第24頁（共24頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期北京初中數(shù)學(xué)八年級(jí)開學(xué)模擬考1一．選擇題（共6小題）1．長(zhǎng)度分別是3，7，x的三條線段可以圍成一個(gè)三角形，由題意可以列出不等式組（）A．3+x＜77+xC．3+x＞77+2．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠B＝42°，∠E＝25°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．84° B．17° C．67° D．92°3．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD＝∠D，AE平分∠CAD．下列說法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S△AEF＝S△BCF；④∠ACB＝∠AEB．其中正確的結(jié)論有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4．滿足下列條件的兩個(gè)三角形中，一定全等的是（）A．腰長(zhǎng)相等的兩個(gè)等腰三角形 B．邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形 C．有公共邊的兩個(gè)等腰三角形 D．各有一個(gè)角是30°的兩個(gè)直角三角形5．如圖，點(diǎn)E、F、C、B在同一直線上，AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列一個(gè)條件，不能判定△ABC≌△DEF的條件是（）A．BF＝EC B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE6．如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB同側(cè)分別作正三角形ACD和正三角形BCE，AE與BD交于點(diǎn)F，AE與CD交于點(diǎn)G，BD與CE交于點(diǎn)H，連接GH．以下五個(gè)結(jié)論：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正確的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)二．填空題（共6小題）7．衢州鐘靈塔的塔基是n邊形（n是正整數(shù)）．測(cè)得塔基所在的n邊形的每一個(gè)外角均為60°，如圖所示，n的值是，該n邊形的內(nèi)角和是．8．已知2x-4與（3﹣y）2互為相反數(shù)，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是9．如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，連接AB，DC，AB＝DC，要使△AOB≌△DOC，則需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是．（填一個(gè)即可）10．如圖，直線l1，l2，l3分別過正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距離為1，l2，l3的距離為2，則正方形的邊長(zhǎng)為．11．一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為32°和68°，則這個(gè)三角形屬于．12．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E是AD邊上一點(diǎn)，且DE＝DC，AC＝BE，若AD＝4，則△ABD的面積為．三．解答題（共4小題）13．如圖，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，點(diǎn)O是AD，BC的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：OA＝OB；（2）若AE＝8，求AB的長(zhǎng)．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D、E．求證：CD＝BE．15．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖①，若AB＝5，AE＝4，BD＝2，則CE的長(zhǎng)度為；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，試說明α+β＝180°；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．16．某數(shù)學(xué)小組學(xué)習(xí)了圖形的全等之后，進(jìn)行了如下研究：（1）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E．①如圖1．當(dāng)直線m經(jīng)過∠BAC內(nèi)部時(shí)，在圖1中完成，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，DE|BD﹣CE|；（填“＝”“＜”或“＞”）②如圖2，當(dāng)直線m經(jīng)過△ABC外部時(shí)，DE，BD，CE間的關(guān)系是；（2）如圖3，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．（1）②中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展與說明：如圖4，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），且DE＝a，F(xiàn)是∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求∠DFE的度數(shù)．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期北京初中數(shù)學(xué)八年級(jí)開學(xué)模擬考1參考答案與試題解析一．選擇題（共6小題）題號(hào)123456答案CDABBC一．選擇題（共6小題）1．長(zhǎng)度分別是3，7，x的三條線段可以圍成一個(gè)三角形，由題意可以列出不等式組（）A．3+x＜77+xC．3+x＞77+【考點(diǎn)】三角形三邊關(guān)系．