1．1.1正弦定理(一)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度的關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法.2.能運(yùn)用正弦定理與三角形的內(nèi)角和定理解決簡(jiǎn)單的解三角形問(wèn)題．知識(shí)點(diǎn)一正弦定理1．正弦定理的表示文字語(yǔ)言在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比都相等，該比值為三角形外接圓的直徑符號(hào)語(yǔ)言在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R2.正弦定理的常見(jiàn)變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，其中R為△ABC外接圓的半徑．(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)(R為△ABC外接圓的半徑)．(3)三角形的邊長(zhǎng)之比等于對(duì)應(yīng)角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).(5)asinB＝bsinA，asinC＝csinA，bsinC＝csinB.3．正弦定理的證明(1)在Rt△ABC中，設(shè)C為直角，如圖，由三角函數(shù)的定義：sinA＝eq\f(a,c)，sinB＝eq\f(b,c)，∴c＝eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sin90°)＝eq\f(c,sinC)，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)．(2)在銳角三角形ABC中，設(shè)AB邊上的高為CD，如圖，CD＝asin__B＝bsin__A，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，同理，作AC邊上的高BE，可得eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).過(guò)B作BD⊥AC于D，則BD＝asin(π－C)＝asin__C，BD＝csin__A，故有asinC＝csin__A，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，同理，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).思考下列有關(guān)正弦定理的敘述：①正弦定理只適用于銳角三角形；②正弦定理不適用于直角三角形；③在某一確定的三角形中，各邊與它所對(duì)角的正弦的比是一定值；④在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝BC∶AC∶AB.其中正確的個(gè)數(shù)有()A．1B．2C．3D．4答案B解析正弦定理適用于任意三角形，故①②均不正確；由正弦定理可知，三角形一旦確定，則各邊與其所對(duì)角的正弦的比值也就確定了，所以③正確；由正弦定理可知④正確．故選B.知識(shí)點(diǎn)二解三角形一般地，把三角形的三個(gè)角A，B，C和它們的對(duì)邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做解三角形．思考正弦定理能解決哪些問(wèn)題？答案利用正弦定理可以解決以下兩類(lèi)有關(guān)三角形的問(wèn)題：①已知兩角和任意一邊，求其他兩邊和第三個(gè)角；②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，從而求出其他的邊和角．題型一對(duì)正弦定理的理解例1在△ABC中，若角A，B，C對(duì)應(yīng)的三邊分別是a，b，c，則下列關(guān)于正弦定理的敘述或變形中錯(cuò)誤的是()A．a(chǎn)∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinCB．a(chǎn)＝b?sin2A＝sin2BC.eq\f(a,sinA)＝eq\f(b＋c,sinB＋sinC)D．正弦值較大的角所對(duì)的邊也較大答案B解析在△ABC中，由正弦定理得eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝k(k>0)，則a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，故a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC，故A正確．當(dāng)A＝30°，B＝60°時(shí)，sin2A＝sin2B，此時(shí)a≠b，故B錯(cuò)誤．根據(jù)比例式的性質(zhì)易得C正確．大邊對(duì)大角，故D正確．反思與感悟(1)定理的內(nèi)容：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，在運(yùn)用正弦定理進(jìn)行判斷時(shí)，要靈活使用定理的各種變形．(2)如果eq\f(a,b)＝eq\f(c,d)，那么eq\f(a＋b,b)＝eq\f(c＋d,d)(b，d≠0)(合比定理)；eq\f(a－b,b)＝eq\f(c－d,d)(b，d≠0)(分比定理)；eq\f(a＋b,a－b)＝eq\f(c＋d,c－d)(a>b，c>d)(合分比定理)；可以推廣為：如果eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)，那么eq\f(a1,b1)＝eq\f(a2,b2)＝…＝eq\f(an,bn)＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,b1＋b2＋…＋bn).跟蹤訓(xùn)練1在△ABC中，下列關(guān)系一定成立的是()A．a(chǎn)>bsinAB．a(chǎn)＝bsinAC．a(chǎn)<bsinAD．a(chǎn)≥bsinA答案D解析在△ABC中，B∈(0，π)，∴sinB∈(0，1]，∴eq\f(1,sinB)≥1，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得a＝eq\f(bsinA,sinB)≥bsinA.題型二用正弦定理解三角形例2(1)在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個(gè)三角形．(2)在△ABC中，已知c＝eq\r(6)，A＝45°，a＝2，解這個(gè)三角形．解(1)∵A＝45°，C＝30°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得a＝eq\f(csinA,sinC)＝eq\f(10×sin45°,sin30°)＝10eq\r(2).∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝eq\f(\r(2)＋\r(6),4)，∴b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(csin（A＋C）,sinC)＝eq\f(10×sin75°,sin30°)＝20×eq\f(\r(2)＋\r(6),4)＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).