2025-2026學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第1章勾股定理》自主學(xué)習(xí)達(dá)標(biāo)測(cè)試題（附答案）一、單選題（滿分24分）1．下列各組數(shù)中，不能作為直角三角形的三邊長的是（

）A．5，2，3 B．7，24，25 C．6，8，10 D．9，12，152．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對(duì)邊分別是a，b，c，且a2?bA．∠C是直角 B．∠B是直角 C．∠A是直角 D．∠A是鈍角3．已知|x?12|+(y?5)2=0，如果以x，yA．2.5 B．5 C．7 D．134．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分別以AC，BC為邊作正方形．若AB=6，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（

A．64 B．36 C．12 D．65．如圖，在△ABC中，AD為BC邊上的中線，AD=2，BC=6，記AB=x，AC=y，當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（

）A．x+y B．x﹣y C．xy 6．將一根24cm長的筷子置于底面圓直徑為15cm、高為8cm的圓柱形水杯中，如圖，設(shè)筷子露在杯子外面的長度為?cm，則A．?≤17 B．7≤?≤16 C．15≤?≤16 D．?≤87．如圖，一根長為5m的梯子AB斜靠在一面豎直的墻AO上，這時(shí)AO的長為4m．如果梯子的頂端A沿墻下滑1m，那么梯子底端B外移的距離BD（A．等于1m B．大于1m C．小于18．如圖，∠BAC=∠DAF=90°,AB=AC,AD=AF，點(diǎn)D,E為BC邊上的兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，連結(jié)EF,BF，則下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②△ABE≌△ACD；③BE+DC>DE；④BE2+DA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（滿分24分）9．有一組勾股數(shù)，已知其中的兩個(gè)數(shù)分別是20和15，則第三個(gè)數(shù)是．10．直角三角形兩直角邊長分別為5和12，則它斜邊上的高為．11．已知a,b,c是△ABC的三邊長，若(c?7)2+|b?24|+(a?25)2=012．△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，則BC=13．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=2，AC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)E、D，連結(jié)CE，則△BCE的面積為14．《九章算術(shù)》中有一道題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”大致意思是：一根竹子高1丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3尺處，那么折斷處離地面的高度為尺．（1丈=10尺）15．如圖，在門上方離地面4.5m的墻上有一個(gè)由傳感器A控制的燈，任何東西只要移至該燈5m及5m內(nèi)，燈就會(huì)自動(dòng)發(fā)光．小明身高1.5m，他走到點(diǎn)D處時(shí)（即CD=1.5m），燈剛好發(fā)光，則BD=16．如圖是一個(gè)供滑板愛好者使用的U型池，該U型池可以看作是一個(gè)長方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長為18m的半圓，其邊緣AB=CD=30m，點(diǎn)E在CD上，CE=6m．一位滑板愛好者從點(diǎn)A出發(fā)滑到點(diǎn)E，則他滑行的最短距離為三、解答題（滿分72分）17．已知a=2n,b=n(1)當(dāng)n=5時(shí)，則以a,b,c的值為三邊長的三角形面積為_______；(2)小安猜想：當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，a,b,c為勾股數(shù)，你認(rèn)為小安的猜想正確嗎？請(qǐng)說明理由．18．為了綠化環(huán)境，我市某中學(xué)有一塊四邊形的空地ABCD，如圖所示，學(xué)校計(jì)劃在空地上種植草皮，經(jīng)測(cè)量∠B=90°,AB=4m,DA=12m,19．如圖，在一個(gè)長為20米、寬為18米的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，已知該木塊的較長邊和草地寬AD平行，橫截面是邊長為2米的正方形，一只螞蟻從點(diǎn)A處，爬過木塊到達(dá)點(diǎn)C處需要走的最短路程是多少米？