第36頁（共36頁）2025-2026學(xué)年上學(xué)期上海高一數(shù)學(xué)開學(xué)模擬考3一．填空題（共12小題，滿分54分）1．（4分）已知集合M＝{（x，y）|x﹣y＝1}，N＝{（x，y）|2x﹣3y＝1}，則M∩N＝．2．（4分）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤34}，N＝{x|23≤x≤1}，如果把b﹣a稱為集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∪N的“長度”是3．（4分）滿足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}的集合M有個．4．（4分）已知全集U＝R，集合M={x∈Z|6x+2＞1}，N＝{﹣4，﹣2，0，1，5．（4分）2Q．（填“∈”或“?”）6．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤a}≠?，P＝{y|y＝x+1，x∈A}，Q＝{y|y＝x2，x∈A}，若Q?P，則a的取值范圍為．7．（5分）若M＝{x|ax2+2x﹣1＝0}有且僅有兩個子集，則實數(shù)a的值為．8．（5分）已知a∈R，若集合A＝{x|ax2+4x+a＝0}只有1個元素，則a的所有可能取值構(gòu)成的集合B＝．9．（5分）設(shè)A是集合S＝{2，3，4，5，6}的非空子集，稱A中的元素之和為A的“容量”，則S的所有非空子集的“容量”之和為．10．（5分）集合S={x|x=m2+n3，m11．（5分）已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同時滿足兩個條件：（1）若a∈A1，則a?A2，（2）若a∈A2，則a?A1，則稱（A1，A2）是集合A的“互斥子集組”，并規(guī)定（A1，A2）與（A2，A1）為不同的“互斥子集組”，則集合A＝{1，2，3，4}的不同“互斥子集組”的個數(shù)是．12．（5分）若非空集合G關(guān)于運(yùn)算?滿足：（1）對任意的a，b∈G，都有a?b∈G，（2）對任意的a，b，c∈G，都有（a?b）?c＝a?（b?c），（3）存在e∈G，對?a∈G，都有a?e＝e?a＝a，則稱G關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成“幺半群”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①G為正自然數(shù)集，?為整數(shù)的加法．②G為奇數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．③G為素數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．④G為平面向量集，?為平面向量的數(shù)量積．⑤G為所有二次三項式的集合，?為多項式加法．⑥G為純虛數(shù)集，?為復(fù)數(shù)的乘法．其中G關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成“幺半群“的是．二．選擇題（共4小題，滿分18分）13．（4分）已知集合A＝{2，3，5}，B＝{1，4，5，7}，則（）A．A∩B＝? B．A?B C．A∪B＝A D．5∈A∪B14．（4分）命題“對任意一個冪函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1）”的否定是（）A．對任意一個冪函數(shù)，它的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，1） B．存在很多個冪函數(shù)，它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1） C．存在一個冪函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1） D．存在一個冪函數(shù)，它的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，1）（多選）15．（5分）在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，AB＝2，AC＝1，A=A．當(dāng)AD為角A的角平分線時，AD=B．BC=C．當(dāng)D為BC中點(diǎn)時，AD=D．△ABC的外接圓半徑為116．（5分）已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然語言描述集合M應(yīng)為（）A．函數(shù)y＝x2的函數(shù)值組成的集合 B．函數(shù)y＝x2的自變量組成的集合 C．函數(shù)y＝x2的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合 D．以上說法都不對三．解答題（共5小題，滿分78分）17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣7x+12＝0}，集合B＝{x|3kx+4＝0}，B?A，求k的取值集合．18．（14分）設(shè)集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．（1）求證：11∈A，12∈A，2k+1∈A（k∈Z）；（2）用反證法證明：10不是集合A的元素．19．（14分）一片礦山原來的體積為a，計劃每年開采一些礦石，且每年開礦體積的百分比相等，當(dāng)開采到原體積的一半時所需要的時間是12年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，造福下一代，礦山至少要保留原體積的14，已知到今年為止，礦山剩余為原來的2（1）求每年開采礦山的百分比．（2）到今年為止，該礦山已開采了多少年？（3）今后最多還能開采多少年？20．（18分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinB+sinC=asinA-bsinBc，a（1）求角A的大小；（2）邊BC上存在點(diǎn)M，使AM為∠BAC的角平分線，若AM＝1，求△ABC的周長．21．（18分）設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合B＝{|u﹣v||u，v∈A，且u≠v}為集合A的生成集．（1）當(dāng)A＝{1，3，6}時，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集{2，3，5，6，10，16}，并說明理由．

