內(nèi)蒙古高三聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x2-2x+3)的定義域是（）

A.(-∞,1)∪(1,+∞)B.[1,3]C.(-∞,3)D.R

2.若向量a=(1,k),b=(2,-1),且a⊥b，則k的值為（）

A.-2B.2C.-1D.1

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1

4.已知等差數(shù)列{a?}中，a?=3,公差d=2,則a?的值為（）

A.9B.11C.13D.15

5.函數(shù)f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期是（）

A.πB.2πC.π/2D.π/4

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是（）

A.(2,-3)B.(-2,3)C.(2,3)D.(-2,-3)

7.已知三角形ABC的三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，則其面積是（）

A.6B.12C.15D.30

8.若f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

9.不等式|2x-1|<3的解集是（）

A.(-1,2)B.(-2,1)C.(-1,4)D.(-4,1)

10.已知直線l?:ax+3y-6=0與直線l?:3x-by+9=0平行，則a的值為（）

A.1B.-1C.3D.-3

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3B.f(x)=sin(x)C.f(x)=x2D.f(x)=tan(x)

2.若集合A={x|x2-x-6≥0},B={x|ax=1},且B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

A.{1}B.{-1}C.{2}D.{3}

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若a=3,b=4,C=60°，則下列結(jié)論正確的有（）

A.c=5B.cosB>0C.sinA<sinBD.△ABC是直角三角形

4.已知函數(shù)f(x)=e?+kx在x=1處取得拐點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值及f(x)的凹凸區(qū)間分別為（）

A.k=-2B.k=-3C.(-∞,1)上凸，(1,+∞)上凹D.(-∞,1)上凹，(1,+∞)上凸

5.已知點(diǎn)P(x,y)在直線x+y=4上，則點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離d的最小值為（）

A.2√2B.2C.4√2D.4

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知復(fù)數(shù)z=2+3i，則其共軛復(fù)數(shù)z的模|z|等于________。

2.不等式組{x>1,y≤2}表示的平面區(qū)域是________（填寫區(qū)域類型，如“一個(gè)點(diǎn)”、“一條射線”、“線段”、“四邊形”或“無(wú)解”）。

3.已知圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=4，則該圓的圓心到直線3x-4y+5=0的距離等于________。

4.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=-1處的導(dǎo)數(shù)f'(-1)=0，則實(shí)數(shù)a的值為________。

5.從一個(gè)裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球的袋中，不放回地隨機(jī)抽取2個(gè)球，則抽到2個(gè)紅球的概率為________。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.已知函數(shù)f(x)=log?(x2-ax+3)，其中a為實(shí)數(shù)。

(1)求函數(shù)f(x)的定義域；

(2)若f(2)=1，求a的值。

2.已知向量a=(3,-1),b=(-1,2)。

(1)求向量a+b和a-b的坐標(biāo)；

(2)計(jì)算向量a與b的數(shù)量積（點(diǎn)積）。

3.已知等比數(shù)列{a?}的前n項(xiàng)和為S?，且a?=1，a?=4。

(1)求該等比數(shù)列的公比q；

(2)求該等比數(shù)列的通項(xiàng)公式a?。

4.已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0。

(1)求圓C的圓心坐標(biāo)和半徑R；

(2)判斷點(diǎn)P(1,2)是否在圓C的內(nèi)部。

5.計(jì)算極限lim(x→0)(e?-1)/x。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C【解析】定義域要求x2-2x+3>0，判別式Δ=(-2)2-4*1*3=-8<0，故二次函數(shù)圖像開口向上且無(wú)實(shí)根，恒大于0。因此定義域?yàn)镽。

2.A【解析】向量垂直條件為a·b=0，即1*2+k*(-1)=0，解得k=2。

3.A【解析】對(duì)于均勻硬幣，正反面概率相等，均為1/2。

4.D【解析】等差數(shù)列通項(xiàng)公式a?=a?+(n-1)d，代入a?=3,d=2,n=5，得a?=3+(5-1)*2=3+8=11。

5.A【解析】正弦函數(shù)y=sin(ωx+φ)的最小正周期T=2π/|ω|。對(duì)于f(x)=sin(2x+π/3)，ω=2，故T=2π/2=π。

6.C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(x-h)2+(y-k)2=r2中，(h,k)為圓心坐標(biāo)。將原方程配方：x2-4x+y2+6y=3，(x-2)2-4+(y+3)2-9=3，(x-2)2+(y+3)2=16。圓心為(2,-3)。

