2020-2021學(xué)年湖北省武漢市青山區(qū)八年級下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題及答案一、你一定能選對!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，請將正確答案的代號在答題卡上將對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑.1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．2．在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)≥﹣3 D．a(chǎn)≤﹣33．矩形和菱形都具有的性質(zhì)是（）A．有一組鄰邊相等 B．對角線互相平分 C．對角線相等 D．對角線互相垂直4．下列計算正確的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．＝+ D．6＝25．若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1：2，則其中較大的內(nèi)角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°6．下列說法中能推出△ABC是直角三角形的個數(shù)有（）①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：：2；④∠C＝∠A﹣∠B．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個7．下列條件中，能推出?ABCD為矩形的是（）A．AB＝BC B．AC平分∠BAD C．AC⊥BD D．AC＝BD8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（）A． B． C．4 D．9．如圖，四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對角線OA2為邊作第三個正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3，再以對角線OA3為邊作第四個正方形，OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，設(shè)△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面積分別為S1，S2，S3，…．如此下去，則S2021的值為（）A．22018 B．22019 C．22019+ D．2202010．如圖，在正方形ABCD中，O為對角線BD的中點，E為邊AB上一點，AF⊥DE于點F，OF＝，AF＝1，則EF的長為（）A． B． C． D．﹣1二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置.11．（﹣）2＝；＝．12．如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上點，測得BC＝60m，AC＝20m，則A，B兩點間的距離m．13．如果是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是．14．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是．15．在?ABCD中，AB＝，AD＝，點A到邊BC，CD的距離分別為AE＝，AF＝1，則∠EAF的度數(shù)為．16．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移，得到△EFG，連接EC，ED，F(xiàn)C，則EC+FC的最小值為．三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形.17．計算：（1）﹣4+；（2）（﹣）÷．18．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BE∥AC，AE∥BD，連接EO．（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由；（2）若CD＝6，求OE的長．19．已知直角三角形的兩直角邊長分別為（2+）和（2﹣）．求這個直角三角形的斜邊長．20．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．21．如圖，小明家A和地鐵口B兩地恰好處在東西方向上，且相距3km，學(xué)校C在他家正北方向的4km處，公園D與地鐵口和學(xué)校的距離分別5km和5km．（1）求地鐵口、公園和學(xué)校三地組成的∠BDC的大?。唬?）計算公園與小明家的距離．22．（1）如圖1，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．①若AC＝BD，則m2＝；（用含a，b的式子表示）若AC⊥BD，則m2＝；（用含a，n的式子表示）②試探索a，b，m，n這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，在△EFG中，GH是中線，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，則FH的長為．23．如圖，P是菱形ABCD的邊BC上一個動點，∠ABC＝60°，線段PC的垂直平分線與對角線BD交于點E，連接PE，CE，AP．