專題1.10全等三角形的證明及計(jì)算大題專項(xiàng)訓(xùn)練（30道）

【浙教版】

考卷信息：

本套訓(xùn)練卷共30題，題型針對(duì)性較高，覆蓋面廣，選題有深度，可深化學(xué)生對(duì)全等三角形工具的應(yīng)用及構(gòu)造全

等三角形！

一.解答題（共30小題）

1.（2022?黃州區(qū)校級(jí)模擬）如圖，N84Q=NCAE=90°,AB=A。，AE=AC,AFLCB,垂足為足

（1）求證：

（2）求/胡E的度數(shù)；

（3）求證：CD=2BF+DE.

【分析】（I）根據(jù)題意和題目中的條件可以找出△ABC四△AOE的條件；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論和等腰直角三角形的定義可以得到/用E的度數(shù)；

（3）根據(jù)題意和三角形全等的知識(shí)，作出合適的輔助線即可證明結(jié)論成仁

【解答】證明：（1）?：NBAD=NCAE=90°,

.??NB4C+NCW=90°,ZCAD+ZDAE=W,

：.ZBAC=ZDAE,

在△84。和△D4E中，

[AB=AD

\z.BAC=/.DAE,

lAC=AE

/.△^C^ADAE（SAS）；

（2）VZC/lE=90o,AC=AE,

???NE=45°,

由(1)知△84。出△OAE,

AZBCA=ZE=45°,

/.ZCM=90°,

AZCAF=45°,

/.ZME=ZMC+ZC4E=450+90°=135°；

(3)延長(zhǎng)BF到G,使得FG=FB,

*：AFA.BG,

???NA尸G=N4F8=90°,

在△人所和△AFG中，

(BF=GF

{Z.AFB=44FG,

UF=AF

：./\AFB^/\AFG(SAS),

：,AB=AG,NABF=NG,

???△BACdDAE,

：,AB=AD,NCBA=NEDA,CB=ED,

：.AG=AD,4ABF=NCDA,

：?4G=4CDA,

???NGC4=/OC4=45°,

在△CG4和△CD4中，

[Z.GCA=Z.DCA

1/.CGA=/-CDA,

lAG=AD

.,.△CGA^ACD4CAAS),

:.CG=CD,

'：CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,

:.CD=2BF+DE.

2.（2022秋?忠縣期末）在△ABC中，點(diǎn)。、E分別在AB、4c邊上，設(shè)8七與。。相交于點(diǎn)F.

（1）如圖①，設(shè)乙4=60°,BE、CD分別平分NABC、ZACB,證明：DF=EF.

（2）如圖②，設(shè)4E_LAC,CDA.AB,點(diǎn)G在C。的延長(zhǎng)線上，連接AG、AF；若NG=N6,BD=CD,

證明：GD=DF.

【分析】（1）在4c上截取8M=8。，連接證明出△/好M,△ECP出△MCR進(jìn)而可以解

決問(wèn)題：

（2）根據(jù)已知條件證明△BO尸注△CD4,進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【解答】證明：（1）如圖，在8C上截取BM=8D,連接FM,

*/乙4=60,

AZBFC=90°+60°+2=120°,

:.NBFD=60°,

???8E平分/ABC,

AZ1=Z2,

在△BFQ和中，

fBD=BM

zl=z2,

<BF=BF

:.△BFD94BFM(SAS),

???N8FM=N8a=60°,DF=MF,

???NCFM=120°-60°=60°,

?；NCFE=NBFD=60°,

：./CFM=NCFE,

???C。平分N4C4,

AZ3=Z4,

又CF=CF,

在△KC〃和△MC〃中，

[zCFF=/-CFM

FC=FC,

lz3=z4

:?△ECF"AMCF(AS4),

:?EF=MF,

:.DF=EF；

(2)'：BE±AC,CD1AB,

：.ZBDF=ZCDA=90°,

AZ1+ZBFD=9OC,N3+NC尸E=90°,ZBFD=ZCFE,

AZ1=Z3,

?:BD=CD，

在和△CD4中，

fZ.BDF=Z.CDA

\BD=CD，

Ll=z3

:.l\BDF@43卜(ASA),

：,DF=DA,

VZADf=90o,

???N6=45°,

VZG=Z6,

???N5=45°

，NG=N5,

：.GD=DA,

：.GD=DF.

3.（2022秋?路北區(qū)期中）如圖，在四邊形4BC。中，AD=BC=4,AB=CD,B￡>=6,點(diǎn)E從D點(diǎn)出發(fā),

以每秒I個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)A勻速移動(dòng)，點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C-B-C

作勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)8出發(fā)沿8。向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余

兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

（1）證明：AD//BC.

（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有△OKG與全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)

你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，會(huì)出現(xiàn)△OEG與4BFG全等的情況.

【分析】（1）由AQ=BC=4,AB=CD,8。為公共邊，所以可證得所以可知N4Q3

=/CBD,所以AQ〃8C；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為u,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】（1）證明：在△48D和△COB中，

[AD=BC

\AB=CD，

<BD=DB

???△AB力絲△COB（SSS）,

???NADB=NCBD,

：.AD//BC；

（2）解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為i，,

當(dāng)0Vt<軻,

若△DEG9ABGF,

t=4-3t

6-BG=BG

t=1

BG=3

若ADEGgABGF,

ft=BG

16-BG=4-3￡’

BG=-1

等彳然時(shí)，

若4DEG當(dāng)ABFG,

ft=3t-4

(6-BG=BG'

C=2

iBG=3'

:.v=-；

若△DEGW4BGF,

則喘:歌

.Ct=BG

??(6-8G=3t-4*

BG=\

綜上，當(dāng)點(diǎn)G的速度為3或1.5或1時(shí).會(huì)出現(xiàn)AOEG與△BPG全等的情況.