7.A【解析】三角形三邊長(zhǎng)3,4,5滿足32+42=52，故為直角三角形。其面積S=(1/2)*3*4=6。

8.B【解析】f'(x)=3x2-a。在x=1處取得極值，則f'(1)=0，即3*12-a=0，解得a=3。需驗(yàn)證此極值點(diǎn)，f''(x)=6x，f''(1)=6>0，故x=1處為極小值點(diǎn)，a=3符合題意。

9.A【解析】解絕對(duì)值不等式|2x-1|<3等價(jià)于-3<2x-1<3。解左邊不等式-3<2x-1得2x-1>-3，即2x>-2，x>-1。解右邊不等式2x-1<3得2x<4，x<2。綜上解集為-1<x<2，即(-1,2)。

10.C【解析】直線l?:ax+3y-6=0的斜率k?=-a/3。直線l?:3x-by+9=0的斜率k?=3/b。l?與l?平行，則k?=k?，即-a/3=3/b，得到ab=-9。選項(xiàng)中只有C.a=3滿足此條件（此時(shí)b=-3）。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.ABD【解析】奇函數(shù)滿足f(-x)=-f(x)。

A.f(x)=x3:f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，是奇函數(shù)。

B.f(x)=sin(x):f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

C.f(x)=x2:f(-x)=(-x)2=x2≠-x2=-f(x)，不是奇函數(shù)。

D.f(x)=tan(x):f(-x)=tan(-x)=-tan(x)=-f(x)，是奇函數(shù)。

故正確選項(xiàng)為A,B,D。

2.ABC【解析】集合A={x|x2-x-6≥0}={x|(x-3)(x+2)≥0}=(-∞,-2]∪[3,+∞)。

集合B={x|ax=1}。若B=?，則a=0，此時(shí)B?A成立。

若B≠?，則a≠0，B={1/a}。需要1/a∈(-∞,-2]∪[3,+∞)。

當(dāng)1/a≤-2時(shí)，a≤-1/2；當(dāng)1/a≥3時(shí)，a≤1/3。同時(shí)a≠0。

綜上，a∈(-∞,-1/2]∪{0}∪[1/3,0)=(-∞,-1/2]∪{0}∪(0,1/3]。選項(xiàng)A.{1}不在此范圍內(nèi)。選項(xiàng)B.{-1}∈(-∞,-1/2]，正確。選項(xiàng)C.{2}∈(0,1/3)，正確。選項(xiàng)D.{3}不在此范圍內(nèi)。

故正確選項(xiàng)為B,C。

3.ABC【解析】

A.由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，代入a=3,b=4,C=60°，得c2=32+42-2*3*4*cos60°=9+16-24*(1/2)=25-12=13，故c=√13。選項(xiàng)A.c=5錯(cuò)誤。

B.在△ABC中，角B=60°，故cosB=cos60°=1/2>0。選項(xiàng)B正確。

C.由正弦定理sinA/a=sinB/b，代入a=3,b=4,sinB=sin60°=√3/2，得sinA/3=√3/2/4=√3/8，sinA=3√3/8。sinB=√3/2。顯然sinA<sinB。選項(xiàng)C正確。

D.已知a=3,b=4,c=√13。判斷是否為直角三角形，需驗(yàn)證a2+b2是否等于c2。32+42=9+16=25，c2=(√13)2=13。25≠13，故不是直角三角形。選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

故正確選項(xiàng)為B,C。

4.AD【解析】函數(shù)f(x)=e?+kx的二階導(dǎo)數(shù)為f''(x)=e?+k。

拐點(diǎn)處要求二階導(dǎo)數(shù)等于零且改變符號(hào)。f''(1)=e1+k=e+k=0，解得k=-e。

驗(yàn)證凹凸區(qū)間：

當(dāng)x<1時(shí)，f''(x)=e?-e<0(因?yàn)閑?<e)，函數(shù)在(-∞,1)上凸。

當(dāng)x>1時(shí)，f''(x)=e?-e>0(因?yàn)閑?>e)，函數(shù)在(1,+∞)上凹。

故凹凸區(qū)間為(-∞,1)上凸，(1,+∞)上凹。選項(xiàng)A正確，選項(xiàng)D正確。

5.B【解析】點(diǎn)P(x,y)在直線x+y=4上，可設(shè)P(t,4-t)。點(diǎn)P到原點(diǎn)O(0,0)的距離d=√(t2+(4-t)2)=√(t2+16-8t+t2)=√(2t2-8t+16)=√(2(t2-4t+8))=√(2((t-2)2+4))=√(2(t-2)2+8)。

