第39頁(yè)（共39頁(yè)）2025-2026學(xué)年上學(xué)期上海高二數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)模擬考1一．填空題（共12小題，滿分40分）1．（3分）如果平面α，β，直線m，n，點(diǎn)A，B滿足：α∥β，m?α，n?β，A∈α，B∈β，且直線AB與α所成的角為π4，m⊥直線AB，n與直線AB所成的角為π3，那么m與n所成角的大小為2．（3分）已知a→=（x，2），b→=（6，x+1），若a→，b→方向相反，則x＝3．（3分）已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2+3i2025，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第4．（3分）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，邊BC在水平線上，則其平面直觀圖的面積為．5．（3分）若扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為6cm2，圓心角為α(0＜α＜π2)，則6．（3分）已知sinα=35，且α在第二象限，則tan2α＝7．（3分）已知實(shí)系數(shù)二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為α和β，且滿足α是虛數(shù)，α2β是實(shí)數(shù)，則αβ=8．（3分）如果復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，那么|z﹣2i|的最大值是．9．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，點(diǎn)E為A1B1中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，直線B1C與直線EF所成角的余弦值為14313，過(guò)E、F、C1作該正四棱柱的截面，則截面周長(zhǎng)為10．（4分）在等比數(shù)列{bn}中，b1b2b3＝27，b4＝9，則b6＝．11．（4分）長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，BB1＝3．過(guò)B1D作長(zhǎng)方體的截面，則所得截面多邊形面積的最小值是．12．（4分）已知點(diǎn)P（2，4），點(diǎn)Q（4，0），R是圓C：（x﹣6）2+y2＝9上動(dòng)點(diǎn)，則PQ→?PR→的最小值為二．選擇題（共4小題，滿分14分）13．（3分）函數(shù)f（x）＝tan（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜A．-5π12 B．-π6 C．14．（3分）已知a，b，c∈R，則“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要15．（4分）類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列．已知向量列{an}滿足an+1＝2an+d，且滿足a1?d＝|d|＝1，則an?d的值為（）A．2n﹣1 B．2n﹣1 C．2n+1﹣4 D．2n16．（4分）奇函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在區(qū)間[-π3，π4]A．[2，6） B．[2，92） C．[32，92） D．[3三．解答題（共4小題，滿分46分）17．（10分）（1）用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述異面直線判定定理：文字語(yǔ)言：過(guò)一點(diǎn)和一點(diǎn)的直線，和此平面上的任何一條直線是異面直線；符號(hào)語(yǔ)言：若，則直線AB與直線a異面．（2）用反證法證明異面直線判定定理．18．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，點(diǎn)(1an，1an+1)(（1）求證：數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，并求出{（2）求滿足163≤a19．（13分）某大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)在如下圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界）進(jìn)行粒子撞擊實(shí)驗(yàn)，科研人員在A、O兩處同時(shí)釋放甲、乙兩顆粒子．甲粒子在A處按AM→方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙粒子在O處按ON→方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩顆粒子碰撞之處記為點(diǎn)P，且粒子相互碰撞或觸碰邊界后爆炸消失．已知AB長(zhǎng)度為6分米，O為（1）已知向量AM→與ON→的夾角為π3（2）設(shè)向量AM→與向量AO→的夾角為α（0＜α＜π），向量ON→與向量OB→的夾角為β（0＜β＜π），甲粒子的運(yùn)動(dòng)速度是乙粒子運(yùn)動(dòng)速度的2倍．請(qǐng)問(wèn)AD的長(zhǎng)度至少為多少分米，才能確保對(duì)任意的β∈（0，20．（13分）集合A＝{a1，a2，…，an}是由n（n＞3）個(gè)正整數(shù)組成的集合，如果任意去掉其中一個(gè)元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集合”．（1）判斷集合{1，2，3，4}、{1，3，5，7，9，11，13}是否為“可分集合”（不用說(shuō)明理由）；（2）求證：五個(gè)元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（3）若集合A＝{a1，a2，…，an}是“可分集合”，證明n是奇數(shù)．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期上海高二數(shù)學(xué)開(kāi)學(xué)模擬考1參考答案與試題解析一．選擇題（共4小題）題號(hào)13141516答案ABBB一．填空題（共12小題，滿分40分）1．（3分）如果平面α，β，直線m，n，點(diǎn)A，B滿足：α∥β，m?α，n?β，A∈α，B∈β，且直線AB與α所成的角為π4，m⊥直線AB，n與直線AB所成的角為π3，那么m與n所成角的大小為【考點(diǎn)】異面直線及其所成的角．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；立體幾何；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】π4【分析】設(shè)A在平面β上的投影為C，m在平面β上的投影為直線CD，其中D為n與m在平面β上的投影直線的交點(diǎn)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可得CD⊥平面ABC，再過(guò)C作CE⊥BD于E，連接AE，根據(jù)余弦的性質(zhì)可得cos∠ABE＝cos∠ABC×cos∠CBE，進(jìn)而求得∠CBE=π4，結(jié)合三角形內(nèi)角和可得【解答】解：如圖，設(shè)A在平面β上的投影為C，m在平面β上的投影為直線CD，其中D為n與m在平面β上的投影直線的交點(diǎn)，則AC⊥β．由題意，AB與α所成的角為π4，且α∥β故AB與β所成的角∠ABC由AB⊥m，m∥CD，故AB⊥CD．又AC⊥β，CD?β，故AC⊥CD．又AB∩AC＝A，AB，AC?平面ABC，故CD⊥平面ABC．過(guò)C作CE⊥BD于E，連接AE，則因?yàn)锽D?β，故AC⊥BD，又CE∩AC＝C，CE，AC?平面ACE，故BD⊥平面ACE．又AE?平面ACE，故BD⊥AE．又n與直線AB所成的角為π3，即∠則cos∠ABC=BCAB故cos∠ABE＝cos∠ABC×cos∠CBE，即cosπ3=cosπ又CD⊥平面ABC，BC?