4.(2022春?北陪區(qū)校級(jí)期末)如圖，已知凸五邊形A3CQE中，EC,E8為其對(duì)角線，EA=ED.

(1)如圖1,若NA=60°,ZCDE=\20a,且C￡>+A8=8C求證：CE平分N8CQ：

(2)如圖2,NA與N?；パa(bǔ)：NDEA=2NCEB,若凸五邊形/WCQE面積為30,且。。=?43=4.求

點(diǎn)七到BC的距離.

圖1圖2

【分析】(1)延長(zhǎng)CD至ljT,使得DT=BA,連接ET.證明△EABgZiEDT(SAS),△ECRgAECT

(SSS),可得結(jié)論.

(2)延長(zhǎng)CO至I]Q,使得NQEO=NA￡B,過(guò)點(diǎn)E作EH上BC于H.證明(4S4),△

ECB^/^ECQ(SAS)?由題意S五邊彩片8coE=S四邊形E8CQ=2S△!；BC=3。，推出Sa￡8C=15,再利用三角形面

積公式求出E4即可.

【解答】(1)證明：延長(zhǎng)C。到。使得Z)7=B4,連接E7.

VZCDE=120°,

.?.ZEOT=180°720°=60°,

INA=60",

：,ZA=ZEDT,

在△EAB和△EOT中，

(AE=DE

匕力=△EDT，

UB=DT

:?AEAB咨AEDT(SAS),

:?EB=ET,

:.CB=CD+BA=CD+DT=CT,

在△七CB和△ECT中，

EC=EC

EB=ET,

CB=CT

:.AECB會(huì)AECT(SSS),

/ECB=NECD,

；?CE平分/BCD.

(2)解：延長(zhǎng)CO到Q,使得NQEO=NAE8,過(guò)點(diǎn)E作E加L8C于H.

圖2

VZA+ZCDF=180°,NCDE+NEDQ=180°,

NA=NEDQ,

在AAEB和△DEQ中，

(Z.AEB=Z-DEQ

\EA=ED,

L/l=Z-EDQ

:.△AEBqADEQ(ASA),

:.EB=EQ,

???ZAED=2ZBEC,

???/AEB+/CED=ZBEC,

???/CED+/DEQ=ZBEC,

：?4CEB=ZCEQ,

在△CE8和△CEQ中，

EB=EQ

乙BEC=乙CEQ,

EC=EC

，△石。且△￡CQ(SAS),

*?,Sti邊用ABCDE=S四邊彬EBCQ=2S4EBC=3。'

*,?SAEBC=15,

2

'：CD=-AB=4,

3

U8=6,CZ）—4?

：?BC=CD+QD=CD+AB=10,

：.-xlOXEH=15,

2

:.EH=3,

???點(diǎn)七到BC的距離為3.

5.（2022秋?宜興市期中）如圖，在△ABC中，已知NA8C=45°,過(guò)點(diǎn)C作。。_L/W于點(diǎn)￡>,過(guò)點(diǎn)8作

BMJ_AC于點(diǎn)M,CO與4M相交于點(diǎn)￡,且點(diǎn)上是C。的中點(diǎn)，連接MQ,過(guò)點(diǎn)。作。N_LMQ,交BM

于點(diǎn)N.

（1）求證：△DBNmADCM；

（2）請(qǐng)?zhí)骄烤€段NE、ME、CM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

【分析】（1）根據(jù)兩角夾邊相等的兩個(gè)三角形全等即可證明.

（2）結(jié)論：NE?ME=CM.作。尸_LMN于點(diǎn)兄由（1）WBN坦4DCM可得DM=DN,[tlADEF^

△CEM,推出CM=DF,由此即可證明.

【解答】（1）證明：???/ABC=45°,CDLAB,

AZABC=ZDCB=45Q,

：.BD=DC,

?；NBDC=NMDN=90°,

ZBDN=NCDM,

*：CD±AB,BM±AC,

NA4M=9（）°-ZA=ZACD,

在ADBN和△QCM中，

ZBDN=乙CDM

BD=DC

乙DBN-乙DCM

:.△DBN9/XDCM.

(2)結(jié)論：NE?ME=CM.

證明：由(1)△DBNQMDCM可得DM=DN.

作。F_LMN于點(diǎn)F,又NDJLMD,

:?DF=FN,

在/和△CEM中，

Z.DEF=Z.CEM

Z.DFE=Z.CME,

DE=EC

:.ADEFgACEM,

:?ME=EF,CM=DF,

:,CM=DF=FN=NE-FE=NE-ME.

6.（2022秋?淅川縣期末）如圖L的邊NC在直線/上，AC±BC,RAC=BCZ△/?/中的邊口也

在直線/上，邊E/與邊AC重合，且EF=FP.

（1）示例：在圖1中，通過(guò)觀察、測(cè)量，猜想并寫(xiě)出AB與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.

答：A8與4。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是.

（2）將△EQ沿直線/向左平移到圖2的位置時(shí)，EP交AC于點(diǎn)Q,連接4P,BQ.請(qǐng)你觀察、測(cè)量，

猜想并寫(xiě)出8Q與4尸所滿足的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.答：與AP的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是—股

=AP>/?。1/一.