（1）如圖（1），∠BAP＝16°，直接寫出∠APE的大小；（2）如圖（2），試探索線段AB，BP，BE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖（3），若AB＝1，過點E作EF⊥AP于點F，點P從點B往點C運動至EF最小時停止，直接寫出點P的運動路徑長．24．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點的坐標(biāo)分別為A（0，a），點B（b，0），且a，b滿足：b+4＝+，點C與點B關(guān)于y軸對稱，點P，點E分別是x軸，直線AB上的兩個動點．（1）則點C的坐標(biāo)為；（2）連接PA，PE．①如圖1，當(dāng)點P在線段BO（不包括B，O兩個端點）上運動，若△APE為直角三角形，F(xiàn)為斜邊PA的中點，連接EF，OF，試判斷EF與OF的關(guān)系，并說明理由；②如圖2，當(dāng)點P在線段OC（不包括O，C兩個端點）上運動，若△APE為等腰三角形，M為底邊AE的中點，連接MO，試探索PA與OM的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（3）如圖3，連PA，CE，設(shè)它們所在的直線交于點G，設(shè)CE交y軸于點F，連接BG，若OP＝OF，則BG的最小值為．

參考答案一、你一定能選對!（本大題共有10小題，每小題3分，共30分）下列各題均有四個備選答案，其中有且只有一個是正確的，請將正確答案的代號在答題卡上將對應(yīng)的答案標(biāo)號涂黑.1．下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式的兩個條件是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．解：A、不能化簡，是最簡二次根式，符合題意；B、＝2，能化簡，不是最簡二次根式，不符合題意；C、＝2，能化簡，不是最簡二次根式，不符合題意；D、＝，能化簡，不是最簡二次根式，不符合題意．故選：A．2．在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則a的取值范圍（）A．a(chǎn)≥3 B．a(chǎn)≤3 C．a(chǎn)≥﹣3 D．a(chǎn)≤﹣3【分析】根據(jù)被開方數(shù)大于等于0列式計算即可得解．解：根據(jù)題意得，3﹣a≥0，解得a≤3．故選：B．3．矩形和菱形都具有的性質(zhì)是（）A．有一組鄰邊相等 B．對角線互相平分 C．對角線相等 D．對角線互相垂直【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)得出即可．解：矩形的性質(zhì)是：①矩形的四個角度數(shù)直角，②矩形的對邊相等且互相平行，③矩形對角線相等且互相平分；菱形的性質(zhì)是：①菱形的四條邊都相等，菱形的對邊互相平行；②菱形的對角相等，③菱形的對角線互相平分且垂直，并且每條對角線平分一組對角，所以矩形和菱形都具有的性質(zhì)是對角線互相平分，故選：B．4．下列計算正確的是（）A．+＝ B．3﹣＝3 C．＝+ D．6＝2【分析】直接利用二次根式的加減運算法則計算得出答案．解：A、+，無法計算，故此選項錯誤；B、3﹣＝2，故此選項錯誤；C、＝，故此選項錯誤；D、6＝6×＝2，故此選項正確；故選：D．5．若平行四邊形中兩個內(nèi)角的度數(shù)比為1：2，則其中較大的內(nèi)角是（）A．45° B．60° C．90° D．120°【分析】據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出AB∥CD，推出∠B+∠C＝180°，根據(jù)∠B：∠C＝1：2，求出∠C即可．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠B：∠C＝1：2，∴∠C＝×180°＝120°，故選：D．6．下列說法中能推出△ABC是直角三角形的個數(shù)有（）①a2＝c2﹣b2；②∠A：∠B：∠C＝1：1：2；③a：b：c＝1：：2；④∠C＝∠A﹣∠B．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)勾股定理逆定理可得①③是否是直角三角形，根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出角的度數(shù)可判斷②④是否是直角三角形．解：①a2＝c2﹣b2，即a2+b2＝c2，是直角三角形；②由∠A：∠B：∠C＝1：1：2可得∠C＝180°×＝90°，是直角三角形；③∵a：b：c＝1：：2，12+（）2＝22，∴是直角三角形；④∠C＝∠A﹣∠B可變?yōu)椤螦＝∠C+∠B，根據(jù)∠A+∠B+∠C＝180°可得∠A+∠A＝180°，解得∠A＝90°，因此是直角三角形；故選：D．7．下列條件中，能推出?ABCD為矩形的是（）A．AB＝BC B．AC平分∠BAD C．AC⊥BD D．AC＝BD【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可一一判斷．解：A、∵AB＝BC，∴?ABCD為菱形，故A選項不合題意；B、∵AC平分∠BAD，∴?ABCD為菱形，故B選項不合題意；C、∵AC⊥BD，∴?ABCD為菱形，故C選項不合題意；D、∵AC＝BD，∴?ABCD是矩形，故D選項符合題意；故選：D．8．