第8講函數(shù)的單調(diào)性第3章函數(shù)

能力層級考試內(nèi)容

了解理解掌握函數(shù)的單調(diào)性

增函數(shù)、減函數(shù)的定義與函數(shù)圖像的幾何特征.(2022，T57)函數(shù)單調(diào)性的判定方法.復(fù)習(xí)建議：1.考情小結(jié)：單調(diào)性的定義、單調(diào)性的判定方法近三年涉及1次，屬于低頻考點，主要考查利用單調(diào)性的定義判定大小關(guān)系、二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間等，題目難度中等，分值4分左右.2.備考攻略：同學(xué)們需要把義務(wù)教育階段所學(xué)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性理解掌握.1.函數(shù)值隨著自變量的增大而增大(或減小)的性質(zhì)稱為函數(shù)的單調(diào)性.備考講義考點函數(shù)的單調(diào)性2.設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域為D，區(qū)間I?D.(1)如果對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＜f(x2)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間，如圖1.(圖1)

(2)如果對于區(qū)間I上的任意兩點x1和x2，當(dāng)x1＜x2時，都有f(x1)＞f(x2)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是減函數(shù)，區(qū)間I稱為函數(shù)y＝f(x)的減區(qū)間，如圖2.

(圖2)

.

.3.增函數(shù)的圖像自左向右呈上升趨勢，減函數(shù)的圖像自左向右呈下降趨勢.4.如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么稱函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間I上具有單調(diào)性，區(qū)間I稱為單調(diào)區(qū)間.增區(qū)間也稱為單調(diào)增區(qū)間，減區(qū)間也稱為單調(diào)減區(qū)間.例1

(真題)設(shè)函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，實數(shù)a滿足f(2a－1)＞f(a＋4)，則a的取值范圍是(

)A.(－∞，3) B.(－∞，5)C.(3，＋∞) D.(5，＋∞)【答案】D【試題分析】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義.由增函數(shù)的定義可知，函數(shù)值越大，自變量越大，而f(2a－1)＞f(a＋4)，故對應(yīng)的自變量的關(guān)系為2a－1＞a＋4.【解題過程】因為函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)，而f(2a－1)＞f(a＋4)，故2a－1＞a＋4，所以a＞5，故選D.跟蹤訓(xùn)練1

(真題)若函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù)，且f(x1)＞f(x2)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.x1－x2＜0 B.x1－x2＞0C.x1＋x2＜0 D.x1＋x2＞0【試題分析】本題考查函數(shù)的單調(diào)性的定義.由減函數(shù)的定義可知，函數(shù)值越大，自變量越小，而f(x1)＞f(x2)，故對應(yīng)的自變量的關(guān)系為x1＜x2.【解題過程】因為函數(shù)y＝f(x)在R上是減函數(shù)，而f(x1)＞f(x2)，即x1＜x2，故選A.A

【解題過程】對于二次函數(shù)f(x)＝x2－2x，它的對稱軸方程為x＝1，而a＝1＞0，所以當(dāng)x≥1時，它是增函數(shù)，即[1，＋∞)是它的單調(diào)遞增區(qū)間，故選B.

C

例3

(改編)討論函數(shù)f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性.【試題分析】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義.【解題過程】任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝kx1＋b－(kx2＋b)＝kx1－kx2＝k(x1－x2)，而x1＜x2，故x1－x2＜0，所以當(dāng)k＞0時，k(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，此時函數(shù)f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)k＜0時，k(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，此時函數(shù)f(x)＝kx＋b在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).跟蹤訓(xùn)練3

證明函數(shù)f(x)＝－2x＋3在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).【試題分析】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義.【解題過程】任取x1，x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，則f(x1)－f(x2)＝－2x1＋3－(－2x2＋3)＝－2x1－(－2x2)＝－2(x1－x2)，而x1＜x2，故x1－x2＜0，所以－2(x1－x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝－2x＋3在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).

1.(原創(chuàng))函數(shù)f(x)＝3x＋m在(－∞，＋∞)上的單調(diào)性為(

)A.增函數(shù) B.減函數(shù)

C.由m的正負確定 D.無法確定A【試題分析】本題考查一次函數(shù)的單調(diào)性.對于一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0)，當(dāng)k＞0時，在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)k＜0時，在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).【解題過程】因為函數(shù)f(x)＝3x＋m的k＝3＞0，故在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，故選A.2.(改編)函數(shù)f(x)＝mx－3x＋4在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則m的取值范圍是(

)A.(－∞，0) B.(－∞，3)C.(0，＋∞) D.(3，＋∞)B【試題分析】本題考查一次函數(shù)的單調(diào)性.對于一次函數(shù)y＝kx＋b(k≠0).當(dāng)k＞0時，在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)；當(dāng)k＜0時，在(－∞，＋∞)上是減函數(shù).【解題過程】因為函數(shù)f(x)＝mx－3x＋4經(jīng)化簡為f(x)＝(m－3)x＋4，故k＝m－3，函數(shù)f(x)＝mx－3x＋4在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，所以k＝m－3＜0，所以m＜3.故選B.3.(改編)函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋3的單調(diào)遞增區(qū)間為(

)A.[－1，＋∞) B.[1，＋∞)C.(－∞，－1] D.(－∞，1]A

【解題過程】對于二次函數(shù)f(x)＝x2＋2x＋3，它的對稱軸方程為x＝－1，而a＝1＞0，所以當(dāng)x≥－1時，它是增函數(shù)，即[－1，＋∞)是它的單調(diào)遞增區(qū)間，故選A.

D

【解題過程】一次函數(shù)f(x)＝x＋2在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，在分段區(qū)域x≤－1上也是增函數(shù)；二次函數(shù)f(x)＝x2在(－∞，0]上減函數(shù)，而其分段區(qū)域為x＞－1，故此函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(－1，0]，故選D.

減

6.(原創(chuàng))如圖所示函數(shù)f(x)，x∈[－4，7]，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為____________________.

【試題分析】本題考查函數(shù)圖像的幾何特征.結(jié)合圖像的上升趨勢，可判斷出其增區(qū)間.【解題過程】結(jié)合圖像可知在[