平面ABC，故CD⊥BC，則∠CDB又m∥CD，故m與n所成角為∠CDB故答案為：π4【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角問(wèn)題，屬中檔題．2．（3分）已知a→=（x，2），b→=（6，x+1），若a→，b→方向相反，則x＝【考點(diǎn)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示．【專題】對(duì)應(yīng)思想；定義法；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】﹣4．【分析】根據(jù)共線向量的坐標(biāo)表示及題意即可求解．【解答】解：由a→=（x，2），b→=（6，x+1），且得x（x+1）﹣2×6＝0，解得x＝﹣4或x＝3，當(dāng)x＝﹣4時(shí)，a→=(-4，2)，b→當(dāng)x＝3時(shí)，a→=(3，2)，b→故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．3．（3分）已知復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=2+3i2025，則復(fù)數(shù)z【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)；復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算．【專題】整體思想；定義法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】四．【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù)的概念，先確定復(fù)數(shù)z，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義進(jìn)行判斷．【解答】解：由題意，z=所以z=5-i2，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（5故答案為：四．【點(diǎn)評(píng)】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．4．（3分）已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，邊BC在水平線上，則其平面直觀圖的面積為64【考點(diǎn)】由斜二測(cè)直觀圖還原圖形；平面圖形的直觀圖．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；立體幾何；運(yùn)算求解．【答案】64【分析】根據(jù)直觀圖是原圖形面積的24【解答】解：根據(jù)題意，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，則其面積S=12×2×2×所以其平面直觀圖的面積S′=24S故答案為：64【點(diǎn)評(píng)】本題考查平面圖形的直觀圖，注意原圖面積和直觀圖面積的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．5．（3分）若扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為6cm2，圓心角為α(0＜α＜π2)，則【考點(diǎn)】扇形面積公式．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】43【分析】設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，由題意可得r和l的方程組，解方程組代入α=l【解答】解：設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，則由題意可得2r解得r=3l=4當(dāng)r=3l=4時(shí)，其中心角的弧度數(shù)當(dāng)r=2l=6時(shí)，其圓心角α=lr=3故答案為：43【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式，涉及圓心角和弧長(zhǎng)半徑的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題．6．（3分）已知sinα=35，且α在第二象限，則tan2α＝-【考點(diǎn)】求二倍角的三角函數(shù)值．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；運(yùn)算求解．【答案】-24【分析】先利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出cosα，再求出tanα，然后利用正切的二倍角公式可求得結(jié)果．【解答】解：因?yàn)閟inα=35所以cosα=所以tanα=所以tan2故答案為：-24【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角同角基本關(guān)系及二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7．（3分）已知實(shí)系數(shù)二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為α和β，且滿足α是虛數(shù)，α2β是實(shí)數(shù)，則αβ=【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】-1【分析】根據(jù)已知條件，推得α=β，【解答】解：實(shí)系數(shù)二次方程ax2+bx+c＝0的兩根為α和β，則α=β，α2則α2β=易知αβ則αβ是1故αβ故答案為：-1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，屬于中檔題．8．（3分）如果復(fù)數(shù)z滿足|z|＝1，那么|z﹣2i|的最大值是3．【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)；運(yùn)算求解．【答案】3．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解．【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），|z|＝1，則a2+b2＝1，表示以（0，0）為圓心，1為半徑的圓，|z﹣2i|＝|a+（b﹣2）i|=a2+(b-故|z﹣2i|的最大值是02+(0-2故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查模公式，以及復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝4，點(diǎn)E為A1B1中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，直線B1C與直線EF所成角的余弦值為14313，過(guò)E、F、C1作該正四棱柱的截面，則截面周長(zhǎng)為85+2【考點(diǎn)】點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；平面的基本性質(zhì)及推論；異面直線及其所成的角．