清北書(shū)院高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.函數(shù)f(x)=log?(x-1)的定義域是？

A.(-∞,1)

B.(1,+∞)

C.[1,+∞)

D.(-1,+∞)

2.若復(fù)數(shù)z=2+3i的模為|z|，則|z|的值為？

A.5

B.7

C.1

D.9

3.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率是？

A.0

B.1/2

C.1

D.1/4

4.函數(shù)f(x)=x3-3x在區(qū)間[-2,2]上的最大值是？

A.-8

B.8

C.0

D.4

5.已知直線l1:y=kx+1與直線l2:y=-x+1垂直，則k的值為？

A.-1

B.1

C.0

D.2

6.圓x2+y2-4x+6y-3=0的圓心坐標(biāo)是？

A.(2,-3)

B.(-2,3)

C.(2,3)

D.(-2,-3)

7.若等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a?=2，d=3，則S??的值為？

A.165

B.170

C.175

D.180

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，則角C的度數(shù)是？

A.75°

B.65°

C.70°

D.80°

9.已知函數(shù)f(x)=sin(x+π/4)，則f(π/4)的值為？

A.0

B.1

C.-1

D.√2/2

10.若向量a=(1,2)，向量b=(3,-4)，則向量a與向量b的點(diǎn)積是？

A.-5

B.5

C.11

D.-11

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有？

A.f(x)=x2

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x3

D.f(x)=e^x

2.在△ABC中，若a2+b2=c2，則△ABC一定是？

A.銳角三角形

B.直角三角形

C.鈍角三角形

D.等邊三角形

3.下列不等式成立的有？

A.log?(3)>log?(4)

B.23>32

C.arcsin(0.5)>arcsin(0.25)

D.tan(π/4)>tan(π/6)

4.若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的圖像開(kāi)口向上，且頂點(diǎn)在x軸上，則下列說(shuō)法正確的有？

A.a>0

B.b2-4ac=0

C.f(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞減

D.f(x)的最小值為0

5.下列命題中，正確的有？

A.若x>0，則x2>x

B.若|z|=|w|，則z=w

C.函數(shù)y=|x|在區(qū)間[-1,1]上是增函數(shù)

D.若A是集合{1,2,3}的非空真子集，則A可以是{2}

三、填空題（每題4分，共20分）

1.已知函數(shù)f(x)=2^x，則f(log?3)的值為_(kāi)_____。

2.在等比數(shù)列{a_n}中，若a?=1，公比q=2，則a?的值為_(kāi)_____。

3.若鈍角三角形ABC中，角A=120°，邊a=3，邊b=4，則邊c的取值范圍是______。

4.已知直線l的方程為3x-4y+5=0，則點(diǎn)P(1,2)到直線l的距離d=______。

5.若復(fù)數(shù)z=1+i，則z3的實(shí)部為_(kāi)_____。

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程：2^(x+1)-3*2^x+2=0。

2.在△ABC中，已知角A=45°，角B=60°，邊a=6，求邊b和邊c的長(zhǎng)度。

3.計(jì)算不定積分：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx。

4.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2x，求函數(shù)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

5.若向量a=(1,2,-1)，向量b=(2,-1,1)，向量c=(0,1,1)，求向量a?(b×c)的值。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題答案及解析

1.B

理由：對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=log?(x-1)有意義，需滿足x-1>0，即x>1。所以定義域?yàn)?1,+∞)。

2.A

理由：復(fù)數(shù)z=2+3i的模|z|=√(22+32)=√(4+9)=√13≈3.6。選項(xiàng)中最接近的是5，但精確計(jì)算應(yīng)為√13。

3.B

理由：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面或反面的概率均為1/2。

4.B

理由：f'(x)=3x2-3。令f'(x)=0，得x=±1。f(-2)=-8，f(-1)=2，f(1)=-2，f(2)=8。最大值為8。

5.B

理由：l1的斜率為k，l2的斜率為-1。兩直線垂直，則k*(-1)=-1，解得k=1。

6.C

理由：圓方程可化為(x-2)2+(y+3)2=10。圓心坐標(biāo)為(2,-3)。

7.A

理由：S??=10/2*[2*1+(10-1)*3]=5*[2+27]=5*29=145。選項(xiàng)有誤，正確答案應(yīng)為145。

8.A

理由：角A+角B+角C=180°。60°+45°+角C=180°。角C=75°。

9.D

理由：f(π/4)=sin(π/4+π/4)=sin(π/2)=1。

10.A

理由：a?b=1*3+2*(-4)=3-8=-5。

二、多項(xiàng)選擇題答案及解析

1.B,C

理由：f(x)=sin(x)是奇函數(shù)，f(-x)=sin(-x)=-sin(x)=-f(x)。f(x)=x3是奇函數(shù)，f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)。f(x)=x2是偶函數(shù)，f(-x)=(-x)2=x2=f(x)。f(x)=e^x既非奇函數(shù)也非偶函數(shù)。

