數(shù)學(xué)專題公開(kāi)課教學(xué)設(shè)計(jì)范例一、教學(xué)背景（一）主題地位函數(shù)的零點(diǎn)是函數(shù)與方程的核心連接點(diǎn)，既是高中數(shù)學(xué)的重要概念（必修1重點(diǎn)內(nèi)容），也是高考的高頻考點(diǎn)（近五年全國(guó)卷考查頻率達(dá)100%，多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，分值5-10分）。其本質(zhì)是將“方程的解”轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)”，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的直觀想象與邏輯推理能力具有重要價(jià)值。（二）學(xué)情分析授課對(duì)象為高中一年級(jí)學(xué)生，已掌握函數(shù)的基本概念、圖像繪制及單調(diào)性判斷，具備一定的抽象思維能力，但對(duì)“零點(diǎn)存在性”的嚴(yán)謹(jǐn)性理解不足，對(duì)復(fù)雜函數(shù)（如復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷存在困難。需通過(guò)直觀演示與探究活動(dòng)突破認(rèn)知障礙。二、教學(xué)目標(biāo)（一）知識(shí)與技能1.理解函數(shù)零點(diǎn)的定義（代數(shù)定義：方程\(f(x)=0\)的解；幾何定義：函數(shù)\(y=f(x)\)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)）；2.掌握零點(diǎn)存在定理的條件與結(jié)論（連續(xù)函數(shù)、端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)→區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)）；3.能運(yùn)用定理判斷函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（結(jié)合單調(diào)性、圖像對(duì)稱性等）。（二）過(guò)程與方法通過(guò)“情境引入—概念建構(gòu)—定理探究—應(yīng)用拓展”的主線，經(jīng)歷觀察歸納（零點(diǎn)定義）、動(dòng)態(tài)驗(yàn)證（零點(diǎn)存在定理）、邏輯推理（零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷）的過(guò)程，提升數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)。（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀通過(guò)實(shí)際問(wèn)題（如方程\(2^x+x-3=0\)的解）與數(shù)學(xué)史（笛卡爾“函數(shù)與方程”思想）的滲透，感受數(shù)學(xué)的實(shí)用性與嚴(yán)謹(jǐn)性，激發(fā)對(duì)數(shù)學(xué)的探究興趣。三、教學(xué)重難點(diǎn)（一）教學(xué)重點(diǎn)1.零點(diǎn)存在定理的理解與應(yīng)用；2.函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法（單調(diào)性法、圖像法）。（二）教學(xué)難點(diǎn)復(fù)雜函數(shù)（如\(f(x)=e^x-\lnx-2\)、分段函數(shù)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)分析。四、教學(xué)方法探究式教學(xué)：通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生自主歸納零點(diǎn)定義、探究定理?xiàng)l件；多媒體輔助：幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示函數(shù)圖像，直觀驗(yàn)證零點(diǎn)存在性；小組合作學(xué)習(xí)：針對(duì)復(fù)雜問(wèn)題開(kāi)展小組討論，培養(yǎng)合作意識(shí)。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)（一）情境引入：?jiǎn)栴}導(dǎo)向，激發(fā)興趣（5分鐘）問(wèn)題1：我們知道，方程\(x^2-2x-3=0\)的解是\(x=3\)或\(x=-1\)，那么方程\(2^x+x-3=0\)有解嗎？如果有，解的個(gè)數(shù)是多少？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)“可解”與“不可解”方程的對(duì)比，引發(fā)學(xué)生對(duì)“方程解的存在性”的思考，自然引入“函數(shù)零點(diǎn)”概念。師生活動(dòng)：學(xué)生嘗試用代數(shù)方法解方程\(2^x+x-3=0\)，發(fā)現(xiàn)無(wú)法用常規(guī)方法求解；教師引導(dǎo)：“既然代數(shù)方法不行，我們可以將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)，通過(guò)圖像觀察解的情況?！