（3）將AE/中沿直線/向左平移到圖3的位置時(shí)，EP的延長(zhǎng)線交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，連接AP、BQ.你

認(rèn)為（2）中所猜想的8Q與4P的數(shù)最關(guān)系和位置關(guān)系還成立嗎？若成立，給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)

【分析】(I)由于人C_L8C,且AC=4C,邊E”與邊AC重合，且EF=FP,則△48C與是全等

的等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到NBAC=NCAP=45°,AB=AP,則N8AP=9()°,

于是AP_LA&

(2)延長(zhǎng)BQ交AP于H點(diǎn),可得到△QPC為等腰直角三隹形，則有QC=PC,根據(jù)“SAS”可判斷△

ACP^ABCQ,則AP=8Q,ZCAP=ZCBQ,利用三角形內(nèi)角和定理可得到NAHQ=N8CQ=90°,即

APVBQ,

(3)8。與AP所滿足的數(shù)量關(guān)系為相等，位置關(guān)系為垂直.證明方法與(2)一樣.

【解答】解：(1)AB=AP,AB1.AP；

(2)BQ=AP,BQA.APi

(3)成立.

證明:如圖，VZEPF=45°,

，NCPQ=45°.

???AC_L8C,

：.ZCQP=ZCPQ,

CQ=CP.

在RlZXBCQ和RlAAC尸中，

(BC=AC

乙RCQ=Z-ACP

CQ=CP

ARtABCQ^RtA/lCP(SAS)

：.BQ=AP；

延長(zhǎng)Q8交AP于點(diǎn)M

：.4PBN=/CBQ.

VRtABCe^RtAACP,

NBQC=ZAPC.

在RtaBCQ中，NBQC+NCBQ=90°,

：.ZAPC+ZPBN=90°.

:./PNB=9U°.

QBA.AP.

Q

7.(2022秋?渝中區(qū)校級(jí)期中)如圖，直線A，交x軸正半軸于點(diǎn)A(a,0),交)，軸正半軸于點(diǎn)。(0,〃)，

且a、力滿足Va-4+|4-上=0,

(1)求4、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)。為04的中點(diǎn)，連接8D,過(guò)點(diǎn)。作OE_LBO于F,交于E,求證：NBDO=NEDA；

(3)如圖，P為x軸上人點(diǎn)右側(cè)任意一點(diǎn)，以8夕為邊作等腰RtaPBM,其中P8=PM,直線AM交)，

軸于點(diǎn)。，當(dāng)點(diǎn)夕在x軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段OQ的長(zhǎng)是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求線段OQ

的取值范圍.

【分析】①首先根據(jù)已知條件和非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于。、〃的方程，解方程組即可求出&方的值，也

就能寫(xiě)出A,3的坐標(biāo)；

②作出NAO8的平分線，通過(guò)證七得到其對(duì)應(yīng)角相等解決問(wèn)題：

③過(guò)M作x軸的垂線，通過(guò)證明△P8?？盏贸鯩N=AN,轉(zhuǎn)化到等腰直角三角形中去就很好解決

T.

【解答】解：①???VH^+|4?川=0

?"=4,6=4,

AA(4,0),B(0,4)；

(2)證明：作N4O8的角平分線，交BD于G,

：.ZBOG=ZOAE=45Q,OB=OA,

/O8G=NAOE=9()°-NBOF,

:.ABOGWLOAE,

/.OG=AE.

a：ZGOD=ZEAD=45°,OD=AD,

:心GODWdEDA.

:,乙GDO=4ADE.

(3)過(guò)M作MNJ_x軸，垂足為M

VZBPM=9Q°,

???/BPO+NMPN=9()°.

VZAOB=ZMNP=9^,

；?ZBPO=/PMN,ZPBO=4MPN,

,:BP=MP、

:ZBO沿4MPN(A4S),

MN=OP,PN=AO=BO,

OP=OA+AP=PN+AP=AN,

:,MN=AN,NMAN=45°.

VZBAO=45°,

???N8AO+NOAQ=90"

???△/MQ是等腰直角三角形.

???OB=OQ=4.

???無(wú)論P(yáng)點(diǎn)怎么動(dòng)OQ的長(zhǎng)不變.

8.（2022春?崇川區(qū)校級(jí)期末）如圖1,點(diǎn)4、。在），軸正半軸上，點(diǎn)、B、C分別在無(wú)軸上，Q）平分NAC/3

與y軸交于。點(diǎn)，ZCAO=9（r-NBDO.

（1）求證：AC=BC；

（2）在（1）中點(diǎn)C的坐標(biāo)為（4,0）,點(diǎn)￡為人。上一?點(diǎn)，且NOE4=NO8O,如圖2,求8C+EC的

長(zhǎng)；

（3）在（1）中，過(guò)D作D/_AC于/點(diǎn)，點(diǎn)”為尸C上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)G為OC上一動(dòng)點(diǎn)，（如圖3）,

當(dāng)點(diǎn)H在尸C上移動(dòng)、點(diǎn)G在OC上移動(dòng)時(shí)，始終滿足NGDH=NGDO+NFDH,試判斷F”、GH、OG

這三者之間的數(shù)量關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并加以證明.

圖1圖2圖3

【分析】（I）由題意NC4O=90°-4BD0,可知/C4O=NCBD,C。平分NACB與），軸交于。點(diǎn)，

所以可由A4S定理證明△4COg^BC。，由全等三角形的性質(zhì)可得4C=AC；

（2）過(guò)。作OALLAC于N點(diǎn)，可證明RlZ\8OOgRtZ\EON、△DOgXDNC,因此，BO=EN、OC=

NC,所以，BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC,即可得BC+EC的長(zhǎng)；

（3）在x軸的負(fù)半軸上取可證明△。/77空△OOM、4HDG坦4MDG,因此，MG=G〃，所

以，GH=OM+OG=FH+OG,即可證明所得結(jié)論.