2025-2026學(xué)年上學(xué)期上海高一數(shù)學(xué)開學(xué)模擬考3參考答案與試題解析一．選擇題（共3小題）題號131416答案DDA二．多選題（共1小題）題號15答案AC一．填空題（共12小題，滿分54分）1．（4分）已知集合M＝{（x，y）|x﹣y＝1}，N＝{（x，y）|2x﹣3y＝1}，則M∩N＝{（2，1）}．【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】{（2，1）}．【分析】根據(jù)集合M，N的含義求交集．【解答】解：由x-y=12x-3y=1解得x=2y=1，所以故答案為：{（2，1）}．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．（4分）設(shè)集合M＝{x|0≤x≤34}，N＝{x|23≤x≤1}，如果把b﹣a稱為集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∪N的“長度”是【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】1．【分析】根據(jù)并集的定義求出M∪N，然后根據(jù)集合的長度定義即可求出答案．【解答】解：M∪N＝{x|0≤x≤1}，∴集合M∪N的“長度”是1．故答案為：1．【點(diǎn)評】本題考查了并集的定義及運(yùn)算，集合“長度”的定義，考查了計算能力，是基礎(chǔ)題．3．（4分）滿足{1，2}?M?{1，2，3，4，5}的集合M有7個．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】7．【分析】由題意可知，集合M的個數(shù)即為集合{3，4，5}的非空真子集個數(shù)，再利用集合的真子集個數(shù)公式求解．【解答】解：因為{1，2}?M?{1，2，3，4，5}，所以集合M的個數(shù)即為集合{3，4，5}的非空真子集個數(shù)，所以集合M的個數(shù)為23﹣1＝7．故答案為：7．【點(diǎn)評】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．4．（4分）已知全集U＝R，集合M={x∈Z|6x+2＞1}，N＝{﹣4，﹣2，0，1，5}，則Venn圖中陰影部分的集合為【考點(diǎn)】Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】{﹣1，2，3}．【分析】求出集合M，利用圖中陰影表示集合M∩（?UN），進(jìn)行運(yùn)算即可．【解答】解：由題意，M={x∈Z|6x+2＞1}={-1，0，1，又根據(jù)題中圖象知，陰影部分表示集合M∩（?UN），則M∩（?UN）＝{﹣1，2，3}．故答案為：{﹣1，2，3}．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）2?Q．（填“∈”或“?”）【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】?．【分析】由元素與集合的關(guān)系判斷即可．【解答】解：因為2為無理數(shù)，不是有理數(shù)，所以2?故答案為：?．【點(diǎn)評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．6．（4分）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤a}≠?，P＝{y|y＝x+1，x∈A}，Q＝{y|y＝x2，x∈A}，若Q?P，則a的取值范圍為[0，1+52]【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】[0，1+52【分析】先求出集合P，對于集合Q，分﹣1≤a≤0、0≤a≤1和a＞1三種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出集合Q，再根據(jù)Q?P列出不等式，求出a的取值范圍即可．【解答】解：顯然集合A不是空集，因為函數(shù)y＝x+1在[﹣1，a]上單調(diào)遞增，所以0≤y≤a+1，即P＝{y|0≤y≤a+1}，對于Q＝{y|y＝x2，x∈A}，當(dāng)﹣1≤a≤0時，Q＝{y|a2≤y≤1}，因為Q?P，所以a2當(dāng)0≤a≤1時，Q＝{y|0≤y≤1}，因為Q?P，所以a+1≥1，解得0≤a≤1，當(dāng)a＞1時，Q＝{y|0≤y≤a2}，因為Q?P，所以a+1≥a2，解得1＜a≤1+綜上所述，a的取值范圍為[0，1+52故答案為：[0，1+52【點(diǎn)評】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查了集合間的包含關(guān)系，屬于中檔題．7．（5分）若M＝{x|ax2+2x﹣1＝0}有且僅有兩個子集，則實數(shù)a的值為0或﹣1．【考點(diǎn)】子集的個數(shù)．【專題】計算題；集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】0或﹣1．【分析】根據(jù)題意知集合M只有一個元素，然后討論a＝0和a≠0即可得出a的取值．【解答】解：∵M(jìn)有且僅有兩個子集，∴集合M只有一個元素，∴方程ax2+2x﹣1＝0只有一個解，a＝0時，x=12a≠0時，Δ＝4+4a＝0，解得a＝﹣1，∴a＝0或﹣1．故答案為：0或﹣1．【點(diǎn)評】本題考查了集合子集個數(shù)的計算公式，一元二次方程有二重根的充要條件，是基礎(chǔ)題．8．（5分）已知a∈R，若集合A＝{x|ax2+4x+a＝0}只有1個元素，則a的所有可能取值構(gòu)成的集合B＝{0，﹣2，2}．【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】方程思想；集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】{0，﹣2，2}．【分析】根據(jù)題意分為a＝0，a≠0兩種情況，進(jìn)行討論分析．【解答】解：因為集合A只有1個元素，即方程ax2+4x+a＝0（a∈R）僅有1個根，①當(dāng)a＝0時，方程化為4x＝0，此時A＝{0}，符合題意；②當(dāng)a≠0時，由Δ＝42﹣4?a?a＝0，即a2＝4，所以a＝±2，此時A＝{﹣2}或A＝{2}．綜上可知，a的值為0，2，﹣2，所以B＝{0，﹣2，2}．故答案為：{0，﹣2，2}．【點(diǎn)評】本題考查了方程的解集表示、集合的元素表示法，屬于基礎(chǔ)題．9．（5分）設(shè)A是集合S＝{2，3，4，5，6}的非空子集，稱A中的元素之和為A的“容量”，則S的所有非空子集的“容量”之和為320．【考點(diǎn)】子集的判斷與求解．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】320．