闭故竞瘮?shù)\(y=2^x\)與\(y=3-x\)的圖像，交點(diǎn)橫坐標(biāo)即為方程的解（約為\(x=1\)）。（二）概念建構(gòu)：從具體到抽象，歸納零點(diǎn)定義（8分鐘）問(wèn)題2：觀察下列函數(shù)的圖像，思考“方程\(f(x)=0\)的解”與“函數(shù)\(y=f(x)\)圖像”的關(guān)系：（1）\(f(x)=x^2-2x-3\)；（2）\(f(x)=2^x+x-3\)；（3）\(f(x)=\sinx\)（\(x\in[0,2\pi]\)）。設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)具體函數(shù)例子，讓學(xué)生歸納“零點(diǎn)”的代數(shù)與幾何定義，實(shí)現(xiàn)從“具體”到“抽象”的過(guò)渡。師生活動(dòng)：學(xué)生觀察圖像，發(fā)言總結(jié)：“方程\(f(x)=0\)的解就是函數(shù)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)”；教師提煉零點(diǎn)定義：代數(shù)定義：對(duì)于函數(shù)\(y=f(x)\)，使\(f(x)=0\)的實(shí)數(shù)\(x\)稱為函數(shù)的零點(diǎn)；幾何定義：函數(shù)\(y=f(x)\)圖像與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)。強(qiáng)調(diào)：零點(diǎn)是實(shí)數(shù)，不是點(diǎn)（區(qū)分“零點(diǎn)”與“交點(diǎn)”）。（三）定理探究：動(dòng)態(tài)驗(yàn)證，嚴(yán)謹(jǐn)推理（12分鐘）問(wèn)題3：函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上滿足什么條件時(shí)，區(qū)間內(nèi)一定有零點(diǎn)？設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)動(dòng)態(tài)演示，讓學(xué)生自主探究零點(diǎn)存在定理的條件，體會(huì)“連續(xù)”與“端點(diǎn)異號(hào)”的必要性。師生活動(dòng)：1.實(shí)驗(yàn)1：展示函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)（連續(xù)函數(shù)），調(diào)整區(qū)間\([a,b]\)（如\([0,1]\)），觀察\(f(a)\)與\(f(b)\)的符號(hào)及圖像與x軸的交點(diǎn)；學(xué)生發(fā)現(xiàn)：當(dāng)\(f(a)f(b)<0\)時(shí)，區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)；2.實(shí)驗(yàn)2：展示函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)（在\([-1,1]\)上不連續(xù)），雖然\(f(-1)f(1)<0\)，但區(qū)間內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；3.實(shí)驗(yàn)3：展示函數(shù)\(f(x)=x^2\)（在\([-1,1]\)上連續(xù)），雖然\(f(-1)f(1)>0\)，但區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)（\(x=0\)）。歸納定理：零點(diǎn)存在定理：如果函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)\cdotf(b)<0\)，那么函數(shù)\(y=f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)。強(qiáng)調(diào)定理的條件（連續(xù)、端點(diǎn)異號(hào)）與結(jié)論（至少一個(gè)零點(diǎn)），并通過(guò)反例（實(shí)驗(yàn)2、3）說(shuō)明條件的必要性。（四）定理應(yīng)用：分層練習(xí)，鞏固提升（15分鐘）環(huán)節(jié)1：基礎(chǔ)應(yīng)用——判斷零點(diǎn)存在性（5分鐘）例1：判斷函數(shù)\(f(x)=\lnx+2x-6\)在區(qū)間\((2,3)\)內(nèi)是否有零點(diǎn)，并說(shuō)明理由。設(shè)計(jì)意圖：鞏固零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)“連續(xù)”與“端點(diǎn)異號(hào)”的驗(yàn)證。師生活動(dòng)：學(xué)生驗(yàn)證：\(f(x)\)在\((2,3)\)上連續(xù)（對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的和，定義域內(nèi)連續(xù)）；計(jì)算\(f(2)=\ln2+4-6\approx0.693-2=-1.307<0\)；\(f(3)=\ln3+6-6\approx1.098>0\)；結(jié)論：\(f(2)f(3)<0\)，故區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。