【專題】三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊進(jìn)行分析．【解答】解：根據(jù)題意，得3+x故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形形成的條件：任意兩邊之和＞第三邊，任意兩邊之差＜第三邊．2．如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，且CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．若∠B＝42°，∠E＝25°，則∠BAC的度數(shù)為（）A．84° B．17° C．67° D．92°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；角平分線的定義．【專題】三角形；推理能力．【答案】D【分析】由三角形的外角性質(zhì)得到∠DCE＝∠B+∠E＝67°，∠BAC＝∠ACD﹣∠B，由角平分線定義得到∠ACD＝134°，即可求出∠BAC的度數(shù)．【解答】解：∵∠B＝42°，∠E＝25°，∴∠DCE＝∠B+∠E＝67°，∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACD＝2∠DCE＝134°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝134°﹣42°＝92°．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的外角性質(zhì)，角平分線定義，關(guān)鍵是由三角形的外角性質(zhì)得到∠DCE＝∠B+∠E，∠BAC＝∠ACD﹣∠B．3．如圖，已知四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠ACD＝∠D，AE平分∠CAD．下列說法：①AB∥CD；②AE⊥CD；③S△AEF＝S△BCF；④∠ACB＝∠AEB．其中正確的結(jié)論有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【考點(diǎn)】三角形的面積；三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義；平行線的判定與性質(zhì)；平行線之間的距離．【專題】三角形；多邊形與平行四邊形；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】A【分析】根據(jù)∠ABC＝∠D，推導(dǎo)出∠BAD+∠D＝180°，進(jìn)而得到AB∥CD，即可判斷①；利用三角形內(nèi)角和與角平分線的定義，推導(dǎo)出∠AED＝90°，進(jìn)而得到AE⊥CD，即可判斷②；根據(jù)等底等高的三角形面積相等即可推出S△ABE＝S△ABC，可得S△AEF＝S△BCF，即可判斷③；依據(jù)已知條件無法判定∠AEB＝∠ACB，故④錯(cuò)誤．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠ABC＝∠D，∴∠BAD+∠D＝180°，∴AB∥CD，故①正確；∵AE平分∠CAD，∴∠CAE＝∠DAE=12∠∵∠ACD＝∠D，∠ACD+∠D+∠CAD＝180°，∴∠DAE+∠D＝90°，∴∠AED＝90°，∴AE⊥CD，故②正確；∵AB∥CD，∴S△ABE＝S△ABC，∴S△AEF＝S△BCF，故③正確；∵AB∥CD，AE⊥CD，∴無法判定∠AEB＝∠ACB，故④錯(cuò)誤，∴①②③正確，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的面積，平行線之間的距離，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及平行線的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是推出AB∥CD．4．滿足下列條件的兩個(gè)三角形中，一定全等的是（）A．腰長(zhǎng)相等的兩個(gè)等腰三角形 B．邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形 C．有公共邊的兩個(gè)等腰三角形 D．各有一個(gè)角是30°的兩個(gè)直角三角形【考點(diǎn)】全等三角形的判定；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】由全等三角形的判定，即可判斷．【解答】解：A、腰長(zhǎng)相等，兩腰的夾角不一定相等，兩個(gè)等腰三角形不一定全等，故A不符合題意；B、邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等，故B符合題意；C、沒有角相等的條件，公共的邊也不一定是腰或底，兩個(gè)等腰三角形不一定全等，故C不符合題意；D、沒有邊相等的條件，兩個(gè)三角形不一定全等，故D不符合題意．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法．5．如圖，點(diǎn)E、F、C、B在同一直線上，AB＝DE，∠B＝∠E，添加下列一個(gè)條件，不能判定△ABC≌△DEF的條件是（）A．BF＝EC B．AC＝DF C．∠A＝∠D D．∠ACB＝∠DFE【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)BF＝EC求出BC＝EF，再根據(jù)全等三角形的判定定理逐個(gè)判斷即可．【解答】解：A．∵BF＝EC，∴BF﹣FC＝EC﹣FC，即BC＝EF，AB＝DE，∠B＝∠E，BC＝EF，符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；B．AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E，不符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)符合題意；C．∠A＝∠D，AB＝DE，∠B＝∠E，符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；D．∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，AB＝DE，符合全等三角形的判定定理AAS，能推出△ABC≌△DEF，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟記全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．