【解答】（1）證明：VZCAO=90°?/BDO,

：.ZCAO=ZCBD.

在△4CO和△8CQ中

(Z.ACD=乙BCD

Z.CAO=乙CBD,

CD=CD

:?4ACD冬4BCDCAAS).

：,AC=BC.

(2)解：由(1)知NC4Q=/OE4=NOBO,

:?BD=AD=DE,過(guò)3作ON_LAC于N點(diǎn)，如右圖所示:

■:ZACD=/BCD,

:,DO=DN,

在RtABDO和RSDN中

\BD=DE

[00=DN'

工RtABDOmRlAEDN(HL),

:,BO=EN.

在△OOC和△ONC中，

Z-DOC=(DNC=90°

乙OCD=乙NCD

DC=DC

:.△DOCW4DNC(AAS),

可知：OC=NC；

：.BC+EC=BO+OC+NC-NE=2OC=8.

(3)GH=FH+OG.

證明：由(I)知：DF=DO,

在x軸的負(fù)半軸上取。歷=/況連接。M,如右圖所示：

把ADFH和△QOM中

DF=DO

乙DFH=乙D0M=90。，

OM=FH

:.△DFH名ADOM(SAS).

:.DH=DM,N1=/OOM.

NGDH=Zl+Z2=N0DM-N2=NGDM.

在AHDG和△MOG中

DH=DM

Z.GDH=乙GDM,

DG=DG

:,△HDG/4MDG(SAS).

:,MG=GH,

04=4,以A點(diǎn)為頂點(diǎn)、AB為腰在第三象限作等腰RtZXABC,

⑵如圖2,Q為），軸負(fù)半軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P點(diǎn)向），軸負(fù)半軸向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，以P為頂點(diǎn)，小為腰作等

接RtZSAP。，過(guò)。作。軸于E點(diǎn)，求OP-OE的值;

（3）如圖3,已知點(diǎn)b坐標(biāo)為（-2,-2）,當(dāng)G在y軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，作Rt^PGH,

始終保持NG"/=9（T,/G與），軸負(fù)半軸交于點(diǎn)G（0,m），/與x軸正半軸交于點(diǎn)”（〃，0）,當(dāng)

G點(diǎn)在），軸的負(fù)半軸上沿負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，以下兩個(gè)結(jié)論：①用■〃為定值；②加+〃為定值，其中只有一個(gè)

結(jié)論是正確的，請(qǐng)找出正確的結(jié)論，并求出其值.

【分析】（1）要求點(diǎn)C的坐標(biāo)，則求C的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)，因?yàn)閯t作CMJ_x軸，即求CM

和AM的值，容易得且△0/M,根據(jù)己知即可求得C點(diǎn)的值；

（2）求OP-QE的值則將其放在同一直線上，過(guò)。作。QJ_O尸于Q點(diǎn)，即是求PQ的值，由圖易求得

^AOP^/^PDQ（MS）,即可求得PQ的長(zhǎng)；

（3）利用（2）的結(jié)論，可知〃什〃為定長(zhǎng)足正確的，過(guò)〃分別作x軸和），軸的垂線，類似（2）,即可

求得ni+n的值.

【解答】解：（1）過(guò)。作CMJ_x軸于M點(diǎn)，如圖I,

VGW104,AC1AB,

???NAMC+NCM8=9（）°,NO/1〃+NOZM=9（）°

則/MAC=NO8A

在和△084中，

Z.CMA=Z.A0B=90°

/.MAC=乙OBA

AC=BA

則△MAC絲/XOBA（AAS）

則CM=Q4=2,M4=O8=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-6,-2）；

（2）過(guò)。作OQ_LOP于Q點(diǎn)，如圖2,則OP-QE=PQ,ZAPO+ZQPD=90°

ZAPO+ZOAP=90Q,則NQPO=NQ4P,

在ZVIOP和△PDQ中，

Z.A0P=乙PQD=90°

Z.QPD=Z.OAP

AP=PD

則△AOP四△PQQ(AAS)

OP-DE=PQ=0A=2；

(3)結(jié)論②是正確的，機(jī)+〃=?4,

如圖3,過(guò)點(diǎn)尸分別作尸S_Lx軸于S點(diǎn)，/兀Ly軸于T點(diǎn),

則FS=FT=2,ZFHS=ZHFT=ZFGT,

在△五5"和△/77G中，

NFSH=Z.FTG=90°

乙FHS=乙FGT

FS=FT

則△ESHg△/?7G(AAS)

則GT=HS,

又,：G(0,/?),H(〃，0),點(diǎn)尸坐標(biāo)為(?2,-2),

OT=OS=2,OG=\m\=-m,OH=n,

：,GT=OG-OT=-m-2,HS=OH+OS=n+2,

則-2-m=n+2,

則m+n=-4.

