專題02直角三角形題型01A.6-2√3B.4√3-4C.4A.2B.3點B恰好與點D重合，已知∠DFC=60°,CF=3,AE的長為4.(23-24八年級下·山西呂梁·期中)如圖，點D,E分別為等邊三角形VABC的邊BC,AC上的點，且CD=AE,AD與BE相交于點P,BQ⊥AD于點Q.若PE=1,PQ=2.5,則AD的長直角三角形的兩個銳角互余于點E,則下列各角中，與∠B一定相等的是()8.(23-24八年級下·遼寧沈陽·期中)將一副三角板按如圖所示的方式放置，使兩條直角邊重疊，A.75°B.50°C.45°垂足為D,ADB與ADB′關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B',則∠CAB′的度數(shù)為_10.(23-24八年級下·內蒙古鄂爾多斯·期中)將一副三角尺按如圖所示的位置擺放在直尺上，則∠1AD是BC邊上高，則∠DAE的度數(shù)是°.題型03勾股定理的逆定理12.(23-24八年級下·湖南衡陽·期中)一個三角形的三邊長的比為3:4:5,且其周長為24cm,則13.(23-24八年級下·河北保定·階段練習)車間新造了一個三角形零件，測得三角形零件的三邊長分別為0.9dm,1.2dm,1.5dm,則三角形零件的面積是()A.1.35dm2B.0.9dm2C.0.75dm214.(23-24八年級下·福建漳州·階段練習)如圖，正方形網(wǎng)格中的VABC,若小方格邊長為1,(1)判斷VABC是否為直角三角形?(2)求VABC最長邊上的高?ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°(1)求證：BD⊥AC;(2)求線段AB的長.17.(23-24八年級下·浙江衢州·期中)如圖，三角形紙片ABC的三邊長分別為AC=6,BC=8,AB=10,現(xiàn)將邊AC沿AD折疊，使它落在邊AB上，點C與點E重合，求CD的長.連接CD,且BD=10,CD=5√5.力，測得AB=8m,AD=6m,BC=24m,CD=26m,∠A=90°.(2)求四邊形ABCD的面積.交于點0,且AB=CD,BE=CF,求證：Rt△ABF≌Rt△DCE.21.(23-24八年級下·福建漳州·階段練習)求證：如果一個三角形一邊上的中點到另外兩邊的距離相等，則該三角形為等腰三角形.請結合下邊圖形，用數(shù)學符號語言補全“已知”、“求證”,并寫出證明過程.(2)當∠BCD=55°時，求∠ABD的度數(shù).點E、F為垂足，且DE=DF.求證：VBED≌VCFD.全等性質和HL的綜合一點，BD=BC,過點D作AB的垂線交AC于點E,連接CD、BE,相交于點F.∠B=∠DCF=90°,AB=DC,AC=DF.足為E,點G在BC上，且∠DGC=30°,DG=2DE.求證：BE+DE=BC.28.(23-24八年級下·遼寧盤錦·階段練習)如圖，AD//BC,∠A=90°,E30.(23-24八年級下·云南文山·期中)如圖，在平面直角交于點C,且點A(-1,m),B(n,-2).(1)點C的坐標為(2)求原點O到直線AB的距離；(3)在x軸上是否存在一點P,使得△ACP是直角三角形?若存在，求出點P的坐標.31.(23-24八年級下·山西太原·期中)一次函數(shù)的圖象與x軸交于點A,與y軸交于點B,一次函數(shù)的圖象經過點B,與x軸交于點C,D是線段OC上一動點，且橫坐標為圖1圖2(1)請求出B,C兩點的坐標及直線BC的函數(shù)表達式.(2)如圖1,過點D作DF⊥x軸，分別交直線BC,AB于點E,F.①線段EF的長為;(用含m的代數(shù)式表示)②在點D運動的過程中，當EF=DE時，求點D的坐標.(3)如圖2,連接BD,將OBD沿BD所在直線折疊，得到△OBD(點O的對應點為點O),連接O'C.試判斷在x軸上是否存在點D,使△O'CD是直角三角形?若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由.交于A、B兩點.過點A的直線交y軸上方的點M,且點M為線段OB的中點.(1)求直線AM的函數(shù)解析式.(3)在x軸上是否存在點H,使得以點A,B,H為頂點的三角形邊形是直角三角形?