高中數(shù)學(xué)函數(shù)專題專項練習(xí)引言函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的核心主線，貫穿導(dǎo)數(shù)、不等式、數(shù)列、解析幾何等多個模塊，也是高考的高頻考點（占比約15%-20%）。本專項練習(xí)圍繞函數(shù)的核心概念（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、零點）、重要類型（二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)）及圖像變換展開，通過考點分析-典型例題-專項練習(xí)-答案解析的結(jié)構(gòu)，幫助學(xué)生系統(tǒng)鞏固函數(shù)知識，提升解題能力。一、函數(shù)的定義域與值域（一）考點分析1.定義域：自變量\(x\)的取值范圍，需滿足：分式分母不為0；偶次根式被開方數(shù)非負；對數(shù)真數(shù)大于0；復(fù)合函數(shù)（如\(f(g(x))\)）需保證內(nèi)層函數(shù)的值域在外部函數(shù)的定義域內(nèi)。2.值域：函數(shù)值的集合，常用方法：配方法（二次函數(shù)）；換元法（含根號的一次式，如\(\sqrt{ax+b}\)）；單調(diào)性法（單調(diào)函數(shù)在區(qū)間端點取最值）；判別式法（分式二次函數(shù)，如\(\frac{ax^2+bx+c}{dx^2+ex+f}\)）；幾何法（如\(y=x+\sqrt{1-x^2}\)可設(shè)\(x=\sin\theta\)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)）。（二）典型例題例1（定義域）：求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{2x-1}+\frac{1}{\ln(3-x)}\)的定義域。解題思路：根號部分：\(2x-1\geq0\Rightarrowx\geq\frac{1}{2}\)；對數(shù)部分：\(\ln(3-x)\neq0\Rightarrow3-x\neq1\Rightarrowx\neq2\)；對數(shù)真數(shù)：\(3-x>0\Rightarrowx<3\)。結(jié)論：定義域為\([\frac{1}{2},2)\cup(2,3)\)。例2（值域）：求函數(shù)\(f(x)=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解題思路：設(shè)\(t=\sqrt{1-2x}\)（\(t\geq0\)），則\(x=\frac{1-t^2}{2}\)，代入得：\[f(t)=\frac{1-t^2}{2}+t=-\frac{1}{2}t^2+t+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(t-1)^2+1\]二次函數(shù)開口向下，頂點在\(t=1\)時取得最大值1；\(t\geq0\)，故值域為\((-\infty,1]\)。（三）專項練習(xí)1.求\(f(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{\ln(1-x)}\)的定義域；2.求\(f(x)=\log_2(|x|-1)\)的定義域；3.求\(f(x)=\sqrt{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)}\)的定義域；4.求\(f(x)=x^2-4x+5\)（\(x\in[0,3]\)）的值域；5.求\(f(x)=\frac{2x+1}{x-1}\)的值域；6.求\(f(x)=\sin^2x+\cosx+1\)的值域。（四）答案解析1.定義域：\(x+2\geq0\Rightarrowx\geq-2\)；\(\ln(1-x)\neq0\Rightarrowx\neq0\)；\(1-x>0\Rightarrowx<1\)。故\(x\in[-2,0)\cup(0,1)\)。2.定義域：\(|x|-1>0\Rightarrowx>1\)或\(x<-1\)。故\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)。