【專題】計(jì)算題；數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；空間位置關(guān)系與距離；空間角；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】85【分析】根據(jù)正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長(zhǎng)為4，利用直線B1C與直線EF所成角的余弦值為14313，可計(jì)算出側(cè)棱AA1＝6，再利用面面平行的性質(zhì)定理作出過(guò)E、F、C1的截面為五邊形EQFMC1，利用勾股定理即可分別計(jì)算出各邊長(zhǎng)即可計(jì)算出截面周長(zhǎng)為8【解答】解：畫出正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，連接B1C，A1D，取AA1的中點(diǎn)為G，連接GF，如下圖所示，由正四棱柱性質(zhì)易知B1C∥A1D，GF為△AA1D的中位線，∴GF∥A1D，因此異面直線B1C與EF所成角即為∠GFE或其補(bǔ)角，可設(shè)AA1＝2a（a＞0），又AB＝4，易得GF=GE由余弦定理可知，cos∠解得a＝3，即AA1＝6，過(guò)E、F、C1做該正四棱柱的截面，設(shè)截面交DC與點(diǎn)M，如下圖所示，易知平面ABCD∥平面A1B1C1D1，截面EFC1∩平面ABCD＝MF，截面EFC1∩平面A1B1C1D1＝EC1，由面面平行的性質(zhì)定理可得MF∥EC1，取CD的中點(diǎn)為N，連接AN，AE，C1N，可得AN∥EC1，即MF∥AN，延長(zhǎng)MF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，連接EP交AA1于點(diǎn)Q，連接QF，則過(guò)E、F、C1的截面為五邊形EQFMC1，又∵點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，∴點(diǎn)M即為DN的中點(diǎn)，∴DM=AP=14DC=1，CM＝3，A1QAQ=則MF=22易知EC1=22∴五邊形截面EQFMC1周長(zhǎng)為MF+故答案為：85【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查異面直線所成的角，兩點(diǎn)間距離的計(jì)算，平面基本定理及推論，考查運(yùn)算求解能力與邏輯推理能力，屬于中檔題．10．（4分）在等比數(shù)列{bn}中，b1b2b3＝27，b4＝9，則b6＝27．【考點(diǎn)】由等比數(shù)列中若干項(xiàng)求通項(xiàng)公式或其中的項(xiàng)．【專題】整體思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；運(yùn)算求解．【答案】27．【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可求得b2＝3，結(jié)合已知，可求b6．【解答】解：因?yàn)閎1b2b3＝27，又?jǐn)?shù)列{bn}是等比數(shù)列，所以b23=27，所以b2由數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，可得b42=b2b6，又b4＝9所以b6＝27．故答案為：27．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（4分）長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，BC＝4，BB1＝3．過(guò)B1D作長(zhǎng)方體的截面，則所得截面多邊形面積的最小值是122【考點(diǎn)】平面的基本性質(zhì)及推論；棱柱的結(jié)構(gòu)特征．【專題】整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解．【答案】122．【分析】由于截面為平行四邊形，欲求?DMB1N面積的最小值，只需求出M點(diǎn)到B1D的距離的最小值，只需求出異面直線AB與B1D的距離d1，A1D1與B1D的距離d2，A1A與B1D的距離d3，比較d1，d2，d3，取其中最小者即可求得．【解答】解：因?yàn)殚L(zhǎng)方體對(duì)面平行，所以截面為平行四邊形，B1D是該平行四邊形的一條對(duì)角線，欲求?DMB1N面積的最小值，只需求ΔDB1M面積的最小值即可，因?yàn)锽1D=32+42+5也就是求兩條異面直線AB與B1D的距離d1，由截面的不同位置，也還需要求出異面直線A1D1與B1D的距離d2，A1A與B1D的距離d3，比較d1，d2，d3，取其中最小者，事實(shí)上，有以下三種情況：d1d2d3易知d1＜d2＜d3，所以截面四邊形的面積最小值為B1【點(diǎn)評(píng)】本題考查棱柱的結(jié)果特征，考查平面性質(zhì)，屬中檔題．12．（4分）已知點(diǎn)P（2，4），點(diǎn)Q（4，0），R是圓C：（x﹣6）2+y2＝9上動(dòng)點(diǎn)，則PQ→?PR→的最小值為24﹣6【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】整體思想；綜合法；三角函數(shù)的求值；平面向量及應(yīng)用；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】24﹣65．【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示先表示PQ→【解答】解：設(shè)R（x，y），則x=6+3因?yàn)镻（2，4），Q（4，0），所以PQ→=（2，﹣4），PR→=（x﹣2，所以PQ→?PR→=2x﹣4﹣4y+16＝2x﹣4y+12＝2（6+3cosα）﹣4×3sinα+12＝24+6cosα﹣12sin＝65cos（α+θ故PQ→?PR→的最小值為24故答案為：24﹣65．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了圓的參數(shù)方程的應(yīng)用，向量數(shù)量積的性質(zhì)的坐標(biāo)表示，輔助角公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題，滿分14分）13．（3分）函數(shù)f（x）＝tan（ωx+φ）(ω＞0，|φ|＜A．-5π12 B．-π6 C．【考點(diǎn)】正切函數(shù)的圖象．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)正切型函數(shù)的對(duì)稱性分析可得T＝π，進(jìn)而可求得ω＝1，再代入點(diǎn)(π【解答】解：如圖所示，區(qū)域①和區(qū)域③面積相等，故陰影部分的面積即為矩形ABCD的面積，根據(jù)圖形可得AB＝3，設(shè)函數(shù)f（x）的最小正周期為T，則AD＝T，由題意可得：矩形ABCD的面積為3T＝3π，解得T＝π，故πω=π，可得ω＝1，即f（x）＝tan（x可知f（x）的圖象過(guò)點(diǎn)(π6，∵φ∈(-∴π6+φ故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，用割補(bǔ)法求圖形的面積，屬于中檔題．14．（3分）已知a，b，c∈R，則“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【考點(diǎn)】等比數(shù)列的性質(zhì)；充分條件與必要條件．【專題】方程思想；定義法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；簡(jiǎn)易邏輯；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】a，b，c∈R，當(dāng)b＝0，a和c中至少有1個(gè)數(shù)為0時(shí)，b2＝ac，此時(shí)，a，b，c不成等比數(shù)列；“a，b，c成等比數(shù)列”?“b2＝ac”．【解答】解：a，b，c∈R，當(dāng)b＝0，a和c中至少有1個(gè)數(shù)為0時(shí)，b2＝ac，此時(shí)，a，b，c不成等比數(shù)列，即充分性不成立；“a，b，c成等比數(shù)列”?“b2＝ac”，必要性成立，∴a，b，c∈R，則“b2＝ac”是“a，b，c成等比數(shù)列”的必要不充分條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．15．（4分）類比數(shù)列，我們把一系列向量按照一定的順序排列，可得到向量列．已知向量列{an}滿足an+1＝2an+d，且滿足a1?d＝|d|＝1，則an?d的值為（）A．2n﹣1 B．2n﹣1 C．2n+1﹣4 D．2n【考點(diǎn)】數(shù)列與向量的綜合；類比推理．