考研數(shù)學三選擇題練習試卷及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.當\(x\to0\)時，\(f(x)=x-\sinx\)是\(x\)的（）A.高階無窮小B.低階無窮小C.同階但非等價無窮小D.等價無窮小2.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導是它在該點連續(xù)的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件3.設\(f(x)\)為可導函數(shù)，且滿足\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(1)-f(1-x)}{2x}=-1\)，則曲線\(y=f(x)\)在點\((1,f(1))\)處的切線斜率為（）A.2B.-2C.\(\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{1}{2}\)4.已知\(f(x)\)的一個原函數(shù)為\(\ln^2x\)，則\(\intxf^\prime(x)dx\)等于（）A.\(\ln^2x-2\lnx+C\)B.\(\ln^2x+2\lnx+C\)C.\(x\ln^2x-2\lnx+C\)D.\(x\ln^2x+2\lnx+C\)5.設矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(A\)的伴隨矩陣\(A^\)為（）A.\(\begin{pmatrix}4&-2\\-3&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&-2\\-3&4\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)6.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=O\)，則必有（）A.\(A=O\)或\(B=O\)B.\(|A|=0\)或\(|B|=0\)C.\(|A|+|B|=0\)D.\((A+B)^2=A^2+B^2\)7.設隨機變量\(X\)服從正態(tài)分布\(N(1,4)\)，\(\varPhi(x)\)為標準正態(tài)分布函數(shù)，則\(P(-1\ltX\lt3)\)等于（）A.\(\varPhi(1)-\varPhi(-1)\)B.\(2\varPhi(1)-1\)C.\(\varPhi(\frac{3}{2})-\varPhi(-\frac{3}{2})\)D.\(2\varPhi(\frac{3}{2})-1\)8.設隨機變量\(X\)的概率密度為\(f(x)=\begin{cases}2x,&0\ltx\lt1\\0,&其他\end{cases}\)，則\(E(X)\)等于（）A.\(\frac{1}{3}\)B.\(\frac{2}{3}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.19.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的簡單隨機樣本，\(X\simN(\mu,\sigma^2)\)，則\(\frac{1}{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)服從（）A.\(N(0,1)\)B.\(\chi^2(n)\)C.\(\chi^2(n-1)\)D.\(t(n-1)\)10.設總體\(X\)的概率密度為\(f(x;\theta)=\begin{cases}\frac{1}{\theta},&0\ltx\lt\theta\\0,&其他\end{cases}\)，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\theta\)的矩估計量為（）A.\(\overline{X}\)B.\(2\overline{X}\)C.\(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2\)D.\(\sqrt{\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2}\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處連續(xù)且可導的有（）A.\(y=|x|\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\sqrt[3]{x}\)D.\(y=\sinx\)2.下列關于極限的說法正確的是（）A.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)B.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)C.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{1-\cosx}{x^2}=\frac{1}{2}\)D.\(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\lnx}{x}=0\)3.設函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則下列說法正確的是（）A.\(f(x)\)在\([a,b]\)上一定有最大值和最小值B.\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在C.存在\(\xi\in[a,b]\)，使得\(\int_{a}^f(x)dx=f(\xi)(b-a)\)D.\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)一定可導4.設\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(AB=BA\)，則（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^2=A^2B^2\)C.\(A\)與\(B\)一定相似于對角矩陣D.\(A\)的特征向量一定是\(B\)的特征向量5.設向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s\)線性相關，則（）A.該向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示B.存在一組不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,\cdots,k_s\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0\)C.向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{s-1}\)一定線性相關D.該向量組的秩小于\(s\)6.設隨機變量\(X\)和\(Y\)相互獨立，且\(X\simN(1,1)\)，\(Y\simN(2,4)\)，則（）A.