1U.(2U22秋?南崗區(qū)校級(jí)月考)任.△A8C中，AH=ACt于點(diǎn)。，4:平分N/W。，點(diǎn)”在以)上,

Z?EF=45°

(1)如圖1,求證：BF=CE；

(2)如圖2,作￡M_L3￡,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連接AM,交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,若N84C=30。，

請(qǐng)?zhí)骄烤€段￡尸與MN的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2

【分析】(1)在AB上截取8G=8F,連接EG,利用8E平分乙480,可得NGBE=NFBE,根據(jù)題意

易求證△玳；￡：名△8FE(SAS),設(shè)NEBG=NEBF=a,ZDBC=P，根據(jù)角度關(guān)系可求證GE〃8C,通

過(guò)等量代換即可求解；

(2)數(shù)量關(guān)系為：MN=2EF,理由為連接NC,根據(jù)題意可求證BE=EM,/EBF=NCEM=30°,BF

=CE,從而求證△BMg△石MC(S4S),可得EF=MC,即可求解.

【解答】(I)證明：如圖，在上截取8G=8F,連接EG,

A

?.?BE平分N/WO,

NGBE=NFBE,

?:BG=BF,BE=BE,

工△BGEmABFE(SAS),

；?NGEB=NFEB=45°,

議/EBG=/EBF=a,NO8C=0,

???NAGE=NGBE+NGEB=450+a,

,：AB=AC,

/.ZC=NABC=2a+p,

VZBDC=90°,

二NQZ?r+Nr=90°,即2a+B+p=90。，

r.a+P=90°,

???N48C=2a+p=45°+a,

???ZABC=ZAGE,

：.GE//BC,

???NAEG=ZC=ZABC=ZAGE,

：,AG=AE,

：.AI3-AG=AC-AE,即BG=CE,

?:BF=BG,

:.BF=CE；

(2)解:數(shù)量關(guān)系為：MN=2E立理由如下:

VZBAC=30°,AB=AC,

AZABC=ZACB=15°,

VZODIAC,

AZDBC=90°-75°=15°,

AZABD=15°-15°=60°,

〈BE平分NA8。，

；?NABE=NEBD=30°,

AZBAC=ZABE=30°,

，AE=BE,

工NBED=NBAC+NABE=75",

AZEMC=45°,

VZEBM=ZEBD+ZDBC=45°，

ZEA/C=ZEBM=45°,

：?BE=EM,

：.EM=AE,

：,

ZEAM=ZEMA=-2ZCEM=15°,

ZAMC=NEMC+NAME=60°=NBEC,

如圖，連接NC,

:.E、N、M、。四點(diǎn)共圓，

：?NNCM=/NEM=90°,

在RtZXNMC中，ZMWC=60°,

???NCNM=30°,

??.CM=；MN,

?:BE=EM,NEBF=NCEM=30°,BF=CE,

:./XBEg/XEMC(SAS),

:.EF=MC,

:,MN=2EF.

11.(2U22春?運(yùn)城期木)綜合與探究

如圖，在△A8C和△/1￡)七中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE,CE的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)凡

(1)求證：/XACEg△48。.

(2)若NBAC=NDAE=50°,請(qǐng)直接寫(xiě)出N8FC的度數(shù).

(3)過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)從求證：EF+DH=HF.

（2）由全等三角形的性質(zhì)可得N4EC=NAQ4,結(jié)合平角的定義可得/。4七+/。廣石=【80°,根據(jù)N

BFC+NDFE=180°，可求得/"C=ND4￡,即可求解；

（3）連接AF,過(guò)點(diǎn)A作A人LC產(chǎn)于點(diǎn)J.結(jié)合全等三角形的性質(zhì)利用"￡證明RtZkAE/gRtZkAFH,Rt

△AJE也RdAHQ可得E/=FH,EJ=DH,進(jìn)而可證明結(jié)論.

【解答】（1）證明：???/84C=NO4E.

：.ZCAE=ZBAD.

在△4CE和△4B。中，

AC=AB

Z.CAE=4BAD,

AE=AD

^ACE^^ABD（SAS）；

⑵解：'?△ACE且△A8O,

ZAEC=ZADB,

/.ZAEF+ZAEC=ZAEF+ZADB=\SOQ.

ZD/\E+ZDF￡=180°，

VZBFC+ZDFE=180°,

/.ZBFC=ZDAE=ZBAC=50°；

(3)證明：如圖，連接AF,過(guò)點(diǎn)A作A/_LC/于點(diǎn)J.

??AACE^AABD,

**?S^ACE=SAABD，CE—BD?

*：AJLCE,AHA.BD.

：.-CE^AJ=-BDAH,

2J2

：?AJ=AH.

在RlAAE/和RlA/lFH中，

\AF=AF

[A]=AH'

A(HL),

：,FJ=FH.

在RtAAJE和RtAA/7D中，

\AE=AD

[AJ=AH'

/.RtAAJE^RtAAHD(HL),

:?EJ=DH,

：.EF+DH=EF+EJ=FJ=FH.

12.(2022秋?松桃縣期末)如圖①：/XABC中，AC=K,延長(zhǎng)AC到E,過(guò)點(diǎn)上作交的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)F,延長(zhǎng)C8到G,過(guò)點(diǎn)G作G〃_LA4交A8的延長(zhǎng)線于從且七尸=G4.

(1)求證：△AEFW/XBGH：

(2)如圖②，連接EG與燈7相交于點(diǎn)。，若A8=4,求。，的長(zhǎng).

【分析】(1)利用A4S即可證明AAE產(chǎn)且△8G”；

(2)結(jié)合(1)證明△EFOg/XG，。即可解決問(wèn)題.

【解答】(1)證明：???4C=月C,

二ZA=ZABC.

,?NABC=NGBH,

，ZA=ZGBH.

,：EFLAB,GH上AB,

???/AFE=NBHG.