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；等差數(shù)列與等比數(shù)列；平面向量及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分析可得an+1+d＝2（an+d），類比數(shù)列的遞推公式可得an＝2n﹣1（a1+d）﹣d，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，向量列{an}滿足an+1＝2an+d，變形可得an+1+d＝2（an+d），故an+d＝2（an﹣1+d）＝22（an﹣2+d）＝23（an﹣3+d）＝……＝2n﹣1（a1+d），變形可得：an＝2n﹣1（a1+d）﹣d，故an?d＝[2n﹣1（a1+d）﹣d]?d＝2n﹣1（a1+d）?d﹣d2＝2n﹣1（a1?d+d2）﹣d2，又由a1?d＝|d|＝1，則an?d＝2n﹣1（a1?d+d2）﹣d2＝2n﹣1×2﹣d2＝2n﹣1．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列和向量的綜合應(yīng)用，涉及類比推理的運(yùn)用，屬于中檔題．16．（4分）奇函數(shù)f（x）＝cos（ωx+φ），（ω＞0，φ∈（0，π））在區(qū)間[-π3，π4]A．[2，6） B．[2，92） C．[32，92） D．[3【考點(diǎn)】三角函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；邏輯思維．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)f（x）為奇函數(shù)求出φ的值，再根據(jù)f（x）在區(qū)間[-π3，π4]【解答】解：因?yàn)楹瘮?shù)f（x）＝cos（ωx+φ）為奇函數(shù)，且ω＞0，φ∈（0，π），所以φ=π所以f（x）＝﹣sinωx，所以x∈[-π3，π4]時(shí)，ωx∈[-π3ω因?yàn)閒（x）在區(qū)間[-π3，π所以-3π2＜-π所以ω的取值范圍是[2，92故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了推理和運(yùn)算能力，是中檔題．三．解答題（共4小題，滿分46分）17．（10分）（1）用文字語(yǔ)言和符號(hào)語(yǔ)言敘述異面直線判定定理：文字語(yǔ)言：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線，和此平面上不過(guò)該點(diǎn)的任何一條直線是異面直線；符號(hào)語(yǔ)言：若a?α，A?α，B∈α，B?a，則直線AB與直線a異面．（2）用反證法證明異面直線判定定理．【考點(diǎn)】異面直線的判定．【專題】計(jì)算題；方程思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；數(shù)學(xué)抽象．【答案】（1）平面內(nèi)，平面外，不過(guò)該點(diǎn)；a?α，A?α，B∈α，B?a；（2）證明見(jiàn)解析．【分析】（1）根據(jù)異面直線的判定定理直接求解即可；（2）根據(jù)題意，由反證法證明即可．【解答】解：（1）異面直線判定定理為：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和此平面上不過(guò)該點(diǎn)的任何一條直線是異面直線；符號(hào)語(yǔ)言：若a?α，A?α，B∈α，B?a，則直線AB與直線a異面．（2）證明：假設(shè)直線AB和a在同一平面內(nèi)，那么這個(gè)平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和直線a，因?yàn)锽?a，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)B與直線a只能有一個(gè)平面，所以直線AB與a應(yīng)在平面α內(nèi)，所以A∈α，這與已知A?α矛盾，所以直線AB和a是異面直線．故答案為：（1）平面內(nèi)，平面外，不過(guò)該點(diǎn)；a?α，A?α，B∈α，B?a；（2）證明見(jiàn)解析．【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線的判斷，注意異面直線的定義，屬于基礎(chǔ)題．18．（10分）已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，點(diǎn)(1an，1an+1)(（1）求證：數(shù)列{1an+1}是等比數(shù)列，并求出{（2）求滿足163≤a【考點(diǎn)】等比數(shù)列的概念與判定．【專題】方程思想；定義法；直線與圓；運(yùn)算求解．【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（2）{3，4，5，6}．【分析】（1）推導(dǎo)出1an+1=2an+1，從而（2）由163≤an≤15，推導(dǎo)出log26【解答】解：（1）證明：∵數(shù)列{an}滿足a1＝1，點(diǎn)(1an，1an+1)(∴由已知得1a∴1an+1∴數(shù)列{1∴1an+1=（2）∵163∴163≤12n-1≤∴l(xiāng)og26≤n≤6，又∵n∈N*，∴n的取值構(gòu)成的集合是{3，4，5，6}．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)、直線性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．19．（13分）某大學(xué)科研團(tuán)隊(duì)在如下圖所示的長(zhǎng)方形區(qū)域ABCD內(nèi)（包含邊界）進(jìn)行粒子撞擊實(shí)驗(yàn)，科研人員在A、O兩處同時(shí)釋放甲、乙兩顆粒子．甲粒子在A處按AM→方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，乙粒子在O處按ON→方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩顆粒子碰撞之處記為點(diǎn)P，且粒子相互碰撞或觸碰邊界后爆炸消失．已知AB長(zhǎng)度為6分米，O為（1）已知向量AM→與ON→的夾角為π3（2）設(shè)向量AM→與向量AO→的夾角為α（0＜α＜π），向量ON→與向量OB→的夾角為β（0＜β＜π），甲粒子的運(yùn)動(dòng)速度是乙粒子運(yùn)動(dòng)速度的2倍．請(qǐng)問(wèn)AD的長(zhǎng)度至少為多少分米，才能確保對(duì)任意的β∈（0，【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）6．（2）AD的長(zhǎng)度至少為2分米．【分析】（1）根據(jù)題意在△AOP中運(yùn)用余弦定理以及基本不等式能求出兩顆粒子運(yùn)動(dòng)路程之和的最大值．（2）過(guò)P作PQ⊥AB，垂足為Q，設(shè)OP＝x，則AP＝2OP＝2x，x∈（1，3），由余弦定理求出cosβ=x2-32x，進(jìn)而求出sinβ=52-x【解答】解：（1）設(shè)兩顆粒子在P點(diǎn)相撞，在△AOP中，由余弦定理得AO2＝AP2+OP2﹣2AP?OPcosπ3∴AP2+OP2＝9+AP?OP，∵AP?OP≤（AP+OP2∴（AP+OP）2＝9+3AP?OP≤9+3×（AP+OP2∴（AP+OP）2≤36，∴AP+OP≤6，當(dāng)且僅當(dāng)AP＝OP＝3時(shí)，等號(hào)成立，∴兩顆粒子運(yùn)動(dòng)路程之和的最大值為6．（2）過(guò)P作PQ⊥AB，垂足為Q，設(shè)OP＝x，則AP＝2OP＝2x，x∈（1，3），由余弦定理可得cos（π﹣β）=A∴cosβ=∵0＜β＜π，∴sinβ=∴PQ＝xsinβ=52x2-x44當(dāng)x2＝5，即x=5時(shí)，PQ即xsinβ取得最大值為2由題意知AD≥PQ恒成立，∴AD≥PQ恒成立，∴AD≥（PQ）max＝（xsinβ）max＝2，∴AD的長(zhǎng)度至少為2分米，才能確保對(duì)任意的β∈（0，π），總可以通過(guò)調(diào)整甲粒子的釋放角度α，使兩顆粒子能成功發(fā)生碰撞．