若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由.1.(23-24八年級下·山東青島·期中)五根小木棒的長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列擺放正確的是()垂足分別是點E,F,DM=DN,且BN=6,FN=2,則BM的長度是()A.2B.3上，DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB.若VABC的周長為36,則CF=()A.3B.44.(23-24八年級下·全國·課后作業(yè))如圖，F(xiàn)是等腰三角形ABC的底邊BC延長線上的一點，過A.50°B.60°C.70°CD為AB邊上的高，點E從點B出發(fā)，在直線BC上以3cm/s的速度移動，過點E作BC的垂線6.(23-24八年級下·四川綿陽·期中)如圖，在VABC中，∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足為點D,7.(23-24八年級下·浙江金華·期中)如圖，一塊長方形場地ABCD的長AB與寬AD的比為3:1,8.(23-24八年級下·四川樂山·期中)為進一步落實立德樹人的根本任務，培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義接班人，某校開展勞動教育課程，并取得了豐碩成果.如圖，陰影部分是該校開墾的一塊作為學生勞動實踐基地的四邊形荒地.經測量，AB=AC=13m,BD=8m,CD=6m,且BC=10m.(2)該校計劃在此空地(陰影部分)上種植花卉，若每種植1m2花卉需要花費200元，則此塊空地于點D,BF平分∠ABC,分別交AD,AC于點E,F.(2)若AF=2,求AD的長.于點E.△ABD的邊AB上的高，E為垂足，且AD=√5,BD=2√5.求DE的長.專題02直角三角形經典基礎題經典基礎題A.6-2√3B.4√3-4C.4D.8-【答案】D【詳解】解：延長BC和AD交于點E,如圖，A.2B.3C.2.5【答案】A【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，∠BAC=120°,在RtACD中，∠C=30°,故選：A.點B恰好與點D重合，已知∠DFC=60°,CF=3,AE的長為【答案】3【詳解】解：設AE=x,故答案為：3.故答案為：6.【點睛】本題考查了等邊三角形的性質，三角形全等的判定和性質，三角形外角性質的應用，直角三角形的性質，熟練掌握三角形全等的判定和性質和等邊三角形性質是解題的關鍵.點D,AD=2,求線段BC的長.【答案】6【詳解】解：∵AB=AC,∠B=30°,題型02直角三角形的兩個銳角互余于點E,則下列各角中，與∠B一定相等的是()【答案】B【詳解】解：∵AD⊥BC,故選B.【答案】B【詳解】解：如圖，過點B作BD⊥AC交CA延長線于點D,BC=√BD2+CD2=√(2√3)2+82=2√19,【點睛】本題主要考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，直角三角形的兩個銳角互余，利用鄰補角互補求角度，線段的和與差等知識點，添加適當輔助線構造直角三角形是解題的關鍵.8.(23-24八年級下·遼寧沈陽·期中)將一副三角板按如圖所示的方式放置，使兩條直角邊重疊，A.75°【答案】A【詳解】解：如圖，故選：A.垂足為D,△ADB與ADB'關于直線AD對稱，點B的對稱點是點B′,則∠CAB'的度數(shù)為·【答案】20故答案為：10°的度數(shù)為·【答案】75°/75度【詳解】解：如圖，∵a//b,AD是BC邊上高，則∠DAE的度數(shù)是°.【詳解】解：∵∠ABC=80°,∠ACB=40°,故答案為：20.勾股定理的逆定理12.(23-24八年級下·湖南衡陽·期中)一個三角形的三邊長的比為3:4:5,且其周長為24cm,則【答案】24cm2【詳解】解：∵三角形的三邊長的比為3:4:5,∴設三角形的三邊長分別為3x,4x,5x,∵其周長為24cm,∴3x+4x+5x=24,解得x=2,∴三角形的三邊長分別是6,8,10,∴此三角形是直角三角形，故答案為：24cm2.13.