【分析】根據(jù)題意寫出S的所有非空子集，結(jié)合“容量”的定義求S的所有非空子集的“容量”之和．【解答】解：由題設(shè)，S的非空子集有{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{2，6}，{3，4}，{3，5}，{3，6}，{4，5}，{4，6}，{5，6}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，3，6}，{2，4，5}，{2，4，6}，{2，5，6}，{3，4，5}，{3，4，6}，{3，5，6}，{4，5，6}，{2，3，4，5}，{2，3，4，6}，{2，3，5，6}，{2，4，5，6}，{3，4，5，6}，{2，3，4，5，6}，含一個元素的子集“容量”之和為2+3+4+5+6＝20，含兩個元素的子集“容量”之和為5+6+7+8+7+8+9+9+10+11＝80，含三個元素的子集“容量”之和為9+10+11+11+12+13+12+13+14+15＝120，含四個元素的子集“容量”之和為14+15+16+17+18＝80，含五個元素的子集“容量”之和為20，所以S的所有非空子集的“容量”之和為20+80+120+80+20＝320．故答案為：320．【點(diǎn)評】本題考查子集的定義，屬于中檔題．10．（5分）集合S={x|x=m2+n3，m【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】∈．【分析】令m＝0，n＝﹣1，則x=-3，進(jìn)而可判斷-3【解答】解：集合S=取m＝0，n＝﹣1，則x=-所以-3∈S故答案為：∈．【點(diǎn)評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．11．（5分）已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同時滿足兩個條件：（1）若a∈A1，則a?A2，（2）若a∈A2，則a?A1，則稱（A1，A2）是集合A的“互斥子集組”，并規(guī)定（A1，A2）與（A2，A1）為不同的“互斥子集組”，則集合A＝{1，2，3，4}的不同“互斥子集組”的個數(shù)是50．【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用；元素與集合關(guān)系的判斷；子集與真子集．【專題】計算題；分類討論；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】50．【分析】根據(jù)題意，按集合A1中的元素數(shù)目分情況討論，求出集合A1的情況，由加法原理計算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分3種情況討論：①集合A1中有1個元素，集合A1的情況有4種，集合A2可以是由剩下3個元素組成集合的非空子集，有23﹣1＝7種情況，此時“互斥子集組”有4×7＝28個；②集合A1中有2個元素，集合A1的情況有C42=6種，集合A2可以是由剩下2個元素組成集合的非空子集，有22﹣1此時“互斥子集組”有6×3＝18個；③集合A1中有3個元素，集合A1的情況有C43=4種，集合A2是剩下1此時“互斥子集組”有4×1＝4個；故有28+18+4＝50個“互斥子集組”．故答案為：50．【點(diǎn)評】本題考查集合的新定義，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，正確理解新定義、分類討論是關(guān)鍵．12．（5分）若非空集合G關(guān)于運(yùn)算?滿足：（1）對任意的a，b∈G，都有a?b∈G，（2）對任意的a，b，c∈G，都有（a?b）?c＝a?（b?c），（3）存在e∈G，對?a∈G，都有a?e＝e?a＝a，則稱G關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成“幺半群”．現(xiàn)給出下列集合和運(yùn)算：①G為正自然數(shù)集，?為整數(shù)的加法．②G為奇數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．③G為素數(shù)集，?為整數(shù)的乘法．④G為平面向量集，?為平面向量的數(shù)量積．⑤G為所有二次三項式的集合，?為多項式加法．⑥G為純虛數(shù)集，?為復(fù)數(shù)的乘法．其中G關(guān)于運(yùn)算?構(gòu)成“幺半群“的是②．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)抽象．【答案】②．【分析】逐一驗證幾個選項是否分別滿足“幺半群”的三個條件，若三個條件都滿足，是“幺半群”，有一個不滿足，則不是“幺半群”．【解答】解：對①，設(shè)?m∈N*，n∈N*，則m+n＝n+m＞m且m+n＝n+m＞n，不滿足（3），故①不是“幺半群”對②，對任意兩個奇數(shù)，積仍為奇數(shù)，滿足（1），乘法滿足結(jié)合律，滿足（2），且對于奇數(shù)1，任何奇數(shù)乘1等于1乘這個數(shù)，等于這個數(shù)，滿足（3），故②是“幺半群”，對③，由已知知2∈G，則2×2＝4?G，不滿足（1），故③不是“幺半群”；對⑤，對任意兩個平面向量，數(shù)量積為數(shù)量，不滿足（1），故④不是“幺半群”；對⑥，對任意兩個二次項系數(shù)相反的二次三項式，和可能不是二次三項式，不滿足（1），故⑤不是“幺半群”；對于虛數(shù)i，i×i＝﹣1，不是虛數(shù)，不滿足（1），故⑥不是“幺半群”；故答案為：②．【點(diǎn)評】本題以新定義為載體，主要考查了元素與集合關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．二．選擇題（共4小題，滿分18分）13．（4分）已知集合A＝{2，3，5}，B＝{1，4，5，7}，則（）A．A∩B＝? B．A?B C．A∪B＝A D．5∈A∪B【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；并集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，集合間的運(yùn)算法則求解即可．【解答】解：選項A，A∩B＝{5}，錯誤；選項B，∵2∈A，2?B，∴A?B，錯誤；∵A∪B＝{1，2，3，4，5，7}，∴A∪B≠A，C錯誤；5∈A∪B，D正確．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查集合間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．14．