【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦定理以及基本不等式等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．20．（13分）集合A＝{a1，a2，…，an}是由n（n＞3）個(gè)正整數(shù)組成的集合，如果任意去掉其中一個(gè)元素ai（i＝1，2，…，n）之后，剩余的所有元素組成的集合都能分為兩個(gè)交集為空的集合，且這兩個(gè)集合的所有元素之和相等，就稱集合A為“可分集合”．（1）判斷集合{1，2，3，4}、{1，3，5，7，9，11，13}是否為“可分集合”（不用說(shuō)明理由）；（2）求證：五個(gè)元素的集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}一定不是“可分集合”；（3）若集合A＝{a1，a2，…，an}是“可分集合”，證明n是奇數(shù)．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；分類法；轉(zhuǎn)化法；點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）{1，2，3，4}不是“可分集合”，{1，3，5，7，9，11，13}為“可分集合”；（2）證明過(guò)程見(jiàn)解答；（3）證明過(guò)程見(jiàn)解答．【分析】（1）由“可分集合”的定義判斷；（2）不妨設(shè)a1＜a2＜a3＜a4＜a5，討論當(dāng)在集合{a1，a2，a3，a4，a5}中去掉元素a1、a2后，將剩余元素構(gòu)成的集合，結(jié)合“可分集合”的定義進(jìn)行分拆，得出等式，推出矛盾，即可證得結(jié)論成立；（3）根據(jù)集合中元素總和與單個(gè)元素的奇偶性討論后證明．【解答】解：（1）對(duì)于{1，2，3，4}，去掉3后，{1，2，4}不滿足題中條件，故{1，2，3，4}不是“可分集合”，對(duì)于{1，3，5，7，9，11，13}，集合{1，3，5，7，9，11，13}所有元素之和為49．當(dāng)去掉元素1時(shí)，剩下的元素之和為48，剩下元素可以組合{3，5，7，9}、{11，13}這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素3時(shí)，剩下的元素之和為46，剩下元素可以組合{1，9，13}、{5，7，11}這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素5時(shí)，剩下的元素之和為44，剩下元素可以組合{1，3，7，11}、{9，13}這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素7時(shí)，剩下的元素之和為42，剩下元素可以組合{1，9，11}、{3，5，13}這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素9時(shí)，剩下的元素之和為40，剩下元素可以組合{1，3，5，11}、{7，13}這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素11時(shí)，剩下的元素之和為38，剩下元素可以組合{3，7，9}、{1，5，13}這兩個(gè)集合，顯然符合題意；當(dāng)去掉元素13時(shí)，剩下的元素之和為36，剩下元素可以組合{1，3，5，9}、{7，11}這兩個(gè)集合，顯然符合題意．綜上所述，集合{1，3，5，7，9，11，13}是“可分集合”．（2）證明：不妨設(shè)0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，若去掉元素a2，將集合{a1，a3，a4，a5}分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有a1+a5＝a3+a4①，或者a5＝a1+a3+a4②，若去掉元素a1，將集合{a2，a3，a4，a5}分成兩個(gè)交集為空集的子集，且兩個(gè)子集元素之和相等，則有a2+a5＝a3+a4③，或者a5＝a2+a3+a4④，由①③得a1＝a2，矛盾，由①④得a1＝﹣a2，矛盾，由②③得a1＝﹣a2矛盾，由②④得a1＝a2矛盾，故當(dāng)n＝5時(shí)，集合A一定不是“可分集合”．（3）證明：設(shè)A＝{a1，a2，?，an}中所有元素之和為M，由題意得M﹣ai均為偶數(shù)，故ai（i＝1，2，?，n）的奇偶性相同，①若ai為奇數(shù)，則M為奇數(shù)，易得n為奇數(shù)，②若ai為偶數(shù)，此時(shí)取bi=ai2，可得B＝{b1，b2，?，b若bi仍是偶數(shù)，則重復(fù)以上操作，最終可得各項(xiàng)均為奇數(shù)的“可分集合”，由①知n為奇數(shù)，綜上，集合A中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義下的集合問(wèn)題，對(duì)此類題型首先要多讀幾遍題，將新定義理解清楚，然后根據(jù)定義驗(yàn)證，證明即可，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想，屬難題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對(duì)象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡(jiǎn)稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號(hào)表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問(wèn)題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問(wèn)題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過(guò)3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評(píng)：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．2．充分條件與必要條件【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、判斷：當(dāng)命題“若p則q”為真時(shí)，可表示為p?q，稱p為q的充分條件，q是p的必要條件．事實(shí)上，與“p?q”等價(jià)的逆否命題是“￢q?￢p”．它的意義是：若q不成立，則p一定不成立．這就是說(shuō)，q對(duì)于p是必不可少的，所以說(shuō)q是p的必要條件．例如：p：x＞2；q：x＞0．顯然x∈p，則x∈q．等價(jià)于x?q，則x?p一定成立．2、充要條件：如果既有“p?q”，又有“q?p”，則稱條件p是q成立的充要條件，或稱條件q是p成立的充要條件，記作“p?q”．p與q互為充要條件．【解題方法點(diǎn)撥】充要條件的解題的思想方法中轉(zhuǎn)化思想的依據(jù)；解題中必須涉及兩個(gè)方面，充分條件與必要條件，缺一不可．證明題目需要證明充分性與必要性，實(shí)際上，充分性理解為充分條件，必要性理解為必要條件，學(xué)生答題時(shí)往往混淆二者的關(guān)系．判斷題目可以常用轉(zhuǎn)化思想、反例、特殊值等方法解答即可．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的既不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要，誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．【命題方向】充要條件是學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)開(kāi)始，或者沒(méi)有上學(xué)就能應(yīng)用的，只不過(guò)沒(méi)有明確定義，因而幾乎年年必考內(nèi)容，多以小題為主，有時(shí)也會(huì)以大題形式出現(xiàn)，中學(xué)階段的知識(shí)點(diǎn)都相關(guān)，所以命題的范圍特別廣．