6．如圖，C為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），在AB同側(cè)分別作正三角形ACD和正三角形BCE，AE與BD交于點(diǎn)F，AE與CD交于點(diǎn)G，BD與CE交于點(diǎn)H，連接GH．以下五個(gè)結(jié)論：，①AE＝BD；②GH∥AB；③AD＝DH；④GE＝HB；⑤∠AFD＝60°，正確的個(gè)數(shù)有（）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可以得出△ACE≌△DCB，就可以得出∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC，通過證明△CEG≌△CBH就可以得出CG＝CH，GE＝HB，可以得出△GCH是等邊三角形，就可以得出∠GHC＝60°，就可以得出GH∥AB，由∠DCH≠∠DHC就可以得出CD≠DH，就可以得出AD≠DH，根據(jù)∠AFD＝∠EAB+∠CBD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°，進(jìn)而得出結(jié)論．【解答】解：∵△ACD和△BCE是等邊三角形，∴AD＝AC＝CD，CE＝CB＝BE，∠ACD＝∠BCE＝60°．∵∠ACB＝180°，∴∠DCE＝60°．∴∠DCE＝∠BCE．∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，∴∠ACE＝∠DCB．在△ACE和△DCB中，AC=∴△ACE≌△DCB（SAS），∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB，∠AEC＝∠DBC．在△CEG和△CBH中，∠AEC∴△CEG≌△CBH（ASA），∴CG＝CH，GE＝HB，∴△CGH為等邊三角形，∴∠GHC＝60°，∴∠GHC＝∠BCH，∴GH∥AB．∵∠AFD＝∠EAB+∠CBD，∴∠AFD＝∠CDB+∠CBD＝∠ACD＝60°．∵∠DHC＝∠HCB+∠HBC＝60°+∠HBC，∠DCH＝60°∴∠DCH≠∠DHC，∴CD≠DH，∴AD≠DH．綜上所述，正確的有：①②④⑤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，三角形的外角與內(nèi)角之間的關(guān)系的運(yùn)用，平行線的判定的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．二．填空題（共6小題）7．衢州鐘靈塔的塔基是n邊形（n是正整數(shù)）．測(cè)得塔基所在的n邊形的每一個(gè)外角均為60°，如圖所示，n的值是6，該n邊形的內(nèi)角和是720°．【考點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角．【專題】多邊形與平行四邊形；運(yùn)算能力．【答案】6；720°．【分析】根據(jù)多邊形的外角和及正多邊形的性質(zhì)求得n的值，然后利用多邊形的內(nèi)角和公式即可求得答案．【解答】解：由題意可得n＝360°÷60°＝6，則（6﹣2）×180°＝720°，故答案為：6；720°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查多邊形的內(nèi)角和與外角和，正多邊形的性質(zhì)，結(jié)合已知條件求得n的值是解題的關(guān)鍵．8．已知2x-4與（3﹣y）2互為相反數(shù)，則以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是7或8【考點(diǎn)】等腰三角形的性質(zhì)；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方；非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根；三角形三邊關(guān)系．【專題】三角形；等腰三角形與直角三角形；運(yùn)算能力．【答案】7或8．【分析】根據(jù)2x-4與（3﹣y）2互為相反數(shù)得2x-4+（3﹣y）2＝0，再根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)得x＝2，y＝3，再分兩種情況討論如下：①當(dāng)x＝2為腰長(zhǎng)時(shí)，則底邊長(zhǎng)為y＝3，此時(shí)該三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，2，3，根據(jù)2+2＞3，符合構(gòu)成三角形的條件，由此可得該等腰三角形的周長(zhǎng)；②當(dāng)x＝2是底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為y＝3，此時(shí)該三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3【解答】解：∵2x-4與（3﹣y∴2x-4+（3﹣y）又∵2x-4≥0，（3﹣y）∴2x-4=0∵x，y是等腰三角形兩邊的長(zhǎng)，∴有以下兩種情況：①當(dāng)x＝2為腰長(zhǎng)時(shí)，則底邊長(zhǎng)為y＝3，此時(shí)該三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，2，3，∵2+2＞3，符合構(gòu)成三角形的條件，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為：2+2+3＝7；②當(dāng)x＝2是底邊時(shí)，則腰長(zhǎng)為y＝3，此時(shí)該三角形的三邊長(zhǎng)分別為：2，3，3，∵2+3＞3，符合構(gòu)成三角形的條件，∴該等腰三角形的周長(zhǎng)為：2+3+3＝8．綜上所述：以x，y的值為兩邊長(zhǎng)的等腰三角形的周長(zhǎng)是7或8．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，三角形三邊關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵．9．如圖，AC、BD相交于點(diǎn)O，連接AB，DC，AB＝DC，要使△AOB≌△DOC，則需添加一個(gè)條件，這個(gè)條件可以是∠A＝∠D（答案不唯一）．（填一個(gè)即可）【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】圖形的全等；推理能力．【答案】∠A＝∠D（答案不唯一）．