如圖，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，過點D作DE⊥BA，交BA的延長線于點E，則線段DE的長為（）A． B． C．4 D．【分析】由在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，利用菱形的性質(zhì)以及勾股定理，求得OB的長，繼而可求得BD的長，然后由菱形的面積公式可求得線段DE的長．解：如圖．∵四邊形ABCD是菱形，AC＝6，∴AC⊥BD，OA＝AC＝3，BD＝2OB，∵AB＝5，∴OB＝＝4，∴BD＝2OB＝8，∵S菱形ABCD＝AB?DE＝AC?BD，∴DE＝＝＝．故選：D．9．如圖，四邊形OAA1B1是邊長為1的正方形，以對角線OA1為邊作第二個正方形OA1A2B2，連接AA2，得到△AA1A2；再以對角線OA2為邊作第三個正方形OA2A3B3，連接A1A3，得到△A1A2A3，再以對角線OA3為邊作第四個正方形，OA3A4B4，連接A2A4，得到△A2A3A4，…，設(shè)△AA1A2，OA1A2A3，△A2A3A4，…的面積分別為S1，S2，S3，…．如此下去，則S2021的值為（）A．22018 B．22019 C．22019+ D．22020【分析】首先求出S1、S2、S3，然后歸納命題中隱含的數(shù)學(xué)規(guī)律，即可解決問題．解：∵四邊形OAA1B1是正方形，∴OA＝AA1＝A1B1＝1，∴S1＝×1×1＝＝21﹣2，∵∠OAA1＝90°，∴OA12＝12+12＝2，∴OA1＝，∴OA2＝A2A3＝OA1＝2，∴A2B1＝2﹣1＝1，∴S2＝×2×1＝1＝22﹣2，同理可求：S3＝×2×2＝2＝23﹣2，S4＝4＝24﹣2，…，∴Sn＝2n﹣2，∴S2021的值為22019．故選：B．10．如圖，在正方形ABCD中，O為對角線BD的中點，E為邊AB上一點，AF⊥DE于點F，OF＝，AF＝1，則EF的長為（）A． B． C． D．﹣1【分析】連接AC，過O點作OG⊥OF交DE于G，根據(jù)正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)解答即可．解：連接AC，過O點作OG⊥OF交DE于點G，∵四邊形ABCD是正方形，O為BD的中點，AC，BD為對角線，∴O為對角線的交點，在正方形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OD，∵OG⊥OF，∴∠AOF+∠AOG＝90°，∠DOG+∠AOG＝90°，∴∠AOF＝∠DOG，∵AF⊥DE，∴∠FAO+∠1＝90°，∵∠GDO+∠2＝90°，∠1＝∠2，∴∠FAO＝∠GDO，在△AOF與△DOG中，，∴△AOF≌△DOG（ASA），∴AF＝DG＝1，OG＝OF＝，∴△OFG是直角三角形，∴FG＝，∴FD＝FG+GD＝3，∵∠BAD＝90°，AF⊥DE，∴∠EAF+∠FAD＝∠FAD+∠ADF＝90°，∠EFA＝∠AFD＝90°，∴△AFE∽△DFA，∴，∴EF＝AF＝，故選：C．二、填空題（本大題共有6小題，每小題3分，共18分）下列各題不需要寫出解答過程，請將結(jié)論直接填寫在答題卷的指定位置.11．（﹣）2＝5；＝2．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)化簡得出即可．解：（﹣）2＝5；＝2．故答案為：5，2．12．如圖，池塘邊有兩點A，B，點C是與BA方向成直角的AC方向上點，測得BC＝60m，AC＝20m，則A，B兩點間的距離40m．【分析】在直角三角形中已知直角邊和斜邊的長，利用勾股定理求得另外一條直角邊的長即可．解：AB＝＝＝m，故答案為：40．13．如果是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是3．【分析】因為是整數(shù)，且＝＝2，則3n是完全平方數(shù)，滿足條件的最小正整數(shù)n為3．解：∵＝＝2，且是整數(shù)；∴2是整數(shù)，即3n是完全平方數(shù)；∴n的最小正整數(shù)值為3．故答案是：3．14．如圖，在?ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于點E，EA＝3，EB＝5，ED＝4．則CE的長是4．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和角平分線的定義可得AD＝BC＝EB＝5，根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠AED＝90°，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得CD＝AB＝8，∠EDC＝90°，根據(jù)勾股定理可求CE的長．解：∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠DCE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，AB∥CD，∴∠BEC＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE＝5，∴AD＝5，∵EA＝3，ED＝4，在△AED中，32+42＝52，即EA2+ED2＝AD2，∴∠AED＝90°，∴CD＝AB＝3+5＝8，∠EDC＝90°，在Rt△EDC中，CE＝＝＝4．故答案為：4．15．在?ABCD中，AB＝，AD＝，點A到邊BC，CD的距離分別為AE＝，AF＝1，則∠EAF的度數(shù)為45°或135°．