多項式乘法教學(xué)導(dǎo)學(xué)案與練習(xí)題一、導(dǎo)學(xué)案設(shè)計（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.知識與技能：理解多項式乘法的法則，掌握多項式乘多項式的運算步驟，能準(zhǔn)確進行多項式乘法運算。2.過程與方法：通過幾何情境（如長方形面積）抽象出多項式乘法法則，體會“轉(zhuǎn)化”思想（將多項式乘法轉(zhuǎn)化為單項式乘多項式）。3.情感態(tài)度與價值觀：通過實際問題應(yīng)用，感受多項式乘法的實用價值，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪\算習(xí)慣。（二）前置知識回顧1.單項式乘法法則：系數(shù)相乘，相同字母的指數(shù)相加，單獨字母保留。例：\(2a^2b\cdot3ac=(2\times3)\cdot(a^2\cdota)\cdotb\cdotc=6a^3bc\)。2.單項式乘多項式法則：用單項式乘多項式的每一項，再把所得積相加。例：\(3x(2x-y)=3x\cdot2x+3x\cdot(-y)=6x^2-3xy\)。3.同類項定義：所含字母相同，且相同字母的指數(shù)也相同的項；合并同類項：系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變。（三）教學(xué)過程1.情境引入：幾何直觀感知問題情境：某校園計劃修建一個長方形水池，長為\((a+b)\)米，寬為\((c+d)\)米（\(a,b,c,d\)均為正數(shù)），求水池的面積。思考：如何用代數(shù)方法表示面積？分析：長方形面積=長×寬，即\((a+b)(c+d)\)。也可將水池分為四個小長方形（如圖1），面積分別為\(ac\)、\(ad\)、\(bc\)、\(bd\)，總面積為\(ac+ad+bc+bd\)。結(jié)論：\((a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd\)。2.法則推導(dǎo)：從具體到抽象過渡：上述情境給出了兩個一次二項式相乘的結(jié)果，那么對于一般的多項式乘法（如一次多項式乘二次多項式、二次多項式乘二次多項式），法則是否適用？推導(dǎo)過程：設(shè)兩個多項式分別為\(A=a_1+a_2+\dots+a_m\)（\(m\)項），\(B=b_1+b_2+\dots+b_n\)（\(n\)項），則\(A\cdotB=(a_1+a_2+\dots+a_m)\cdot(b_1+b_2+\dots+b_n)\)。根據(jù)分配律，可將其轉(zhuǎn)化為單項式乘多項式：\(A\cdotB=a_1\cdotB+a_2\cdotB+\dots+a_m\cdotB\)，再對每一項應(yīng)用單項式乘多項式法則：\(=a_1b_1+a_1b_2+\dots+a_1b_n+a_2b_1+a_2b_2+\dots+a_2b_n+\dots+a_mb_1+a_mb_2+\dots+a_mb_n\)。結(jié)論：多項式乘法法則——用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加（簡稱“逐項相乘，積相加”）。3.例題講解：規(guī)范運算步驟例1：計算\((x+2)(3x-1)\)步驟：1.展開：用第一個多項式的每一項乘第二個多項式的每一項，得\(x\cdot3x+x\cdot(-1)+2\cdot3x+2\cdot(-1)\)；2.計算單項式乘積：\(3x^2-x+6x-2\)；3.合并同類項：\(3x^2+5x-2\)。答案：\(3x^2+5x-2\)。例2：計算\((-2a+b)(a-3b)\)步驟：1.注意符號，展開得\((-2a)\cdota+(-2a)\cdot(-3b)+b\cdota+b\cdot(-3b)\)；2.計算乘積：\(-2a^2+6ab+ab-3b^2\)；3.合并同類項：\(-2a^2+7ab-3b^2\)。答案：\(-2a^2+7ab-3b^2\)。例3：計算\((x^2+3x-1)(2x-5)\)（一次多項式乘二次多項式）步驟：1.展開：\(x^2\cdot2x+x^2\cdot(-5)+3x\cdot2x+3x\cdot(-5)+(-1)\cdot2x+(-1)\cdot(-5)\)；2.計算乘積：\(2x^3-5x^2+6x^2-15x-2x+5\)；3.