20．如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的高度相等的墻，一架梯子斜靠在左墻時(shí)，梯子底端O到左墻角的距離OC為0.7米，頂端距離地面的距離BC為2.4米．如果保持梯子底端位置不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻時(shí)，梯子底端到右墻角的距離OF為1.5米，頂端距離墻頂?shù)木嚯xDE為1米，則墻的高度為多少米?21．臺(tái)風(fēng)是一種自然災(zāi)害，它以臺(tái)風(fēng)中心為圓心在周圍上千米的范圍內(nèi)形成極端氣候，有極強(qiáng)的破壞力．如圖，有一臺(tái)風(fēng)中心沿東西方向AB由點(diǎn)A向點(diǎn)B移動(dòng)，已知點(diǎn)C為一海港，且點(diǎn)C與直線AB上兩點(diǎn)A，B的距離CA、CB分別為150km、200km，又AB=250km(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響嗎？為什么？(2)若臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的速度為20km/h，臺(tái)風(fēng)影響海港C持續(xù)的時(shí)間有多長？22．如圖1，AB∥CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在直線AB，CD上，連接EF，∠MEN=90°，點(diǎn)N在CD上．(1)若∠BEN=20°，求∠AEM的度數(shù)；(2)若EN平分∠BEF交CD于點(diǎn)N，求證：點(diǎn)F是MN的中點(diǎn)；(3)如圖2，過點(diǎn)F作FH⊥CD交EN于點(diǎn)H，猜想線段EM，EH，HN有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．23．著名的趙爽弦圖（如圖1，其中四個(gè)直角三角形較大的直角邊長都為a，較小的直角邊長都為b，斜邊長都為c），大正方形的面積可以表示為c2，也可以表示為4×12ab+a?b2，由此推導(dǎo)出重要的勾股定理：如果直角三角形的兩條直角邊長為a、(1)如圖2為美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的“總統(tǒng)證法”，請(qǐng)你利用圖2推導(dǎo)勾股定理；(2)如圖3，在一條東西走向河流的一側(cè)有一村莊C，河邊原有兩個(gè)取水點(diǎn)A、B，AB=AC，由于某種原因，由C到A的路現(xiàn)在已經(jīng)不通，該村為方便村民取水決定在河邊新建一個(gè)取水點(diǎn)H（A、H、B在同一條直線上），并新修一條路CH，且CH⊥AB．測(cè)得CH=0.8千米，HB=0.4千米，求新路CH比原路CA短多少千米？參考答案1．解：A：∵2B：∵7C：∵6D：∵9故選：A．2．C【分析】本題考查了勾股定理逆定理，熟練掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵；將a2?b【詳解】由a2?b∴△ABC是直角三角形，且∠A是直角．故選：C．3．D【分析】?jī)蓚€(gè)非負(fù)的數(shù)相加為零，它們均為零，求出x,y，再根據(jù)勾股定理即可求出答案．【詳解】由題意知，x?12=0,解得，x=12,y=5，在直角三角形中，由勾股定理知，x2∴x∴斜邊長為13，故選：D．4．B【分析】本題考查的是勾股定理，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a,b，斜邊長為c，那么根據(jù)勾股定理、正方形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AB=6由勾股定理得：AC∴正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為36，故選：B．5．D【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行運(yùn)算，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．先證明△CDE和△BDA全等，可得CE=AB=x,再由勾股定理得a2+b2=9，x【詳解】解：延長AD到E，使ED=AD=2，連接CE，過點(diǎn)C作CF⊥DE于點(diǎn)F，如圖所示：∵AD為BC邊上的中線，BC=6，∴CD=BD=1在△CDE和△BDA中，ED=AD∠CDE=∠BDA∴△CDE≌∴CE=AB=x，設(shè)CF=a，DF=b，∴EF=DE?DF=2?b，AF=AD+DF=2+b，在Rt△CDF中，由勾股定理得：C∴a2在Rt△CEF中，由勾股定理得：C∴x2在Rt△ACF中，由勾股定理得：A∴y2∴x2∵a2∴x2∴代數(shù)式x2+y故選：D．6．