(23-24八年級下·河北保定·階段練習)車間新造了一個三角形零件，測得三角形零件的三邊長分別為0.9dm,1.2dm,1.5dm,則三角形零件的面積是()A.1.35dm2B.0.9dm2C.0.75dm2【答案】D【詳解】解：∵測得三角形零件的三邊長分別為0.9dm,1.2dm,1.5dm,∴該三角形零件為直角三角形，【詳解】(1)解：VABC為直角三角形，理由：(2)解：設最長邊BC上的高為h,ABCD,AB=AD=2,BC=3,CD=1,∠A=90°,求∠ADC的度數(shù).【詳解】解：連接BD,(2)解：設AB=x,則AB=AC=x,AB2=BD2+AD2,17.(23-24八年級下·浙江衢州·期中)如圖，三角形紙片ABC的三邊長分別為AC=6,BC=8,AB=10,現(xiàn)將邊AC沿AD折疊，使它落在邊AB上，點C與點E重合，求CD的長.【答案】3∴ABC是直角三角形，∠ACB=90°,∵AED是ACD翻折而成，在Rt△BDE中，BD2=DE2+BE2,即(8-x)2=42+x2,故CD的長為3.連接CD,且BD=10,CD=5√5.(2)若SABC=45√5,求VABC的周長.【答案】(1)證明見解析.【詳解】(1)證明：在BDC中，BC=15,BD=10,CD=5√5,∴BDC是直角三角形，且∠BDC=90°,(2)解：∵CD⊥AB,∴△ADC是直角三角形，,CD=5√5,在RtADC中，AD2+CD2=AC2,即82+(5√5)2解得AC=17,19.(23-24八年級下·山東淄博·期中)某校為進一步加強學生的勞動教育，決定將勞動實踐基地按班級進行分配.如圖，是該校七年級勞動實踐基地的示意圖，經過“數(shù)學興趣小組”同學們的努力，測得AB=8m,AD=6m,BC=24m,CD=26m,∠A=90°.(2)求四邊形ABCD的面積.【答案】(1)B,D之間的距離為10m;(2)四邊形ABCD的面積為144m2.【詳解】(1)解：連接BD,在Rt△ABD中，∠A=90°,AB=8m,AD=6m,∴B,D之間的距離為10m;所以四邊形ABCD的面積為144m2.交于點0,且AB=CD,BE=CF,【答案】見解析∴ABF與△DCE都為直角三角形，21.(23-24八年級下·福建漳州·階段練習)求證：如果一個三角形一邊上的中點到另外兩邊的距離相等，則該三角形為等腰三角形.請結合下邊圖形，用數(shù)學符號語言補全“已知”、“求證”,并寫出證明過程.【答案】見解析求證：VABC為等腰三角形.∴VABC為等腰三角形.【詳解】(1)證明：在RtABC和RtDBC中，(2)解：∵?D90?,∠BCD=55°,由(1)得RtABC≌RtDBC,【點睛】本題主要考查了三角形的全等的判定和性質，角度的計算，直角三角形中兩個銳角互余等知識點，解決此題的關鍵是熟練掌握證明全等的方法.點E、F為垂足，且DE=DF.求證：VBED≌VCFD.【答案】見解析【答案】見解析一點，BD=BC,過點D作AB的垂線交AC于點E,連接CD、BE,相交于點F.【詳解】(1)證明：∵∠ACB=90°,且DE⊥AB,BD=BC,(2)解：△CBD是等邊三角形，理由如下：∴CBD是等邊三角形.【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定，三線合一，直角三角形∠B=∠DCF=90°,AB=DC,AC=DF.求證：AC⊥DF.【答案】見解析在Rt△ABC和RtDCF中，足為E,點G在BC上，且∠DGC=30°,DG=2DE.【答案】詳見解析【詳解】證明：如圖，過點D作DM⊥BC于點M,在Rt△DEB和RtDMB中，【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，含30°角直角三角形的性質，作出合理的輔助線構建全等三角形是解題的關鍵.28.(23-24八年級下·遼寧盤錦·階段練習)如圖，AD//BC,∠A=90°,E(2)若AD=5,AB=11,求BC的長.【答案】(1)見解析【詳解】(1)∵AD//BC,∠A=90°,∠1=∠2,ADE≌BEC(HL).