合并同類項：\(2x^3+x^2-17x+5\)。答案：\(2x^3+x^2-17x+5\)。4.易錯點警示符號錯誤：當(dāng)多項式項為負(fù)數(shù)時，需注意符號傳遞（如例2中的\((-2a)\cdot(-3b)=+6ab\)）；漏乘項：確保第一個多項式的每一項都與第二個多項式的每一項相乘（如\((a+b)(c+d+e)\)需乘6次）；同類項合并錯誤：合并同類項時，系數(shù)相加，字母及指數(shù)不變（如\(6ab+ab=7ab\)，而非\(7a^2b^2\)）。（四）總結(jié)提升1.法則本質(zhì)：多項式乘法是分配律的多次應(yīng)用，將復(fù)雜的多項式運算轉(zhuǎn)化為簡單的單項式運算；2.運算步驟：一“展”（逐項相乘）、二“算”（單項式乘積）、三“合”（合并同類項）；3.口訣記憶：“多項式乘多項式，每一項都要乘到，乘積符號要注意，最后合并同類項”。二、練習(xí)題設(shè)計（一）基礎(chǔ)鞏固題（側(cè)重法則應(yīng)用）1.計算\((m+3)(n-2)\)；2.計算\((2x-1)(x+4)\)；3.計算\((-a+2b)(3a-b)\)；4.計算\((y^2+2)(y-1)\)。答案與解析：1.展開：\(mn-2m+3n-6\)（無同類項，直接保留）；2.展開：\(2x^2+8x-x-4=2x^2+7x-4\)；3.展開：\(-3a^2+ab+6ab-2b^2=-3a^2+7ab-2b^2\)；4.展開：\(y^3-y^2+2y-2\)（無同類項，直接保留）。（二）能力提升題（側(cè)重符號與復(fù)雜項）1.計算\((3a-2b)(-a+5b)\)；2.計算\((x^2-2x+3)(2x+1)\)；3.計算\((-2m+n)(-m-3n)\)；4.計算\((a+b)(a-b)\)（思考：結(jié)果有何規(guī)律？）。答案與解析：1.展開：\(-3a^2+15ab+2ab-10b^2=-3a^2+17ab-10b^2\)；2.展開：\(2x^3+x^2-4x^2-2x+6x+3=2x^3-3x^2+4x+3\)；3.展開：\(2m^2+6mn-mn-3n^2=2m^2+5mn-3n^2\)；4.展開：\(a^2-ab+ab-b^2=a^2-b^2\)（規(guī)律：兩數(shù)和乘兩數(shù)差等于平方差，即\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)，為后續(xù)“平方差公式”鋪墊）。（三）拓展應(yīng)用題（側(cè)重實際意義與綜合應(yīng)用）1.實際問題：一個長方形的長比寬多\(2\)，寬為\(x\)，求長方形的面積（用多項式表示）；2.代數(shù)化簡：化簡\((x+1)(x+2)-(x-3)(x+4)\)；3.幾何應(yīng)用：如圖2，大長方形由兩個小長方形和一個正方形組成，求大長方形的面積（用兩種方法表示，驗證多項式乘法的正確性）。答案與解析：1.長為\(x+2\)，面積為\((x+2)x=x^2+2x\)；2.先展開兩項：\((x^2+3x+2)-(x^2+x-12)=x^2+3x+2-x^2-x+12=2x+14\)；3.方法一：大長方形長為\(a+b\)，寬為\(a+c\)，面積為\((a+b)(a+c)\)；方法二：分塊面積和為\(a^2+ac+ab+bc\)；驗證：\((a+b)(a+c)=a^2+ac+ab+bc\)（符合多項式乘法法則）。（四）拓展挑戰(zhàn)題（側(cè)重綜合應(yīng)用）1.若\((x+a)(x+b)=x^2+5x+6\)，求\(a+b\)和\(ab\)的值；2.計算\((x+1)(x+2)(x+3)\)（提示：先算前兩個多項式，再乘第三個）；3.實際問題：某商店銷售兩種商品，甲商品每件利潤\((2x-1)\)元，銷量\((x+3)\)件；乙商品每件利潤\((x+2)\)元，銷量\((2x-5)\)件。求該商店總利潤（用多項式表示）。答案與解析：1.展開左邊：\(x^2+(a+b)x+ab\)，與右邊比較得\(a+b=5\)，\(ab=6\)；2.先算\((x+1)(x+2)=x^2+3x+2\)，再乘\((x+3)\)：\(x^3+3x^2+2x+3x^2+9x+6=x^3+6x^2+11x+6\)；3.總利潤=甲利潤+乙利潤=\((2x-1)(x+3)+(x+2)(2x-5)\)，展開得：\((2x^2+6x-x-3)+(2x^2-5x+4x-10)=(2x^2+5x-3)+(2x^2-x-10)=4x