（4分）命題“對任意一個冪函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1）”的否定是（）A．對任意一個冪函數(shù)，它的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，1） B．存在很多個冪函數(shù)，它們的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1，1） C．存在一個冪函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1） D．存在一個冪函數(shù)，它的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，1）【考點(diǎn)】命題的否定．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；簡易邏輯；邏輯思維．【答案】D【分析】由全稱量詞命題的否定的定義即可得解．【解答】解：命題“對任意一個冪函數(shù)，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，1）”的否定是：“存在一個冪函數(shù)，它的圖象不經(jīng)過點(diǎn)（1，1）”．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題．（多選）15．（5分）在△ABC中，D為BC上一點(diǎn)，AB＝2，AC＝1，A=A．當(dāng)AD為角A的角平分線時，AD=B．BC=C．當(dāng)D為BC中點(diǎn)時，AD=D．△ABC的外接圓半徑為1【考點(diǎn)】解三角形．【專題】計算題；整體思想；綜合法；解三角形；運(yùn)算求解．【答案】AC【分析】利用三角形面積公式計算判斷A；利用余弦定理判斷B；利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律計算判斷C；利用正弦定理求出外接圓半徑判斷D．【解答】解：對于A，由S△ABD+S△ACD＝S△ABC，得12×2×ADsinπ3對于B，在△ABC中，AB=2，AC=1，對于C，AD→=1對于D，△ABC的外接圓半徑R=12故選：AC．【點(diǎn)評】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．16．（5分）已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然語言描述集合M應(yīng)為（）A．函數(shù)y＝x2的函數(shù)值組成的集合 B．函數(shù)y＝x2的自變量組成的集合 C．函數(shù)y＝x2的圖象上的所有點(diǎn)組成的集合 D．以上說法都不對【考點(diǎn)】集合的表示法．【專題】對應(yīng)思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)集合的表示法可解．【解答】解：因為集合M＝{y|y＝x2}表示函數(shù)y＝x2的函數(shù)值組成的集合，故選：A．【點(diǎn)評】本題表示集合的表示法，屬于基礎(chǔ)題．三．解答題（共5小題，滿分78分）17．（14分）已知集合A＝{x|x2﹣7x+12＝0}，集合B＝{x|3kx+4＝0}，B?A，求k的取值集合．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】{0，-【分析】求出集合A中的元素，集合B是集合A的真子集，分k＝0和k≠0兩種情況討論，分別求出集合B，進(jìn)而求出k的值．【解答】解：由題意知，A＝{x|x2﹣7x+12＝0}＝{3，4}，①當(dāng)k＝0時，B＝?，符合題意，②當(dāng)k≠0時，B＝{-43所以-43k=3解得k=-49綜上所述，k的取值集合為{0，-【點(diǎn)評】本題主要考查了集合間的包含關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．18．（14分）設(shè)集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．（1）求證：11∈A，12∈A，2k+1∈A（k∈Z）；（2）用反證法證明：10不是集合A的元素．【考點(diǎn)】反證法；判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】轉(zhuǎn)化思想；反證法；推理和證明；運(yùn)算求解．【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析【分析】（1）找出m，n使11＝m2﹣n2，12＝m2﹣n2，2k+1＝m2﹣n2得到答案．（2）假設(shè)10是A的元素，則10＝m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n），討論方程成立的各種情況，均無解，得證．【解答】解：（1）易知：11＝62﹣52，12＝42﹣22，2k+1＝（k+1）2﹣k2（k∈Z）故11∈A，12∈A，2k+1∈A（k∈Z）（2）假設(shè)10是A的元素，集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，則存在m∈Z、n∈Z，使得10＝m2﹣n2＝（m﹣n）（m+n），因為m+n，m﹣n同為奇數(shù)或者同為偶數(shù)，所以假設(shè)不成立，故10不是A的元素．【點(diǎn)評】本題考查了集合的元素與集合關(guān)系，反證法，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力．19．（14分）一片礦山原來的體積為a，計劃每年開采一些礦石，且每年開礦體積的百分比相等，當(dāng)開采到原體積的一半時所需要的時間是12年，為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，造福下一代，礦山至少要保留原體積的14，已知到今年為止，礦山剩余為原來的2（1）求每年開采礦山的百分比．（2）到今年為止，該礦山已開采了多少年？（3）今后最多還能開采多少年？【考點(diǎn)】根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．【專題】計算題；整體思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解．【答案】（1）1-（2）6年；（3）18年．