高二年級數(shù)學導數(shù)的計算隨堂作業(yè)一、基本初等函數(shù)的導數(shù)計算（共3題）求函數(shù)f(x)=5x^3-2x+7的導數(shù)。答案：f^\prime(x)=15x^2-2解析：根據(jù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式，冪函數(shù)y=x^n的導數(shù)為y^\prime=nx^{n-1}，常數(shù)函數(shù)的導數(shù)為0。對于函數(shù)f(x)=5x^3-2x+7，其中5x^3的導數(shù)為5\times3x^{3-1}=15x^2；-2x的導數(shù)為-2\times1x^{1-1}=-2；常數(shù)項7的導數(shù)為0。所以f^\prime(x)=15x^2-2。計算函數(shù)g(x)=\sinx+\cosx的導數(shù)。答案：g^\prime(x)=\cosx-\sinx解析：我們知道正弦函數(shù)\sinx的導數(shù)是\cosx，余弦函數(shù)\cosx的導數(shù)是-\sinx。對于函數(shù)g(x)=\sinx+\cosx，根據(jù)導數(shù)的加法法則，兩個函數(shù)和的導數(shù)等于它們導數(shù)的和，所以g^\prime(x)=(\sinx)^\prime+(\cosx)^\prime=\cosx+(-\sinx)=\cosx-\sinx。求函數(shù)h(x)=e^x+\lnx的導數(shù)。答案：h^\prime(x)=e^x+\frac{1}{x}解析：指數(shù)函數(shù)e^x的導數(shù)是其本身，即(e^x)^\prime=e^x；對數(shù)函數(shù)\lnx的導數(shù)是\frac{1}{x}。同樣根據(jù)導數(shù)的加法法則，函數(shù)h(x)=e^x+\lnx的導數(shù)h^\prime(x)=(e^x)^\prime+(\lnx)^\prime=e^x+\frac{1}{x}。二、導數(shù)的四則運算法則應(yīng)用（共3題）已知函數(shù)f(x)=(2x^2+3)(x-1)，求f^\prime(x)。答案：f^\prime(x)=6x^2-4x+3解析：本題可根據(jù)導數(shù)的乘法法則來計算，乘法法則是：若兩個函數(shù)u(x)、v(x)，則它們乘積的導數(shù)(u(x)v(x))^\prime=u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)。設(shè)u(x)=2x^2+3，v(x)=x-1。先求u^\prime(x)，根據(jù)冪函數(shù)導數(shù)公式，u^\prime(x)=(2x^2)^\prime+(3)^\prime=4x+0=4x。再求v^\prime(x)，v^\prime(x)=(x)^\prime-(1)^\prime=1-0=1。根據(jù)乘法法則可得：f^\prime(x)=u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)=4x(x-1)+(2x^2+3)\times1展開式子：4x^2-4x+2x^2+3=6x^2-4x+3。求函數(shù)g(x)=\frac{x^2}{x+1}的導數(shù)。答案：g^\prime(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}解析：這里運用導數(shù)的除法法則，除法法則為：若兩個函數(shù)u(x)、v(x)（v(x)\neq0），則它們商的導數(shù)(\frac{u(x)}{v(x)})^\prime=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}。設(shè)u(x)=x^2，v(x)=x+1。u^\prime(x)=(x^2)^\prime=2x。v^\prime(x)=(x+1)^\prime=1。根據(jù)除法法則：g^\prime(x)=\frac{u^\prime(x)v(x)-u(x)v^\prime(x)}{v^2(x)}=\frac{2x(x+1)-x^2\times1}{(x+1)^2}展開分子：2x^2+2x-x^2=x^2+2x，所以g^\prime(x)=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}。計算函數(shù)h(x)=x^3\sinx-\cosx的導數(shù)。答案：h^\prime(x)=3x^2\sinx+x^3\cosx+\sinx解析：本題涉及到導數(shù)的減法法則和乘法法則，減法法則是(u(x)-v(x))^\prime=u^\prime(x)-v^\prime(x)。對于x^3\sinx，設(shè)u(x)=x^3，v(x)=\sinx，根據(jù)乘法法則，其導數(shù)為u^\prime(x)v(x)+u(x)v^\prime(x)=3x^2\sinx+x^3\cosx。對于-\cosx，其導數(shù)為-(\cosx)^\prime=-(-\sinx)=\sinx。所以根據(jù)減法法則，h^\prime(x)=(x^3\sinx)^\prime-(\cosx)^\prime=3x^2\sinx+x^3\cosx+\sinx。