全國(guó)三卷的文科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于哪條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)？

A.x=0

B.x=-1

C.x=1

D.y=x

2.若集合A={x|x2-5x+6≥0}，B={x|2<x<4}，則A∩B等于？

A.{x|2<x<3}

B.{x|3<x<4}

C.{x|x≥3}

D.{x|x≤2或x≥4}

3.在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=2，a?=10，則該數(shù)列的前10項(xiàng)和為？

A.50

B.60

C.100

D.150

4.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值為？

A.1

B.√2

C.√3

D.2

5.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z2的共軛復(fù)數(shù)為？

A.1-i

B.-1+i

C.-1-i

D.1+i

6.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)到直線(xiàn)x-y=0的距離為？

A.|a-b|

B.√2|a-b|

C.√(a2+b2)

D.√(2(a2+b2))

7.拋擲兩個(gè)骰子，得到的點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為？

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.7/36

8.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則判別式Δ的值必須滿(mǎn)足？

A.Δ>0

B.Δ=0

C.Δ<0

D.Δ≥0

9.在等比數(shù)列{b?}中，已知b?=3，b?=81，則該數(shù)列的公比為？

A.3

B.9

C.27

D.81

10.函數(shù)f(x)=e^x在區(qū)間[0,1]上的平均變化率為？

A.e

B.e-1

C.1

D.1/e

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增的有？

A.y=2x+1

B.y=x2

C.y=log?/?(x)

D.y=e^x

E.y=sin(x)

2.若函數(shù)f(x)=ax3-bx2+cx+d在x=1處取得極值，且f'(1)=0，則下列說(shuō)法正確的有？

A.a≠0

B.b=3a

C.c=2b

D.d可以是任意實(shí)數(shù)

E.f(x)在x=1處不一定取得極值

3.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，下列條件中能推出△ABC是直角三角形的有？

A.a2+b2=c2

B.cosA=sinB

C.tanA=cotB

D.(a+b)2=c2+2ab

E.a/b=b/c

4.下列命題中，正確的有？

A."若x2=1，則x=1"是真命題

B."全等三角形的面積相等"是真命題

C."若a>b，則a2>b2"是真命題

D."存在實(shí)數(shù)x，使得x2<0"是假命題

E."若m<0，則方程x2+mx+1=0有兩個(gè)實(shí)根"是真命題

5.關(guān)于圓錐曲線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的有？

A.橢圓的焦點(diǎn)到其上一點(diǎn)的距離之和等于長(zhǎng)軸的長(zhǎng)

B.雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)互相垂直

C.拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于其準(zhǔn)線(xiàn)方程中p的值

D.圓錐曲線(xiàn)的離心率e滿(mǎn)足0<e<1時(shí)，該曲線(xiàn)是橢圓

E.橢圓和雙曲線(xiàn)都關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)

三、填空題（每題4分，共20分）

1.若函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=2處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______。

2.在等差數(shù)列{a?}中，已知a?=10，a??=19，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式a?=_______。

3.計(jì)算：lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=_______。

4.在直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)l?:x+2y-1=0與直線(xiàn)l?:ax-3y+4=0互相平行，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)______。

5.若復(fù)數(shù)z=2+3i，則|z|2=_______。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)+3^(x+1)=6*2^x*3^x。

2.已知函數(shù)f(x)=x2-2x+3，求函數(shù)f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=3，b=4，C=60°，求邊c的長(zhǎng)度。

4.計(jì)算不定積分：∫(x2+2x+1)/(x+1)dx。

5.已知向量u=(1,2)，向量v=(3,-1)，求向量u+v的坐標(biāo)，以及向量u*v的向量積（叉積）。

本專(zhuān)業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.C

2.A

3.B

4.B

5.A

6.A

7.A

8.B

9.B

10.B

【解題過(guò)程】

1.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于x=1對(duì)稱(chēng)，因?yàn)閘og?(x+1)=log?(2-x)，即f(x)=f(2-x)。