【分析】由全等三角形的判定定理，即可得到答案．【解答】證明：在△AOB和△DOC中，∠A∴△AOB≌△DOC（AAS）．∴要使△AOB≌△DOC，添加一個(gè)條件可以是∠A＝∠D（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定方法：SAS、ASA、AAS、SSS、HL．10．如圖，直線l1，l2，l3分別過正方形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)A，D，C，且相互平行，若l1，l2的距離為1，l2，l3的距離為2，則正方形的邊長(zhǎng)為5．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力．【答案】5．【分析】過點(diǎn)D作EF⊥l1交l1于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)F，可得EF⊥l2，EF⊥l3，再證明△ADE≌△DCF，可得AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，然后由勾股定理，即可求解．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作EF⊥l1交l1于點(diǎn)E，交l3于點(diǎn)F，∵l1∥l2∥l3，∴EF⊥l2，EF⊥l3，∴∠AED＝∠ADC＝∠CFD＝90°，DE＝1，DF＝2，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∠ADE+∠CDF＝90°，∴∠DAE＝∠CDF，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∴△ADE≌△DCF，∴AE＝DF＝2，DE＝CF＝1，AD=D即正方形的邊長(zhǎng)為5．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題利用了全等三角形的判定的性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)求解，作輔助線，構(gòu)建三角形全等是關(guān)鍵．11．一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為32°和68°，則這個(gè)三角形屬于銳角三角形．【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【專題】三角形；運(yùn)算能力．【答案】銳角三角形．【分析】根據(jù)個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為32°和68°和三角形內(nèi)角和是180°，可以計(jì)算出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，然后即可判斷這個(gè)三角形的形狀．【解答】解：∵一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為32°和68°，∴第三個(gè)角的度數(shù)為：180°﹣32°﹣68°＝80°，∴這個(gè)三角形屬于銳角三角形，故答案為：銳角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是求出第三個(gè)角和明確三角形的按角分的方法．12．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，E是AD邊上一點(diǎn)，且DE＝DC，AC＝BE，若AD＝4，則△ABD的面積為8．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】8．【分析】由AD是BC邊上的高，證明∠BDE＝∠ADC＝90°，而BE＝AC，DE＝DC，即可根據(jù)“HL”證明Rt△BDE≌Rt△ADC，得BD＝AD＝4，則S△ABD=12BD?AD＝【解答】解：∵△ABC中，AD是BC邊上的高，AD＝4，∴AD⊥BC，∴∠BDE＝∠ADC＝90°，在Rt△BDE和Rt△ADC中，BE=∴Rt△BDE≌Rt△ADC（HL），∴BD＝AD＝4，∴S△ABD=12BD?AD=12×4故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式等知識(shí)，證明Rt△BDE≌Rt△ADC是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共4小題）13．如圖，∠BAC＝∠ABD＝90°，AC＝BD，點(diǎn)O是AD，BC的交點(diǎn)，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：OA＝OB；（2）若AE＝8，求AB的長(zhǎng)．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．【專題】圖形的全等；等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】（1）見解析；（2）16．【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ABC≌△BAD，得到∠ABC＝∠BAD，根據(jù)等腰三角形的判定即可證得OA＝OB；（2）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB＝2AE，即可求解．【解答】（1）證明：在△ABC與△BAD中，AC=∴△ABC≌△BAD（SAS），∴∠ABC＝∠BAD，∴OA＝OB；（2）解：由（1）知OA＝OB，又∵OE⊥AB，∴AB＝2AE＝2×8＝16．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，正確證明△ABC≌△BAD是解決本題的關(guān)鍵．14．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分別為D、E．求證：CD＝BE．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形．【專題】證明題；圖形的全等；推理能力．【答案】證明過程見解答．【分析】由“AAS”可證△CAD≌△BCE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．【解答】證明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°，∵∠ACB＝∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA，在△CAD和△BCE中，∠ADC∴△CAD≌△BCE（AAS），∴CD＝BE．