3.定義域：\(\log_{\frac{1}{2}}(x-1)\geq0\Rightarrow0<x-1\leq1\Rightarrow1<x\leq2\)。故\((1,2]\)。4.值域：配方得\(f(x)=(x-2)^2+1\)，\(x\in[0,3]\)。頂點在\(x=2\)時取最小值1，\(x=0\)時取最大值5。故\([1,5]\)。5.值域：分離常數(shù)得\(f(x)=2+\frac{3}{x-1}\)，\(\frac{3}{x-1}\neq0\)，故\((-\infty,2)\cup(2,+\infty)\)。6.值域：令\(t=\cosx\)（\(t\in[-1,1]\)），則\(f(t)=-t^2+t+2=-(t-\frac{1}{2})^2+\frac{9}{4}\)。最大值\(\frac{9}{4}\)（\(t=\frac{1}{2}\)），最小值0（\(t=-1\)）。故\([0,\frac{9}{4}]\)。二、函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性（一）考點分析1.單調(diào)性：定義：區(qū)間\(I\)內(nèi)任意\(x_1<x_2\)，若\(f(x_1)<f(x_2)\)（增函數(shù)）或\(f(x_1)>f(x_2)\)（減函數(shù)）；判定：定義法（作差比較）、導(dǎo)數(shù)法（\(f'(x)>0\)增，\(f'(x)<0\)減）、復(fù)合函數(shù)（同增異減）。2.奇偶性：前提：定義域關(guān)于原點對稱；定義：偶函數(shù)（\(f(-x)=f(x)\)，圖像關(guān)于\(y\)軸對稱）、奇函數(shù)（\(f(-x)=-f(x)\)，圖像關(guān)于原點對稱）。（二）典型例題例1（單調(diào)性證明）：證明\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。解題思路：任取\(1<x_1<x_2\)，作差：\[f(x_2)-f(x_1)=(x_2+\frac{1}{x_2})-(x_1+\frac{1}{x_1})=(x_2-x_1)+\frac{x_1-x_2}{x_1x_2}=(x_2-x_1)(1-\frac{1}{x_1x_2})\]\(x_2-x_1>0\)；\(x_1x_2>1\Rightarrow1-\frac{1}{x_1x_2}>0\)；故\(f(x_2)-f(x_1)>0\)，即\(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上遞增。例2（奇偶性判斷）：判斷\(f(x)=|x|(x^2-1)\)的奇偶性。解題思路：定義域：\(R\)，關(guān)于原點對稱；計算\(f(-x)=|-x|((-x)^2-1)=|x|(x^2-1)=f(x)\)；故\(f(x)\)是偶函數(shù)。（三）專項練習(xí)1.用定義法證明\(f(x)=-x^2+2x\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞減；2.求\(f(x)=\log_3(x^2-2x)\)的單調(diào)遞增區(qū)間；3.判斷\(f(x)=\frac{x^3}{1+x^2}\)的奇偶性；4.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上遞增，求\(f(2x-1)<f(x+3)\)的解集；5.已知\(f(x)=ax^2+bx+c\)是偶函數(shù)，求\(b\)的值。（四）答案解析1.證明：任取\(1<x_1<x_2\)，\(f(x_2)-f(x_1)=-(x_2^2-x_1^2)+2(x_2-x_1)=-(x_2-x_1)(x_2+x_1)+2(x_2-x_1)=(x_2-x_1)(2-x_1-x_2)\)。\(x_2-x_1>0\)，\(x_1+x_2>2\Rightarrow2-x_1-x_2<0\)，故\(f(x_2)-f(x_1)<0\)，遞減。2.單調(diào)遞增區(qū)間：定義域\(x^2-2x>0\Rightarrowx<0\)或\(x>2\)。內(nèi)層函數(shù)\(t=x^2-2x\)在\((2,+\infty)\)上遞增，外層函數(shù)\(\log_3t\)遞增，故復(fù)合函數(shù)遞增區(qū)間為\((2,+\infty)\)。