2.A={x|x≤2或x≥3}，B={x|2<x<4}，所以A∩B={x|2<x<3}。

3.公差d=(a?-a?)/(5-1)=8/4=2，前10項(xiàng)和S??=10/2*(a?+a??)=5*(2+(2+8))=5*12=60。

4.f(x)=sin(x)+cos(x)=√2*(sin(x)*√(1/2)+cos(x)*√(1/2))=√2*sin(x+π/4)，最大值為√2。

5.z2=(1+i)2=1+2i+i2=1+2i-1=2i，其共軛復(fù)數(shù)為-2i=1-i。

6.點(diǎn)P(a,b)到直線(xiàn)x-y=0的距離d=|a-b|/√(12+(-1)2)=|a-b|/√2。

7.拋擲兩個(gè)骰子，基本事件總數(shù)為6*6=36，點(diǎn)數(shù)之和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)，共6個(gè)，概率為6/36=1/6。

8.函數(shù)f(x)=ax2+bx+c開(kāi)口向上，需a>0；頂點(diǎn)在x軸上，需-b/(2a)=0，即b=0；此時(shí)Δ=b2-4ac=02-4a*0=0。

9.b?=b?*q3，81=3*q3，q3=27，q=3。

10.平均變化率=(f(1)-f(0))/(1-0)=(e^1-e^0)/1=e-1。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.A,B,D

2.A,B,C,D

3.A,B,C

4.B,D

5.A,C,D

【解題過(guò)程】

1.A是線(xiàn)性函數(shù)，在R上單調(diào)遞增；B是二次函數(shù)，開(kāi)口向上，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；C是底數(shù)小于1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在(0,+∞)上單調(diào)遞減；D是指數(shù)函數(shù)，在R上單調(diào)遞增。故選A,B,D。

2.f'(x)=3ax2-2bx+c。f'(1)=3a-2b+c=0。由于在x=1處取得極值，f'(x)在x=1附近的符號(hào)應(yīng)改變，這通常要求導(dǎo)函數(shù)的最高次項(xiàng)系數(shù)不為0，即3a≠0。若a=0，則f'(x)=-2bx+c，f'(x)=0只在x=0處成立，無(wú)法在x=1附近改變符號(hào)（除非c=0，此時(shí)f(x)為常數(shù)），這與題意矛盾。所以a≠0。若a≠0，則f'(x)=3ax2-2bx+c是一個(gè)二次函數(shù)，其在x=1處有極值點(diǎn)，意味著x=1是它的根，即3a(1)2-2b(1)+c=0，即3a-2b+c=0，這恰好是f'(1)=0的條件。同時(shí)，a≠0保證了f'(x)是二次函數(shù)。另外，d是常數(shù)項(xiàng)，對(duì)函數(shù)的極值沒(méi)有影響。故選A,B,C,D。

3.A.若a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形，直角在C處。B.若cosA=sinB，由于A,B∈(0,π)，sinB=cos(π/2-B)，所以cosA=cos(π/2-B)，得到A=π/2-B或A=2π-(π/2-B)。若A=π/2-B，則A+B=π/2，C=π-(A+B)=π-π/2=π/2，△ABC是直角三角形，直角在C處。若A=2π-(π/2-B)=3π/2-B，則A+B=3π/2，不可能在0到π之間，舍去。所以cosA=sinB?A+B=π/2?C=π/2，△ABC是直角三角形。C.若tanA=cotB，tanA=1/tanB?tanA*tanB=1。由于tanA=sinA/cosA，tanB=sinB/cosB，所以(sinA/cosA)*(sinB/cosB)=1?sinA*sinB=cosA*cosB。這個(gè)等式在A+B=π/2時(shí)成立（例如sinA=cosB,sinB=cosA），此時(shí)△ABC是直角三角形。在A+B≠π/2時(shí)，例如A=π/3,B=π/4，tan(π/3)≈1.732,cot(π/4)=1，tan(π/3)≠cot(π/4)，但tan(π/3)*tan(π/4)=1.732*1≈1.732≠1。所以tanA=cotB?A+B=π/2?C=π/2，△ABC是直角三角形。D.若(a+b)2=c2+2ab，展開(kāi)左邊得a2+2ab+b2=c2+2ab，消去2ab得a2+b2=c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，△ABC是直角三角形。E.若a/b=b/c，交叉相乘得ab=b2，即a=b（假設(shè)b≠0）。此時(shí)△ABC是等腰三角形，但只有當(dāng)a=b=c時(shí)才是等邊三角形，且只有當(dāng)a=b=c=0時(shí)才滿(mǎn)足等式（不符合三角形定義）。一般地，a=b意味著△ABC是等腰三角形，但不能直接推出是直角三角形。故選A,B,C。