在△4Z)G和△(；￡＞尸中，

Q=乙GBH

\z.AFE=^BHG，

lEF=GH

:?△AEF94BGH(AAS).

(2)解：VAAEF^ABGH,

:.AF=BH,

???AB=FH=4.

VEFlAB,GH1AB,

：.ZEFD=ZGHD.

在△￡7%)和△GHD中，

[Z.EFD=Z.GHD

\z-EDF=乙GDH

IFF=GH

:?△EFgAGHD(AAS),

：.DH=DF=-FH=-AB=2.

22

13.(2022秋?兩江新區(qū)期末)在RtAABC中，/48C=90°,點(diǎn)。是C8延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)E是線段A8

上一點(diǎn)，連接OE.AC=DE,BC=BE.

(1)求證：AB=BD：

(2)8尸平分NABC交AC于點(diǎn)凡點(diǎn)G是線段所延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接。G,點(diǎn)〃是線段。G上一點(diǎn),

連接AH交8。于點(diǎn)K,連接KG.當(dāng)K8平分乙4KG時(shí)，求證：AK=DG+KG.

【分析】(1)證明RtzXACBgRtZkOKB即可解決問(wèn)題；

(2)作平分/A8。交AK于點(diǎn)M,證明△8MK四△8GK,即可解決問(wèn)題.

【解答】證明：(1)在RtZ\AC8和Rt^OEB中，

(AC=DE

IBC=BE'

???RizMCBgRdOEB(HL)，

：.AB=BD,

(2)加圖：作0“平分交人長(zhǎng)于點(diǎn)M,

平分NAB。，KB平分N4KG,

Z.ZABM=ZMBD=45°,NAKB=NBKG,

,/ZABF=ZDBG=45°

???NM8￡>=NG8。,

在△8MK和△8GK中，

ZMBD=乙GBD

BK=BK，

Z.AKB=Z.BKG

:ABMKQ2BGK（ASA）,

:.BM=BG,MK=KG,

在△A8M和△QBG中，

AB=BD

/-ABM=乙DBG,

BM=BG

:.XABM9RDBGCSAS）,

：,AM=DG,

*：AK=AM+MK,

：,AK=DG+KG.

14.（2022春?濟(jì)南期末）如圖1,AABE是等腰三角形，AB=AE,N8AE=45°,過(guò)點(diǎn)8作8C_LAE于

點(diǎn)C,在BC上截取CO=CE,連接A。、OE并延長(zhǎng)A。交BE于點(diǎn)P；

（1）求證：AD=BE\

（2）試說(shuō)明4。平分/B4E；

（3）如圖2,將石繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)一定的角度，那么人。與BE的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，說(shuō)明理由.

【分析】（1）利用S4S證明△BCEg/\4C￡）,根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到AD=8E.

（2）根據(jù)△BCEgaAC。，得到/EBC=NQAC,由/BOP=NA/）C,得到NOC4=90°,利

用等腰三角形的三線合一，即可得到4。平分NB4E；

（3）人。_L8E不發(fā)生變化.由ABCE0△ACD,得到/E8C=/D4C,由對(duì)頂角相等得到N80=N人“

根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°,所以/3PP=NAb=90°,即

【解答】解：（1）*：BCVAE,ZBAE=45°,

/.ZCBA=ZCAB,

：,BC=CA.

在△"左和△ACQ中，

BC=AC

(BCE=Z-ACD=90°,

CE=CD

:.△BCE//\ACD(SAS),

；?AD=BE.

(2)???△BCEgZXAC。，

：,ZEBC=ZDAC,

NBDP=ZADC,

：?NBPD=NDCA=9Q0,

,：AB=AE,

：.AD平分

(3)AQ_LBE不發(fā)生變化.

如圖2,

VABC^AACD,

：.ZEBC=ZDAC,

ZBFP=ZAFC,

：.^BPF=ZACF=90°,

：.AD1BE.

15.(2022春?渭濱區(qū)期末)如圖，在四邊形八BC。中，AD=BC=4,AB=CD,BD=6,點(diǎn)E從。點(diǎn)出發(fā)，

以每秒1個(gè)單位的速度沿DA向點(diǎn)人勻速移動(dòng)，點(diǎn)尸從點(diǎn)C出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿C-B-C

做勻速移動(dòng)，點(diǎn)G從點(diǎn)8Hl發(fā)沿8。向點(diǎn)。勻速移動(dòng)，三個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有?個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，其余

兩點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).

(1)試證明：AD//BC.

（2）在移動(dòng)過(guò)程中，小明發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取某個(gè)值時(shí)，有AOEG與aAFG全等的情況出現(xiàn)，請(qǐng)

你探究當(dāng)點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度取哪些值時(shí)，叢DEG與△BPG全等.

【分析】（1）由AO=8C=4,AB=CD,8。為公共邊，所以可證得△A&）經(jīng)△CO8,所以可知NAO8

=/CBD,所以AO〃8C；

（2）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為心根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可.

【解答】（1）證明：在△ABZ）和△COB中

[AD=BC

\AB=CD,

iBD=DB

：,△ABD@/\CDB,

4ADB=/CBD,

：.AD//BC；

(2)解：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，，點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)速度為y,

當(dāng)0V區(qū)g時(shí),若ADEGW4BFG,則既二囂，

.a=4-3t

?噓?16-、BG=BG'

Av=3：

若△OEGgZ^GF,則田￡二船

IDG=BF

.(t=BG

,^6-BG=4-3t>

,■,&G=-1<#4)!