∴B＝105°，a＝10eq\r(2)，b＝5eq\r(2)＋5eq\r(6).(2)∵eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，∴sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(\r(6)×sin45°,2)＝eq\f(\r(3),2)，∵C∈(0°，180°)，∴C＝60°或C＝120°.當(dāng)C＝60°時(shí)，B＝75°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin75°,sin60°)＝eq\r(3)＋1；當(dāng)C＝120°時(shí)，B＝15°，b＝eq\f(csinB,sinC)＝eq\f(\r(6)sin15°,sin120°)＝eq\r(3)－1.∴b＝eq\r(3)＋1，B＝75°，C＝60°或b＝eq\r(3)－1，B＝15°，C＝120°.反思與感悟(1)已知兩角與任意一邊解三角形的方法．首先由三角形內(nèi)角和定理可以計(jì)算出三角形的另一角，再由正弦定理可計(jì)算出三角形的另兩邊．(2)已知三角形兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形的方法．首先用正弦定理求出另一邊所對(duì)的角的正弦值，若這個(gè)角不是直角，當(dāng)已知的角為大邊所對(duì)的角時(shí)，則能判斷另一邊所對(duì)的角為銳角，當(dāng)已知的角為小邊所對(duì)的角時(shí)，則不能判斷，此時(shí)就有兩組解，再分別求解即可；然后由三角形內(nèi)角和定理求出第三個(gè)角；最后根據(jù)正弦定理求出第三條邊．跟蹤訓(xùn)練2(1)在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()A．4eq\r(2)B．4eq\r(3)C．4eq\r(6)D．4(2)在△ABC中，若a＝eq\r(2)，b＝2，A＝30°，則C＝______．答案(1)C(2)105°或15°解析(1)易知A＝45°，由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(8·\f(\r(3),2),\f(\r(2),2))＝4eq\r(6).(2)由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得sinB＝eq\f(bsinA,a)＝eq\f(2sin30°,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°或135°，∴C＝180°－45°－30°＝105°或C＝180°－135°－30°＝15°.題型三判斷三角形的形狀例3在△ABC中，已知a2tanB＝b2tanA，試判斷三角形的形狀．解由已知得eq\f(a2sinB,cosB)＝eq\f(b2sinA,cosA)，由正弦定理得eq\f(sin2AsinB,cosB)＝eq\f(sin2BsinA,cosA).∵sinA、sinB≠0，∴sinAcosA＝sinBcosB.即sin2A＝sin2B.∴2A＋2B＝π或2A＝2B.∴A＋B＝eq\f(π,2)或A＝B.∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．反思與感悟(1)判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行，既可以轉(zhuǎn)化為邊與邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為角與角的關(guān)系．(2)注意在邊角互化過(guò)程中，正弦定理的變形使用，如eq\f(a,b)＝eq\f(sinA,sinB)等．跟蹤訓(xùn)練3在△ABC中，bsinB＝csinC且sin2A＝sin2B＋sin2C，試判斷三角形的形狀．解由bsinB＝csinC，得b2＝c2，∴b＝c，∴△ABC為等腰三角形，由sin2A＝sin2B＋sin2C得a2＝b2＋c2，∴△ABC為直角三角形，∴△ABC為等腰直角三角形．1．在△ABC中，AB＝c，AC＝b，BC＝a，下列等式中總能成立的是()A．a(chǎn)sinA＝bsinBB．bsinC＝csinAC．a(chǎn)bsinC＝bcsinBD．a(chǎn)sinC＝csinA答案D解析由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)，得asinC＝csinA.2．在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知a＝eq\r(2)，b＝eq\r(3)，B＝60°，那么A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°答案C解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)得sinA＝eq\f(asinB,b)＝eq\f(\r(2)×\f(\r(3),2),\r(3))＝eq\f(\r(2),2)，∴A＝45°或135°.又∵a<b，∴A<B，∴A＝45°.3．在銳角三角形ABC中，角A，B所對(duì)的邊分別為a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，則A等于()A.eq\f(π,12)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,3)答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，又∵sinB≠0，∴sinA＝eq\f(\r(3),2).又A為銳角，∴A＝eq\f(π,3).4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)＝eq\f(cosC,c)，則△ABC是()A．等邊三角形B．直角三角形，且有一個(gè)角是30°C．等腰直角三角形D．等腰三角形，且有一個(gè)角是30°答案C解析由題acosB＝bsinA，又由正弦定理asinB＝bsinA，∴sinB＝cosB，又∵B∈(0°，180°)，∴B＝45°.同理C＝45°.故△ABC為等腰直角三角形．5．在△ABC中，∠A＝eq\f(2π,3)，a＝eq\r(3)c，則eq\f(b,c)＝________．答案1解析由eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)得sinC＝eq\f(csinA,a)＝eq\f(1,\r(3))×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)，又0＜C＜eq\f(π,3)，所以C＝eq\f(π,6)，B＝π－(A＋C)＝eq\f(π,6).所以eq\f(b,c)＝eq\f(sinB,sinC)＝eq\f(sin\f(π,6),sin\f(π,6))＝1.6．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則sinA＝______，a＝________．答案eq\f(2\r(5),5)2eq\r(10)解析由tanA＝2，得sinA＝2cosA，由sin2A＋cos2A＝1，得sinA＝eq\f(2\r(5),5)，∵b＝5，B＝eq\f(π,4)，由正弦定理eq\f(a,sinA)