5.3.4方案選擇問題方案選擇問題是一元一次方程及不等式在實際生活中的重要應(yīng)用，這類問題通常提供多種可供選擇的方案，要求通過計算和比較，選出最省錢、最有效或最符合條件的方案。解決這類問題的關(guān)鍵是建立不同方案的數(shù)量關(guān)系表達式，通過分析變量的取值范圍確定最優(yōu)方案。一、核心思路與解題步驟核心思路：方案選擇問題的本質(zhì)是比較不同方案的成本、收益或效果，通常涉及一個或多個變量（如數(shù)量、時間等）。當變量取不同值時，不同方案的優(yōu)劣會發(fā)生變化，需找到“臨界點”（即不同方案效果相同的變量值），再根據(jù)變量的實際取值范圍選擇最優(yōu)方案。解題步驟：明確問題目標：確定選擇方案的標準（如最省錢、最高效、滿足特定條件等）。設(shè)未知數(shù)：設(shè)影響方案選擇的變量為\(x\)（如購買數(shù)量、使用時間、參與人數(shù)等）。建立表達式：根據(jù)題目條件，分別列出不同方案的成本、收益或效果的表達式（通常為含\(x\)的代數(shù)式）。找臨界點：通過列方程求出不同方案效果相等時\(x\)的值（臨界點），此時兩種方案無差異。分析取值范圍：根據(jù)臨界點將變量\(x\)的取值范圍分為幾段，分別判斷每段范圍內(nèi)哪種方案更優(yōu)。驗證并作答：結(jié)合實際問題的限制條件（如數(shù)量為正整數(shù)），驗證結(jié)論并確定最終方案。二、常見類型與實例解析（一）省錢方案選擇示例1：某學(xué)校計劃購買一批籃球，現(xiàn)有兩家商店可供選擇。甲商店：每個籃球售價80元，買10個以上（含10個），從第11個起按原價的70%出售；乙商店：每個籃球售價80元，一律按原價的85%出售。若學(xué)校需要購買\(x\)個籃球（\(x>0\)），請分別寫出在兩家商店購買的費用\(y_??2\)、\(y_?1?\)與\(x\)的函數(shù)關(guān)系，并說明當購買多少個籃球時，選擇哪家商店更省錢？解：步驟1：建立費用表達式。甲商店：當\(0<x<10\)時，無優(yōu)惠，\(y_??2=80x\)；當\(xa?￥10\)時，前10個按原價，第11個起按70%，即\(y_??2=80??10+80??70\%??(x-10)=800+56(x-10)=56x+240\)。乙商店：無論購買數(shù)量，均按85%出售，\(y_?1?=80??85\%x=68x\)。步驟2：找臨界點。當\(0<x<10\)時，比較\(80x\)與\(68x\)：因\(80x>68x\)（\(x>0\)），此時乙商店更省錢。當\(xa?￥10\)時，令\(y_??2=y_?1?\)，即\(56x+240=68x\)，解得\(12x=240\)，\(x=20\)。步驟3：分析取值范圍。當\(10a?¤x<20\)時，取\(x=15\)驗證：\(y_??2=56??15+240=840+240=1080\)元，\(y_?1?=68??15=1020\)元，\(y_??2>y_?1?\)，乙商店更省錢。當\(x=20\)時，\(y_??2=y_?1?=68??20=1360\)元，兩家商店費用相同。當\(x>20\)時，取\(x=25\)驗證：\(y_??2=56??25+240=1400+240=1640\)元，\(y_?1?=68??25=1700\)元，\(y_??2<y_?1?\)，甲商店更省錢。步驟4：結(jié)論。