【分析】首先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理可得DF＝AF，AE＝BE，然后再根據(jù)三角形內(nèi)角和可得∠DAF＝45°，∠EAB＝45°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AB∥CD，進(jìn)而得到∠D+∠DAB＝180°，求出∠DAB的度數(shù)，進(jìn)而可得答案，同理可得出∠EAF另一個度數(shù)．解：如圖1所示：∵AF⊥DC，AE⊥CB，∴∠DFA＝90°，∠AEB＝90°，∵AD＝，AF＝1，∴DF＝1，∴∠D＝∠DAF＝45°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB，∴∠DAB＝135°，∵AB＝，AE＝，∴EB＝，∴∠EAB＝45°，∴∠EAF＝135°﹣45°﹣45°＝45°，如圖2，過點A作AE⊥CB延長線于點E，過點A作AF⊥CD延長線于點F，同理可得：∠EAB＝45°，∠BAD＝45°，∠FAD＝45°，則∠EAF＝135°，故答案為：45°或135°．16．如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，將△ABD沿射線BD的方向平移，得到△EFG，連接EC，ED，F(xiàn)C，則EC+FC的最小值為2．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB＝2，∠ABD＝30°，根據(jù)平移的性質(zhì)得到EG＝AB＝2，EG∥AB，推出四邊形EFCD是平行四邊形，得到ED＝FC，于是得到EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，根據(jù)平移的性質(zhì)得到點E在過點A且平行于BD的定直線上，作點D關(guān)于定直線的對稱點M，連接CM交定直線于AE，解直角三角形即可得到結(jié)論．解：在邊長為2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴AB＝CD＝2，∠ABD＝30°，∵將△ABD沿射線BD的方向平移得到△EGF，∴EF＝AB＝2，EF∥AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴∠BAD＝120°，∴EF＝CD，EF∥CD，∴四邊形EFCD是平行四邊形，∴ED＝FC，∴EC+FC的最小值＝EC+ED的最小值，∵點E在過點A且平行于BD的定直線AE上，∴作點D關(guān)于定直線AE的對稱點M，連接CM交BG于O，∴CM的長度即為EC+DE的最小值，∵∠EAD＝∠ADB＝30°，AD＝2，∴∠ADM＝60°，DH＝MH＝AD＝1，∴DM＝2，∴DM＝CD，∵∠CDM＝∠MDO+∠CDB＝90°+30°＝120°，∴∠M＝∠DCM＝30°，∴CM＝2×CD＝2．故答案為：2．三、解下列各題（本大題共8小題，共72分）下列各題需要在答題卷的指定位置寫出文字說明、證明過程、演算步驟或畫出圖形.17．計算：（1）﹣4+；（2）（﹣）÷．【分析】（1）先把二次根式化為最簡二次根式，然后合并即可；（2）根據(jù)二次根式的除法法則運算．解：（1）原式＝2﹣2+＝；（2）原式＝﹣＝4﹣2．18．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD交于點O，且BE∥AC，AE∥BD，連接EO．（1）試判斷四邊形AEBO的形狀，并說明理由；（2）若CD＝6，求OE的長．【分析】（1）先證明四邊形AEBO為平行四邊形，由菱形的性質(zhì)可證明∠BOA＝90°，從而可證明四邊形AEBO是矩形；（2）依據(jù)矩形的性質(zhì)可得到EO＝AB，然后依據(jù)菱形的性質(zhì)可得到AB＝CD，得OE＝CD＝6即可．解：（1）四邊形AEBO是矩形．理由：∵BE∥AC，AE∥BD，∴四邊形AEBO是平行四邊形，又∵菱形ABCD對角線交于點O，∴AC⊥BD，即∠AOB＝90°，∴四邊形AEBO是矩形；（2）∵四邊形AEBO是矩形，∴EO＝AB，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD．∴EO＝CD＝6．19．已知直角三角形的兩直角邊長分別為（2+）和（2﹣）．求這個直角三角形的斜邊長．【分析】根據(jù)勾股定理列式計算即可得解．解：∵直角三角形的兩直角邊長分別為（2+）和（2﹣），∴斜邊長＝＝．20．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點．五邊形ABCDE的頂點在格點上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為20+．（2）在AB上找點F，使E，C兩點關(guān)于直線DF對稱；（3）設(shè)DF交CE于點G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點H，使∠AHB＝135°．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出五邊形ABCDE各邊的長，相加即可；（2）連接EC，作DF⊥EC交AB于點F即可．（3）分成兩個三角形求面積即可．（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．解：（1）由題意，AB＝BC＝CD＝＝5，AE＝＝，DE＝5，∴五邊形ABCDE的周長＝20+，故答案為：20+．（2）如圖，點F即為所求作．（3）四邊形AEDG的面積＝××+×5×2＝10．（4）如圖，點H即為所求作．