環(huán)節(jié)2：提升應(yīng)用——判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)（10分鐘）例2：求函數(shù)\(f(x)=x^3-3x+1\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的思想。師生活動(dòng)：1.求導(dǎo)分析單調(diào)性：\(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\)；當(dāng)\(x<-1\)或\(x>1\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，函數(shù)遞增；當(dāng)\(-1<x<1\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，函數(shù)遞減；2.計(jì)算極值：極大值\(f(-1)=(-1)^3-3(-1)+1=-1+3+1=3>0\)；極小值\(f(1)=1-3+1=-1<0\)；3.結(jié)合零點(diǎn)存在定理：當(dāng)\(x\to-\infty\)時(shí)，\(x^3\)主導(dǎo)，\(f(x)\to-\infty\)；當(dāng)\(x\to+\infty\)時(shí)，\(f(x)\to+\infty\)；因此，函數(shù)在\((-\infty,-1)\)（遞增，從\(-\infty\)到3）有一個(gè)零點(diǎn)；在\((-1,1)\)（遞減，從3到-1）有一個(gè)零點(diǎn)；在\((1,+\infty)\)（遞增，從-1到\(+\infty\)）有一個(gè)零點(diǎn)；結(jié)論：共3個(gè)零點(diǎn)。例3：（高考真題改編）函數(shù)\(f(x)=e^x-\lnx-2\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3設(shè)計(jì)意圖：結(jié)合超越函數(shù)（指數(shù)、對(duì)數(shù)），考查學(xué)生對(duì)“單調(diào)性+極值”方法的掌握，貼近高考要求。師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立分析：\(f(x)\)定義域?yàn)閈((0,+\infty)\)，求導(dǎo)得\(f'(x)=e^x-\frac{1}{x}\)；分析\(f'(x)\)的單調(diào)性：\(e^x\)在\((0,+\infty)\)遞增，\(\frac{1}{x}\)在\((0,+\infty)\)遞減，故\(f'(x)\)在\((0,+\infty)\)遞增；計(jì)算特殊點(diǎn)：\(f'(1)=e-1>0\)，\(f'(0.5)=e^{0.5}-2\approx1.648-2=-0.352<0\)；故存在唯一\(x_0\in(0.5,1)\)，使得\(f'(x_0)=0\)；當(dāng)\(0<x<x_0\)時(shí)，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；當(dāng)\(x>x_0\)時(shí)，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)遞增；極小值\(f(x_0)=e^{x_0}-\lnx_0-2\)，由\(e^{x_0}=\frac{1}{x_0}\)（\(f'(x_0)=0\)），得\(\lnx_0=-x_0\)；代入得\(f(x_0)=\frac{1}{x_0}+x_0-2\)，由基本不等式\(\frac{1}{x_0}+x_0\geq2\)（當(dāng)且僅當(dāng)\(x_0=1\)時(shí)取等號(hào)），但\(x_0\in(0.5,1)\)，故\(f(x_0)<0\)；又\(f(1)=e-0-2\approx0.718>0\)，\(f(0.1)=e^{0.1}-\ln0.1-2\approx1.105+2.302-2=1.407>0\)；結(jié)論：函數(shù)在\((0,x_0)\)（遞減，從\(+\infty\)到\(f(x_0)\)）有一個(gè)零點(diǎn)；在\((x_0,+\infty)\)（遞增，從\(f(x_0)\)到\(+\infty\)）有一個(gè)零點(diǎn)；共2個(gè)零點(diǎn)，選C。（五）拓展探究：復(fù)合函數(shù)與分段函數(shù)零點(diǎn)（8分鐘）例4：已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x^2-2x,&x\geq0,\\-x^2-2x,&x<0,\end{cases}\)，若\(f(f(x))=a\)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)\(a\)的取值范圍。設(shè)計(jì)意圖：考查分段函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的“換元思想”與“圖像分析能力”。師生活動(dòng)：1.