答：當購買數(shù)量小于20個時，選擇乙商店更省錢；當購買20個時，兩家商店費用相同；當購買數(shù)量大于20個時，選擇甲商店更省錢。（二）方案有效性選擇示例2：某公司組織員工外出團建，現(xiàn)有A、B兩種車型可供租車選擇。A車型：限乘15人，租金450元/輛；B車型：限乘10人，租金300元/輛。公司共有45名員工，要求每輛車必須坐滿，有幾種租車方案？哪種方案租金最少？解：步驟1：設(shè)未知數(shù)。設(shè)租A車型\(x\)輛，因每車坐滿，A車可坐\(15x\)人，則B車需坐\(45-15x\)人，B車型數(shù)量為\(\frac{45-15x}{10}=\frac{9-3x}{2}\)輛，需為非負整數(shù)。步驟2：確定取值范圍。由\(xa?￥0\)且\(\frac{9-3x}{2}a?￥0\)，得\(0a?¤xa?¤3\)，且\(9-3x\)為偶數(shù)（因B車數(shù)量為整數(shù)）。當\(x=1\)時，B車數(shù)量\(\frac{9-3??1}{2}=3\)輛（整數(shù)，有效）；當\(x=3\)時，B車數(shù)量\(\frac{9-3??3}{2}=0\)輛（整數(shù)，有效）；當\(x=0\)時，B車數(shù)量\(\frac{9}{2}=4.5\)輛（無效）；當\(x=2\)時，B車數(shù)量\(\frac{9-6}{2}=1.5\)輛（無效）。故有效方案為：方案1：租A車1輛，B車3輛；方案2：租A車3輛，B車0輛。步驟3：計算租金。方案1租金：\(450??1+300??3=450+900=1350\)元；方案2租金：\(450??3+300??0=1350\)元。步驟4：結(jié)論。答：有2種租車方案，兩種方案租金相同，均為1350元。（三）含優(yōu)惠條件的方案選擇示例3：某通訊公司推出兩種手機套餐：套餐A：月租50元，通話費0.2元/分鐘；套餐B：月租0元，通話費0.4元/分鐘。若每月通話時間為\(x\)分鐘，選擇哪種套餐更劃算？解：步驟1：建立費用表達式。套餐A費用：\(y_A=50+0.2x\)；套餐B費用：\(y_B=0.4x\)。步驟2：找臨界點。令\(y_A=y_B\)，即\(50+0.2x=0.4x\)，解得\(0.2x=50\)，\(x=250\)分鐘。步驟3：分析取值范圍。當\(x<250\)分鐘時，取\(x=100\)：\(y_A=50+20=70\)元，\(y_B=40\)元，\(y_B<y_A\)，套餐B更劃算。當\(x=250\)分鐘時，\(y_A=y_B=100\)元，兩種套餐費用相同。當\(x>250\)分鐘時，取\(x=300\)：\(y_A=50+60=110\)元，\(y_B=120\)元，\(y_A<y_B\)，套餐A更劃算。步驟4：結(jié)論。答：當每月通話時間小于250分鐘時，選擇套餐B更劃算；當通話時間為250分鐘時，兩種套餐費用相同；當通話時間大于250分鐘時，選擇套餐A更劃算。三、典型例題分類解析分段計費方案選擇：例：某自來水公司收費標準如下：解：設(shè)自來水公司費用為\(y_1\)，另一家公司費用為\(y_2=2.5x\)。每月用水量不超過10噸，每噸2元；超過10噸的部分，每噸3元。另一家公司統(tǒng)一收費每噸2.5元。若每月用水量為\(x\)噸，選擇哪家公司更省錢？當\(0a?¤xa?¤10\)時，\(y_1=2x\)，令\(2x=2.5x\)得\(x=0\)，故\(0<xa?¤10\)時，\(y_1<y_2\)，自來水公司更省錢。