三、復合函數(shù)的導數(shù)計算（共4題）求函數(shù)f(x)=(2x+1)^5的導數(shù)。答案：f^\prime(x)=10(2x+1)^4解析：復合函數(shù)求導遵循鏈式法則，即若y=f(g(x))，則y^\prime=f^\prime(g(x))\cdotg^\prime(x)。設(shè)u=2x+1，則f(x)=u^5。先對f(u)關(guān)于u求導，f^\prime(u)=5u^4。再對u關(guān)于x求導，u^\prime=2。根據(jù)鏈式法則，f^\prime(x)=f^\prime(u)\cdotu^\prime=5u^4\times2=10u^4=10(2x+1)^4。計算函數(shù)g(x)=\sin(3x^2-1)的導數(shù)。答案：g^\prime(x)=6x\cos(3x^2-1)解析：運用復合函數(shù)鏈式法則，設(shè)u=3x^2-1，則g(x)=\sinu。對g(u)=\sinu關(guān)于u求導，g^\prime(u)=\cosu。對u=3x^2-1關(guān)于x求導，u^\prime=6x。所以g^\prime(x)=g^\prime(u)\cdotu^\prime=\cosu\times6x=6x\cos(3x^2-1)。求函數(shù)h(x)=e^{x^2+2x}的導數(shù)。答案：h^\prime(x)=(2x+2)e^{x^2+2x}解析：設(shè)u=x^2+2x，則h(x)=e^u。對h(u)=e^u關(guān)于u求導，h^\prime(u)=e^u。對u=x^2+2x關(guān)于x求導，u^\prime=2x+2。根據(jù)鏈式法則，h^\prime(x)=h^\prime(u)\cdotu^\prime=e^u\times(2x+2)=(2x+2)e^{x^2+2x}。計算函數(shù)k(x)=\ln(\sqrt{x^2+1})的導數(shù)。答案：k^\prime(x)=\frac{x}{x^2+1}解析：先對函數(shù)進行化簡，\ln(\sqrt{x^2+1})=\ln((x^2+1)^{\frac{1}{2}})=\frac{1}{2}\ln(x^2+1)，這樣可簡化求導過程。設(shè)u=x^2+1，則k(x)=\frac{1}{2}\lnu。對k(u)=\frac{1}{2}\lnu關(guān)于u求導，k^\prime(u)=\frac{1}{2}\times\frac{1}{u}=\frac{1}{2u}。對u=x^2+1關(guān)于x求導，u^\prime=2x。根據(jù)鏈式法則，k^\prime(x)=k^\prime(u)\cdotu^\prime=\frac{1}{2u}\times2x=\frac{x}{u}=\frac{x}{x^2+1}。四、綜合應(yīng)用（共2題）已知函數(shù)f(x)=x^2\lnx+\frac{\sinx}{x}，求f^\prime(x)。答案：f^\prime(x)=2x\lnx+x+\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}解析：這個函數(shù)是由兩個部分相加組成，分別是x^2\lnx和\frac{\sinx}{x}，我們可以分別求它們的導數(shù)，再根據(jù)加法法則相加。對于x^2\lnx，根據(jù)乘法法則，設(shè)u=x^2，v=\lnx，則其導數(shù)為u^\primev+uv^\prime=2x\lnx+x^2\times\frac{1}{x}=2x\lnx+x。對于\frac{\sinx}{x}，根據(jù)除法法則，設(shè)u=\sinx，v=x，則其導數(shù)為\frac{u^\primev-uv^\prime}{v^2}=\frac{\cosx\cdotx-\sinx\cdot1}{x^2}=\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}。所以f^\prime(x)=(x^2\lnx)^\prime+(\frac{\sinx}{x})^\prime=2x\lnx+x+\frac{x\cosx-\sinx}{x^2}。求函數(shù)g(x)=\sin^2(2x+\frac{\pi}{3})的導數(shù)。答案：g^\prime(x)=2\sin(4x+\frac{2\pi}{3})解析：該函數(shù)是多層復合函數(shù)，我們可以逐步運用鏈式法則求導。首先，設(shè)u=\sinv，v=2x+\frac{\pi}{3}，則g(x)=u^2。對g(x)=u^2關(guān)于u求導，g^\prime(u)=2u。對u=\sinv關(guān)于v求導，u^\prime(v)=\cosv。對v=2x+\frac{\pi}{3}關(guān)于x求導，v^\prime(x)=2。根據(jù)鏈式法則，g^\prime(x)=g^\prime(u)\cdotu^\prime(v)\cdotv^\prime(x)=2u\cdot\cosv\cdot2。將u=\sinv，v=2x+\frac{\pi}{3}代回，可得：2\sinv\cdot\cosv\cdot2=4\sinv\cosv。根據(jù)二