3．扇形面積公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】弧長(zhǎng)、扇形面積的公式設(shè)扇形的弧長(zhǎng)為l，圓心角大小為α（rad），半徑為r，則l＝rα，扇形的面積為S=12lr＝12r【解題方法點(diǎn)撥】弧長(zhǎng)和扇形面積的計(jì)算方法（1）在弧度制下，計(jì)算扇形的面積和弧長(zhǎng)比在角度制下更方便、簡(jiǎn)捷．（2）從扇形面積出發(fā)，在弧度制下使問(wèn)題轉(zhuǎn)化為關(guān)于α的不等式或利用二次函數(shù)求最值的方法確定相應(yīng)最值．（3）記住下列公式：①l＝αR；②S＝12lR；③S=12αR2．其中R是扇形的半徑，l是弧長(zhǎng)，α（0＜α＜2π【命題方向】扇形的周長(zhǎng)為6cm，面積是2cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是（）A．1B．4C．1或4D．2或4分析：設(shè)出扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm，根據(jù)扇形的周長(zhǎng)為6cm，面積是2cm2，列出方程組，求出扇形的圓心角的弧度數(shù)．解：設(shè)扇形的圓心角為αrad，半徑為Rcm，則2R+α?R=612R選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查扇形面積公式，考查方程思想，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．4．正切函數(shù)的圖象【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象和性質(zhì)函數(shù)y＝sinxy＝cosxy＝tanx圖象定義域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R單調(diào)性遞增區(qū)間：[2kπ-π2，2kπ+π2]（遞減區(qū)間：[2kπ+π2，2kπ（k∈Z）遞增區(qū)間：[2kπ﹣π，2kπ]（k∈Z）；遞減區(qū)間：[2kπ，2kπ+π]（k∈Z）遞增區(qū)間：（k∈Z）最值x＝2kπ+（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）時(shí)，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）時(shí)，ymin＝﹣1無(wú)最值奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)對(duì)稱性對(duì)稱中心：（kπ，0）（k∈Z）對(duì)稱軸：x＝kπ+π2，k對(duì)稱中心：（kπ+π2，0）（k∈對(duì)稱軸：x＝kπ，k∈Z對(duì)稱中心：（kπ2，0）（k∈Z無(wú)對(duì)稱軸周期2π2ππ5．三角函數(shù)的最值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】三角函數(shù)的最值其實(shí)就是指三角函數(shù)在定義域內(nèi)的最大值和最小值，涉及到三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性和它們的圖象．在求三角函數(shù)最值中常用的手法是化簡(jiǎn)和換元．化簡(jiǎn)的原則通常是盡量的把復(fù)合三角函數(shù)化為只含有一個(gè)三角函數(shù)的一元函數(shù)．【解題方法點(diǎn)撥】例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝32+22cos（2x解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x=1-cos2x2-sin2x2=32+22cos故答案為：32+22cos（這個(gè)題所用到的方法就是化簡(jiǎn)成一個(gè)單一的三角函數(shù)，把一個(gè)復(fù)合的三角函數(shù)最后化成了只關(guān)于余弦函數(shù)的式子，然后單獨(dú)分析余弦函數(shù)的特點(diǎn)，最后把結(jié)果求出來(lái)．化簡(jiǎn)當(dāng)中要熟練的掌握三角函數(shù)的轉(zhuǎn)換，特別是二倍角的轉(zhuǎn)換．例2：函數(shù)y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是．解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]∵二次函數(shù)y＝t2﹣t+3的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸是t=∴當(dāng)t=1而函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)或t＝1時(shí)函數(shù)值中的較大的那個(gè)∵t＝﹣1時(shí)，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，當(dāng)t＝1時(shí)，y＝12﹣1+3＝3∴函數(shù)的最大值為t＝﹣1時(shí)y的值即sinx＝﹣1時(shí)，函數(shù)的最大值為5．這個(gè)題就是典型的換元，把sinx看成是自變量t，最后三角函數(shù)看成是一個(gè)一元二次函數(shù)，在換元的時(shí)候要注意到三角函數(shù)的定義域和相應(yīng)的值域．【命題方向】求三角函數(shù)的最值是高考的一個(gè)常考點(diǎn)，主要方法我上面已經(jīng)寫了，大家要注意的是把一些基本的方法融會(huì)貫通，同時(shí)一定要注意函數(shù)的定義域和相對(duì)應(yīng)的值域．6．求二倍角的三角函數(shù)值【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】二倍角的正弦其實(shí)屬于正弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：sin2α＝2sinα?cosα；其可拓展為1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其實(shí)屬于余弦函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其實(shí)屬于正切函數(shù)和差化積里面的一個(gè)特例，即α＝β的一種特例，其公式為：tan2α=2【解題方法點(diǎn)撥】﹣利用二倍角公式：sin2α＝2sinαcosαcos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2αtan2﹣將具體角度值代入公式，求解二倍角的三角函數(shù)值．﹣驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性．【命題方向】常見(jiàn)題型包括利用二倍角公式求解三角函數(shù)值，結(jié)合具體角度進(jìn)行計(jì)算．已知tanα2=22，則解：因?yàn)閠anα所以tanα=故答案為：227．等比數(shù)列的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列（又名幾何數(shù)列），是一種特殊數(shù)列．如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．等比數(shù)列和等差數(shù)列一樣，也有一些通項(xiàng)公式：①第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，an＝a1qn﹣1，這里a1為首項(xiàng)，q為公比，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)通項(xiàng)公式其實(shí)就是指數(shù)函數(shù)上孤立的點(diǎn)．