高中數(shù)學(xué)單元測試卷及詳解一、單元測試卷（一）選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.下列函數(shù)中，在定義域上單調(diào)遞增的是（）A.\(f(x)=x^2\)B.\(f(x)=2^x\)C.\(f(x)=\log_2x\)D.\(f(x)=\frac{1}{x}\)2.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的是（）A.\(f(x)=|x|\)B.\(f(x)=x^3+1\)C.\(f(x)=\frac{x}{x^2+1}\)D.\(f(x)=\sqrt{x}\)3.函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}(x^2-2x+3)\)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A.\((-\infty,1)\)B.\((1,+\infty)\)C.\((-\infty,0)\)D.\((0,+\infty)\)4.已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，則\(f(-3)\)與\(f(2)\)的大小關(guān)系是（）A.\(f(-3)>f(2)\)B.\(f(-3)<f(2)\)C.\(f(-3)=f(2)\)D.無法確定5.若函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)是偶函數(shù)，則\(a,b,c\)滿足（）A.\(a=0,b=0\)B.\(b=0\)C.\(a=0,c=0\)D.\(b=0,c=0\)6.函數(shù)\(f(x)=x^2-2x+3\)在區(qū)間\([a,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則\(a\)的最小值是（）A.\(-1\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(2\)7.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，\(f(1)=2\)，則\(f(-1)\)的值為（）A.\(-2\)B.\(-1\)C.\(1\)D.\(2\)8.復(fù)合函數(shù)\(y=f(g(x))\)，若\(f(x)\)單調(diào)遞減，\(g(x)\)單調(diào)遞增，則\(y\)的單調(diào)性是（）A.遞增B.遞減C.先增后減D.先減后增（二）填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）1.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的單調(diào)遞減區(qū)間是________。2.若\(f(x)\)是偶函數(shù)，且\(f(3)=5\)，則\(f(-3)=________\)。3.函數(shù)\(y=2^{x^2-4x+5}\)的單調(diào)遞增區(qū)間是________。4.已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，\(f(2)=3\)，則\(f(-2)+f(0)=________\)。（三）解答題（本題共4小題，共40分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）1.（10分）用定義證明函數(shù)\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。2.（10分）已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，且在\([0,+\infty)\)上單調(diào)遞減，解不等式\(f(2x-1)>f(3)\)。3.（10分）已知\(f(x)\)是定義在\(\mathbb{R}\)上的奇函數(shù)，且在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增，\(f(1)=1\)，求不等式\(f(x^2-2x)+f(-3)<0\)的解集。4.（10分）已知函數(shù)\(f(x)\)滿足對(duì)任意\(x,y\in\mathbb{R}\)，有\(zhòng)(f(x+y)=f(x)+f(y)\)，且\(f(1)=-2\)，判斷\(f(x)\)的奇偶性，并解不等式\(f(x^2-3x)+f(2)>0\)。二、詳細(xì)解析（一）選擇題解析1.答案：B解析：A選項(xiàng)\(f(x)=x^2\)在\((-\infty,0)\)遞減、\((0,+\infty)\)遞增，非定義域上單調(diào)遞增；B選項(xiàng)\(f(x)=2^x\)是指數(shù)函數(shù)，底數(shù)\(2>1\)，定義域\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增；C選項(xiàng)\(f(x)=\log_2x\)定義域\((0,+\infty)\)，雖單調(diào)遞增但定義域不全；D選項(xiàng)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)分別遞減，非定義域上單調(diào)遞增。2.答案：C解析：A選項(xiàng)\(f(x)=|x|\)是偶函數(shù)；B選項(xiàng)\(f(-x)=-x^3+1\neq-f(x)\)，非奇函數(shù)；C選項(xiàng)\(f(-x)=\frac{-x}{x^2+1}=-f(x)\)，定義域\(\mathbb{R}\)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，是奇函數(shù)；D選項(xiàng)\(f(x)=\sqrt{x}\)定義域\([0,+\infty)\)，非奇函數(shù)。