當\(x>10\)時，\(y_1=2??10+3(x-10)=3x-10\)，令\(3x-10=2.5x\)得\(x=20\)，故\(10<x<20\)時，\(y_1<y_2\)；\(x=20\)時費用相同；\(x>20\)時，\(y_1>y_2\)。答：當用水量小于20噸時，選擇自來水公司；等于20噸時費用相同；大于20噸時選擇另一家公司。購買數(shù)量與折扣方案：例：某書店推出活動：解：方案一：一次性購買不超過20本，每本10元；方案二：一次性購買超過20本，全部按每本8元。若需要購買\(x\)本，哪種方案更省錢？當\(0<xa?¤20\)時，方案一費用\(y_1=10x\)，方案二不適用（或按原價），方案一更省錢。當\(x>20\)時，方案一費用\(y_1=10x\)，方案二費用\(y_2=8x\)，因\(8x<10x\)，方案二更省錢。答：購買不超過20本時選方案一，超過20本時選方案二。多種方案綜合選擇：例：某旅行社推出A、B、C三種旅游套餐：解：A套餐：成人每人300元，兒童每人150元；B套餐：每人200元（不分成人兒童）；C套餐：5人及以上團體，每人180元。現(xiàn)有3個成人和2個兒童，選擇哪種套餐最省錢？A套餐費用：\(3??300+2??150=900+300=1200\)元；B套餐費用：\(5??200=1000\)元；C套餐費用：\(5??180=900\)元。比較得\(900<1000<1200\)，故C套餐最省錢。答：選擇C套餐最省錢。四、常見錯誤與規(guī)避方法忽略分段條件：常見錯誤：在分段計費問題中，未區(qū)分變量的取值范圍，直接用一個表達式計算（如示例1中忽略甲商店“10個以上有優(yōu)惠”的條件）。規(guī)避方法：仔細審題，明確不同方案的適用條件（如數(shù)量范圍、時間范圍），分情況建立表達式，避免漏寫分段條件。臨界點計算錯誤：常見錯誤：解方程找臨界點時計算錯誤，導(dǎo)致后續(xù)取值范圍分析偏差（如示例3中誤算\(x=200\)而非250）。規(guī)避方法：計算臨界點時需仔細核對方程，必要時代入驗證，確?！皟煞N方案效果相等”的條件成立。未考慮實際限制條件：常見錯誤：在租車、購票等問題中，忽略“數(shù)量為整數(shù)”“座位需坐滿”等實際條件，導(dǎo)致方案無效（如示例2中認為B車數(shù)量可為1.5輛）。規(guī)避方法：列出方案后，檢驗是否符合實際意義（如數(shù)量為非負整數(shù)、無空座等），剔除無效方案。漏算隱含費用：常見錯誤：在方案比較中，漏算隱藏成本（如套餐的月租費、交通費等），僅比較表面費用。規(guī)避方法：全面分析每種方案的所有費用構(gòu)成，確保表達式包含所有相關(guān)成本，避免因漏項導(dǎo)致結(jié)論錯誤。五、方法總結(jié)與拓展方案選擇問題的核心是通過建立數(shù)學(xué)模型分析不同方案的優(yōu)劣，解題時需注意：明確問題中的變量和不變量，根據(jù)實際情況分階段建立表達式；通過解方程找到臨界點，以此為界分析不同取值范圍內(nèi)的最優(yōu)方案；結(jié)合實際限制條件（如整數(shù)性、非負性）驗證方案的有效性；對于多方案問題，需逐一計算并比較，確保不遺漏任何可能的最優(yōu)解。這類問題廣泛應(yīng)用于購物、出行、繳費等生活場景，掌握其解題方法能提高決策的合理性和經(jīng)濟性。通過練習(xí)不同類型的方案選擇問題，可熟練運用方程和不等式解決實際決策問題，培養(yǎng)優(yōu)化思維和邏輯分析能力。2024人教版數(shù)學(xué)七年級上冊授課教師：

