安徽省2024年普通高中學(xué)業(yè)水平合格性考試數(shù)學(xué)試題含參考答案考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍是（）A.$a>0$B.$a\geq0$C.$a<0$D.$a\leq0$2.函數(shù)$y=\sinx$的圖像上，存在兩點$A$和$B$，使得$\overrightarrow{OA}=(1,1)$，$\overrightarrow{OB}=(2,-1)$，則直線$AB$的斜率為（）A.$\frac{1}{2}$B.$\frac{1}{3}$C.$\frac{2}{3}$D.$1$3.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式為（）A.$a_n=2^n-1$B.$a_n=2^n+1$C.$a_n=2^{n-1}-1$D.$a_n=2^{n-1}+1$4.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f(-1)$的值是（）A.$-2$B.$-1$C.$0$D.$1$5.在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(1,2)$，$B(-1,0)$，$C(0,-1)$，則$\triangleABC$的周長是（）A.$4$B.$5$C.$6$D.$7$6.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的公差為$d$，若$a_1=3$，$a_3=7$，則$a_5$的值為（）A.$9$B.$10$C.$11$D.$12$7.已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，則$f(-1)$的值為（）A.$0$B.$1$C.$\sqrt{2}$D.$2$8.在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(2,3)$，$B(4,5)$，$C(6,7)$，則$\triangleABC$的面積是（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$9.已知函數(shù)$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(2)$的值為（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$10.在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(1,2)$，$B(3,4)$，$C(5,6)$，則$\triangleABC$的周長是（）A.$6$B.$7$C.$8$D.$9$二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1=3$，$a_4=11$，則$a_7$的值為______。12.函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的周期為______。13.已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則實數(shù)$a$的取值范圍為______。14.在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(1,2)$，$B(-1,0)$，$C(0,-1)$，則$\triangleABC$的面積為______。15.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f(-1)$的值為______。三、解答題（本大題共5小題，共45分）16.（本小題共15分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+1$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列。17.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，求函數(shù)$f(x)$的最大值和最小值。18.（本小題共15分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(1,2)$，$B(-1,0)$，$C(0,-1)$，求$\triangleABC$的面積。19.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。20.（本小題共15分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(2,3)$，$B(4,5)$，$C(6,7)$，求$\triangleABC$的周長。四、解答題（本大題共5小題，共45分）21.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-2x+1}$，求函數(shù)$f(x)$的定義域。22.（本小題共15分）已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的首項為$a_1$，公差為$d$，若$a_1=2$，$a_5=14$，求$a_1$和$d$。23.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。24.（本小題共15分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(1,2)$，$B(-1,0)$，$C(0,-1)$，求$\triangleABC$的邊長。25.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。五、解答題（本大題共5小題，共45分）26.（本小題共15分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=3a_n-2$，求證：數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列。27.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+4}$，求函數(shù)$f(x)$的值域。28.（本小題共15分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(2,3)$，$B(4,5)$，$C(6,7)$，求$\triangleABC$的面積。29.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$，求函數(shù)$f(x)$的圖像。30.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。六、解答題（本大題共5小題，共45分）31.（本小題共15分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=3$，$a_{n+1}=2a_n-1$，求$a_5$的值。32.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，求函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。33.（本小題共15分）在平面直角坐標(biāo)系中，若點$A(1,2)$，$B(-1,0)$，$C(0,-1)$，求$\triangleABC$的周長。34.（本小題共15分）已知函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$，其中$a$為常數(shù)，若$f(x)$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，求實數(shù)$a$的取值范圍。35.（本小題共15分）已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=3a_n-4$，求$a_5$的值。本次試卷答案如下：一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1.答案：A解析：函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax\geq0$。由于$x>0$，因此$2ax\geq-\frac{1}{x}$，即$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因為$x$可以取任意正數(shù)，所以$a$的取值范圍為$a>0$。2.答案：B解析：點$A$和$B$的坐標(biāo)分別為$(1,1)$和$(2,-1)$，所以直線$AB$的斜率$k=\frac{-1-1}{2-1}=-2$。3.答案：A解析：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n+1$，可得$a_2=2a_1+1=2\cdot1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\cdot3+1=7$，以此類推，得到$a_n=2^n-1$。4.答案：A解析：將$x=-1$代入$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+4(-1)=-1-3-4=-8$。5.答案：B解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(2-(-1))^2+(3-0)^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(4-0)^2+(5-(-1))^2}=\sqrt{4^2+6^2}=2\sqrt{13}$，$AC=\sqrt{(6-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{5^2+3^2}=5$，所以$\triangleABC$的周長為$3\sqrt{2}+2\sqrt{13}+5$。6.答案：B解析：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$a_3=7$，得$7=3+(3-1)d$，解得$d=2$，所以$a_5=3+(5-1)\cdot2=11$。7.答案：B解析：將$x=-1$代入$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，得$f(-1)=\sqrt{(-1)^2+1}=\sqrt{2}$。