當(dāng)然W時(shí)，若ADEGgABFG,則｛需二囂，

.Ct=3t-4

??16-BG=BG'

.(t=2

FG=3，

Av=1.5；

若ADEGWABGF,貝可需二需

(t=BG

(6-BG=3"4’

1*'

v=1.

綜上，點(diǎn)G的速度為3或1或1.5.

16.（2U22秋?寧津縣期水）（1）某學(xué)習(xí)小組在.探究三角形全等時(shí)，發(fā)現(xiàn)了下面這種典型的基本圖形.如

圖I,已知：在△ABC中，NAIC=9O°,AB=AC,直線/經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,BO_L直線/,CEJ_直線/,垂足分

別為點(diǎn)。、E.證明：DE=BD+CE.

（2）組員小劉想，如果三個(gè)角不是直角，那結(jié)論是否會(huì)成立呢？如圖2,將（1）中的條件改為：在4

A8C中，AB=AC,。、A、E三點(diǎn)都在直線/上，并且有N8D4=NAEC=N8AC=a,其中a為任意銳

用或鈍角.請(qǐng)問(wèn)結(jié)論OE=8O+CE是否成立？如成立，請(qǐng)你給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）數(shù)學(xué)老師贊賞了他們的探索精神，并鼓勵(lì)他們運(yùn)用這個(gè)知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題：如圖3,過(guò)AABC的邊

48、AC向外作正方形48OE和正方形AC尸G,4”是BC邊上的高，延長(zhǎng)HA交EG于點(diǎn)/,求證：/是

EG的中點(diǎn).

【分析】（1）由條件可證明AABOg△CAE,可得。A=CE,AE=BD,可得DE=BD+CE；

（2）由條件可知NBAD+NC4E=180°-a,且/。84+/朋。=180°-a,可得NOBA=/CAE,結(jié)合

條件可證明△ABZ）g/\C4E,同（1）可得出結(jié)論；

（3）由條件可知EM=4H=GN,可得EM=GN,結(jié)合條件可證明△EA〃g/\GN/,可得出結(jié)論/是EG

的中點(diǎn).

【解答】解：（1）如圖1,

圖1

直線/,C￡_L直線/,

：,ZBDA=ZCEA=90c,

VZBAC=90°,

，N8AD+NCAE=90°

VZBAD+ZABD=90°,

：,ZCAE=^ABD

在△AD8和△(；"中，

(/.ABD=/.CAE

{ABDA=Z.CEA,

lAB=AC

A^ADB^ACEA(A4S),

：.AE=BD,AD=CE,

???DE=AE+AD=BD+CE；

(2)DE=BD+CE.

圖2

證明如下：

ZBDA=ZBAC=a,

???ZDBA+ZBAD=NB4O+/CAE=180°

：.ZDBA=ZCAE,

在△4OB和△CE4中.

NBDA=Z.AEC

乙DBA=Z.CAE.

AB=AC

:.△ADB/4CEA(AAS),

：,AE=BD,AD=CE,

:.DE=AE+AD=BD+CE

(3)如圖3,

過(guò)上作以W_L于何，G/VJ?川的延長(zhǎng)線于N.

/EMI=GNI=90°

由(1)和(2)的結(jié)論可知EM=A，=GN

:.EM=GN

在△￡：//和aGM中，

/-EIM=乙GIN

/-EMI=￡6NI,

EM=GN

:?叢EMl%AGNl(AAS),

：,El=GI,

???/是EG的中點(diǎn).

17.(2022秋?富縣期中)如圖，在△ABC中，NACB=60°,。為△4BC邊AC上一點(diǎn)，BC=CD,點(diǎn)M

在4C的延長(zhǎng)線上，C￡平分NACM,且4C=C￡連接見(jiàn)?交AC于點(diǎn)P,G為邊CE上一點(diǎn)，滿足CG

=CF,連接。G交于點(diǎn)”.

(1)求NDH尸的度數(shù);

(2)若EB平分NDEC,則BE平分NABC嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】(1)由“SAS”可證ACOGg△C4R可得NC4F=NCQG,再利用三角形的內(nèi)角和定理，得

ZCBF+ZBCF=ZCDG+ZDHF,又NAC3=60",即可出/Q〃F=NAC8=60°,從而問(wèn)題得以解決;

(2)由“SAS”可證△ABCg/XEOC：由三角形的內(nèi)角和可得NQE8+NE8C=60°,因?yàn)镹DEB=NBEC,

只要證出NO￡8+NA8E=60°,用三角形的外角以及等量代換可以證出，進(jìn)而得到BE平分NA8C.

【解答】解：（1）在△COG和ACBr中,

CF=CG

/.ACB=Z.ACE=60。，

BC=CD

:ACDG安ACBF(SAS),

：?4CBF=/CDG,

?；4DFH=ZBFC,

lNDHF=NBCF=60°；

(2)8七平分N/WC.

理由：VZACB=6O0,

AZACM=120°,

???CE平分NACM,

AZACE=ZMCE=60°，

???^ACB=ZACE,

在△ABC和△EDC中，

AC=CE

Z-ACB=Z-ACE^

BC=CD

:.XABC出XEOC(SAS)：

:./ABC=/EDC,

V^ACB=ZDCE=^°,

???N8EC+NC8E=60°,

???ZDFH=NA+/ABE=ZBEC+ZFCG,

???NA=NDEC=2ZDEB=2/BEC,

：?2NDEB+NABE=NBEC+60。,

：,ZDEB+ZABE=6^,

，NABE=NCBE,

???8￡平分N48C.