由于(t-2)2≥0，故2(t-2)2≥0，d的最小值為√(8)=2√2。當(dāng)且僅當(dāng)t-2=0，即t=2時(shí)取到最小值。此時(shí)P(2,4-2)=P(2,2)，距離為2√2。選項(xiàng)B正確。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.5【解析】|z|=√(22+32)=√(4+9)=√13。

2.線段【解析】不等式x>1表示直線x=1右側(cè)區(qū)域，不等式y(tǒng)≤2表示直線y=2下側(cè)區(qū)域。兩區(qū)域交集為從點(diǎn)(1,2)向右延伸至無(wú)窮遠(yuǎn)，并包含直線x=1上方的部分。結(jié)合x>1，交集為從點(diǎn)(1,2)開始，沿x>1方向向右延伸的射線，即線段(1,2]在x>1部分，或表示為{(x,y)|x>1,y≤2}。此區(qū)域是直線x=1上的點(diǎn)(1,y)其中y≤2的集合，是一條射線，起點(diǎn)為(1,2)，方向向右。

3.5【解析】圓心C(1,-2)，直線L:3x-4y+5=0。距離d=|Ax?+By?+C|/√(A2+B2)=|3*1+(-4)*(-2)+5|/√(32+(-4)2)=|3+8+5|/√(9+16)=|16|/√25=16/5=3.2。

4.-2【解析】f'(x)=3x2-a。f'(-1)=3*(-1)2-a=3-a=0。解得a=3。

5.3/5【解析】總的可能情況數(shù)是C(5,2)=5!/(2!*3!)=(5*4)/(2*1)=10。抽到2個(gè)紅球的情況數(shù)是C(3,2)=3!/(2!*1!)=3。概率P=3/10。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.【解】

(1)定義域要求x2-ax+3>0。判別式Δ=a2-4*1*3=a2-12。需Δ<0，即a2-12<0，解得-√12<a<√12，即-2√3<a<2√3。故定義域?yàn)?-2√3,2√3)。

(2)f(2)=log?(22-a*2+3)=log?(4-2a+3)=log?(7-2a)=1。由對(duì)數(shù)性質(zhì)，底數(shù)相同，真數(shù)相等，得7-2a=31=3。解得2a=4，a=2。

【答】定義域?yàn)?-2√3,2√3)；a=2。

2.【解】

(1)a+b=(3+(-1),-1+2)=(2,1)。a-b=(3-(-1),-1-2)=(4,-3)。

(2)a·b=3*(-1)+(-1)*2=-3-2=-5。

【答】a+b=(2,1)；a-b=(4,-3)；a·b=-5。

3.【解】

(1)a?=a?*q2。代入a?=1,a?=4，得4=1*q2，即q2=4。解得q=2或q=-2。

(2)當(dāng)q=2時(shí)，通項(xiàng)公式a?=a?*q^(n-1)=1*2^(n-1)=2^(n-1)。

當(dāng)q=-2時(shí)，通項(xiàng)公式a?=a?*q^(n-1)=1*(-2)^(n-1)=(-2)^(n-1)。

【答】公比q=2或-2；通項(xiàng)公式a?=2^(n-1)或a?=(-2)^(n-1)。

4.【解】

(1)圓方程(x-1)2+(y+2)2=4。圓心坐標(biāo)為(h,k)=(1,-2)。半徑r=√4=2。

(2)點(diǎn)P(1,2)到圓心C(1,-2)的距離|PC|=√((1-1)2+(2-(-2))2)=√(0+42)=√16=4。圓的半徑r=2。因?yàn)閨PC|=4>r=2，所以點(diǎn)P在圓C的外部。

【答】圓心(1,-2)，半徑2；點(diǎn)P在圓外。

5.【解】

當(dāng)x≠0時(shí)，利用指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)性質(zhì)及等價(jià)無(wú)窮小e?-1≈x(x→0)，

lim(x→0)(e?-1)/x=lim(x→0)(e?-1)/(x-0)=f'(0)，其中f(x)=e?。

f'(x)=e?，所以f'(0)=e?=1。

或直接用等價(jià)無(wú)窮小替換：lim(x→0)(e?-1)/x=lim(x→0)x/x=1。

【答】1。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分類和總結(jié)如下：

一、集合與常用邏輯用語(yǔ)

-集合的概念、表示法、基本運(yùn)算（并集、交集、補(bǔ)集）

-元素與集合的關(guān)系（屬于、不屬于）

-集合間的關(guān)系（包含、相等）

-命題及其關(guān)系（原命題、逆命題、否命題、逆否命題及其等價(jià)性）

-充分條件、必要條件、充要條件的判斷

二、函數(shù)