8.答案：C解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(4-(-1))^2+(5-0)^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(6-4)^2+(7-5)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(6-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{5^2+3^2}=5$，所以$\triangleABC$的面積為$\frac{1}{2}\cdot5\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=10$。9.答案：A解析：將$x=2$代入$f(x)=x^2-2x+1$，得$f(2)=2^2-2\cdot2+1=1$。10.答案：C解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(4-0)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(5-3)^2+(6-4)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(5-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，所以$\triangleABC$的周長為$4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}$。二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.答案：$a_7=23$解析：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=3$，$a_4=11$，得$d=2$，所以$a_7=3+(7-1)\cdot2=23$。12.答案：$T=2\pi$解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，所以周期$T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{1}=2\pi$。13.答案：$a\geq0$解析：函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax\geq0$。由于$x>0$，因此$2ax\geq-\frac{1}{x}$，即$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因為$x$可以取任意正數(shù)，所以$a$的取值范圍為$a\geq0$。14.答案：$S_{\triangleABC}=\frac{3}{2}$解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-0)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(0-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，所以$\triangleABC$的面積$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotBC=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{3}{2}$。15.答案：$f(-1)=-8$解析：將$x=-1$代入$f(x)=x^3-3x^2+4x$，得$f(-1)=(-1)^3-3(-1)^2+4(-1)=-1-3-4=-8$。三、解答題（本大題共5小題，共45分）16.（本小題共15分）解析：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=2a_n+1$，可得$a_2=2a_1+1=2\cdot1+1=3$，$a_3=2a_2+1=2\cdot3+1=7$，以此類推，得到$a_n=2^n-1$。因此數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列。17.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$可以寫成$f(x)=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$，所以最大值為$\sqrt{2}$，最小值為$-\sqrt{2}$。18.（本小題共15分）解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-0)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(0-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，所以$\triangleABC$的面積$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotBC=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=\frac{3}{2}$。19.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax\geq0$。由于$x>0$，因此$2ax\geq-\frac{1}{x}$，即$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因為$x$可以取任意正數(shù)，所以$a$的取值范圍為$a\geq0$。20.（本小題共15分）解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(4-0)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(5-3)^2+(6-4)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(5-1)^2+(6-2)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，所以$\triangleABC$的周長為$4\sqrt{2}+2\sqrt{2}+4\sqrt{2}=10\sqrt{2}$。四、解答題（本大題共5小題，共45分）21.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-2x+1}$的定義域為$x^2-2x+1\geq0$，即$(x-1)^2\geq0$。由于平方永遠(yuǎn)非負(fù)，所以定義域為全體實數(shù)，即$x\in\mathbb{R}$。22.（本小題共15分）解析：由等差數(shù)列的通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，代入$a_1=2$，$a_5=14$，得$14=2+(5-1)d$，解得$d=2$，所以$a_1=2$，$d=2$。23.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\cosx-\sinx$。24.（本小題共15分）解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(1-(-1))^2+(2-0)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(-1-0)^2+(0-(-1))^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(0-1)^2+(-1-2)^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$，所以$\triangleABC$的周長為$2\sqrt{2}+\sqrt{2}+\sqrt{10}=3\sqrt{2}+\sqrt{10}$。25.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax\geq0$。由于$x>0$，因此$2ax\geq-\frac{1}{x}$，即$a\geq-\frac{1}{2x^2}$。因為$x$可以取任意正數(shù)，所以$a$的取值范圍為$a\geq0$。五、解答題（本大題共5小題，共45分）26.（本小題共15分）解析：由遞推關(guān)系$a_{n+1}=3a_n-4$，可得$a_2=3a_1-4=3\cdot1-4=-1$，$a_3=3a_2-4=3\cdot(-1)-4=-7$，以此類推，得到$a_n=3^n-4$。因此數(shù)列$\{a_n\}$是等比數(shù)列。27.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\sqrt{x^2-4x+4}$可以寫成$f(x)=\sqrt{(x-2)^2}$，所以值域為$[0,+\infty)$。28.（本小題共15分）解析：根據(jù)坐標(biāo)計算，$AB=\sqrt{(4-2)^2+(5-3)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{(6-4)^2+(7-5)^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{(6-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$，所以$\triangleABC$的面積$S_{\triangleABC}=\frac{1}{2}\cdotAB\cdotBC=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{2}\cdot2\sqrt{2}=4$。29.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\sinx+\cosx$的圖像為一條正弦曲線，其周期為$2\pi$，振幅為$\sqrt{2}$，相位為$\frac{\pi}{4}$。30.（本小題共15分）解析：函數(shù)$f(x)=\lnx+ax^2$在$(0,+\infty)$上單調(diào)遞增，則其導(dǎo)數(shù)$f'(x)=\frac{1}{x}+2ax\geq0$。由于$x>0$，因此$2ax\geq-\frac{1}{x}$，即$a\geq