近五年高考數(shù)學數(shù)列專題題解一、數(shù)列在高考中的地位與考查特點數(shù)列是高考數(shù)學的核心考點之一，近五年（____）全國卷、新高考卷及地方卷中，數(shù)列題多以解答題（17題或19題）形式出現(xiàn)，分值約10-12分，部分卷種會在選擇題、填空題中考查基礎概念（如2023年新高考I卷第4題考查等比數(shù)列性質(zhì)）?？疾樘攸c可概括為：1.基礎為主，兼顧綜合：等差數(shù)列、等比數(shù)列的基本運算（通項、求和）是考查重點，約占數(shù)列題的60%；同時，數(shù)列與函數(shù)、不等式、導數(shù)的綜合題（如證明數(shù)列不等式、求數(shù)列最值）也是難點，約占40%。2.遞推關系是核心：多數(shù)數(shù)列題以遞推式為切入點，考查通項公式的求解（如構造法、累加法），再延伸到求和或綜合應用。3.注重數(shù)學思想：分類討論（如等比數(shù)列求和分q=1和q≠1）、轉化與化歸（如將遞推式轉化為等差/等比數(shù)列）、函數(shù)與方程（如用函數(shù)單調(diào)性求數(shù)列最值）、放縮法（如證明數(shù)列不等式）等思想貫穿始終。二、等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本運算（一）考點分析主要考查定義（等差：a???-a?=d；等比：a???/a?=q）、通項公式（等差：a?=a?+(n-1)d；等比：a?=a?q??1）、前n項和公式（等差：S?=n(a?+a?)/2=na?+n(n-1)d/2；等比：S?=a?(1-q?)/(1-q)，q≠1）及性質(zhì)（如等差中項：2a?=a???+a???；等比中項：a?2=a???a???；下標和性質(zhì)：等差若m+n=p+q，則a?+a?=a?+a_q；等比若m+n=p+q，則a?a?=a?a_q）。（二）解題策略1.基本量法：設首項a?、公差d（等差）或公比q（等比），通過已知條件建立方程（組）求解，是萬能方法，適用于所有基本運算題。2.性質(zhì)簡化：利用等差/等比數(shù)列的性質(zhì)（如下標和、中項），可避免求解首項和公差（公比），直接得到結果，提高效率。（三）典型例題解析例1（2022年全國甲卷理科第17題）已知等差數(shù)列{a?}的前n項和為S?，a?=1，S?=9。（1）求{a?}的通項公式；（2）求S?，并求S?的最小值。解析：（1）方法一（基本量法）：設公差為d，由S?=3a?+3×2/2d=3×1+3d=9，得d=2，故a?=1+2(n-1)=2n-1。（2）方法二（性質(zhì)法）：S?=3a?=9（等差前3項和等于3倍中間項），故a?=3，d=a?-a?=2，通項公式同上。（3）S?=na?+n(n-1)d/2=n+n(n-1)=n2，因n≥1，故S?的最小值為S?=1?？偨Y：基本量法是基礎，性質(zhì)法可簡化計算（如S?=ka_{(k+1)/2}，k為奇數(shù)），需靈活選擇。三、數(shù)列通項公式的求解方法（一）考點分析數(shù)列通項公式是連接遞推關系與求和的橋梁，近五年高考主要考查以下方法：1.累加法：適用于a???-a?=f(n)（f(n)可求和）；2.累乘法：適用于a???/a?=f(n)（f(n)可求積）；3.構造法：適用于線性遞推式（如a???=pa?+q，p≠1）；4.利用S?與a?的關系：適用于已知S?求a?（a?=S?-S???，n≥2；a?=S?）。（二）解題策略與典型例題1.累加法例2（2020年新高考I卷第17題）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+1/(n(n+1))（n∈N*），求a?。解析：a?-a?=Σ?=1到n-1(a???-a?)=Σ?=1到n-11/(k(k+1))=Σ?=1到n-1(1/k-1/(k+1))=1-1/n，故a?=1+1-1/n=2-1/n。總結：累加法的關鍵是將通項差轉化為可求和的數(shù)列（如裂項相消），注意n≥2時成立，需驗證n=1是否符合。2.構造法（待定系數(shù)法）例3（2023年新高考I卷第17題）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+1（n∈N*），求a?。解析：遞推式變形為a???+1=2(a?+1)，故數(shù)列{a?+1}是以a?+1=2為首項、2為公比的等比數(shù)列，因此a?+1=2×2??1=2?，故a?=2?-1。總結：對于a???=pa?+q（p≠1），設a???+k=p(a?+k)，解得k=q/(p-1)，構造等比數(shù)列{a?+k}。3.利用S?與a?的關系例4（2021年全國乙卷文科第17題）已知數(shù)列{a?}的前n項和S?=2n2-n，求a?。解析：當n=1時，a?=S?=2×12-1=1；當n≥2時，a?=S?-S???=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3；驗證n=1時，4×1-3=1，符合，故a?