-函數(shù)的概念（定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則）

-函數(shù)的表示法（解析法、列表法、圖像法）

-函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）

-基本初等函數(shù)（冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)）的圖像和性質(zhì)

-函數(shù)圖像的變換（平移、伸縮）

-反函數(shù)的概念與求法

三、數(shù)列

-數(shù)列的概念（通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和）

-等差數(shù)列（定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)）

-等比數(shù)列（定義、通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)）

-數(shù)列的遞推關(guān)系

四、不等式

-不等式的基本性質(zhì)

-一元一次不等式（組）的解法

-一元二次不等式的解法（圖像法、判別式法）

-含絕對(duì)值不等式的解法

-分式不等式的解法

五、解析幾何

-直線與圓的方程

-直線的傾斜角與斜率

-直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式、一般式）

-兩直線的位置關(guān)系（平行、垂直、相交）的判定

-點(diǎn)到直線的距離公式

-兩平行直線間的距離公式

-圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

-點(diǎn)與圓、直線與圓的位置關(guān)系的判斷

-圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）

-定義

-標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)（范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、離心率等）

六、三角函數(shù)與解三角形

-任意角的概念、弧度制

-任意角的三角函數(shù)定義（坐標(biāo)法定義）

-同角三角函數(shù)基本關(guān)系式（平方關(guān)系、商數(shù)關(guān)系）

-誘導(dǎo)公式

-三角函數(shù)圖像與性質(zhì)（定義域、值域、周期性、奇偶性、單調(diào)性）

-和差角公式、倍角公式、半角公式

-解三角形（正弦定理、余弦定理、面積公式）

-反三角函數(shù)的概念

七、數(shù)列極限與連續(xù)性初步（如果涉及）

-數(shù)列極限的概念

-數(shù)列極限的運(yùn)算法則

-函數(shù)極限的概念（左極限、右極限）

-函數(shù)極限的運(yùn)算法則

-兩個(gè)重要極限（lim(x→0)(sinx)/x=1,lim(x→0)(1-cosx)/x2=1/2）

-函數(shù)的連續(xù)性概念

各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例

一、選擇題

-考察點(diǎn)：對(duì)基礎(chǔ)概念、性質(zhì)、公式的理解和記憶。

-知識(shí)點(diǎn)示例：

-集合運(yùn)算：求集合的并、交、補(bǔ)。

示例：設(shè)A={x|x2-3x+2>0},B={x|x∈N,0<x<4}，求A∩B。

-函數(shù)性質(zhì)：判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性。

示例：判斷函數(shù)f(x)=x3在其定義域上的奇偶性。

-數(shù)列求值：利用等差、等比數(shù)列性質(zhì)求特定項(xiàng)或項(xiàng)數(shù)。

示例：等差數(shù)列{a?}中，a?=10,a??=19，求a?。

-解析幾何：求直線方程、點(diǎn)到直線距離、判斷直線位置關(guān)系。

示例：求過點(diǎn)(1,2)且與直線3x-4y+5=0平行的直線方程。

-三角函數(shù)求值：利用公式、性質(zhì)求三角函數(shù)值。

示例：求sin(π/6+π/3)的值。

-能力要求：快速準(zhǔn)確地回憶和應(yīng)用基礎(chǔ)知識(shí)，具備一定的計(jì)算能力和判斷能力。

二、多項(xiàng)選擇題

-考察點(diǎn)：對(duì)概念、性質(zhì)、定理的深入理解和辨析，需要選出所有符合題意的選項(xiàng)。

-知識(shí)點(diǎn)示例：

-函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用：判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等。

示例：判斷下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有（）

A.f(x)=x3B.f(x)=sin(x)C.f(x)=x2D.f(x)=tan(x)

-集合關(guān)系：判斷集合間包含、相等或空集關(guān)系。

示例：設(shè)集合A={x|x2-1≥0},B={x|ax=1},且B?A，則實(shí)數(shù)a的取值集合為（）

-解析幾何的綜合問題：結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系、距離公式等。

示例：已知圓C的方程為x2+y2-4x+6y-3=0，則該圓的圓心到直線3x-4y+5=0的距離等于________。

-能力要求：不僅要會(huì)判斷對(duì)錯(cuò)，還要能清晰闡述判斷理由，對(duì)易混淆的概念有準(zhǔn)確區(qū)分。

三、填空題

-考察點(diǎn)：對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本運(yùn)算的熟練掌握，要求準(zhǔn)確、簡(jiǎn)潔地填寫答案。