4.A."若x2=1，則x=1"是假命題，因?yàn)閤也可以等于-1。B."全等三角形的面積相等"是真命題，這是全等三角形的基本性質(zhì)。C."若a>b，則a2>b2"是假命題，例如a=1,b=-2，則a>b但a2=1<b2=4。D."存在實(shí)數(shù)x，使得x2<0"是假命題，因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方都大于或等于0。E."若m<0，則方程x2+mx+1=0有兩個(gè)實(shí)根"是真命題，因?yàn)榕袆e式Δ=m2-4。若m<0，則m2>0，Δ=m2-4>-4>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根。故選B,D。

5.A.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2/a2)+(y2/b2)=1(a>b>0)，焦點(diǎn)到橢圓上一點(diǎn)的距離之和恒等于2a。B.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x2/a2)-(y2/b2)=1(a>0,b>0)，其漸近線(xiàn)方程為y=±(b/a)x。漸近線(xiàn)的斜率是b/a，若b/a=1，即b=a，則漸近線(xiàn)方程為y=±x，兩條漸近線(xiàn)互相垂直。但題目沒(méi)有說(shuō)明是等軸雙曲線(xiàn)，對(duì)于一般雙曲線(xiàn)，漸近線(xiàn)不一定垂直。C.拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)或x2=2py(p>0)。以y2=2px為例，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(Fx,Fy)=(p/2,0)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為x=-p/2。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離|Fx-(-p/2)|=|p/2-(-p/2)|=|p/2+p/2|=|p|=p(因?yàn)閜>0)。以x2=2py為例，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(Fx,Fy)=(0,p/2)，準(zhǔn)線(xiàn)方程為y=-p/2。焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離|Fy-(-p/2)|=|p/2-(-p/2)|=|p/2+p/2|=|p|=p(因?yàn)閜>0)。所以焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離等于p。D.圓錐曲線(xiàn)的離心率e定義為c/a，其中c是焦點(diǎn)到中心的距離，a是長(zhǎng)軸半長(zhǎng)。對(duì)于橢圓，0<e<1。對(duì)于雙曲線(xiàn)，e>1。對(duì)于拋物線(xiàn)，e=1。題目問(wèn)的是離心率e滿(mǎn)足0<e<1時(shí)，該曲線(xiàn)類(lèi)型。0<e<1是橢圓的定義條件。故選A,C,D。

三、填空題（每題4分，共20分）

1.12

2.3n-7

3.1/2

4.-6

5.13

【解題過(guò)程】

1.f'(x)=3x2-a。由題意，x=2是極值點(diǎn)，所以f'(2)=0。3(2)2-a=0?12-a=0?a=12。

2.公差d=(a??-a?)/(10-5)=(19-10)/5=9/5=1.8。a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)*1.8=2+1.8n-1.8=1.8n+0.2=9/5*n+1/5=(9n+2)/5?；蛘?，a?=a?+4d?10=2+4d?8=4d?d=2。a?=a?+(n-1)d=2+(n-1)*2=2+2n-2=2n。檢查a??=2*10=20，a?=2*5=10，符合。所以a?=2n。

3.lim(x→0)(e^x-1-x)/x2=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x2]*[(x2/x)]/[(x2/x)]=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x2]*[1/(x/x)]=lim(x→0)[(e^x-1-x)/x2]*1=lim(x→0)(e^x-1-x)/x2。使用洛必達(dá)法則（因?yàn)榉肿臃帜竿?）：原式=lim(x→0)[d/dx(e^x-1-x)]/[d/dx(x2)]=lim(x→0)(e^x-1)/2x。再次使用洛必達(dá)法則：原式=lim(x→0)[d/dx(e^x-1)]/[d/dx(2x)]=lim(x→0)e^x/2=e^0/2=1/2。

4.直線(xiàn)l?:x+2y-1=0的斜率為-A/B=-1/2。直線(xiàn)l?:ax-3y+4=0的斜率為-A/B=3/a。l?與l?平行，斜率相等，且常數(shù)項(xiàng)不同，所以-1/2=3/a?a=-6。

5.|z|2=|2+3i|2=(2+3i)(2-3i)=22-(3i)2=4-9(-1)=4+9=13。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.2^(x+1)+3^(x+1)=6*2^x*3^x

2*2^x+3*3^x=6*2^x*3^x

2*2^x/(2*3^x)+3*3^x/(2*3^x)=6*(2^x/3^x)

2/(2*(3/2)^x)+3=6*((2/3)^x)