【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于開采體積的百分比的方程，即可容易求得；（2）設(shè)經(jīng)過m年剩余體積為原來的22，可列出關(guān)于m（3）設(shè)從今年開始，最多還能開采n年，列出相應(yīng)表達(dá)式22a(1-【解答】解：（1）設(shè)每年開采礦山的百分比為x（0＜x＜1），則a(1-x∴1-x=(所以每年開采礦山的百分比為1-（2）設(shè)經(jīng)過m年剩余體積為原來的22則a(1-x)又由（1）知1-x=(1解得m＝6，故到今年為止，該礦山已被開采6年；（3）設(shè)從今年開始，最多還能開采n年，則n年后剩余體積為22令22a(∴(12)n12≥(1故今后最多還能開采18年．【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)模型的實際應(yīng)用，屬于中檔題．20．（18分）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sinB+sinC=asinA-bsinBc，a（1）求角A的大?。唬?）邊BC上存在點(diǎn)M，使AM為∠BAC的角平分線，若AM＝1，求△ABC的周長．【考點(diǎn)】解三角形；正弦定理．【專題】方程思想；綜合法；解三角形；邏輯思維；運(yùn)算求解．【答案】（1）A=（2）62【分析】（1）利用正弦定理將已知等式統(tǒng)一成邊的形式，再結(jié)合余弦定理可求得結(jié)果；（2）由S△ABC＝S△ABM+S△ACM可得bc＝b+c，再結(jié)合余弦定理可求出b+c，從而可求出△ABC的周長．【解答】解：（1）因為在△ABC中，sinB+所以asinA﹣bsinB＝c（sinB+sinC），所以由正弦定理得a2﹣b2＝c（b+c），即b2+c2﹣a2＝﹣bc，由余弦定理得cosA=因為0＜A＜π，所以A=（2）因為S△ABC=所以bc＝b+c，由余弦定理得：cosA=整理得（b+c）2﹣（b+c）﹣72＝0，解得b+c＝9或b+c＝﹣8（舍去），所以a+所以△ABC的周長為62【點(diǎn)評】本題考查利用正余弦定理和三角形的面積公式解三角形，屬于中檔題．21．（18分）設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱集合B＝{|u﹣v||u，v∈A，且u≠v}為集合A的生成集．（1）當(dāng)A＝{1，3，6}時，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集{2，3，5，6，10，16}，并說明理由．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；邏輯思維．【答案】（1）B＝{2，3，5}；（2）生成集B中元素個數(shù)的最小值為4；（3）不存在，理由見解析．【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解；（2）設(shè)A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨設(shè)0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，利用集合的生成集定義即可求解；（3）假設(shè)存在4個正整數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a，b，c，d}，可得d﹣a＞c﹣a＞b﹣a，d﹣a＞d﹣b，c﹣a＞c﹣b，d﹣a＝16，然后結(jié)合條件說明即可．【解答】解：（1）因為A＝{1，3，6}，所以|1﹣3|＝2，|1﹣6|＝5，|3﹣6|＝3，所以B＝{2，3，5}．（2）設(shè)A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨設(shè)0＜a1＜a2＜a3＜a4＜a5，因為a2﹣a1＜a3﹣a1＜a4﹣a1＜a5﹣a1，所以集合B中元素個數(shù)大于等于4個，所以生成集B中元素個數(shù)的最小值為4．（3）不存在，理由如下：假設(shè)存在4個正整數(shù)構(gòu)成的集合A＝{a，b，c，d}，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}，不妨設(shè)0＜a＜b＜c＜d，則集合A的生成集B由b﹣a，c﹣a，d﹣a，c﹣b，d﹣b，d﹣c組成，又因為d﹣a＞c﹣a＞b﹣a，d﹣a＞d﹣b，c﹣a＞c﹣b，所以d﹣a＝16．若b﹣a＝2，則由d﹣a＝16可得：d﹣b＝14?B，故b﹣a≠2；若d﹣c＝2，則由d﹣a＝16可得：c﹣a＝14?B，故d﹣c≠2；所以c﹣b＝2，又因為d﹣a＝16，所以d﹣b+c﹣a＝18，而d﹣b，c﹣a∈{3，5，6，10}，所以d﹣b+c﹣a＝18不成立，所以假設(shè)不成立，故不存在4個正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集B＝{2，3，5，6，10，16}．【點(diǎn)評】本題考查新定義，考查集合的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生的邏輯思維能力，屬中檔題．

考點(diǎn)卡片1．集合的表示法【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．列舉法：常用于表示有限集合，把集合中的所有元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做列舉法．{1，2，3，…}，注意元素之間用逗號分開．2．描述法：常用于表示無限集合，把集合中元素的公共屬性用文字，符號或式子等描述出來，寫在大括號內(nèi)，這種表示集合的方法叫做描述法．即：{x|P}（x為該集合的元素的一般形式，P為這個集合的元素的共同屬性）如：小于π的正實數(shù)組成的集合表示為：{x|0＜x＜π}3．圖示法（Venn圖）：為了形象表示集合，我們常常畫一條封閉的曲線（或者說圓圈），用它的內(nèi)部表示一個集合．4．自然語言（不常用）．【解題方法點(diǎn)撥】在掌握基本知識的基礎(chǔ)上，（例如方程的解，不等式的解法等等），初步利用數(shù)形結(jié)合思想解答問題，例如數(shù)軸的應(yīng)用，Venn圖的應(yīng)用，通過轉(zhuǎn)化思想解答．注意解題過程中注意元素的屬性的不同，例如：{x|2x﹣1＞0}，表示實數(shù)x的范圍；{（x，y）|y﹣2x＝0}表示方程的解或點(diǎn)的坐標(biāo)．【命題方向】本考點(diǎn)是考試命題?？純?nèi)容，多在選擇題，填空題值出現(xiàn)，可以與集合的基本關(guān)系，不等式，簡易邏輯，立體幾何，線性規(guī)劃，概率等知識相結(jié)合．2．元素與集合關(guān)系的判斷【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個集合中的元素，必須是確定的．