高中數(shù)學(xué)直線與圓位置關(guān)系練習(xí)題一、引言直線與圓是解析幾何的基石，其位置關(guān)系（相離、相切、相交）的判定及應(yīng)用，是連接代數(shù)運(yùn)算與幾何意義的關(guān)鍵紐帶，也是高考數(shù)學(xué)的核心考點(diǎn)之一。掌握本部分內(nèi)容，不僅能深化對(duì)解析幾何思想的理解，更能為后續(xù)圓錐曲線的學(xué)習(xí)奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。本文將通過(guò)知識(shí)點(diǎn)回顧、題型突破、針對(duì)性練習(xí)三個(gè)模塊，幫助學(xué)生系統(tǒng)掌握直線與圓位置關(guān)系的解題方法。二、知識(shí)點(diǎn)回顧：核心判定方法與結(jié)論直線與圓的位置關(guān)系可通過(guò)幾何法（距離與半徑比較）或代數(shù)法（聯(lián)立方程判別式）判定，具體如下：1.位置關(guān)系分類相離：無(wú)公共點(diǎn)；相切：有且僅有1個(gè)公共點(diǎn)；相交：有2個(gè)公共點(diǎn)。2.幾何法（優(yōu)先推薦，計(jì)算量小）設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)（圓心\(C(a,b)\)，半徑\(r\)），直線一般方程為\(Ax+By+D=0\)，圓心到直線的距離為：\[d=\frac{|Aa+Bb+D|}{\sqrt{A^2+B^2}}\]\(d>r\)?相離；\(d=r\)?相切；\(d<r\)?相交。3.代數(shù)法（適用于需要聯(lián)立方程的場(chǎng)景）聯(lián)立直線與圓的方程，消去一個(gè)變量（如\(y\)），得到關(guān)于\(x\)的一元二次方程\(px^2+qx+c=0\)，計(jì)算判別式\(\Delta=q^2-4pc\)：\(\Delta<0\)?相離；\(\Delta=0\)?相切；\(\Delta>0\)?相交。三、基礎(chǔ)題型突破：逐一攻克核心考點(diǎn)題型1：位置關(guān)系的判定例1（幾何法）：判斷直線\(2x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2-2x+4y-4=0\)的位置關(guān)系。解析：1.將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式：\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)，圓心\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)；2.計(jì)算圓心到直線距離：\(d=\frac{|2\cdot1-(-2)+1|}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\frac{5}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}\approx2.236\)；3.因\(d<r\)，故直線與圓相交。例2（代數(shù)法）：判斷直線\(y=x+1\)與圓\(x^2+y^2=2\)的位置關(guān)系。解析：1.聯(lián)立方程：將\(y=x+1\)代入圓方程得\(x^2+(x+1)^2=2\)；2.整理得一元二次方程：\(2x^2+2x-1=0\)；3.計(jì)算判別式：\(\Delta=2^2-4\cdot2\cdot(-1)=4+8=12>0\)；4.因\(\Delta>0\)，故直線與圓相交。題型2：求切線方程例3（圓上一點(diǎn)的切線）：求過(guò)圓\(x^2+y^2=4\)上一點(diǎn)\((\sqrt{2},\sqrt{2})\)的切線方程。解析（公式法）：若點(diǎn)\((x_0,y_0)\)在圓\(x^2+y^2=r^2\)上，則切線方程為\(x_0x+y_0y=r^2\)。代入得：\(\sqrt{2}x+\sqrt{2}y=4\)，化簡(jiǎn)為\(x+y=2\sqrt{2}\)。例4（圓外一點(diǎn)的切線）：求過(guò)點(diǎn)\((3,0)\)且與圓\(x^2+y^2=4\)相切的直線方程。解析（幾何法）：設(shè)切線方程為\(y=k(x-3)\)（斜率存在時(shí)），即\(kx-y-3k=0\)。圓心\((0,0)\)到直線距離等于半徑\(2\)，故：\[\frac{|-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=2\]解得\(k=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}\)，切線方程為\(y=\pm\frac{2\sqrt{5}}{5}(x-3)\)。題型3：求弦長(zhǎng)例5（幾何法，優(yōu)先選擇）：求直線\(x-y+1=0\)與圓\(x^2+y^2=2\)相交的弦長(zhǎng)。解析：1.圓心\((0,0)\)到直線距離：\(d=\frac{|0-0+1|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)；2.半徑\(r=\sqrt{2}\)；3.弦長(zhǎng)公式：\(l=2\sqrt{r^2-d^2}=2\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\sqrt{6}\)。例6（代數(shù)法，計(jì)算量大）：求直線\(2x+3y-6=0\)與圓\((x-1)^2+(y+1)^2=4\)相交的弦長(zhǎng)。解析：1.聯(lián)立方程：將\(y=\frac{6-2x}{3}\)代入圓方程，得：\[(x-1)^2+\left(\frac{9-2x}{3}\right)^2=4\]2.化簡(jiǎn)得一元二次方程：\(13x^2-54x+54=0\)；3.