1/((3/2)^x)+3=6*((2/3)^x)

1/((3/2)^x)+3=6/((3/2)^x)

1+3*((3/2)^x)=6/((3/2)^x)

(1+3*((3/2)^x))*((3/2)^x)=6

((3/2)^x)+3*((3/2)^{2x})=6

令t=((3/2)^x),t>0。則t+3t2=6

3t2+t-6=0

t=[-1±√(12-4*3*(-6))/(2*3)]=[-1±√(1+72)/6]=[-1±√73/6]

t=(-1+√73)/6或t=(-1-√73)/6。由于t>0，舍去t=(-1-√73)/6。

t=(-1+√73)/6。

((3/2)^x)=(-1+√73)/6

x*log((3/2))=log((-1+√73)/6)

x=log((-1+√73)/6)/log(3/2)

x=log((√73-1)/6)/log(3/2)

2.f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2。圖像是開(kāi)口向上，頂點(diǎn)為(1,2)的拋物線(xiàn)。在區(qū)間[-1,3]上，頂點(diǎn)x=1在區(qū)間內(nèi)。最小值為f(1)=2。計(jì)算端點(diǎn)值：f(-1)=(-1)2-2(-1)+3=1+2+3=6；f(3)=32-2(3)+3=9-6+3=6。比較f(-1)=6,f(1)=2,f(3)=6。最大值為6，最小值為2。

3.使用余弦定理：c2=a2+b2-2ab*cosC

c2=32+42-2*3*4*cos60°

c2=9+16-24*(1/2)

c2=25-12

c2=13

c=√13

4.∫(x2+2x+1)/(x+1)dx=∫[(x2+2x+1)/(x+1)]dx=∫[((x+1)2)/(x+1)]dx=∫(x+1)dx

=∫xdx+∫1dx

=x2/2+x+C

5.向量u+v=(1,2)+(3,-1)=(1+3,2+(-1))=(4,1)。

向量u*v的向量積（叉積）在二維平面上通常指外積，結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量：

u*v=(u?,u<0xE1><0xB5><0xA3>)*(v?,v<0xE1><0xB5><0xA3>)=u?*v<0xE1><0xB5><0xA3>-u<0xE1><0xB5><0xA3>*v?

=1*(-1)-2*3

=-1-6

=-7。

專(zhuān)業(yè)知識(shí)點(diǎn)分類(lèi)和總結(jié)：

本次試卷主要考察了高中文科數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，分為以下幾個(gè)知識(shí)板塊：

1.函數(shù)基礎(chǔ)：包括函數(shù)的概念、性質(zhì)（單調(diào)性、奇偶性、周期性）、圖像變換、函數(shù)的值域與定義域、特定函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)）的性質(zhì)。例如選擇題第4、5、10題，填空題第1、5題。

2.數(shù)列：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式、性質(zhì)（奇偶項(xiàng)關(guān)系、對(duì)稱(chēng)性等）。例如選擇題第3題，填空題第2題，計(jì)算題第1題。

3.解析幾何：直線(xiàn)方程（點(diǎn)斜式、斜截式、一般式）、直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系（平行、垂直）、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式、圓錐曲線(xiàn)（橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn)）的基本概念和性質(zhì)（標(biāo)準(zhǔn)方程、離心率、范圍、對(duì)稱(chēng)性等）。例如選擇題第6、7、8、9、10題，填空題第4題，計(jì)算題第3題。

4.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用：導(dǎo)數(shù)的概念、幾何意義（切線(xiàn)斜率）、物理意義（瞬時(shí)速度）、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算（基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式、運(yùn)算法則）、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)的極值和最值。例如選擇題第1題，填空題第3題，計(jì)算題第1題。

5.不等式：解一元二次不等式、分式不等式、絕對(duì)值不等式、利用均值不等式求最值。例如選擇題第2題。

6.復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、幾何意義（對(duì)應(yīng)平面上的點(diǎn)）、模長(zhǎng)計(jì)算、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的運(yùn)算。例如選擇題第5題，填空題第5題。

7.極限：函數(shù)在一點(diǎn)處極限的概念、計(jì)算（特別是基本初等函數(shù)的極限、洛必達(dá)法則）。例如填空題第3題。

8.排列組合與概率：古典概型、幾何概型、互斥事件、獨(dú)立事件。例如選擇題第7題。

9.邏輯與證