(guān)組：將向量組作為列向量組成矩陣，初等行變換為階梯形，主元列對應(yīng)原向量即為極大無關(guān)組。線性表示：通過增廣矩陣秩判斷（\(r(\alpha_1,\dots,\alpha_m)=r(\alpha_1,\dots,\alpha_m,\beta)\)則可表示）。第四章線性方程組：解的結(jié)構(gòu)與求解一、重點難點梳理1.解的判定：齊次方程組\(Ax=0\)：必有解（零解）；非零解\(\Leftrightarrowr(A)<n\)。非齊次方程組\(Ax=b\)：有解\(\Leftrightarrowr(A)=r(\overline{A})\)（\(\overline{A}\)為增廣矩陣）；唯一解\(\Leftrightarrowr(A)=r(\overline{A})=n\)；無窮多解\(\Leftrightarrowr(A)=r(\overline{A})<n\)。2.解的結(jié)構(gòu)：齊次方程組：基礎(chǔ)解系（線性無關(guān)的解，個數(shù)為\(n-r(A)\)）；通解為基礎(chǔ)解系的線性組合。非齊次方程組：通解為特解+齊次方程組通解。3.求解方法：高斯消元法（將增廣矩陣化為階梯形，回代求解）。二、典型例題解析例題1：含參數(shù)方程組的解判定解方程組\(\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1,\\x_1+2x_2+ax_3=2,\\x_1+4x_2+a^2x_3=4,\end{cases}\)討論\(a\)的取值與解的關(guān)系。解析：構(gòu)造增廣矩陣\(\overline{A}=\begin{pmatrix}1&1&1&1\\1&2&a&2\\1&4&a^2&4\end{pmatrix}\)，初等行變換得：\[\overline{A}\to\begin{pmatrix}1&1&1&1\\0&1&a-1&1\\0&0&(a-1)(a-2)&0\end{pmatrix}.\]當(dāng)\(a\neq1\)且\(a\neq2\)時，\(r(A)=r(\overline{A})=3\)，唯一解\(x=(0,1,0)^T\)。當(dāng)\(a=1\)時，\(r(A)=r(\overline{A})=2\)，通解為\(x=(0,1,0)^T+k(-1,0,1)^T\)（\(k\in\mathbb{R}\)）。當(dāng)\(a=2\)時，\(r(A)=r(\overline{A})=2\)，通解為\(x=(0,1,0)^T+k(0,-1,1)^T\)（\(k\in\mathbb{R}\)）。注：參數(shù)方程組需通過增廣矩陣秩的變化分析解的情況。例題2：基礎(chǔ)解系與通解求齊次方程組\(\begin{cases}x_1+x_2-x_3-x_4=0,\\2x_1-5x_2+3x_3+2x_4=0,\\7x_1-7x_2+3x_3+x_4=0\end{cases}\)的基礎(chǔ)解系與通解。解析：系數(shù)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\2&-5&3&2\\7&-7&3&1\end{pmatrix}\)，初等行變換得：\[A\to\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\0&-7&5&4\\0&0&0&0\end{pmatrix}.\]\(r(A)=2\)，基礎(chǔ)解系個數(shù)為\(4-2=2\)。選自由變量\(x_3,x_4\)，令\((x_3,x_4)=(1,0)\)得\(\alpha_1=(2/7,5/7,1,0)^T\)；令\((x_3,x_4)=(0,1)\)得\(\alpha_2=(3/7,4/7,0,1)^T\)。通解為\(x=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2\)（\(k_1,k_2\in\mathbb{R}\)）。注：基礎(chǔ)解系的選取不唯一，但線性無關(guān)性必須滿足。三、解題技巧總結(jié)解的判定：優(yōu)先計算增廣矩陣秩，比較\(r(A)\)與\(r(\overline{A})\)。基礎(chǔ)解系：解齊次方程組時，選自由變量為非主元列對應(yīng)的變量，令自由變量取單位向量，得到線性無關(guān)的解。通解：非齊次方程組的通解必須包含特解和齊次通解，缺一不可。第五章特征值與特征向量：相似對角化一、重點難點梳理1.基本定義：特征值（\(Ax=\lambdax\)，\(x\neq0\)）、特征向量（滿足\(Ax=\lambdax\)的非零向量）。2.核心性質(zhì)：特征值之和等于跡（\(\sum\lambda_i=\text{tr}(A)\)），乘積等于行列式（\(\prod\lambda_i=|A|\)）。不同特征值的特征向量線性無關(guān)；實對稱矩陣的特征向量正交。3.相似對角化：條件：\(A\)有\(zhòng)(n\)個線性無關(guān)的特征向量（或重特征值的幾何重數(shù)等于代數(shù)重數(shù)）。方法：求特征值→求特征向量→構(gòu)造可逆矩陣\(P\)（特征向量組成），使得\(P^{-1}AP=\Lambda\)（對角矩陣，對角線為特征值）。4.實對稱矩陣：必可正交相似對角化（特征向量正交化、單位化后構(gòu)造正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ=\Lambda\)）。二、典型例題解析例題1：特征值與特征向量計算求矩陣\(A=\begin{pmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{pmatrix}\)的特征值與特征向量，并判斷是否可相似對角化。解析：特征方程\(|A-\lambdaE|=0\)展開得：\[A-\lambdaE\]故特征值\(\lambda_1=2\)（二重），\(\lambda_2=4\)（單根）。\(\lambda=2\)時，解\((A-2E)x=0\)，得特征向量\(\alpha_1=(-1,1,1)^T\)（幾何重數(shù)1，代數(shù)重數(shù)2，不等）。