②求和公式，Sn=a1(1-qn)1-q，表示的是前面n項(xiàng)的和．③若m+n＝q+p，且都為正整數(shù)，那么有am?a等比數(shù)列的性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．（4）單調(diào)性：a1＞0q＞1或a1＜00＜q＜1?{an}是遞增數(shù)列；a1＞00＜q＜1或?a1【解題方法點(diǎn)撥】例：2，x，y，z，18成等比數(shù)列，則y＝．解：由2，x，y，z，18成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q，則18＝2q4，解得q2＝3，∴y＝2q2＝2×3＝6．故答案為：6．本題的解法主要是運(yùn)用了等比數(shù)列第n項(xiàng)的通項(xiàng)公式，這也是一個(gè)常用的方法，即知道某兩項(xiàng)的值然后求出公比，繼而可以以已知項(xiàng)為首項(xiàng)，求出其余的項(xiàng)．關(guān)鍵是對(duì)公式的掌握，方法就是待定系數(shù)法．8．等比數(shù)列的概念與判定【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，因?yàn)榈诙?xiàng)與第一項(xiàng)的比和第三項(xiàng)與第二項(xiàng)的比相等，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）．注：q＝1時(shí)，an為常數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：對(duì)于等比數(shù)列an，如果存在常數(shù)r使得an+1a﹣判定：可以通過(guò)計(jì)算相鄰兩項(xiàng)的比值是否相同來(lái)判定是否為等比數(shù)列．﹣公式：通項(xiàng)公式為an=a1?r【命題方向】常見(jiàn)題型包括給出數(shù)列的若干項(xiàng)，判斷是否為等比數(shù)列，以及求解公比和通項(xiàng)公式．下面四個(gè)數(shù)列中是等比數(shù)列的為_(kāi)____．（填序號(hào)）①1，1，2，4，8，16，32，64；②在數(shù)列{an}中，已知a2a1③常數(shù)列a，a，?，a，?；④在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中解：對(duì)于①，∵11≠21，∴由等比數(shù)列的定義，知1，1，2，4，8，16，32，對(duì)于②，在數(shù)列{an}中，由a2a1=2，∴不能得到數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，常數(shù)列a，a，?，a，?中，當(dāng)a＝0時(shí)，該數(shù)列是等比數(shù)列，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，在數(shù)列{an}中，an+1an=q（q為常數(shù)，且q≠0），其中由等比數(shù)列的定義，得數(shù)列{an}是等比數(shù)列，故④正確．故答案為：④．9．由等比數(shù)列中若干項(xiàng)求通項(xiàng)公式或其中的項(xiàng)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．等比數(shù)列的定義如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．從等比數(shù)列的定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù)．2．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，則它的通項(xiàng)an＝a1?qn﹣13．等比數(shù)列的常用性質(zhì)（1）通項(xiàng)公式的推廣：an＝am?qn﹣m，（n，m∈N*）．（2）若{an}為等比數(shù)列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），則ak?al＝am?an（3）若{an}，{bn}（項(xiàng)數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{λan}（λ≠0），{a}，{an?bn}，仍是等比數(shù)列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣定義：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an﹣設(shè)未知數(shù)：利用已知的數(shù)列項(xiàng)，代入通項(xiàng)公式an來(lái)求解首項(xiàng)a1和公比r．﹣驗(yàn)證：驗(yàn)證推導(dǎo)出的通項(xiàng)公式是否能正確生成數(shù)列中的已知項(xiàng)．【命題方向】常見(jiàn)題型包括通過(guò)數(shù)列的若干項(xiàng)推導(dǎo)出通項(xiàng)公式或求解數(shù)列中的其他項(xiàng)，結(jié)合具體數(shù)列進(jìn)行分析．已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an+1＝2an，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝_____．解：∵數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an+1＝2an，∴{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝2n．故答案為：2n．10．?dāng)?shù)列與向量的綜合【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】函數(shù)、數(shù)列、解析幾何作為高中數(shù)學(xué)的主要軀干，蘊(yùn)含著諸多的數(shù)學(xué)思想和方法（數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化和歸納等），因而一直是高考的重點(diǎn)．尤其是它們互相之間及和其他數(shù)學(xué)知識(shí)（如復(fù)數(shù)、向量等）之間的互相滲透、互相聯(lián)系，更為高考命題帶來(lái)廣闊的空間．而傳統(tǒng)的章節(jié)復(fù)習(xí)法使學(xué)生分散地學(xué)習(xí)知識(shí)，對(duì)各個(gè)章節(jié)的聯(lián)系和滲透考慮較少，從而造成對(duì)一些綜合題心存膽怯．近幾年高考中常見(jiàn)的函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題就是其中的典型．【解題方法點(diǎn)撥】事實(shí)上，無(wú)論是函數(shù)、數(shù)列還是解析幾何中的曲線（包括復(fù)數(shù)、向量），都表現(xiàn)出數(shù)和形兩種狀態(tài)，數(shù)列是一個(gè)特殊的函數(shù)；函數(shù)的圖象（解析式）則可看作解析幾何中一種特殊的形（方程）；而復(fù)數(shù)、向量的坐標(biāo)順理成章地使它們與函數(shù)、數(shù)列及解析幾何發(fā)生聯(lián)系．解函數(shù)﹣數(shù)列﹣解析幾何綜合題首先是建立在對(duì)數(shù)學(xué)基本概念理解的基礎(chǔ)上，然后抓住概念間內(nèi)在的聯(lián)系，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較熟悉的數(shù)學(xué)問(wèn)題予以解決，當(dāng)然這也離不開(kāi)對(duì)各章節(jié)內(nèi)部的扎實(shí)基本功．11．