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5.3.4方案選擇問題第五章

一元一次方程aiTujmiaNg1.會尋找數(shù)量關(guān)系列方程，確定最優(yōu)方案.2.掌握分段計費問題.方案選擇問題怎么選擇更劃算？探究3【教材P138】不同能效空調(diào)的綜合費用比較購買空調(diào)時，需要綜合考慮空調(diào)的價格和耗電情況.某人打算從當年生產(chǎn)的兩款空調(diào)中選購一臺，下表是這兩款空調(diào)的部分基本信息.如果電價是0.5元/(kW·h)，請你分析他購買、使用哪款空調(diào)綜合費用較低.匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/(kW·h)1.51級30006401.53級2600800匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/(kW·h)1.51級30006401.53級2600800分析：在這個問題中，綜合費用=空調(diào)的售價+電費選定一種空調(diào)后，售價是確定的，電費則與使用的時間有關(guān).匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/(kW·h)1.51級30006401.53級2600800設(shè)空調(diào)的使用年數(shù)是t，則1級能效空調(diào)的綜合費用（單位：元）是3000+0.5×640t即3000+320t3級能效空調(diào)的綜合費用（單位：元）是2600+0.5×800t即2600+400t匹數(shù)能效等級售價/元平均每年耗電量/(kW·h)1.51級30006401.53級2600800先來看t

取什么值時，兩款空調(diào)的綜合費用相等.列方程3000+320t=2600+400t解得t=51級空調(diào)3000+320t3級空調(diào)2600+400t為了比較兩款空調(diào)的綜合費用，我們把表示3級能效空調(diào)的綜合費用的式子2600+400t

變形為1級能效空調(diào)的綜合費用與另外一個式子的和，即(3000+320t)+(80t-400)也就是

3000+320t+80(t–5)3000+320t+80(t–5)當t<5時，80(t-5)

是負數(shù)，這表明3級能效空調(diào)的綜合費用較低；當t>5時，80(t-5)

是正數(shù)，這表明1級能效空調(diào)的綜合費用較低；綜合以上的分析，可以發(fā)現(xiàn)：（1）_______時，選擇3級能效空調(diào)省錢；（2）_______時，選擇1級能效空調(diào)省錢；（3）_______時，選擇1級、3級能效空調(diào)均可.t<5t>5t=5根據(jù)相關(guān)行業(yè)標準，空調(diào)的安全使用年限是10年（從生產(chǎn)日期計起），因此購買、使用1級能效空調(diào)更劃算.通常，1級能效空調(diào)既節(jié)能又省錢鞏固練習(xí)1.在“清潔鄉(xiāng)村”活動中，村里需購買一些垃圾桶，商家給出了兩種購買垃圾桶的方案:方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，

以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，

以后每月的垃圾處理費用為600元.設(shè)交費時間為x

個月，方案一的購買費用和垃圾處理費用共為M元，方案二的購買費用和垃圾處理費用共為N元.請你分析該村采用哪種方案更省錢.分析：總費用＝購買費用+垃圾處理費用.選定一種方案后，購買費用是確定的，垃圾處理費用與交費時間有關(guān).用交費時間x分別表示兩種方案的總費用，然后進行比較.方案一:買分類垃圾桶，需要費用4000元，

以后每月的垃圾處理費用為300元；方案二:買不分類垃圾桶，需要費用1000元，

以后每月的垃圾處理費用為600元.解：依題意得M＝300x+4000，N＝600x+1000.先來看x取什么值時，兩種方案費用相同，列方程300x+4000=600x+1000，解得x＝10.故交費時間為10個月時，兩種方案費用相同.為了比較兩種方案的費用，把方案二的費用的式子600x+1000變形為方案一的費用與另外一個式子的和，即(300x+4000)+(300x-3000)，也就是(300x+4000)+300(x-10).這樣，當x<10時，300(x