計(jì)算判別式：\(\Delta=54^2-4\cdot13\cdot54=108\)；4.弦長(zhǎng)公式：\(l=\sqrt{1+k^2}\cdot\frac{\sqrt{\Delta}}{|a|}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}\cdot\frac{\sqrt{108}}{13}=\frac{2\sqrt{39}}{13}\)。題型4：求參數(shù)范圍例7（直線含參數(shù)）：已知直線\(kx-y+2=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)相交，求\(k\)的取值范圍。解析：直線與圓相交等價(jià)于圓心到直線距離\(d<r\)，即：\[\frac{|2|}{\sqrt{k^2+1}}<1\]解得\(k^2>3\)，故\(k<-\sqrt{3}\)或\(k>\sqrt{3}\)。例8（圓含參數(shù)）：已知圓\(x^2+y^2+2x-4y+a=0\)與直線\(x+y+1=0\)相切，求\(a\)的值。解析：1.將圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)式：\((x+1)^2+(y-2)^2=5-a\)（需\(5-a>0\)，即\(a<5\)）；2.圓心\((-1,2)\)到直線距離等于半徑：\[\frac{|-1+2+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{5-a}\]3.解得\(a=3\)。四、綜合題型提升：高考熱點(diǎn)與難點(diǎn)題型5：最值問(wèn)題例9（點(diǎn)與圓的距離最值）：求點(diǎn)\(P(2,3)\)到圓\((x-1)^2+(y+1)^2=4\)的最短距離和最長(zhǎng)距離。解析：1.圓心\(C(1,-1)\)，半徑\(r=2\)；2.點(diǎn)\(P\)到圓心距離：\(PC=\sqrt{(2-1)^2+(3+1)^2}=\sqrt{17}\)；3.最短距離：\(PC-r=\sqrt{17}-2\)；最長(zhǎng)距離：\(PC+r=\sqrt{17}+2\)。例10（弦長(zhǎng)最值）：過(guò)點(diǎn)\((1,1)\)（圓內(nèi)點(diǎn)）的直線與圓\(x^2+y^2=5\)相交，求弦長(zhǎng)的最小值。解析：弦長(zhǎng)最小值出現(xiàn)在直線與點(diǎn)和圓心連線垂直時(shí)，圓心\((0,0)\)，連線斜率為\(1\)，直線斜率為\(-1\)，方程為\(x+y-2=0\)。圓心到直線距離\(d=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}\)，弦長(zhǎng)\(l=2\sqrt{5-2}=2\sqrt{3}\)。題型6：軌跡問(wèn)題例11（切點(diǎn)軌跡）：求過(guò)點(diǎn)\(P(3,0)\)與圓\(x^2+y^2=4\)相切的切點(diǎn)軌跡方程。解析：設(shè)切點(diǎn)為\(Q(x,y)\)，則\(OQ\perpPQ\)（\(O\)為圓心），向量乘積為\(0\)：\[(x,y)\cdot(x-3,y)=0\]化簡(jiǎn)得：\(x^2-3x+y^2=0\)，即\((x-\frac{3}{2})^2+y^2=\frac{9}{4}\)（圓心\((\frac{3}{2},0)\)，半徑\(\frac{3}{2}\)的圓）。題型7：對(duì)稱問(wèn)題例12（圓關(guān)于直線對(duì)稱）：求圓\((x-1)^2+(y+2)^2=4\)關(guān)于直線\(x-y+3=0\)對(duì)稱的圓的方程。解析：設(shè)對(duì)稱圓的圓心為\((a,b)\)，需滿足：1.中點(diǎn)\((\frac{1+a}{2},\frac{-2+b}{2})\)在直線上；2.連線與直線垂直（斜率乘積為\(-1\)）。列方程組：\[\begin{cases}\frac{1+a}{2}-\frac{-2+b}{2}+3=0\\\frac{b+2}{a-1}\cdot1=-1\end{cases}\]解得\(a=-5\)，\(b=4\)，故對(duì)稱圓方程為\((x+5)^2+(y-4)^2=4\)。五、針對(duì)性練習(xí)：鞏固與提高基礎(chǔ)練習(xí)1.判斷直線\(3x+4y-5=0\)與圓\(x^2+y^2=1\)的位置關(guān)系。2.求過(guò)圓\((x-2)^2+(y+1)^2=5\)上一點(diǎn)\((1,-3)\)的切線方程。3.求直線\(x+2y+3=0\)與圓\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)的弦長(zhǎng)。4.已知直線\(y=kx+2\)與圓\(x^2+y^2=2\)相切，求\(k\)的值。綜合練習(xí)5.求點(diǎn)\(A(1,1)\)到圓\((x-2)^2+(y-3)^2=4\)的最短距離。6.過(guò)點(diǎn)\((2,1)\)（圓上點(diǎn)）的直線與圓\(x^2+y^2=5\)相交，求弦長(zhǎng)的最大值。7.求過(guò)點(diǎn)\((0,2)\)與圓\(x^2+y^2=2\)相切的切線方程。8.求圓\((x+1)^2+(y-2)^2=9\)關(guān)于直線\(y=x\)對(duì)稱的圓的方程。六、答案與解析基礎(chǔ)練習(xí)1.相切：圓心到直線距離\(d=1\)，等于半徑。2.\(x+2y+5=0\)：利用圓上點(diǎn)切線公式或幾何法。3.\(\frac{6\sqrt{5}}{5}\)：幾何法，圓心到直線距離\(d=\frac{6}{\sqrt{5}}\)，弦長(zhǎng)\(l=2\sqrt{9-\frac{36}{5}}\)。4.\(k=\pm1\)：圓心到直線距離\(d=\frac{2}{\sqrt{k^2+1}}=\sqrt{2}\)，解得\(k=\pm1\)。綜合練習(xí)5.\(\sqrt{5}-2\)：點(diǎn)在圓外，最短距離為\(PC-r\)。6