21．如圖，小明家A和地鐵口B兩地恰好處在東西方向上，且相距3km，學(xué)校C在他家正北方向的4km處，公園D與地鐵口和學(xué)校的距離分別5km和5km．（1）求地鐵口、公園和學(xué)校三地組成的∠BDC的大??；（2）計算公園與小明家的距離．【分析】（1）由勾股定理求出BC＝5（km）＝BD，再由勾股定理的逆定理證△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，則∠BDC＝45°；（2）過D作DE⊥AB，交AB的延長線于E，證△BDE≌△CBA（AAS），得DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，再由勾股定理求解即可．解：（1）由題意得：BD＝5km，CD＝5km，∠BAC＝90°，AB＝3km，CA＝4km，∴BC＝＝＝5（km），∴BC＝BD，∵BC2+BD2＝52+52＝50，CD2＝（5）2＝50，∴BC2+BD2＝CD2，∴△BCD是等腰直角三角形，∠CBD＝90°，∴∠BDC＝45°；（2）過D作DE⊥AB，交AB的延長線于E，如圖所示：則∠DEB＝90°，∴∠BDE+∠DBE＝90°，由（1）得：∠CBD＝90°，∴∠DBE+∠CBA＝90°，∴∠BDE＝∠CBA，在△BDE和△CBA中，，∴△BDE≌△CBA（AAS），∴DE＝BA＝3km，BE＝CA＝4km，∴AE＝BE+AB＝7（km），∴AD＝＝＝（km）．22．（1）如圖1，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，且AB＝a，BC＝b，AC＝m，BD＝n．①若AC＝BD，則m2＝a2+b2；（用含a，b的式子表示）若AC⊥BD，則m2＝4a2﹣n2；（用含a，n的式子表示）②試探索a，b，m，n這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，在△EFG中，GH是中線，若FG＝6，GH＝7，EG＝9，則FH的長為．【分析】（1）①若AC＝BD，則ABCD是矩形，由勾股定理即可；若AC⊥BD，則ABCD是菱形，由勾股定理即可；②作CN⊥AD于N，BM垂直DA延長線于M，先證△ABM≌△DCN，再利用勾股定理得到a，b，m，n這四條線段之間的數(shù)量關(guān)系；（2）利用（1）的結(jié)論即可．解：（1）①∵AC，BD是?ABCD的對角線，若AC＝BD，則ABCD是矩形，∴m2＝a2+b2；若AC⊥BD，則ABCD是菱形，∴＝a2，即m2＝4a2﹣n2；故答案為：a2+b2，m2＝4a2﹣n2；②如圖1，作CN⊥AD于N，BM垂直DA延長線于M，∵BM＝CN，AB＝CD，∴△ABM≌△DCN，∴AM＝DN，在Rt△BDM中，BD2＝BM2+DM2，即n2＝MB2+（MA+AD）2＝MB2+MA2+AD2+2MA?AD＝a2+b2+2MA?AD，在Rt△N中，AC2＝AN2+CN2，即m2＝（AD﹣DN）2+CN2＝AD2+DN2+CN2﹣2AD?DN＝a2+b2﹣2AD?DN，∴m2+n2＝2（a2+b2）+2MA?AD﹣2DA?AD，∵M(jìn)A＝DN，∴m2+n2＝2（a2+b2）；（2）如圖2，將三角形補(bǔ)全成平行四邊形，利用上面討論有：（2FH）2+（2GH）2＝2（FG2+EG2），∴FH＝．23．如圖，P是菱形ABCD的邊BC上一個動點，∠ABC＝60°，線段PC的垂直平分線與對角線BD交于點E，連接PE，CE，AP．（1）如圖（1），∠BAP＝16°，直接寫出∠APE的大??；（2）如圖（2），試探索線段AB，BP，BE滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由；（3）如圖（3），若AB＝1，過點E作EF⊥AP于點F，點P從點B往點C運動至EF最小時停止，直接寫出點P的運動路徑長．【分析】（1）連接AE，根據(jù)外角定義得出∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，設(shè)∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y(tǒng)，根據(jù)角的關(guān)系列出方程組解方程組即可；（2）作EF⊥PC于F，得出BF＝＝BE，F(xiàn)C＝PF＝BE﹣BP，即可得出AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP；（3）由題意判斷當(dāng)AP⊥BC時，EF最短，求出此時BP的長度即可．解：（1）連接AE，∵∠BAP＝16°，∠ABC＝60°，∴∠APC＝∠BAP+∠ABC＝76°，∵四邊形ABCD是菱形，線段PC的垂直平分線與對角線BD交于點E，∴AE＝CE，PE＝CE，∴AE＝PE，∴∠EAP＝∠APE，∠PCE＝∠EPC，∴∠BAP+∠PAE＝∠BAE＝∠BCE＝∠EPC，設(shè)∠BAE＝∠BCE＝∠EPC＝x，∠APE＝y(tǒng)，∴，解得，∴∠APE＝30°；（2）AB＝BE﹣BP，理由如下：作EF⊥PC于F，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，BD是對角線，∴∠EBF＝30°，∴EF＝BE，∴BF＝＝BE，∵EF是PC的垂直平分線，∴FC＝PF＝BE﹣BP，∴AB＝BC＝BF+FC＝BE+BE﹣BP＝BE﹣BP，即AB＝BE﹣BP；（3）由題知，當(dāng)AP⊥BC時，EF最短，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，