3.奇偶性：定義域\(R\)，\(f(-x)=\frac{(-x)^3}{1+(-x)^2}=-\frac{x^3}{1+x^2}=-f(x)\)，故奇函數(shù)。4.解集：\(f(x)\)是奇函數(shù)且在\((0,+\infty)\)遞增，故在\((-\infty,0)\)也遞增。不等式等價于\(2x-1<x+3\)且\(2x-1\neq0\)（避免\(f(0)=0\)），解得\(x<4\)且\(x\neq\frac{1}{2}\)。5.\(b\)的值：偶函數(shù)滿足\(f(-x)=f(x)\)，即\(a(-x)^2+b(-x)+c=ax^2+bx+c\Rightarrow-bx=bx\Rightarrowb=0\)。三、函數(shù)的圖像與變換（一）考點分析1.基本變換：平移：左加右減（\(x\)軸）、上加下減（\(y\)軸）；伸縮：橫坐標伸縮\(k\)倍（\(x\to\frac{x}{k}\)）、縱坐標伸縮\(k\)倍（\(y\toky\)）；對稱：關(guān)于\(x\)軸（\(y\to-y\)）、關(guān)于\(y\)軸（\(x\to-x\)）、關(guān)于原點（\(x\to-x,y\to-y\)）、關(guān)于直線\(y=x\)（反函數(shù)）。2.圖像識別：根據(jù)函數(shù)性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、定點）判斷圖像。（二）典型例題例1（平移變換）：求\(f(x)=2^{x+1}-3\)的圖像由\(f(x)=2^x\)經(jīng)過怎樣的變換得到。解題思路：\(2^{x+1}=2\cdot2^x\)：先將\(2^x\)的圖像縱坐標伸長2倍；再減3：將圖像向下平移3個單位。（或先左移1個單位，再下移3個單位：\(2^{x+1}-3=2^{(x+1)}-3\)）。例2（對稱變換）：求\(f(x)=\ln(x-1)\)關(guān)于\(y\)軸對稱的函數(shù)解析式。解題思路：關(guān)于\(y\)軸對稱，\(x\to-x\)，故對稱函數(shù)為\(f(-x)=\ln(-x-1)\)。（三）專項練習(xí)1.求\(f(x)=3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的圖像由\(f(x)=\sinx\)經(jīng)過怎樣的變換得到；2.求\(f(x)=|x-2|+1\)的圖像與\(f(x)=|x|\)的關(guān)系；3.已知\(f(x)\)的圖像關(guān)于原點對稱，且\(f(1)=2\)，求\(f(-1)\)；4.函數(shù)\(f(x)=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)）的圖像過點\((1,2)\)，求其反函數(shù)圖像過的點；5.畫出\(f(x)=x^2-2x+3\)（\(x\in[0,3]\)）的圖像，并指出頂點坐標。（四）答案解析1.變換步驟：\(\sinx\to\sin(2x)\)（橫坐標縮短為原來的\(\frac{1}{2}\)）\(\to\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)（左移\(\frac{\pi}{6}\)個單位）\(\to3\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)（縱坐標伸長3倍）。2.關(guān)系：\(f(x)=|x-2|+1=|(x-2)|+1\)，故由\(|x|\)的圖像右移2個單位，上移1個單位得到。3.\(f(-1)\)：關(guān)于原點對稱，\(f(-1)=-f(1)=-2\)。4.反函數(shù)過點：\(f(x)=2^x\)，反函數(shù)為\(f^{-1}(x)=\log_2x\)，過點\((2,1)\)（原函數(shù)過\((1,2)\)，反函數(shù)過\((2,1)\)）。5.圖像與頂點：\(f(x)=(x-1)^2+2\)，頂點坐標\((1,2)\)，\(x\in[0,3]\)時，圖像為拋物線的一部分，端點\((0,3)\)、\((3,6)\)。四、二次函數(shù)與冪函數(shù)（一）考點分析1.