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，由“AAS”可證△CAD≌△BCE是解題的關(guān)鍵．15．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D是邊CB上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD＝AE，∠DAE＝∠BAC，連接CE．（1）如圖①，若AB＝5，AE＝4，BD＝2，則CE的長(zhǎng)度為2；（2）設(shè)∠BAC＝α，∠DCE＝β．①如圖②，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB上時(shí)，試說明α+β＝180°；②如圖③，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你探究α與β之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）2；（2）①證明見解析過程；②β＝α，理由見解答過程．【分析】（1）由已知可以得到△BAD≌△CAE，從而CE＝BD解題即可；（2）①根據(jù)△BAD≌△CAE，可得∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠B＝180°﹣∠BAC，即α+β＝180°；②由題意根據(jù)△BAD≌△CAE，∠ABD＝∠ACE，最后由∠DCE＝∠ACE﹣∠DCA及三角形的外角性質(zhì)可以得到β＝α．【解答】（1）解：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，又AB＝AC，AD＝AE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴CE＝BD＝2，故答案為：2；（2）①證明∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴β＝∠DCE＝∠DCA+∠ACE＝∠DCA+∠ABD＝180°﹣∠BAC＝180°﹣α，即α+β＝180°；②解：β＝α，理由如下：∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∴∠DCE＝∠ACE﹣∠DCA＝∠ABD﹣∠DCA＝∠BAC，即β＝α．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題關(guān)鍵．16．某數(shù)學(xué)小組學(xué)習(xí)了圖形的全等之后，進(jìn)行了如下研究：（1）已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點(diǎn)A，BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為D，E．①如圖1．當(dāng)直線m經(jīng)過∠BAC內(nèi)部時(shí)，在圖1中完成，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，DE＝|BD﹣CE|；（填“＝”“＜”或“＞”）②如圖2，當(dāng)直線m經(jīng)過△ABC外部時(shí)，DE，BD，CE間的關(guān)系是DE＝BD+EC；（2）如圖3，將（1）中的條件改為：在△ABC中，AB＝AC，D，A，E三點(diǎn)都在直線m上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α為任意銳角或鈍角．（1）②中的結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）拓展與說明：如圖4，D，E是D，A，E三點(diǎn)所在直線m上的兩動(dòng)點(diǎn)（D，A，E三點(diǎn)互不重合），且DE＝a，F(xiàn)是∠BAC平分線上的一點(diǎn)，且△ABF和△ACF均為等邊三角形，連接BD，CE．若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，求∠DFE的度數(shù)．【考點(diǎn)】三角形綜合題．【專題】代數(shù)幾何綜合題；幾何直觀；運(yùn)算能力；推理能力．【答案】（1）①＝；②DE＝BD+EC；（2）仍然成立，理由見解析；（3）∠DFE＝60°．【分析】（1）①證明△BAD≌△ACE（AAS），可得BD＝AE，DA＝EC，DE＝|AE﹣DA|，由此即可求解；②證明△BAD≌△ACE（AAS），可得BD＝AE，DA＝EC，DE＝DA+AE，由此即可求解；（2）證明△ABD≌△CAE，可知AD＝CE，BD＝AE，由此即可求證；（3）△ABF與△FAC都是等邊三角形，△BFD≌△AFE，由此即可求解．【解答】解：（1）①DE＝|BD﹣EC|；證明：如圖1.1：∵∠BAC＝90°，BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，且∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∵DE＝AE﹣DA，∴DE＝|BD﹣EC|；如圖1.2：同理，△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∵DE＝DA﹣AE，∴DE＝CE﹣BD，綜上，DE＝|BD﹣EC|；故答案為：＝；②DE＝BD+EC；證明：∵∠BAC＝90°，BD⊥直線m，CE⊥直線m，∴∠BAD+∠CAE＝∠CAE+∠ACE＝90°，∴∠BAD＝∠ACE，且∠BDA＝∠AEC＝90°，AB＝AC，∴△BAD≌△ACE（AAS），∴BD＝AE，DA＝EC，∵DE＝DA+AE，∴DE＝BD+EC；故答案為：DE＝BD+EC；（2）仍然成立，理由如下：∠BDA＝∠BAC＝∠CEA＝α，∵∠DBA+∠BAD＝180°﹣α，∠BAD+∠EAC＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△ABD≌△CAE（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+EC；（3）由（2）可知：△ABD≌△CAE，∠DBA＝∠CAE，又∵△ABF與△FAC都是等邊三角形，∴∠ABE＝∠FAC＝60°，∴∠FBD＝∠FAE，又∵BF＝FA，∴△BFD≌△AFE（AAS），∴∠BFD＝∠AFE，∵∠BFA＝60°，∴∠DFE＝60°．