18.(2022秋?臺(tái)安縣月考)如圖所示，BD、CE是△ABC的高，點(diǎn)。在3。的延長(zhǎng)線上，CA=BP,點(diǎn)Q

在C￡上，QC=AB.

(1)探究以與AQ之間的關(guān)系；

（2）若把（I）中的△ABC改為鈍角三角形，AC>A8,NA是鈍角，其他條件不變，上述結(jié)論是否成立？

畫(huà)出圖形并證明你的結(jié)論.

【分析】（I）由條件可得出/1=N2,可證得可得結(jié)論;

（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，結(jié)合（1）可證得△AP80△QAC,可得結(jié)論.

【解答】（1）結(jié)論：AP=AQ,APVAQ

證明：，：BD、CE是△ABC的翦，

ABD1AC,CEA.AB,

???N1+NCA8=9O°,Z2+ZCAB=90°,

???N1=N2,

在△Q4C和aAPB中，

[QC=AB

z.1=z.2>

CA=BP

:.△QAg△人PB（.SAS）,

：,AQ=AP,ZQAC=ZP,

而ND4P+NP=90°,

???NOAP+NQAC=90°,

即NQA尸=90°,

：.AQLAPx

5|JAP=AQfAPLAQ；

（2）上述結(jié)論成立，理由如下：

如圖所示:

DO

V81）.C七是△〃％（；的高，

：,BDLAC,CEA-AB,

??./1+NCAE=9O°，N2+NDA5=90",

?：ZCAE=ZDAB,

AZ1=Z2,

在△QAC和△4P8中，

QC=AB

乙1二42,

CA=BP

:.XQAC9XAPB（SAS）,

：.AQ=AP,NQAC=NP,

VZPD4=90°,

???NP+N以。=90°，

：,ZQAC+ZPAD=90°,

???NQAP=90°,

：.AQLAP,

即AP=4Q,APLAQ.

19.（2022春?浦東新區(qū)期末）如圖，在△ABC和△AOE中，AB=AC,AD=AE,N84C=ND4E=90°.

（1）當(dāng)點(diǎn)。在AC上時(shí)，如圖①，線段BD,CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)證明你的猜想；

（2）將圖①中的△八OE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（00<a<90°）,如圖②，線段B。，CE有怎樣的數(shù)量

關(guān)系和位置關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【分析】（I）延長(zhǎng)8。交CE于凡易證△EAC出△D48,可得8O=CE,NABD=/ACE,根據(jù)NAEC+

ZAC￡=90°,可得NA8Q+/AEC=90°,即可解題；

（2）延長(zhǎng)3。交CE于凡易讓NB4O=NEAC,即可證明AEAC且△OAB,可得BD=CE,/ABD=N

ACE.根據(jù)N4/3C+NAC8=90°,可以求得NCBP+NBC尸=90°,即可解題.

【解答】證明：(1)延長(zhǎng)3D交CE于凡

在△E4C和△D4B中，

AE=AD

Z.EAC=乙DAB,

AC=AB

???△EACHOAB(SAS),

:.BD=CE,ZABD=ZACE,

VZAEC+ZACE=90°,

???NA8D+N4EC=90°,

AZBFE=90°,即ECJLBO；

(2)延長(zhǎng)4。交CE于R

???NB4D+NCAQ=90°,ZCAD+ZEAC=9Q°,

???NB4O=NE4C,

???在和△DA5中,

AD=AE

乙BAD=4EAC,

AB=AC

:.XEAgXDXB(SAS),

:.BD=CE,ZABD=ZACE,

?；NA8C+NACB=90°,

ZCBF+ZBCF=ZABC-ZABD+ZACB+ZACE=9()0，

:?NBFC=90。，BPECVBD.

20.（2022春?吉安縣期末）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題:

若A8=8,AC=6,求3c邊上的中線AD的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流,

得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AO到點(diǎn)E,使。E=AD,請(qǐng)根據(jù)小明的方法思考:

（1）由己知和作圖能得到的理由是8

A.SSSB.SASC.AASD.HL

（2）求得4。的取值范圍是C

4.6<AD<8B.6W/WW8C.\<AD<1D.IWAOW7

（3）如圖2,人。是△八8c的中線，BE交AC于E,交AQ于/，^.AE=EF.求證：AC=BF.

【分析】（1）根據(jù)AO=OE,NADC=NBDE,8Q=OC推出和全等即可;

（2）根據(jù)全等得出4E=AC=6,AE=2AD,由三角形三邊關(guān)系定理得出8-6V2AQV8+6,求出即可;

(3)延長(zhǎng)到使AQ=OM,連接3M,根據(jù)SAS證推出8W=AC,ZCAD=Z

M,根據(jù)AE=ER推出/C4O=NAFE=N8FO,求出N8FD=NM,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出即可.

【解答】（1）解：???在△4OC和△EDB中

AD=DE

Z.ADC=乙BDE,

BD=CD

：.4ADC0叢EDB(SAS),

故選B；

（2）解：???由(I)知：△AOC0△￡￡>〃,

?*.BE=AC=6,AE=2AD,

???在△ABE中，A8=8,由三角形三邊關(guān)系定理得：8-6<2AD<8+6,

：.\<AD<7,

故選C

(3)證明：

延長(zhǎng)AD到M,使AZ)=OM,連接8M,

?；4。是△48C中線，

：.BD=DC,

??,在△4QC和△MO3中

BD=DC

Z-ADC=乙BDM,

AD=DM

A(SAS),

：.BM=AC,ZCAD=ZM,

'：AE=EF,