\(X+Y\simN(3,5)\)B.\(X-Y\simN(-1,-3)\)C.\(2X+Y\simN(4,8)\)D.\(X-2Y\simN(-3,17)\)7.設隨機變量\(X\)的分布函數(shù)為\(F(x)\)，則（）A.\(F(x)\)是單調(diào)不減函數(shù)B.\(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)C.\(F(x)\)是右連續(xù)的D.\(P(X=a)=F(a)-F(a-0)\)8.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的簡單隨機樣本，總體\(X\)的均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)，則（）A.\(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i\)是\(\mu\)的無偏估計量B.\(S^2=\frac{1}{n-1}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計量C.\(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2\)是\(\sigma^2\)的無偏估計量D.\(\overline{X}^2\)是\(\mu^2\)的無偏估計量9.設\(A\)為\(n\)階實對稱矩陣，則（）A.\(A\)的特征值都是實數(shù)B.\(A\)一定有\(zhòng)(n\)個線性無關的特征向量C.存在正交矩陣\(Q\)，使得\(Q^TAQ\)為對角矩陣D.\(A\)的不同特征值對應的特征向量相互正交10.設總體\(X\)服從參數(shù)為\(\lambda\)的泊松分布，\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，則（）A.\(\overline{X}\)是\(\lambda\)的無偏估計量B.\(S^2\)是\(\lambda\)的無偏估計量C.\(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}X_i^2\)是\(\lambda^2+\lambda\)的無偏估計量D.最大似然估計量\(\hat{\lambda}=\overline{X}\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(\lim\limits_{x\tox_0}f(x)\)存在，\(\lim\limits_{x\tox_0}g(x)\)不存在，則\(\lim\limits_{x\tox_0}[f(x)+g(x)]\)一定不存在。（）2.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處的導數(shù)\(f^\prime(x_0)\)就是曲線\(y=f(x)\)在點\((x_0,f(x_0))\)處的切線斜率。（）3.若\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)可導，且\(f^\prime(x)\gt0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。（）4.矩陣\(A\)可逆的充要條件是\(|A|\neq0\)。（）5.若向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性無關，向量組\(\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\)線性相關，則\(\alpha_4\)一定可由\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性表示。（）6.設隨機變量\(X\)服從二項分布\(B(n,p)\)，則\(E(X)=np\)，\(D(X)=np(1-p)\)。（）7.若隨機變量\(X\)和\(Y\)的協(xié)方差\(Cov(X,Y)=0\)，則\(X\)和\(Y\)相互獨立。（）8.總體\(X\)的樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量，樣本方差\(S^2\)是總體方差\(\sigma^2\)的無偏估計量。（）9.對于\(n\)階方陣\(A\)，若\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是\(0\)或\(1\)。（）10.設\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)是來自總體\(X\)的樣本，\(\theta\)是總體參數(shù)，若\(\hat{\theta}\)是\(\theta\)的極大似然估計量，則\(\hat{\theta}\)一定是無偏估計量。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的單調(diào)區(qū)間與極值。答案：對\(y\)求導得\(y^\prime=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y^\prime=0\)，得\(x=0\)，\(x=2\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt2\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數(shù)單調(diào)遞增；當\(0\ltx\lt2\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數(shù)單調(diào)遞減。極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算\(\int\frac{1}{x^2-4}dx\)。答案：將\(\frac{1}{x^2-4}\)分解為\(\frac{1}{4}(\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x+2})\)，則\(\int\frac{1}{x^2-4}dx=\frac{1}{4}\int\frac{1}{x-2}dx-\frac{1}{4}\int\frac{1}{x+2}dx=\frac{1}{4}\ln|x-2|-\frac{1}{4}\ln|x+2|+C=\frac{1}{4}\ln|\frac{x-2}{x+2}|+C\)。3.已知矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)，求\(A\)的逆矩陣\(A^{-1}\)。答案：先求\(|A|=2\)。求伴隨矩陣\(A^\)，\(A_{11}=5\)，\(A_{12}=-2\)，\(A_{13}=-1\)等，得\(A^=\begin{pmatrix}5&-2&-1\\-2&2&0\\-1&0&1\end{pmatrix}\)，則\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}5&-2&-1\\-