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于三角形綜合題，主要考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法，性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方偶次方具有非負(fù)性．任意一個(gè)數(shù)的偶次方都是非負(fù)數(shù)，當(dāng)幾個(gè)數(shù)或式的偶次方相加和為0時(shí)，則其中的每一項(xiàng)都必須等于0．2．非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根（1）非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：算術(shù)平方根具有非負(fù)性．（2）利用算術(shù)平方根的非負(fù)性求值的問題，主要是根據(jù)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)，開方的結(jié)果也是非負(fù)數(shù)列出不等式求解．非負(fù)數(shù)之和等于0時(shí)，各項(xiàng)都等于0利用此性質(zhì)列方程解決求值問題．3．角平分線的定義（1）角平分線的定義從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線叫做這個(gè)角的平分線．（2）性質(zhì)：若OC是∠AOB的平分線則∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折疊法、尺規(guī)作圖法等，要注意積累，多動(dòng)手實(shí)踐．4．平行線的判定與性質(zhì)（1）平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系．平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．（2）應(yīng)用平行線的判定和性質(zhì)定理時(shí)，一定要弄清題設(shè)和結(jié)論，切莫混淆．（3）平行線的判定與性質(zhì)的聯(lián)系與區(qū)別區(qū)別：性質(zhì)由形到數(shù)，用于推導(dǎo)角的關(guān)系并計(jì)算；判定由數(shù)到形，用于判定兩直線平行．聯(lián)系：性質(zhì)與判定的已知和結(jié)論正好相反，都是角的關(guān)系與平行線相關(guān)．（4）輔助線規(guī)律，經(jīng)常作出兩平行線平行的直線或作出聯(lián)系兩直線的截線，構(gòu)造出三類角．5．平行線之間的距離（1）平行線之間的距離從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長(zhǎng)度叫兩條平行線之間的距離．（2）平行線間的距離處處相等．6．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長(zhǎng)與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．7．三角形三邊關(guān)系（1）三角形三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊．（2）在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時(shí)并不一定要列出三個(gè)不等式，只要兩條較短的線段長(zhǎng)度之和大于第三條線段的長(zhǎng)度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形．（3）三角形的兩邊差小于第三邊．（4）在涉及三角形的邊長(zhǎng)或周長(zhǎng)的計(jì)算時(shí)，注意最后要用三邊關(guān)系去檢驗(yàn)，這是一個(gè)隱藏的定時(shí)炸彈，容易忽略．8．三角形內(nèi)角和定理（1）三角形內(nèi)角的概念：三角形內(nèi)角是三角形三邊的夾角．每個(gè)三角形都有三個(gè)內(nèi)角，且每個(gè)內(nèi)角均大于0°且小于180°．（2）三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°．（3）三角形內(nèi)角和定理的證明證明方法，不唯一，但其思路都是設(shè)法將三角形的三個(gè)內(nèi)角移到一起，組合成一個(gè)平角．在轉(zhuǎn)化中借助平行線．（4）三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用主要用在求三角形中角的度數(shù)．①直接根據(jù)兩已知角求第三個(gè)角；②依據(jù)三角形中角的關(guān)系，用代數(shù)方法求三個(gè)角；③在直角三角形中，已知一銳角可利用兩銳角互余求另一銳角．9．三角形的外角性質(zhì)（1）三角形外角的定義：三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六個(gè)外角，其中有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)相等，因此共有三對(duì)．（2）三角形的外角性質(zhì)：①三角形的外角和為360°．②三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．③三角形的一個(gè)外角大于和它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角．（3）若研究的角比較多，要設(shè)法利用三角形的外角性質(zhì)②將它們轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中去．（4）探究角度之間的不等關(guān)系，多用外角的性質(zhì)③，先從最大角開始，觀察它是哪個(gè)三角形的外角．10．全等三角形的判定（1）判定定理1：SSS﹣﹣三條邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（2）判定定理2：SAS﹣﹣兩邊及其夾角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（3）判定定理3：ASA﹣﹣兩角及其夾邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（4）判定定理4：AAS﹣﹣兩角及其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．（5）判定定理5：HL﹣﹣斜