即一個集合一旦確定，某一個元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個給定的集合，他的任何兩個元素都是不同的．這個特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個特性通常被用來判斷兩個集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．3．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識點(diǎn)的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．4．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因為3∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時，a＝1，…（5分）此時A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計算能力．5．集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】概念：1．如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一個元素不屬于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即A?B；2．如果集合A的每一個元素都是集合B的元素，反過來，集合B的每一個元素也都是集合A的元素，那么我們就說集合A等于集合B，即A＝B．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】通常命題的方式是小題，直接求解或判斷兩個或兩個以上的集合的關(guān)系，可以與函數(shù)的定義域，三角函數(shù)的解集，子集的個數(shù)，簡易邏輯等知識相結(jié)合命題．6．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識點(diǎn)的認(rèn)識】如果集合A中的任意一個元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個集合之間的關(guān)系．4．有時借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時，即m＜1時，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時，可得-3≤m綜上所述，m≤32，即m故答案為：(-∞，7．子集與真子集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}3、真子集和子集的區(qū)別子集就是一個集合中的全部元素是另一個集合中的元素，有可能與另一個集合相等；真子集就是一個集合中的元素全部是另一個集合中的元素，但不存在相等；注意集合的元素是要用大括號括起來的“{}”，如{1，2}，{a，b，g}；另外，{1，2}的子集有：空集，{1}，{2}，{1，2}．真子集有：空集，{1}，{2}．一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】注意真子集和子集的區(qū)別，不可混為一談，A?B，并且B?A時，有A＝B，但是A?B，并且B?A，是不能同時成立的；子集個數(shù)的求法，空集與自身是不可忽視的．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．8．子集的判斷與求解【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集定義：一般地，對于兩個集合A，B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集（subset）．記作：A?B（或B?A）．2、真子集是對于子集來說的．真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集例如：所有亞洲國家的集合是地球上所有國家的集合的真子集．所有的自然數(shù)的集合是所有整數(shù)的集合的真子集．{1，3}?{1，2，3，4}{1，2，3，4}?{1，2，3，4}【解題方法點(diǎn)撥】定義子集：A是B的子集，當(dāng)且僅當(dāng)A中的每一個元素都在B中．驗證元素：逐個檢查A中的元素是否在B中．符號表示：用?表示子集關(guān)系，若A是B的子集，記為A?B．【命題方向】本考點(diǎn)要求理解，高考會考中多以選擇題、填空題為主，曾經(jīng)考查子集個數(shù)問題，常常與集合的運(yùn)算，概率，函數(shù)的基本性質(zhì)結(jié)合命題．9．子集的個數(shù)【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1、子集真子集定義：如果集合A?B，但存在元素x∈B，且元素x不屬于集合A，我們稱集合A是集合B的真子集．也就是說如果集合A的所有元素同時都是集合B的元素，則稱A是B的子集，若B中有一個元素，而A中沒有，且A是B的子集，則稱A是B的真子集，注：①空集是所有集合的子集；②所有集合都是其本身的子集；③空集是任何非空集合的真子集2、一般來說，真子集是在所有子集中去掉它本身，所以對于含有n個（n不等于0）元素的集合而言，它的子集就有2n個；真子集就有2n﹣1．但空集屬特殊情況，它只有一個子集，沒有真子集．【解題方法點(diǎn)撥】公式計算：若一個集合有n個元素，則它的子集個數(shù)為2^n．理解冪集：冪集是一個集合的所有子集組成的集合．【命題方向】已知集合A＝{x|﹣1≤x+1≤6}，當(dāng)x∈Z時，求A的非空真子集的個數(shù)．解：當(dāng)x∈Z時，A＝{x|﹣2≤x≤5}＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3，4，5}，共8個元素，∴A的非空真子集的個數(shù)為28﹣2＝254個；10．并集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素的組成的集合叫做A與B的并集，記作A∪B．符號語言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．圖形語言：．A∪B實際理解為：①x僅是A中元素；②x僅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．運(yùn)算性質(zhì)：①A∪B＝B∪A．②A∪?＝A．③A∪A＝A．④A∪B?A，A∪B?B．⑤A∪B＝B?A?B．⑥A∪B＝?