繪制\(f(x)\)圖像：當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)，圖像為開(kāi)口向上的拋物線，頂點(diǎn)在\((1,-1)\)，與x軸交于\((0,0)\)、\((2,0)\)；當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1\)，圖像為開(kāi)口向下的拋物線，頂點(diǎn)在\((-1,1)\)，與x軸交于\((0,0)\)、\((-2,0)\)；綜上，\(f(x)\)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇函數(shù)），在\((-\infty,-1]\)遞增，\([-1,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增。2.換元分析：設(shè)\(t=f(x)\)，則\(f(t)=a\)，要求\(f(f(x))=a\)有4個(gè)零點(diǎn)，即方程\(f(t)=a\)有兩個(gè)不同的解\(t_1\)、\(t_2\)，且每個(gè)\(t_i\)對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_i\)有2個(gè)解。3.分析\(f(t)=a\)的解：由\(f(t)\)圖像，當(dāng)\(a\in(-1,0)\)時(shí)，\(f(t)=a\)有兩個(gè)不同的解\(t_1\in(-2,-1)\)、\(t_2\in(0,1)\)；當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(f(t)=0\)有解\(t=-2\)、\(0\)、\(2\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=t\)的解個(gè)數(shù)為：\(t=-2\)時(shí)有1個(gè)解，\(t=0\)時(shí)有3個(gè)解，\(t=2\)時(shí)有1個(gè)解，共5個(gè)解，不符合；當(dāng)\(a\in(0,1)\)時(shí)，\(f(t)=a\)有兩個(gè)不同的解\(t_1\in(-1,0)\)、\(t_2\in(1,2)\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_1\)有2個(gè)解，\(f(x)=t_2\)有2個(gè)解，共4個(gè)解，符合條件；當(dāng)\(a=1\)時(shí)，\(f(t)=1\)有解\(t=-1\)、\(1\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=-1\)有2個(gè)解，\(f(x)=1\)有2個(gè)解，共4個(gè)解，但此時(shí)\(a=1\)是邊界值，需驗(yàn)證：\(f(t)=1\)的解為\(t=-1\)（對(duì)應(yīng)\(f(x)=-1\)有2個(gè)解）、\(t=1\)（對(duì)應(yīng)\(f(x)=1\)有2個(gè)解），共4個(gè)解，但\(a=1\)時(shí)\(f(t)=1\)的解是否唯一？不，\(t=-1\)和\(t=1\)都是解，對(duì)應(yīng)\(f(x)=-1\)有2個(gè)解，\(f(x)=1\)有2個(gè)解，共4個(gè)解，但\(a=1\)是極大值點(diǎn)，此時(shí)\(f(t)=1\)的解為\(t=-1\)、\(t=1\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=t\)的解個(gè)數(shù)為2+2=4，符合條件嗎？需要再仔細(xì)分析：\(f(x)=1\)的解：當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(x^2-2x=1\)，解得\(x=1+\sqrt{2}\)（\(x=1-\sqrt{2}\)舍去）；當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-x^2-2x=1\)，解得\(x=-1\)，故\(f(x)=1\)有2個(gè)解；\(f(x)=-1\)的解：當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(x^2-2x=-1\)，解得\(x=1\)；當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-x^2-2x=-1\)，解得\(x=-1-\sqrt{2}\)（\(x=-1+\sqrt{2}\)舍去），故\(f(x)=-1\)有2個(gè)解；共4個(gè)解，符合條件。但\(a=1\)是極大值點(diǎn)，此時(shí)\(f(t)=1\)的解為\(t=-1\)、\(t=1\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=t\)的解個(gè)數(shù)為2+2=4，符合條件。但\(a\in(0,1)\)時(shí)，\(f(t)=a\)的解\(t_1\in(-2,-1)\)、\(t_2\in(0,1)\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_1\)有1個(gè)解（因?yàn)閈(t_1\in(-2,-1)\)，\(f(x)=t_1\)的解在\(x<0\)時(shí)，\(-x^2-2x=t_1\)，即\(x^2+2x+t_1=0\)，判別式\(\Delta=4-4t_1>0\)，有兩個(gè)解？