二次函數(shù)：解析式：一般式（\(ax^2+bx+c\)）、頂點式（\(a(x-h)^2+k\)）、交點式（\(a(x-x_1)(x-x_2)\)）；性質(zhì)：開口方向（\(a>0\)向上，\(a<0\)向下）、對稱軸（\(x=-\frac{2a}\)）、頂點（\((h,k)\)）、最值（\(k\)）。2.冪函數(shù)：定義：\(y=x^\alpha\)（\(\alpha\)為常數(shù)）；性質(zhì)：定義域（如\(\alpha=\frac{1}{2}\)時\(x\geq0\)，\(\alpha=-1\)時\(x\neq0\)）、奇偶性（\(\alpha\)為整數(shù)時，奇整數(shù)為奇函數(shù)，偶整數(shù)為偶函數(shù)）、單調(diào)性（\(\alpha>0\)時在\((0,+\infty)\)遞增，\(\alpha<0\)時遞減）。（二）典型例題例1（二次函數(shù)解析式）：已知二次函數(shù)頂點為\((1,2)\)，且過點\((2,3)\)，求解析式。解題思路：設(shè)頂點式\(f(x)=a(x-1)^2+2\)，代入點\((2,3)\)得\(3=a(2-1)^2+2\Rightarrowa=1\)，故\(f(x)=(x-1)^2+2=x^2-2x+3\)。例2（冪函數(shù)比較大?。罕容^\(2^{\frac{1}{2}}\)、\(3^{\frac{1}{3}}\)、\(5^{\frac{1}{5}}\)的大小。解題思路：取60次方（最小公倍數(shù)）：\((2^{\frac{1}{2}})^{60}=2^{30}\)；\((3^{\frac{1}{3}})^{60}=3^{20}\)；\((5^{\frac{1}{5}})^{60}=5^{12}\)；計算得\(3^{20}>2^{30}>5^{12}\)，故\(3^{\frac{1}{3}}>2^{\frac{1}{2}}>5^{\frac{1}{5}}\)。（三）專項練習(xí)1.已知二次函數(shù)過點\((0,1)\)、\((1,2)\)、\((2,5)\)，求解析式；2.求\(f(x)=-x^2+4x-3\)的頂點坐標及最大值；3.求冪函數(shù)\(y=x^\alpha\)過點\((2,8)\)，求\(\alpha\)的值；4.比較\(0.5^2\)、\(2^{0.5}\)、\(\log_20.5\)的大??；5.求\(f(x)=x^2-2x+3\)在\(x\in[a,a+1]\)上的最小值（分類討論）。（四）答案解析1.解析式：設(shè)一般式\(f(x)=ax^2+bx+c\)，代入得\(\begin{cases}c=1\\a+b+c=2\\4a+2b+c=5\end{cases}\)，解得\(a=1,b=0,c=1\)，故\(f(x)=x^2+1\)。2.頂點與最大值：配方得\(f(x)=-(x-2)^2+1\)，頂點\((2,1)\)，最大值1。3.\(\alpha\)的值：\(2^\alpha=8\Rightarrow\alpha=3\)。4.大小比較：\(0.5^2=0.25\)，\(2^{0.5}=\sqrt{2}\approx1.414\)，\(\log_20.5=-1\)，故\(\log_20.5<0.5^2<2^{0.5}\)。5.最小值：對稱軸\(x=1\)。若\(a+1\leq1\Rightarrowa\leq0\)，最小值在\(x=a+1\)處，\(f(a+1)=(a+1)^2-2(a+1)+3=a^2+2\)；若\(a\geq1\)，最小值在\(x=a\)處，\(f(a)=a^2-2a+3\)；若\(0<a<1\)，最小值在頂點\(x=1\)處，\(f(1)=2\)。五、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)（一）考點分析1.指數(shù)函數(shù)：\(y=a^x\)（\(a>0,a\neq1\)）；性質(zhì)：過定點\((0,1)\)；\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減。2.對數(shù)函數(shù)：\(y=\log_ax\)（\(a>0,a\neq1\)）；性質(zhì)：過定點\((1,0)\)；\(a>1\)時遞增，\(0<a<1\)時遞減；運算：\(\log_a(MN)=\log_aM+\log_aN\)；\(\log_a\frac{M}{N}=\log_aM-\log_aN\)；\(\log_aM^n=n\log_aM\)；換底公式\(\log_ab=\frac{\log_cb}{\log_ca}\)。