【答案】詳見解析∴Rt△BED≌RtBFD(HL),DG||AB,交于點C,且點A(-1,m),B(n,-2).(3)在x軸上是否存在一點P,使得△ACP是直角三角形?若存在【答案】(1②【詳解】(1)解：令y=0,則解得：所以點C的坐標(2)解：代入A、B兩點可得：解得：m=3,n=3,故A(-1,3),B(3,-2),設原點O到直線AB的距離為d,(3)解：存在，①當∠APC=90°時，此時點P的坐標為(-1,0);解得：此時點P的坐標【點睛】本題考查了兩點間距離公式，坐標與圖形，求不規(guī)則圖形的面解答的關鍵是采用分類討論的思想.B,一次函數(shù)的圖象經過點B,與x軸交于點C,D是線段OC上一動點，且橫坐標為圖1(1)請求出B,C兩點的坐標及直線BC的函數(shù)表達式.(2)如圖1,過點D作DF⊥x軸，分別交直線BC,AB于點E,F.①線段EF的長為;(用含m的代數(shù)式表示)②在點D運動的過程中，當EF=DE時，求點D的坐標.(3)如圖2,連接BD,將OBD沿BD所在直線折疊，得到△OBD(點O的對應點為點O),連接OC.試判斷在x軸上是否存在點D,使△O'CD是直角三角形?若存在，請直接寫出點D的坐標；若不存在，請說明理由.【詳解】(1)在中，令x=0得y=12,令y=0得x=-9,∵一次函數(shù)的圖象經過點B,∴直線BC的函數(shù)表達式為令y=0得解得x=16,(2)①由∵點D橫坐標為m,DF⊥x軸，分別交直線BC,AB于點E,F.②∵點D橫坐標為m,DF⊥x軸，分別交直線BC,AB于點E,F.EF=DE,∴點D的坐標在Rt?BOC中，BC=√OB2+OC解得：n=6,③當∠OCD=90°時，過點B作BE⊥OC于E,∴此種情況不存在.綜上，點D的坐標為(12,0)或(6,0).【點睛】本題是一次函數(shù)綜合題，考查一次函數(shù)圖象上點坐標的特征折疊的性質，直角三角形的性質，等腰三角形的性質等知識，解題的關鍵是用含m的代數(shù)式表示相關點坐度，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.交于A、B兩點.過點A的直線交y軸上方的點M,且點M為線段OB的中點.(2)試在直線AM上找一點P,使得S△ABP=S△AOB,請直接寫出點P的坐標.(3)在x軸上是否存在點H,使得以點A,B,H為頂點的三角形邊形是直角三角形?若存在，請直接寫出點H的坐標；若不存在，請說明理由.(2)P(3,6)或P(一9,—6)【詳解】(1)∵直線AB的函數(shù)解析式y(tǒng)=2x+6,又∵M為線段OB的中點，設直線AM的解析式為y=kx+b,將A(-3,0),M(0,3)分別代入得：,解得：∵A(一3,0),B(0,6),M(0,3),解得：x=3或—9,∴P(3,6)或P(一9,—6);(3)存在，理由如下：①當AB為斜邊時，AH2+BH2=AB2,即(h+3)2+h2+36=45,解得：h=0或h=-3(舍去),②當AH為斜邊時，AH2=BH2+AB2,即(h+3)2=h2+36+45,③當BH為斜邊時，BH2=AH2+AB2,即h2+36=(h+3)2+45,解得：h=-3(舍去),不存在當BH為斜邊的△ABH為直角三角形，綜上所述，當點H的坐標為(0,0)或(12,0)時，以點A,B,H為頂點的三角形邊形是直角三角【點睛】本題考查了一次函數(shù)的綜合應用，能夠熟練運用待定系數(shù)法，由坐標求線段長，勾股定理等知識是解題的關鍵.1.(23-24八年級下·山東青島·期中)五根小木棒的長度分別為7,15,20,24,25,現(xiàn)將它們擺成兩個直角三角形，下列擺放正確的是()A.【答案】C【詳解】解：∵72=49,152=225,202=400,242=576,252=625,∴以7,24,25三根木棒能擺成直角三角形，以15,20,25三根木棒能擺成直角三角形，故選：C垂足分別是點E,F,DM=DN,且BN=6,FN=2,則BM的長度是()A.2B【詳解】解：BN=6,FN=2,在RtDEM和Rt△DFN中，上，DE⊥BC,EF⊥AC,FD⊥AB.若VABC的周長為36,則CF=()A.3A.50°B.60°C.70°【答案】C【詳解】解：∵FD⊥AB,故選：C.CD為AB邊上的高，點