3.答案：A解析：內(nèi)層函數(shù)\(g(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，對(duì)稱軸\(x=1\)，在\((-\infty,1)\)遞減、\((1,+\infty)\)遞增；外層函數(shù)\(y=\log_{\frac{1}{2}}t\)是減函數(shù)，根據(jù)“同增異減”，復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為內(nèi)層遞減區(qū)間\((-\infty,1)\)。4.答案：B解析：\(f(x)\)是偶函數(shù)，故\(f(-3)=f(3)\)；又\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)單調(diào)遞減，\(3>2\)，故\(f(3)<f(2)\)，即\(f(-3)<f(2)\)。5.答案：B解析：偶函數(shù)的奇次項(xiàng)系數(shù)為0，故\(b=0\)；\(a\neq0\)（否則不是二次函數(shù)），\(c\)任意。6.答案：C解析：\(f(x)=x^2-2x+3=(x-1)^2+2\)，對(duì)稱軸\(x=1\)，在\([1,+\infty)\)單調(diào)遞增，故\(a\)的最小值為1。7.答案：A解析：奇函數(shù)滿足\(f(-x)=-f(x)\)，故\(f(-1)=-f(1)=-2\)。8.答案：B解析：復(fù)合函數(shù)單調(diào)性遵循“同增異減”，\(f(x)\)遞減、\(g(x)\)遞增，異號(hào)，故\(y\)遞減。（二）填空題解析1.答案：\((-1,1)\)解析：求導(dǎo)得\(f'(x)=3x^2-3\)，令\(f'(x)<0\)，解得\(-1<x<1\)，故單調(diào)遞減區(qū)間為\((-1,1)\)。2.答案：5解析：偶函數(shù)滿足\(f(-x)=f(x)\)，故\(f(-3)=f(3)=5\)。3.答案：\((2,+\infty)\)解析：內(nèi)層函數(shù)\(g(x)=x^2-4x+5=(x-2)^2+1\)，對(duì)稱軸\(x=2\)，在\((2,+\infty)\)遞增；外層函數(shù)\(y=2^t\)是增函數(shù)，故復(fù)合函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為\((2,+\infty)\)。4.答案：-3解析：奇函數(shù)滿足\(f(-2)=-f(2)=-3\)，且\(f(0)=0\)（奇函數(shù)性質(zhì)），故\(f(-2)+f(0)=-3+0=-3\)。（三）解答題解答1.證明：設(shè)\(1<x_1<x_2\)，則\[f(x_1)-f(x_2)=\left(x_1+\frac{1}{x_1}\right)-\left(x_2+\frac{1}{x_2}\right)=(x_1-x_2)+\frac{x_2-x_1}{x_1x_2}=(x_1-x_2)\left(1-\frac{1}{x_1x_2}\right).\]因?yàn)閈(1<x_1<x_2\)，所以\(x_1-x_2<0\)，\(x_1x_2>1\)（故\(1-\frac{1}{x_1x_2}>0\)），\(x_1x_2>0\)。因此\(f(x_1)-f(x_2)<0\)，即\(f(x_1)<f(x_2)\)。故\(f(x)=x+\frac{1}{x}\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增。2.解：\(f(x)\)是偶函數(shù)，故\(f(2x-1)=f(|2x-1|)\)。不等式\(f(2x-1)>f(3)\)轉(zhuǎn)化為\(f(|2x-1|)>f(3)\)。又\(f(x)\)在\([0,+\infty)\)單調(diào)遞減，故\(|2x-1|<3\)。解絕對(duì)值不等式：\(-3<2x-1<3\)，得\(-1<x<2\)。因此解集為\((-1,2)\)。3.解：\(f(x)\)是奇函數(shù)，故\(f(-3)=-f(3)\)。不等式\(f(x^2-2x)+f(-3)<0\)轉(zhuǎn)化為\(f(x^2-2x)<f(3)\)（移項(xiàng)得\(f(x^2-2x)<-f(-3)=f(3)\)）。因?yàn)閈(f(x)\)在\((0,+\infty)\)單調(diào)遞增且為奇函數(shù)，故\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞增。因此\(x^2-2x<3\)，解得\(-1<x<3\)。解集為\((-1,3)\)。4.解：（1）判斷奇偶性：令\(x=0,y=0\)，得\(f(0)=f(0)+f(0)\)，故\(f(0)=0\)。令\(y=-x\)，得\(f(0)=f(x)+f(-x)\)，故\(f(-x)=-f(x)\)，即\(f(x)\)是奇函數(shù)。（2）解不等式：不等式\(f(x^2-3x)+f(2)>0\)轉(zhuǎn)化為\(f(x^2-3x)>-f(2)=f(-2)\)（奇函數(shù)性質(zhì)）。證明單調(diào)性：設(shè)\(x_1<x_2\)，則\(x_2-x_1>0\)，\[f(x_2)=f(x_1+(x_2-x_1))=f(x_1)+f(x_2-x_1),\]故\(f(x_2)-f(x_1)=f(x_2-x_1)\)。由\(f(1)=-2\)，得\(f(x_2-x_1)=(x_2-x_1)f(1)=-2(x_2-x_1)<0\)，故\(f(x_2)<f(x_1)\)，即\(f(x)\)在\(\mathbb{R}\)上單調(diào)遞減。因此不等式\(f(x^2-3x)>f(-2)\