B【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最短；當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最長；分別求出h的最大值和最小值即可．【詳解】解：如圖1，當(dāng)筷子的底端在D點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最長，∴?最大如圖2，當(dāng)筷子的底端在A點(diǎn)時(shí)，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD=15cm，∴AB=17cm此時(shí)?最小∴h的取值范圍是7≤?≤16，故選：B．7．A【分析】本題考查正確運(yùn)用勾股定理．梯子的長是不變的，只要利用勾股定理解出梯子滑動(dòng)前和滑動(dòng)后的所構(gòu)成的兩直角三角形即可．【詳解】解：∵AO=4m，AC=1∴OC=AO?AC=4?1=3m在Rt△ABO中，根據(jù)勾股定理知，BO=3在Rt△COD中，根據(jù)勾股定理知，DO=4所以BD=DO?BO=1m故選：A．8．C【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理是解題的關(guān)鍵．利用已知條件證明三角形全等從而得出邊和角的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，再利用三角形的性質(zhì)判斷各個(gè)結(jié)論的正確性即可．【詳解】解：∵∠DAF=90°，∠DAE=45°，∴∠FAE=∠DAF=∠DAE=90°?45°=45°，在△AED與△AEF中，AE=AE∠DAE=∠FAE∴△AED≌△AEFSAS∴DE=EF，∵∠BAC=∠DAF=90°，∴∠BAC?∠BAD=∠DAF?∠BAD，∴∠CAD=∠BAF，在△ACD與△ABF中，AC=AB∠CAD=∠BAF∴△ACD≌△ABFSAS∴DC=BF，∠ABF=∠C，在△BEF中，BE+DC>EF，∴BE+DC>DE，故③正確；∴∠BAC=90°，∴∠ABC+∠C=90°，∴∠ABC+∠ABF=90°，∴∠EBF=90°，在Rt△BEF中，∠EBF=90°∴BE∴BE由題干條件無法證明出△ABE≌△ACD，綜上所述，其中正確的有①③④，共3個(gè)．故選C．9．25【分析】本題主要考查勾股數(shù)，勾股定理，分第三個(gè)數(shù)是直角邊和斜邊兩種情況解答求出第三個(gè)數(shù)，再根據(jù)勾股數(shù)判定即可求解，運(yùn)用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三個(gè)數(shù)為x，分兩種情況：當(dāng)x為直角邊時(shí)，有x2得x不是正整數(shù)，需舍去；當(dāng)x為斜邊時(shí)，有152解得x=25．綜上所述，第三個(gè)數(shù)為25．故答案為：25．10．60【分析】本題考查了勾股定理，利用三角形的面積求高，解題關(guān)鍵是求出斜邊長．先利用勾股定理求出斜邊長，再利用利用三角形的面積求出斜邊上的高．【詳解】解：設(shè)它斜邊上的高為?，∵直角三角形兩直角邊長分別為5和12，∴它斜邊長為13，這個(gè)直角三角形的面積為12解得：?=60故答案為：601311．解：∵c?72≥0，b?24≥0，a?25∴c?7=0解得c=7∵72+24∴c2∴△ABC是直角三角形．故答案為：直角三角形．12．解：∵AD是△ABC的高，∴△ABD和△ACD均為直角三角形，∠ADB=∠ADC=90°．在Rt△ABD中，由勾股定理得：即BD2解得BD=9（負(fù)值舍去）．在Rt△ACD中，由勾股定理得：即DC2解得DC=5（負(fù)值舍去）．分兩種情況討論：①當(dāng)AD在△ABC內(nèi)部時(shí)，BC=BD+DC=9+5=14;②當(dāng)AD在△ABC外部時(shí)，BC=BD?DC故答案為：14或4．13．3【分析】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得出CE=AE，故AB=BE+AE=BE+CE，設(shè)BE=x，則CE=AE=4?x，在Rt△CBE中根據(jù)勾股定理求出x【詳解】解：∵DE垂直平分AC，∴CE=AE，∴AB=BE+AE=BE+CE，設(shè)BE=x，則CE=AE=4?x，在Rt△CBE中，B∴2解得：x=3∴BE=3則△BCE的面積=1故答案為：3214．4.55【分析】本題考查勾股定理的應(yīng)用，設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，在直角三角形中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)折斷處離地面的高度為x尺，x2解得x=4.55，故答案為：4.55．15．4【分析】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練地掌握勾股定理．