-10)是負數(shù)，這表明方案二的費用較低，當x>10時，300(x

-10)是正數(shù)，這表明方案一的費用較低.由此可見，當交費時間少于10個月時，采用方案二更省錢，當交費時間等于10個月時，兩種方案費用相同，當交費時間多于10個月時，采用方案一更省錢.2.為了倡導(dǎo)和鼓勵居民節(jié)約用水，某市水務(wù)部門對城市居民生活用水采取分段收費辦法:規(guī)定每月每戶居民生活用水標準量為22

m3，在標準用水量范圍里免收生活污水處理費，超出標準用水量的部分收取一定的生活污水處理費，每月生活用水的收費標準(單位：元/m3)及單價說明如下表所示:月用水量單價/(元/m3)單價說明不超過22m3a免收生活污水處理費超過22m3

的部分a+1.1超過標準用水量的部分收取生活污水處理費標準：1.1元/m3月用水量單價/(元/m3)單價說明不超過22m3a免收生活污水處理費超過22m3

的部分a+1.1超過標準用水量的部分收取生活污水處理費標準：1.1元/m3（1）某居民用戶某月用水10

m3，共繳納水費23元，求a的值；解：由題意，得10a=23，解得a=2.3.（2）在（1）的前提下，該居民用戶10月份繳納水費71元，則該居民用戶10月份的用水量是多少？因為2.3×22＝50.6<71，所以該居民用戶10月份的用水量超過22

m3.設(shè)該居民用戶10月份的用水量為xm3.由題意，得50.6+(2.3+1.1)(x-22)

＝71，解得x＝28.答：該居民用戶10月份的用水量是28m3.習(xí)題5.31.結(jié)合本節(jié)內(nèi)容體會例2后歸納的框圖.解:將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題（列一元一次方程），再通過解方程得到數(shù)學(xué)問題的解（x=a），最后將得到的解代回原方程檢驗，得到實際問題的答案.2.制作一張桌子要用1個桌面和4條桌腿，1m3

木材可制作20個桌面，或者制作400條桌腿.現(xiàn)有12m3

木材，應(yīng)怎樣計劃用料才能制作盡可能多的桌子？解:設(shè)用xm3

木材制作桌面，則用(12-x)m3木材制作桌腿.根據(jù)題意，得4×20x＝400(12-x).解得x=10.所以12-

x＝2.答:用10

m3木材制作桌面，2m3木材制作桌腿，才能制作盡可能多的桌子.3.某車間每天能制作500個甲種零件，或250個乙種零件（同一天內(nèi)不能同時制作這兩種零件），甲、乙兩種零件各1個配成1套產(chǎn)品.現(xiàn)要用30天制作最多的成套產(chǎn)品，甲、乙兩種零件各應(yīng)制作多少天？解：設(shè)甲種零件應(yīng)制作x

天，則乙種零件應(yīng)制作(30-

x)天.根據(jù)題意，得500x＝250(30-

x).解得x＝10.所以30-

x＝20.答：甲種零件應(yīng)制作10天，乙種零件應(yīng)制作20天.4.某項工作由甲、乙兩人單獨做分別需要7.5h和5h.如果讓甲、乙兩人一起工作1h，再由乙單獨完成剩余部分，一共需要多長時間？解：設(shè)剩余部分由乙單獨完成需xh.根據(jù)題意，得.解得.所以.

答：一共需要h.5.整理一批數(shù)據(jù)，由1人整理需80h完成.現(xiàn)在計劃先由一些人整理2h，再增加5人整理8h，完成這項工作的.怎樣安排參與整理數(shù)據(jù)的具體人數(shù)？解：設(shè)先安排x人整理2h.解得x＝2.答:應(yīng)先安排2人整理2h，再增加5人整理8h.根據(jù)題意，得.綜合運用6.用A型和B型機器生產(chǎn)同樣的產(chǎn)品，已知5臺A型機器一天生產(chǎn)的產(chǎn)品裝滿8箱后還剩4個，7臺B型機器一天生產(chǎn)的產(chǎn)品裝滿11箱后還剩1個，每臺A型機器比B型機器一天多生產(chǎn)1個產(chǎn)品.求每箱裝多少個產(chǎn)品.解：設(shè)每箱裝x