，兩個集合都是空集．⑦A∪（?UA）＝U．⑧?U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答并集問題，需要注意并集中：“或”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；注意并集中元素的互異性．不能重復(fù)．【命題方向】掌握并集的表示法，會求兩個集合的并集，命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域聯(lián)合命題．11．交集及其運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．⑤A∩B＝A?A?B．⑥A∩B＝?，兩個集合沒有相同元素．⑦A∩（?UA）＝?．⑧?U（A∩B）＝（?UA）∪（?UB）．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性等聯(lián)合命題．12．求集合的交集【知識點(diǎn)的認(rèn)識】由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與B的交集，記作A∩B．符號語言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．A∩B實際理解為：x是A且是B中的相同的所有元素．當(dāng)兩個集合沒有公共元素時，兩個集合的交集是空集，而不能說兩個集合沒有交集．運(yùn)算性質(zhì)：①A∩B＝B∩A．②A∩?＝?．③A∩A＝A．④A∩B?A，A∩B?B．【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解．不能把“或”與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖．【命題方向】掌握交集的表示法，會求兩個集合的交集．已知集合A＝{x∈Z|x+1≥0}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，則A∩B＝（）解：因為A＝{x∈Z|x+1≥0}＝{x∈Z|x≥﹣1}，B＝{x|x2﹣x﹣6＜0}＝{x|﹣2＜x＜3}，所以A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故選：D．13．Venn圖表示交并補(bǔ)混合運(yùn)算【知識點(diǎn)的認(rèn)識】集合交換律A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．集合結(jié)合律（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．集合分配律A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．集合的摩根律?U（A∩B）＝?UA∪?UB，?U（A∪B）＝?UA∩?UB．集合吸收律A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．集合求補(bǔ)律A∪?UA＝U，A∩?UA＝?．Venn圖表示N∩（?UM）為：．【解題方法點(diǎn)撥】直接利用交集、并集、全集、補(bǔ)集的定義或運(yùn)算性質(zhì)，借助數(shù)軸或韋恩圖直接解答．【命題方向】如圖，全集U＝R，M＝{x|x2﹣6x﹣16＞0}，N＝{x|x＝k+2，k∈M}，則陰影部分表示的集合是（）解：由題意得M＝{x|x＜﹣2或x＞8}，所以N＝{x|x＜0或x＞10}，所以M∪N＝{x|x＜0或x＞8}，故陰影部分表示的集合是?R（M∪N）＝[0，8]．14．命題的否定【知識點(diǎn)的認(rèn)識】命題的否定就是對這個命題的結(jié)論進(jìn)行否認(rèn)．（命題的否定與原命題真假性相反）命題的否命題就是對這個命題的條件和結(jié)論進(jìn)行否認(rèn)．（否命題與原命題的真假性沒有必然聯(lián)系）．?P不是命題P的否命題，而是命題P的否定形式．對命題“若P則Q“來說，?P是“若P則非Q”；P的否命題是“若非P則非Q”注意兩個否定：“不一定是”的否定是“一定是”；“一定不是”的否定是“一定是”．【解題方法點(diǎn)撥】若p則q，那么它的否命題是：若?p則?q，命題的否定是：若p則?q．注意兩者的區(qū)別．全（特）稱命題的否定命題的格式和方法；要注意兩點(diǎn)：1）全稱命題變?yōu)樘胤Q命題；2）只對結(jié)論進(jìn)行否定．將量詞“?”與“?”互換，同時結(jié)論否定．【命題方向】命題存在中學(xué)數(shù)學(xué)的任意位置，因此命題的范圍比較廣，涉及知識點(diǎn)多，多以小題形式出現(xiàn)，是課改地區(qū)?？碱}型．15．根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．實際問題的函數(shù)刻畫在現(xiàn)實世界里，事物之間存在著廣泛的聯(lián)系，許多聯(lián)系可以用函數(shù)刻畫．用函數(shù)的觀點(diǎn)看實際問題，是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容．2．用函數(shù)模型解決實際問題（1）數(shù)據(jù)擬合：通過一些數(shù)據(jù)尋求事物規(guī)律，往往是通過繪出這些數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，觀察這些點(diǎn)的整體特征，看它們接近我們熟悉的哪一種函數(shù)圖象，選定函數(shù)形式后，將一些數(shù)據(jù)代入這個函數(shù)的一般表達(dá)式，求出具體的函數(shù)表達(dá)式，再做必要的檢驗，基本符合實際，就可以確定這個函數(shù)基本反映了事物規(guī)律，這種方法稱為數(shù)據(jù)擬合．（2）常用到的五種函數(shù)模型：①直線模型：一次函數(shù)模型y＝kx+b（k≠0），圖象增長特點(diǎn)是直線式上升（x的系數(shù)k＞0），通過圖象可以直觀地認(rèn)識它，特例是正比例函數(shù)模型y＝kx（k＞0）．②反比例函數(shù)模型：y=kx（k＞0）型，增長特點(diǎn)是y隨③指數(shù)函數(shù)模型：y＝a?bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大的速度越來越快（底數(shù)b＞1，a＞0），常形象地稱為指數(shù)爆炸．④對數(shù)函數(shù)模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增長特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值增大越來越慢（底數(shù)a＞1，m＞0）．