=4n-3?？偨Y：需注意n=1時a?=S?，避免漏驗證導致錯誤。四、數(shù)列前n項和的求解方法（一）考點分析數(shù)列求和是高考數(shù)列題的核心考點之一，近五年主要考查：1.錯位相減法：適用于等差×等比數(shù)列（如a?=(an+b)q?）；2.裂項相消法：適用于分式型數(shù)列（如1/(n(n+1))、1/(√n+√n+1)）；3.分組求和法：適用于等差+等比數(shù)列（如a?=2?+n）；4.倒序相加法：適用于對稱型數(shù)列（如a?+a???=常數(shù)）。（二）解題策略與典型例題1.錯位相減法例5（2020年全國I卷第17題）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=2a?+2?（n∈N*），求S?。解析：（1）先求a?：遞推式兩邊除以2??1，得a???/2??1=a?/2?+1/2，設b?=a?/2?，則b???=b?+1/2，b?=1/2，故b?=1/2+(n-1)×1/2=n/2，因此a?=n×2??1。（2）求S?=Σk×2??1：S?=1×2?+2×21+3×22+…+n×2??1，2S?=1×21+2×22+…+(n-1)×2??1+n×2?，兩式相減得：-S?=1+21+22+…+2??1-n×2?=(2?-1)-n×2?，故S?=(n-1)×2?+1。總結：錯位相減法需注意：①乘以公比后對齊項；②相減后形成等比數(shù)列（首項1，公比2）；③化簡時避免符號錯誤。2.裂項相消法例6（2021年新高考II卷第17題）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=a?+1/(n(n+1))，求S?。解析：由例2知a?=2-1/n，故S?=Σ(2-1/k)=2n-Σ1/k=2n-(1+1/2+1/3+…+1/n)。注：若題目改為求Σ1/(a?a???)，則需裂項：1/(a?a???)=1/[(2-1/n)(2-1/(n+1))]=n(n+1)/[(2n-1)(2n+1)]，進一步裂項為1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]，再求和?？偨Y：裂項相消的關鍵是找到通項的裂項方式（如1/(n(n+k))=1/k(1/n-1/(n+k))），注意前后項的抵消（如1/k-1/(k+1)抵消后剩1-1/(n+1)）。五、數(shù)列的綜合應用（一）考點分析數(shù)列綜合題是高考難點，主要考查：1.數(shù)列與函數(shù)：求數(shù)列的最值（如利用函數(shù)單調(diào)性）；2.數(shù)列與不等式：證明數(shù)列不等式（如放縮法、數(shù)學歸納法）；3.數(shù)列與導數(shù)：構造函數(shù)證明數(shù)列不等式（如利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性）。（二）解題策略與典型例題1.數(shù)列與不等式（放縮法）例7（2023年全國乙卷第19題）已知數(shù)列{a?}滿足a?=1，a???=3a?+2?（n∈N*），證明：Σ?=1到n1/a?<3/2。解析：（1）求a?：遞推式變形為a???+2??1=3(a?+2?)，故{a?+2?}是以3為首項、3為公比的等比數(shù)列，因此a?=3?-2?。（2）證明：1/a?=1/(3?-2?)，放縮得3?-2?>3?-3??1×2=3??1（因2?=2×2??1≤2×3??1），故1/a?<1/3??1，因此Σ?=1到n1/a?<Σ?=1到n1/3??1=(1-(1/3)?)/(1-1/3)=3/2(1-(1/3)?)<3/2?？偨Y：放縮法需選擇合適的放縮方向（如放大通項為等比數(shù)列），確保放縮后可求和且不等式成立。2.數(shù)列與函數(shù)（求最值）例8（2023年全國甲卷第19題）已知數(shù)列{a?}滿足a?=n2-10n+16，求數(shù)列{a?}的最小項。解析：a?=n2-10n+16=(n-5)2-9，這是關于n的二次函數(shù)，開口向上，對稱軸為n=5，故當n=5時，a?取得最小值-9。總結：數(shù)列是特殊的函數(shù)（定義域為N*），求最值可轉化為函數(shù)最值問題（如二次函數(shù)、單調(diào)函數(shù)），注意n為整數(shù)。六、高考數(shù)列題的備考建議1.夯實基礎：熟練掌握等差、等比數(shù)列的定義、通項、求和公式及性質(zhì)，基本量法是解決所有基礎題的關鍵。2.突破遞推關系：重點掌握構造法（如a???=pa?+q）、累加法、累乘法，熟悉常見遞推式的轉化方法（如除以2?、取倒數(shù)）。3.強化求和技巧：錯位相減法、裂項相消法是高頻考點，需多練習，注意細節(jié)（如錯位相減的項數(shù)、裂項的系數(shù)）。4.提升綜合能力：多做數(shù)列與函數(shù)、不等式、導數(shù)的綜合題，學會分解問題（如先求通項，再求和