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)a→，b→都是非零向量，e→是與b→方向相同的單位向量，a→（1）a→?e→=（2）a→⊥b→（3）當(dāng)a→，b→方向相同時(shí)，a→?b→=|a→||b→|；當(dāng)a→特別地：a→?a→=|a→|2（4）cosθ=a（5）|a→?b→|≤|2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：a→（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λa→）?b→=λ（a→?（3）分配律：（a→?b→）?平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a→±b→）2=a→2±2a→?b→+b→2．②（a→-b→）（a→+b→）=【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a→②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“c→≠0，④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“|a→?b→|＝|a→|⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（a→?b⑥“acbc=ab”類比得到a→?c解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“a→即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，即③錯(cuò)誤；∵|a→?b→|≠|(zhì)a→|∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“|a→?b→|＝|a→|即④錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（a→?b即⑤錯(cuò)誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴acbc=ab即⑥錯(cuò)誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“a→?b→=b→?a→”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（a→+b→）?c→=a→?c→+b→?c→”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“c→≠0，a→?c→=b→?c→?a→=c→”；|a→?b→|≠|(zhì)a→|【命題方向】本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn)，題目相對(duì)來(lái)說(shuō)也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．12．平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】平面向量共線（平行）的坐標(biāo)表示：設(shè)a→=（x1，y1），b→=（x2，y2），則b→∥a→（a→≠0→）?x113．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)復(fù)平面中的點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面．在復(fù)平面內(nèi)，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸，x軸的單位是1，y軸的單位是i，實(shí)軸與虛軸的交點(diǎn)叫做原點(diǎn)，且原點(diǎn)（0，0），對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)0．即復(fù)數(shù)z＝a+bi→復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)z（a，b）→平面向量OZ→2、除了復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和向量的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系外，還要注意：（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為a；（2）|z﹣z0|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與復(fù)數(shù)z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．【解題方法點(diǎn)撥】﹣點(diǎn)的表示：將復(fù)數(shù)a+bi作為復(fù)平面上的點(diǎn)（a，b）進(jìn)行圖示．﹣幾何運(yùn)算：利用復(fù)平面上的點(diǎn)進(jìn)行幾何運(yùn)算和分析．【命題方向】﹣復(fù)平面的幾何表示：考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的點(diǎn)表示及其幾何意義．﹣復(fù)數(shù)的幾何應(yīng)用：如何在復(fù)平面中使用復(fù)數(shù)解決幾何問(wèn)題．14．復(fù)數(shù)的?！局R(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a+bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a+bi為虛數(shù)；若a＝0，b≠0，則a+bi為純虛數(shù)．2、復(fù)數(shù)相等：a+bi＝c+di?a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．3、共軛復(fù)數(shù)：a+bi與c+di共軛?a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．4、復(fù)數(shù)的模：OZ→的長(zhǎng)度叫做復(fù)數(shù)z＝a+bi的模，記作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|=15．復(fù)數(shù)的運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則16．復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】復(fù)數(shù)除法涉及分子與分母的復(fù)數(shù)．對(duì)于復(fù)數(shù)z1＝a1+b1i和z2＝a2+b2i，除法結(jié)果是z1【解題方法點(diǎn)撥】﹣化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)：將復(fù)數(shù)除法轉(zhuǎn)換為分?jǐn)?shù)形式，乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，化簡(jiǎn)得到標(biāo)準(zhǔn)形式．﹣應(yīng)用：在實(shí)際問(wèn)題中如何處理復(fù)數(shù)的除法及其應(yīng)用．【命題方向】﹣復(fù)數(shù)除法的計(jì)算：考查如何計(jì)算復(fù)數(shù)除法及其結(jié)果．﹣除法的實(shí)際應(yīng)用：如何在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)用復(fù)數(shù)除法．i是虛數(shù)單位，2i1+解：2i1+i17．棱柱的結(jié)構(gòu)特征【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱．棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來(lái)表示（例：ABCD﹣A′B′C′D′）．2．認(rèn)識(shí)棱柱底