（二）典型例題例1（指數(shù)方程）：解方程\(2^{x+1}=4^{x-1}\)。解題思路：將\(4^{x-1}=2^{2(x-1)}=2^{2x-2}\)，方程化為\(2^{x+1}=2^{2x-2}\)，故\(x+1=2x-2\Rightarrowx=3\)。例2（對數(shù)不等式）：解\(\log_2(x-1)<1\)。解題思路：\(\log_2(x-1)<\log_22\)，因\(\log_2x\)遞增，故\(0<x-1<2\Rightarrow1<x<3\)。（三）專項練習(xí)1.計算\(2^{\log_23}+\log_39-\log_2\frac{1}{4}\)；2.解方程\(3^{2x}-5\cdot3^x+6=0\)；3.解不等式\(\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\geq0\)；4.比較\(0.8^{0.5}\)、\(0.9^{0.5}\)、\(\log_{0.9}0.8\)的大??；5.已知\(a=\log_32\)，\(b=\log_53\)，\(c=2^{0.3}\)，比較\(a,b,c\)的大小。（四）答案解析1.計算：\(2^{\log_23}=3\)；\(\log_39=2\)；\(\log_2\frac{1}{4}=-2\)，故總和為\(3+2-(-2)=7\)。2.解方程：設(shè)\(t=3^x\)（\(t>0\)），方程化為\(t^2-5t+6=0\)，解得\(t=2\)或\(t=3\)，故\(x=\log_32\)或\(x=1\)。3.解不等式：\(\log_{\frac{1}{2}}(x+1)\geq\log_{\frac{1}{2}}1\)，因\(\log_{\frac{1}{2}}x\)遞減，故\(0<x+1\leq1\Rightarrow-1<x\leq0\)。4.大小比較：\(0.8^{0.5}<0.9^{0.5}<1\)（冪函數(shù)\(y=x^{0.5}\)遞增）；\(\log_{0.9}0.8>1\)（對數(shù)函數(shù)\(\log_{0.9}x\)遞減，\(0.8<0.9\Rightarrow\log_{0.9}0.8>\log_{0.9}0.9=1\)），故\(0.8^{0.5}<0.9^{0.5}<\log_{0.9}0.8\)。5.大小比較：\(a=\log_32<1\)，\(b=\log_53<1\)，\(c=2^{0.3}>1\)；\(a=\frac{\ln2}{\ln3}\approx0.631\)，\(b=\frac{\ln3}{\ln5}\approx0.683\)，故\(a<b<c\)。六、函數(shù)的零點與方程根的關(guān)系（一）考點分析1.零點定義：函數(shù)\(f(x)\)的零點即方程\(f(x)=0\)的根；2.零點存在定理：連續(xù)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)滿足\(f(a)f(b)<0\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)有至少一個零點；3.零點個數(shù)：結(jié)合函數(shù)單調(diào)性（單調(diào)函數(shù)至多一個零點）、圖像（如二次函數(shù)判別式\(\Delta>0\)時有兩個零點）判斷。（二）典型例題例1（零點存在性）：判斷\(f(x)=x^3-3x+1\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)是否有零點。解題思路：\(f(1)=1-3+1=-1<0\)；\(f(2)=8-6+1=3>0\)；\(f(x)\)在\(R\)上連續(xù)，故由零點存在定理，\((1,2)\)內(nèi)有零點。例2（零點個數(shù)）：求\(f(x)=|x|-2\)的零點個數(shù)。解題思路：令\(|x|-2=0\Rightarrowx=\pm2\)，故有2個零點。（三）專項練習(xí)1.判斷\(f(x)=\lnx+x-2\)在區(qū)間\((1,2)\)內(nèi)是否有零點；2.求\(f(x)=x^2-2x-3\)的零點；3.求\(f(x)=2^x+x-1\)的零點個數(shù)；4.用二分法求\(f(x)=x^3-2x-1\)在區(qū)間\((1,2)\)