過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則人離墻的距離為CE，在Rt△ACE【詳解】解：如圖，傳感器A距地面的高度為AB=4.5m，人高CD=1.5過點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E，則人離墻的距離為CE，由題意可知AE=AB?BE=4.5?1.5=3(m)，當(dāng)人離傳感器A的距離AC=5m此時(shí)，在Rt△ACECE∴CE=4，∴BD=CE=4m即人走到離墻4m故答案為：4．16．30【分析】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用—最短路徑問題．通過將U型池的側(cè)面展開成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理求最短路徑是解題的關(guān)鍵．將半圓面展開，連接AE．則AE是最短距離，然后利用勾股定理求解即可．【詳解】將半圓面展開如答圖所示，連接AE．根據(jù)題意，得AD=18m,AB=CD=30m在Rt△ADE中，由勾股定理，得AE=30m所以他滑行的最短距離為30m．故答案為：30．17．(1)120(2)小安的猜想正確，理由見解析【分析】本題考查的是勾股數(shù)，滿足a2（1）把n的值代入a、b、c，求出值，根據(jù)勾股定理的逆定理得到以a,b,c的值為三邊長的三角形是直角三角形，根據(jù)直角三角形面積公式計(jì)算；（2）根據(jù)勾股數(shù)的概念證明．【詳解】（1）解：當(dāng)n=5時(shí)，a=2n=10，b=n2?1=24102∴a2∴以a,b,c的值為三邊長的三角形是直角三角形，∴以a,b,c的值為三邊長的三角形面積為12故答案為：120；（2）解：小安的猜想正確，理由：a2c2∴a∵n是大于1的整數(shù)，所以a=2n,b=n∴當(dāng)n取大于1的整數(shù)時(shí)，a,b,c為勾股數(shù)，∴小安的猜想正確．18．空地ABCD的面積36m【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是通過連接對(duì)角線AC，將四邊形分割成兩個(gè)直角三角形，分別計(jì)算面積后求和．連接AC，先在Rt△ABC中用勾股定理求出AC的長度，再在△ACD【詳解】解：如圖，連接AC，在Rt△ABC中，A在△ACD中，CD2=132∴△ACD為直角三角形，∴∠DAC=90°，S四邊形答：空地ABCD的面積36m219．30米【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用，將圖形展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．【詳解】解：如答圖，將木塊展開．由題意可知，長相當(dāng)于是（AB+2個(gè)正方形的邊長），∴長為20+2×2=24（米），寬為18米，由勾股定理，得：最短路程為30米．答：最短路程是30米．20．3米【分析】先在Rt△BCO中，根據(jù)勾股定理求出BO=2.5米，由題意得BO=EO，則EO=2.5米．再在Rt△EOF中，根據(jù)勾股定理求出EF=2米，進(jìn)而可得本題主要考查了勾股定理．熟練掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：在Rt△BCO中，OC=0.7米，BC=2.4∴BO=2.5米，由題意得BO=EO，∴EO=2.5米，在Rt△EOF中，EO=2.5米，OF=1.5∴EF=2米，又∵DE=1米，∴DF=DE+EF=3米，∴墻的高度為3米．21．(1)海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由見解析(2)5【分析】本題主要考查了勾股定理及其逆定理的實(shí)際應(yīng)用，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，可證明CA2+CB2（2）在線段AB上取兩點(diǎn)E、F，使得CE=CF=130km，連接CE，CF，利用勾股定理求出DE【詳解】（1）解：海港C受臺(tái)風(fēng)影響，理由如下：如圖所示，過點(diǎn)C作CD⊥AB于D，∵CA=150km∴CA∴CA∴∠ACB=90°，∴S△ABC∴CD=AC?BC∵120<130，∴海港C受臺(tái)風(fēng)影響；（2）解：如圖所示，在線段AB上取兩點(diǎn)E、F，使得CE=CF=130km，連接CE在Rt△CED中，由勾股定理得DE=50在Rt△CDF中，由勾股定理得CF∴EF=DE+DF=100km∵臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)的速度為20km/h，且100÷20=5，∴臺(tái)風(fēng)影響海港C持續(xù)的時(shí)間有5h答：臺(tái)風(fēng)影響海港C持續(xù)的時(shí)間有5h22．(1)∠AEM=70°；(2)見解析；(3)結(jié)論：EM【分析】（1）利用平