\(\lambda=4\)時，解\((A-4E)x=0\)，得特征向量\(\alpha_2=(1,-1,1)^T\)（幾何重數(shù)1）。\(A\)只有2個線性無關(guān)的特征向量，故不可相似對角化。注：重特征值的幾何重數(shù)（特征空間維數(shù)）必須等于代數(shù)重數(shù)，否則不可對角化。例題2：實對稱矩陣的正交相似對角化設(shè)\(A=\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&1\end{pmatrix}\)，求正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣。解析：\(A=3J-2E\)（\(J\)為全1矩陣），\(J\)的特征值為3（一重）、0（二重），故\(A\)的特征值為\(7\)（一重）、\(-2\)（二重）。\(\lambda=7\)時，特征向量\(\alpha_1=(1,1,1)^T\)，單位化得\(q_1=(1/\sqrt{3},1/\sqrt{3},1/\sqrt{3})^T\)。\(\lambda=-2\)時，特征向量\(\alpha_2=(1,-1,0)^T\)、\(\alpha_3=(1,0,-1)^T\)，正交化（施密特正交化）后單位化得\(q_2=(1/\sqrt{2},-1/\sqrt{2},0)^T\)、\(q_3=(1/\sqrt{6},1/\sqrt{6},-2/\sqrt{6})^T\)。構(gòu)造正交矩陣\(Q=(q_1,q_2,q_3)\)，則\(Q^TAQ=\begin{pmatrix}7&0&0\\0&-2&0\\0&0&-2\end{pmatrix}\)。注：實對稱矩陣的特征向量正交，無需額外正交化；重特征值的特征向量需正交化。三、解題技巧總結(jié)特征值：低階矩陣直接展開行列式；高階矩陣用性質(zhì)（如跡、行列式）或矩陣結(jié)構(gòu)（如\(A=kJ+lE\)）。特征向量：解\((A-\lambdaE)x=0\)，基礎(chǔ)解系即為特征向量；注意特征向量必須非零。相似對角化：優(yōu)先判斷重特征值的幾何重數(shù)（\(\dimN(A-\lambdaE)=n-r(A-\lambdaE)\)），若等于代數(shù)重數(shù)，則可對角化。第六章二次型：標(biāo)準(zhǔn)化與正定判定一、重點難點梳理1.基本定義：二次型的矩陣表示（\(f(x)=x^TAx\)，\(A\)為對稱矩陣）、合同變換（\(C^TAC=B\)，\(C\)可逆）。2.標(biāo)準(zhǔn)化方法：配方法：逐步配方消去交叉項（適用于任何二次型）。正交變換法：實二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形（保持幾何形狀，標(biāo)準(zhǔn)形為特征值）。初等變換法：通過合同變換將\(A\)化為對角矩陣。3.慣性定理：標(biāo)準(zhǔn)形中正負(fù)慣性指數(shù)（正、負(fù)特征值個數(shù)）唯一，與變換無關(guān)。4.正定二次型：定義：\(x\neq0\)時\(x^TAx>0\)。判定：順序主子式全正、特征值全正、合同于單位矩陣。二、典型例題解析例題1：配方法化二次型化二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3\)為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出可逆線性變換。解析：按\(x_1\)配方：\[f=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2x_3=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2.\]令\(y_1=x_1+x_2+x_3\)，\(y_2=x_2+2x_3\)，\(y_3=x_3\)，則可逆線性變換為：\[x_1=y_1-y_2+y_3,\quadx_2=y_2-2y_3,\quadx_3=y_3,\]標(biāo)準(zhǔn)形為\(f=y_1^2+y_2^2\)。注：配方法的關(guān)鍵是選擇合適的變量順序，逐步消去交叉項。例題2：正定二次型判定判斷二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3\)是否正定。解析：二次型矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)，計算順序主子式：一階：\(1>0\)；二階：\(\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}=1>0\)；三階：\(\begin{vmatrix}1&1&1\\1&2&0\\1&0&3\end{vmatrix}=1>0\)。所有順序主子式全正，故\(f\)正定。注：順序主子式法是判定具體二次型正定的最直接方法。三、解題技巧總結(jié)標(biāo)準(zhǔn)化：配方法適用于任何二次型，正交變換法適用于實二次型（需求特征值、特征向量）。正定判定：具體二次型用順序主子式；抽象二次型用定義（\(x\neq0\)時\(x^TAx>0\)）或特征值（全正）。合同矩陣：慣性指數(shù)相同的對稱矩陣合同（正定矩陣必合同于單位矩陣）。第七章綜合題：跨章節(jié)知識點應(yīng)用例題1：矩陣相似與特征值綜合已知\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關(guān)，\(A\alpha_1=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3\)，\(A\alpha_2=2\alpha_2+\alpha_3\)，\(A\alpha_3=2\alpha_2+3\alpha_3\)，求\(A\)的特征值與特征向量。解析：構(gòu)造矩陣\(P=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\)（可逆），則\(AP=P\begin{pmatrix}1&0&0\\1&2&2\\1&1&3\end{pmatrix}=PB\)，故\(A=PBP^{-1}\)（\(A\)與\(B\)相似）。\(B\)的特征值為\