極限相關(guān)題目及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)$x\to0$時，$x$是比$x^2$（）的無窮小。A.低階B.高階C.同階D.等價2.$\lim\limits_{x\to1}\frac{x-1}{x^2-1}=$（）A.0B.1C.$\frac{1}{2}$D.23.若$\lim\limits_{x\toa}f(x)$存在，則$f(x)$在$x=a$處（）A.一定有定義B.一定無定義C.不一定有定義D.以上都不對4.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=$（）A.1B.0C.不存在D.-15.當(dāng)$x\to0$時，與$x$等價的無窮小是（）A.$2x$B.$\sinx$C.$x^2$D.$\cosx$6.$\lim\limits_{x\to0}(1+2x)^{\frac{1}{x}}=$（）A.$e$B.$e^2$C.1D.27.函數(shù)$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$在$x=2$處的極限為（）A.4B.2C.0D.不存在8.$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{3x+1}{x^2+2}=$（）A.0B.3C.$\infty$D.19.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B$，則$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)-g(x)]=$（）A.$A+B$B.$A-B$C.$AB$D.$\frac{A}{B}$10.當(dāng)$x\to0$時，$1-\cosx$是關(guān)于$x$的（）無窮小。A.高階B.低階C.同階D.等價二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是無窮小量（）A.當(dāng)$x\to0$時，$x$B.當(dāng)$x\to\infty$時，$\frac{1}{x}$C.當(dāng)$x\to1$時，$x-1$D.當(dāng)$x\to0$時，$e^x-1$2.下列極限存在的是（）A.$\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}$B.$\lim\limits_{x\to\infty}\sinx$C.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x}$D.$\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{1}{x}$3.與$x$同階的無窮小是（）A.$2x$B.$x+x^2$C.$\tanx$D.$\ln(1+x)$4.極限運(yùn)算法則中，正確的有（）A.$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]=\lim\limits_{x\tox_0}f(x)+\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$B.$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\cdot\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$C.$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim\limits_{x\tox_0}f(x)}{\lim\limits_{x\tox_0}g(x)}(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)\neq0)$D.$\lim\limits_{x\tox_0}[cf(x)]=c\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$（$c$為常數(shù)）5.當(dāng)$x\to0$時，下列哪些是等價無窮?。ǎ〢.$x$與$\arcsinx$B.$x$與$\arctanx$C.$x$與$e^x-1$D.$x$與$\ln(1+x)$6.下列函數(shù)在$x\to0$時極限為1的是（）A.$\frac{\sinx}{x}$B.$(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\frac{e^x-1}{x}$D.$\frac{\tanx}{x}$7.極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{P_n(x)}{Q_m(x)}$（$P_n(x)$為$n$次多項式，$Q_m(x)$為$m$次多項式），當(dāng)（）時極限為0。A.$n<m$B.$n=m$C.$n>m$D.無法確定8.關(guān)于無窮大與無窮小的關(guān)系，正確的是（）A.無窮大的倒數(shù)是無窮小B.無窮小的倒數(shù)是無窮大C.非零無窮小的倒數(shù)是無窮大D.無窮大與無窮小互為倒數(shù)9.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，則（）A.對于任意給定的$\varepsilon>0$，總存在$\delta>0$，當(dāng)$0<|x-x_0|<\delta$時，有$|f(x)-A|<\varepsilon$B.函數(shù)$f(x)$在$x_0$的某去心鄰域內(nèi)有界C.當(dāng)$x$充分接近$x_0$時，$f(x)$可以任意接近$A$D.以上都不對10.下列極限值為$e$的是（）A.$\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x$B.$\lim\limits_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$C.$\lim\limits_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^x$D.$\lim\limits_{x\to0}(1-x)^{\frac{1}{x}}$三、判斷題（每題2分，共10題）1.無窮小量就是很小很小的數(shù)。（）2.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)$與$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)$都不存在，則$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]$也不存在。（）3.當(dāng)$x\to0$時，$x^3$是比$x^2$高階的無窮小。（）4.$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=1$。（）5.函數(shù)$f(x)$在$x=a$處有極限，則$f(x)$在$x=a$處一定連續(xù)。（）6.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=0$，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=\infty$，則$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)g(x)=0$。（）7.當(dāng)$x\to0$時，$\sin\frac{1}{x}$的極限存在。（）8.無窮大量與有界量的乘積是無窮大量。（）9.$\lim\limits_{x\to0}\frac{1}{x^2}=\infty$。（）10.若$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，則$f(x_0)=A$。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述無窮小量的定義。答：在某一過程中，以零為極限的變量稱為無窮小量。即在該過程中，變量的絕對值能小于任意給定的正數(shù)$\varepsilon$。2.簡述極限的四則運(yùn)算法則。答：設(shè)$\lim\limits_{x\tox_0}f(x)=A$，$\lim\limits_{x\tox_0}g(x)=B$，則$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)\pmg(x)]=A\pmB$；$\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)g(x)]=AB$；$\lim\limits_{x\tox_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$（$B\neq0$）。3.如何判斷兩個無窮小量是同階無窮??？答：若$\lim\frac{\alpha(x)}{\beta(x)}=c$（$c\neq0$且為常數(shù)），其中$\alpha(x)$和$\beta(x)$是在同一過程中的無窮小量，則稱$\alpha(x)$與$\beta(x)$是同階無窮小。4.說明極限$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3x^2+2x+1}{2x^2-x+3}$的求解思路。答：分子分母同時除以最高次冪$x^2$，得到$\lim\limits_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}$，當(dāng)$x\to\infty$時，$\frac{1}{x}\to0$，$\frac{1}{x^2}\to0$，所以極限值為$\frac{3}{2}$。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論無窮大與無界函數(shù)的關(guān)系。答：無窮大一定是無界函數(shù)，但無界函數(shù)不一定是無窮大。無窮大要求在自變量的某種趨向下，函數(shù)絕對值無限增大；無界函數(shù)只是在某個區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值的絕對值沒有上界，但不一定在整個過程中都無限增大。2.探討等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用及注意事項。答：應(yīng)用：在乘除運(yùn)算中，等價無窮小可以相互替換簡化計算。注意事項：只能在乘除運(yùn)算中替換，加減運(yùn)算中一般不能隨意替換，否則可能得出錯誤結(jié)果。替換時要保證是在自變量同一趨向下的等價無窮小。3.討論極限存在與函數(shù)連續(xù)之間的聯(lián)系。答：函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則在該點(diǎn)極限一定存在，且極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值；但極限存在，函數(shù)在該點(diǎn)不一定連續(xù)，可能在該點(diǎn)無定義或極限值與函數(shù)值不相等。即連續(xù)是極限存在的一種特殊情況。4.分析當(dāng)$x\to\infty$時，多項式函數(shù)$P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$（$a_n\neq0$）極限的情況。答：當(dāng)$n$為偶數(shù)時，若$a_n>0$，$\lim\limits_{x\to\infty}P_n(x)=+\infty$；若$a_n<0$，$\lim\limits_{x\to\infty}P_n(x)=-\infty$。當(dāng)$n$為奇數(shù)時，若$a_n>0$，$\lim\limits_{x\to+\infty}P_n(x)=+\infty$，$\lim\limits_{x\to-\infty}P_