等一下，\(f(x)\)在\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1\)，值域?yàn)閈((-\infty,1]\)，當(dāng)\(t_1\in(-2,-1)\)時(shí)，\(f(x)=t_1\)的解在\(x<0\)時(shí)，方程\(-x^2-2x=t_1\)即\(x^2+2x+t_1=0\)，判別式\(\Delta=4-4t_1\)，因?yàn)閈(t_1\in(-2,-1)\)，所以\(\Delta=4-4t_1>4-4\times(-1)=8>0\)，有兩個(gè)解？但\(f(x)\)在\(x<0\)時(shí)，圖像是開(kāi)口向下的拋物線，頂點(diǎn)在\((-1,1)\)，與x軸交于\((-2,0)\)、\((0,0)\)，所以當(dāng)\(t_1\in(-2,-1)\)時(shí)，\(f(x)=t_1\)在\(x<0\)時(shí)有兩個(gè)解嗎？比如\(t_1=-1.5\)，\(f(x)=-1.5\)，當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-x^2-2x=-1.5\)，即\(x^2+2x-1.5=0\)，解得\(x=-1\pm\sqrt{1+1.5}=-1\pm\sqrt{2.5}\)，其中\(zhòng)(x=-1-\sqrt{2.5}<0\)，\(x=-1+\sqrt{2.5}\approx-1+1.581=0.581>0\)（舍去），所以只有1個(gè)解；哦，對(duì)，我之前犯了一個(gè)錯(cuò)誤，\(f(x)\)在\(x<0\)時(shí)，定義域是\(x<0\)，所以方程\(-x^2-2x=t_1\)的解中，只有\(zhòng)(x=-1-\sqrt{1-t_1}\)（因?yàn)閈(\sqrt{1-t_1}>1\)，所以\(-1-\sqrt{1-t_1}<-2\)？等一下，\(t_1\in(-2,-1)\)，所以\(1-t_1\in(2,3)\)，\(\sqrt{1-t_1}\in(\sqrt{2},\sqrt{3})\)，所以\(-1-\sqrt{1-t_1}\in(-1-\sqrt{3},-1-\sqrt{2})\subset(-\infty,-2)\)，屬于\(x<0\)的范圍，所以有一個(gè)解；而\(x=-1+\sqrt{1-t_1}\)，因?yàn)閈(\sqrt{1-t_1}>1\)，所以\(-1+\sqrt{1-t_1}>0\)，不屬于\(x<0\)的范圍，舍去；所以\(f(x)=t_1\)（\(t_1\in(-2,-1)\)）只有1個(gè)解；而\(t_2\in(0,1)\)時(shí)，\(f(x)=t_2\)的解：當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(x^2-2x=t_2\)，即\(x^2-2x-t_2=0\)，判別式\(\Delta=4+4t_2>0\)，解為\(x=1\pm\sqrt{1+t_2}\)，其中\(zhòng)(x=1+\sqrt{1+t_2}>0\)，\(x=1-\sqrt{1+t_2}\)，因?yàn)閈(t_2\in(0,1)\)，所以\(\sqrt{1+t_2}\in(1,\sqrt{2})\)，所以\(1-\sqrt{1+t_2}\in(1-\sqrt{2},0)\)，不屬于\(x\geq0\)的范圍，舍去；當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(-x^2-2x=t_2\)，即\(x^2+2x+t_2=0\)，判別式\(\Delta=4-4t_2>0\)，解為\(x=-1\pm\sqrt{1-t_2}\)，其中\(zhòng)(x=-1-\sqrt{1-t_2}<0\)（因?yàn)閈(\sqrt{1-t_2}>0\)），\(x=-1+\sqrt{1-t_2}\)，因?yàn)閈(t_2\in(0,1)\)，所以\(\sqrt{1-t_2}\in(0,1)\)，所以\(-1+\sqrt{1-t_2}\in(-1,0)\)，屬于\(x<0\)的范圍，所以\(f(x)=t_2\)有2個(gè)解？等一下，我之前分析錯(cuò)了，\(f(x)\)在\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1\)，值域?yàn)閈([-1,+\infty)\)，當(dāng)\(t_2\in(0,1)\)時(shí)，\(f(x)=t_2\)在\(x\geq0\)時(shí)有兩個(gè)解嗎？比如\(t_2=0.5\)，\(x^2-2x=0.5\)，即\(x^2-2x-0.5=0\)，解為\(x=1\pm\sqrt{1+0.5}=1\pm\sqrt{1.5}\)，其中\(zhòng)(1+\sqrt{1.5}>0\)，\(1-\sqrt{1.5}\approx1-1.2247=-0.2247<0\)，舍去，所以\(x\geq0\)時(shí)只有1個(gè)解；在\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1\)，值域?yàn)閈((-\infty,1]\)，當(dāng)\(t_2\in(0,1)\)時(shí)，\(f(x)=t_2\)在\(x<0\)時(shí)有兩個(gè)解嗎？比如\(t_2=0.5\)，\(-x^2-2x=0.5\)，即\(x^2+2x+0.5=0\)，解為\(x=-1\pm\sqrt{1-0.5}=-1\pm\sqrt{0.5}\)，其中\(zhòng)(-1+\sqrt{0.5}\approx-1+0.7071=-0.2929<0\)，\(-1-\sqrt{0.5}\approx-1-0.7071=-1.7071<0\)，所以兩個(gè)解都屬于\(x<0\)的范圍，所以\(f(x)=t_2\)有2個(gè)解？