⑤冪函數(shù)模型，即y＝a?xn+b（a≠0）型，其中最常見的是二次函數(shù)模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特點(diǎn)是隨著自變量的增大，函數(shù)值先減小后增大（a＞0）．在以上幾種函數(shù)模型的選擇與建立時，要注意函數(shù)圖象的直觀運(yùn)用，分析圖象特點(diǎn)，分析變量x的范圍，同時還要與實際問題結(jié)合，如取整等．3．函數(shù)建模（1）定義：用數(shù)學(xué)思想、方法、知識解決實際問題的過程，叫作數(shù)學(xué)建模．（2）過程：如下圖所示．【解題方法點(diǎn)撥】用函數(shù)模型解決實際問題的常見類型及解法：（1）解函數(shù)關(guān)系已知的應(yīng)用題①確定函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f（x）中的參數(shù)，求出具體的函數(shù)解析式y(tǒng)＝f（x）；②討論x與y的對應(yīng)關(guān)系，針對具體的函數(shù)去討論與題目有關(guān)的問題；③給出實際問題的解，即根據(jù)在函數(shù)關(guān)系的討論中所獲得的理論參數(shù)值給出答案．（2）解函數(shù)關(guān)系未知的應(yīng)用題①閱讀理解題意看一看可以用什么樣的函數(shù)模型，初步擬定函數(shù)類型；②抽象函數(shù)模型在理解問題的基礎(chǔ)上，把實際問題抽象為函數(shù)模型；③研究函數(shù)模型的性質(zhì)根據(jù)函數(shù)模型，結(jié)合題目的要求，討論函數(shù)模型的有關(guān)性質(zhì)，獲得函數(shù)模型的解；④得出問題的結(jié)論根據(jù)函數(shù)模型的解，結(jié)合實際問題的實際意義和題目的要求，給出實際問題的解．【命題方向】典例1：某公司為了實現(xiàn)1000萬元的利潤目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案：銷售利潤達(dá)到10萬元時，按銷售利潤進(jìn)行獎勵，且獎金數(shù)額y（單位：萬元）隨銷售利潤x（單位：萬元）的增加而增加，但獎金數(shù)額不超過5萬元，同時獎金數(shù)額不超過利潤的25%，其中模型能符合公司的要求的是（參考數(shù)據(jù)：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（）A．y＝0.025xB．y＝1.003xC．y＝l+log7xD．y=14000分析：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%，然后一一驗證即可．解答：解：由題意，符合公司要求的模型只需滿足：當(dāng)x∈[10，1000]時，①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過5；③y≤x?25%=14A中，函數(shù)y＝0.025x，易知滿足①，但當(dāng)x＞200時，y＞5不滿足公司要求；B中，函數(shù)y＝1.003x，易知滿足①，但當(dāng)x＞600時，y＞5不滿足公司要求；C中，函數(shù)y＝l+log7x，易知滿足①，當(dāng)x＝1000時，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7x≤14D中，函數(shù)y=14000x2，易知滿足①，當(dāng)x＝400時，y＞故選C點(diǎn)評：本題以實際問題為載體，考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查方案的優(yōu)化設(shè)計，解題的關(guān)鍵是一一驗證．典例2：某服裝生產(chǎn)企業(yè)為了占有更多的市場份額，擬在2015年度進(jìn)行一系列促銷活動，經(jīng)過市場調(diào)查和測算，服裝的年銷量x萬件與年促銷t萬元之間滿足關(guān)系式3﹣x=kt+1（k為常數(shù)），如果不搞促銷活動，服裝的年銷量只能是1萬件．已知2015年生產(chǎn)服裝的設(shè)備折舊，維修等固定費(fèi)用需要3萬元，每生產(chǎn)1萬件服裝需再投入32（1）2015年的利潤y（萬元）關(guān)于促銷費(fèi)t（萬元）的函數(shù)；（2）該企業(yè)2015年的促銷費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大？（注：利潤＝銷售收入﹣生產(chǎn)成本﹣促銷費(fèi)，生產(chǎn)成本＝固定費(fèi)用+生產(chǎn)費(fèi)用）分析：（1）通過x表示出年利潤y，并化簡整理，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費(fèi)t萬元的函數(shù)．（2）根據(jù)已知代入（2）的函數(shù)，分別進(jìn)行化簡即可用基本不等式求出最值，即促銷費(fèi)投入多少萬元時，企業(yè)的年利潤最大．解答：解：（1）由題意：3﹣x=k且當(dāng)t＝0時，x＝1．所以k＝2，所以3﹣x=2t+1生產(chǎn)成本為32x+3，每件售價32(32所以，y=[32(＝16x-t2+32=-（2）因為32t+1+t+12≥8當(dāng)且僅當(dāng)32所以y≤50﹣8＝42，…（1分）答：促銷費(fèi)投入7萬元時，企業(yè)的年利潤最大．…（1分）點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，看出基本不等式在求最值中的應(yīng)用，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力，強(qiáng)調(diào)對知識的理解和熟練運(yùn)用，考查轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．16．正弦定理【知識點(diǎn)的認(rèn)識】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容asinA=（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA=a2R，sinB=b2③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S=12a?ha（ha表示邊2．S=12absinC=12acsinB=3．S=12r（a+b+c）（【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的