個產(chǎn)品.根據(jù)題意，得.解得x

＝12.答:每箱裝12個產(chǎn)品.7.下表中記錄了一次實驗中時間和溫度的數(shù)據(jù)，假設(shè)溫度的

變化是均勻的.（1）實驗進行21min時的溫度是多少？時間/min0510152025溫度/℃102540557085解：由題意可知，實驗開始21

min時的溫度是（℃）時間/min0510152025溫度/℃102540557085（2）實驗進行多長時間的溫度是34℃？設(shè)實驗開始xmin后的溫度是34℃.答：實驗進行8min的溫度是34℃.根據(jù)題意，得10+x

＝34.解得x＝8.8.某糕點廠中秋節(jié)前要制作一批盒裝月餅，每盒中裝2塊大月餅和4塊小月餅.制作1塊大月餅要用0.05kg面粉，制作1塊小月餅要用0.02kg面粉.現(xiàn)有面粉4500kg，應(yīng)各用多少千克面粉制作兩種月餅，才能生產(chǎn)最多的盒裝月餅？解:設(shè)制作x塊大月餅，則需要制作2x塊小月餅.根據(jù)題意，得0.05+0.02×2x

＝4500.解得x＝50000所以0.05x

＝2500，0.05×2x＝2000.答：應(yīng)用2500kg面粉制作大月餅，2000kg面粉制作小月餅，才能生產(chǎn)最多的盒裝月餅.9.李明和劉偉分別從A，B兩地同時出發(fā)，李明騎自行車，劉偉步行，沿同一條道路相向勻速而行，出發(fā)24

min后兩人相遇，相遇時李明比劉偉多行進4.8km，相遇后6

min李明到達B地.兩人每小時分別行進多少千米？相遇后經(jīng)過多長時間劉偉到達A地？解:設(shè)劉偉的行進速度是xkm/h，則李明的行進速度是(x+12)km/h.根據(jù)題意，得0.4(x+x+12)

＝0.5(x+12).解得x＝4.所以x+12＝16，0.4×16÷4＝1.6(h).答:劉偉的行進速度是4km/h，李明的行進速度是16km/h，相遇后經(jīng)過1.6h劉偉到達A地.10.商店對某商品降價20%促銷，為了使銷售總金額不變，

銷售量要比按原價銷售時增加百分之幾？解：設(shè)銷售量要比按原價銷售時增加x％.根據(jù)題意，得(1-20％)(1+x％)

＝1.解得x＝25.答：銷售量要比按原價銷售時增加25％.11.甲組的4名工人3月份完成的總工作量比此月人均定額的4倍多20件，乙組的5名工人3月份完成的總工作量比此月人均定額的6倍少20件.（1）如果兩組工人此月人均實際完成的工作量相等，那么此月人均定額是多少件？解：設(shè)此月人均定額是x件.根據(jù)題意，得.解得x＝45.答：此月人均定額是45件.（2）如果甲組工人此月人均實際完成的工作量比乙組的多2件，那么此月人均定額是多少件？設(shè)此月人均定額是y件.根據(jù)題意，得.解得y＝35.答：此月人均定額是35件.（3）如果甲組工人此月人均實際完成的工作量比乙組的少2件，那么此月人均定額是多少件？設(shè)此月人均定額是z件.根據(jù)題意，得.解得z＝55.答：此月人均定額是55件.拓廣探索12.將探究2的積分表換為你們學(xué)校某次足球聯(lián)賽（或其他聯(lián)賽）積分表，請你根據(jù)積分表提出一些數(shù)學(xué)問題并加以解決.13.（古代問題）希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上記載著：“他生命的六分之一是幸福的童年；再活了他生命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；又度過了一生的七分之一，他結(jié)了婚；再過五年，他有了兒子，感到很幸福；可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中度過了四年，也與世長辭了.”根據(jù)以