不對(duì)，\(f(x)\)在\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x\)，當(dāng)\(x=-1\)時(shí)取得最大值1，當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增；當(dāng)\(-1<x<0\)時(shí)，\(f(x)\)遞減；所以當(dāng)\(t_2\in(0,1)\)時(shí)，\(f(x)=t_2\)在\(x<0\)時(shí)有兩個(gè)解：一個(gè)在\((-\infty,-1)\)，一個(gè)在\((-1,0)\)；而在\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=t_2\)有一個(gè)解（在\((1,+\infty)\)）；所以\(f(x)=t_2\)共有3個(gè)解？哦，我之前完全分析錯(cuò)了，這說(shuō)明我需要更仔細(xì)地繪制\(f(x)\)的圖像：當(dāng)\(x\geq0\)時(shí)，\(f(x)=x^2-2x\)：頂點(diǎn)在\((1,-1)\)，與x軸交于\((0,0)\)、\((2,0)\)；當(dāng)\(0\leqx<1\)時(shí)，\(f(x)\)遞減，從0到-1；當(dāng)\(x>1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從-1到\(+\infty\)；值域：\([-1,+\infty)\)。當(dāng)\(x<0\)時(shí)，\(f(x)=-x^2-2x=-(x+1)^2+1\)：頂點(diǎn)在\((-1,1)\)，與x軸交于\((-2,0)\)、\((0,0)\)；當(dāng)\(x<-1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從\(-\infty\)到1；當(dāng)\(-1<x<0\)時(shí)，\(f(x)\)遞減，從1到0；值域：\((-\infty,1]\)?，F(xiàn)在重新分析\(f(x)=t\)的解個(gè)數(shù)：當(dāng)\(t>1\)時(shí)，\(f(x)=t\)無(wú)解；當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(f(x)=1\)的解為\(x=-1\)（\(x<0\)時(shí)的頂點(diǎn)）、\(x=1+\sqrt{2}\)（\(x\geq0\)時(shí)，\(x^2-2x=1\)的解），共2個(gè)解；當(dāng)\(0<t<1\)時(shí)，\(f(x)=t\)的解：\(x<-1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從\(-\infty\)到1，故有1個(gè)解；\(-1<x<0\)時(shí)，\(f(x)\)遞減，從1到0，故有1個(gè)解；\(x>1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從-1到\(+\infty\)，故有1個(gè)解；共3個(gè)解；當(dāng)\(t=0\)時(shí)，\(f(x)=0\)的解為\(x=-2\)、\(0\)、\(2\)，共3個(gè)解；當(dāng)\(-1<t<0\)時(shí)，\(f(x)=t\)的解：\(x<-1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從\(-\infty\)到1，故有1個(gè)解；\(0<x<1\)時(shí)，\(f(x)\)遞減，從0到-1，故有1個(gè)解；\(x>1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從-1到\(+\infty\)，故有1個(gè)解；共3個(gè)解；當(dāng)\(t=-1\)時(shí)，\(f(x)=-1\)的解為\(x=-1-\sqrt{2}\)、\(1\)，共2個(gè)解；當(dāng)\(t<-1\)時(shí)，\(f(x)=t\)的解：\(x<-1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從\(-\infty\)到1，故有1個(gè)解；\(x>1\)時(shí)，\(f(x)\)遞增，從-1到\(+\infty\)，故有1個(gè)解；共2個(gè)解。哦，原來(lái)我之前對(duì)\(f(x)=t\)的解個(gè)數(shù)分析錯(cuò)誤，現(xiàn)在糾正后：當(dāng)\(t>1\)時(shí)，\(f(x)=t\)無(wú)解；當(dāng)\(t=1\)時(shí)，\(f(x)=t\)有2個(gè)解；當(dāng)\(0<t<1\)時(shí)，\(f(x)=t\)有3個(gè)解；當(dāng)\(t=0\)時(shí)，\(f(x)=t\)有3個(gè)解；當(dāng)\(-1<t<0\)時(shí)，\(f(x)=t\)有3個(gè)解；當(dāng)\(t=-1\)時(shí)，\(f(x)=t\)有2個(gè)解；當(dāng)\(t<-1\)時(shí)，\(f(x)=t\)有2個(gè)解。現(xiàn)在回到例4，\(f(f(x))=a\)有4個(gè)不同的零點(diǎn)，即方程\(f(t)=a\)有解\(t\)，且每個(gè)\(t\)對(duì)應(yīng)\(f(x)=t\)的解個(gè)數(shù)之和為4。要使總解個(gè)數(shù)為4，需要\(f(t)=a\)的解\(t\)滿足：情況1：\(f(t)=a\)有兩個(gè)解\(t_1\)、\(t_2\)，其中一個(gè)\(t_i\)對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_i\)有2個(gè)解，另一個(gè)\(t_j\)對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_j\)有2個(gè)解，總解個(gè)數(shù)為2+2=4；情況2：\(f(t)=a\)有一個(gè)解\(t\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=t\)有4個(gè)解，但\(f(t)=a\)最多有3個(gè)解（當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(f(t)=0\)有3個(gè)解），且\(f(x)=t\)最多有3個(gè)解，故情況2不可能。現(xiàn)在找情況1：\(f(t)=a\)有兩個(gè)解\(t_1\)、\(t_2\)，每個(gè)\(t_i\)對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_i\)有2個(gè)解。根據(jù)之前的分析，\(f(x)=t\)有2個(gè)解的情況是\(t=1\)或\(t=-1\)或\(t<-1\)。當(dāng)\(a=1\)時(shí)，\(f(t)=1\)的解為\(t=-1\)、\(t=1\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=-1\)有2個(gè)解，\(f(x)=1\)有2個(gè)解，總解個(gè)數(shù)為2+2=4，符合條件；當(dāng)\(a=-1\)時(shí)，\(f(t)=-1\)的解為\(t=1\)（因?yàn)閈(f(1)=1^2-2\times1=-1\)）、\(t=-1-\sqrt{2}\)（因?yàn)閈(f(-1-\sqrt{2})=-(-1-\sqrt{2})^2-2\times(-1-\sqrt{2})=-(1+2\sqrt{2}+2)+2+2\sqrt{2}=-(3+2\sqrt{2})+2+2\sqrt{2}=-1\)），對(duì)應(yīng)\(f(x)=1\)有2個(gè)解，\(f(x)=-1-\sqrt{2}\)有2個(gè)解（因?yàn)閈(-1-\sqrt{2}<-1\)，\(f(x)=-1-\sqrt{2}\)有2個(gè)解），總解個(gè)數(shù)為2+2=4，符合條件；當(dāng)\(a<-1\)時(shí)，\(f(t)=a\)的解為\(t_1<-1\)、\(t_2>1\)（因?yàn)閈(f(t)\)在\((-\infty,-1]\)遞增，\([-1,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增，當(dāng)\(a<-1\)時(shí)，\(f(t)=a\)有兩個(gè)解：一個(gè)在\((-\infty,-1)\)，一個(gè)在\((1,+\infty)\)），對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_1\)有2個(gè)解（\(t_1<-1\)），\(f(x)=t_2\)有0個(gè)解（\(t_2>1\)），總解個(gè)數(shù)為2+0=2，不符合；當(dāng)\(a\in(-1,0)\)時(shí)，\(f(t)=a\)的解為\(t_1<-1\)、\(t_2\in(-1,0)\)、\(t_3\in(0,1)\)（因?yàn)閈(f(t)\)在\((-\infty,-1]\)遞增，\([-1,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增，當(dāng)\(a\in(-1,0)\)時(shí)，\(f(t)=a\)有三個(gè)解），對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_1\)有2個(gè)解，\(f(x)=t_2\)有3個(gè)解，\(f(x)=t_3\)有3個(gè)解，總解個(gè)數(shù)為2+3+3=8，不符合；當(dāng)\(a=0\)時(shí)，\(f(t)=0\)的解為\(t=-2\)、\(0\)、\(2\)，對(duì)應(yīng)\(f(x)=-2\)有2個(gè)解（\(-2<-1\)），\(f(x)=0\)有3個(gè)解，\(f(x)=2\)有1個(gè)解（\(2>1\)），總解個(gè)數(shù)為2+3+1=6，不符合；當(dāng)\(a\in(0,1)\)時(shí)，\(f(t)=a\)的解為\(t_1<-1\)、\(t_2\in(0,1)\)、\(t_3\in(1,+\infty)\)（因?yàn)閈(f(t)\)在\((-\infty,-1]\)遞增，\([-1,1]\)遞減，\([1,+\infty)\)遞增，當(dāng)\(a\in(0,1)\)時(shí)，\(f(t)=a\)有三個(gè)解），對(duì)應(yīng)\(f(x)=t_1\)有2個(gè)解，\(f(