2.B

理由：根據(jù)勾股定理逆定理，若a2+b2=c2，則△ABC是直角三角形。

3.C,D

理由：log?(3)<log?(4)=2。23=8，32=9，所以23<32。arcsin(0.5)=π/6，arcsin(0.25)<π/6。tan(π/4)=1，tan(π/6)=√3/3。1>√3/3。

4.A,B,D

理由：函數(shù)圖像開(kāi)口向上，則a>0。頂點(diǎn)在x軸上，則判別式Δ=b2-4ac=0。此時(shí)函數(shù)有唯一零點(diǎn)，即最小值為0。選項(xiàng)C錯(cuò)誤，因?yàn)閒(x)在(-∞,-b/2a)上單調(diào)遞增。

5.C,D

理由：x>0時(shí)，x2>x不成立，例如x=1/2。|z|=|w|不能推出z=w，例如z=1+i，w=1-i。y=|x|在[-1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，但在整個(gè)[-1,1]區(qū)間上不是單調(diào)遞增。集合A是{2}是{1,2,3}的非空真子集。

三、填空題答案及解析

1.3

理由：f(log?3)=2^(log?3)=3。

2.32

理由：a?=a?*q?=1*2?=16。

3.(5,√37)

理由：由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC=32+42-2*3*4*cos120°=9+16+12=37。c=√37。又鈍角三角形中最大角為鈍角，設(shè)C為鈍角，則cosC<0。ab*cosC=6*cos120°=-3。所以a2+b2-ab>0，即(√37)2-(-3)>0。且a+b>c，3+4>√37。所以c∈(5,√37)。

4.5

理由：d=|3*1-4*2+5|/√(32+(-4)2)=|3-8+5|/√(9+16)=|0|/5=0。

5.-2

理由：z3=(1+i)3=1+3i+3i2+i3=1+3i-3-i=-2+2i。實(shí)部為-2。

四、計(jì)算題答案及解析

1.解：令t=2^x，則原方程變?yōu)閠2-3t+2=0。因式分解得(t-1)(t-2)=0。解得t?=1，t?=2。當(dāng)t=1時(shí)，2^x=1，x=0。當(dāng)t=2時(shí)，2^x=2，x=1。所以方程的解為x=0或x=1。

2.解：由正弦定理a/sinA=b/sinB。6/sin45°=b/sin60°。b=6*(√3/2)/(√2/2)=6*√3/√2=3√6。由余弦定理c2=a2+b2-2abcosA=62+(3√6)2-2*6*(3√6)*cos45°=36+54-36√6*(√2/2)=90-18√3。c=√(90-18√3)?；蛴烧叶ɡ韈/sinC=6/sin45°。sinC=6*sin60°/(6*sin45°)=(√3/2)/(√2/2)=√6/2。C=arcsin(√6/2)或C=π-arcsin(√6/2)。因A+B+C=180°，C≠90°，故C=arcsin(√6/2)。b=3√6,c=√(90-18√3)。

3.解：∫(x^2+2x+3)/(x+1)dx=∫[(x+1)^2-2(x+1)+4]/(x+1)dx=∫(x+1)-2+4/(x+1)dx=∫xdx-∫2dx+∫4/(x+1)dx=x^2/2-2x+4ln|x+1|+C。

4.解：f'(x)=3x2-6x+2。令f'(x)=0，得3x2-6x+2=0。解得x?=1-√3/3，x?=1+√3/3。f(-1)=-1-3+(-2)=-6。f(1-√3/3)=(1-√3/3)3-3(1-√3/3)2+2(1-√3/3)=(1-3√3/3+3*3/27-√3/3)-3(1-2√3/3+3/9)+2-2√3/3=(1-√3+1/9-√3/3)-3(1-2√3/3+1/3)+2-2√3/3=(10/9-4√3/3)-(3-6√3/3+1)+2-2√3/3=10/9-4√3/3-4+6√3/3+2-2√3/3=10/9-4+2+(6√3-4√3-2√3)/3=10/9-2=-8/9。f(1+√3/3)=(1+√3/3)3-3(1+√3/3)2+2(1+√3/3)=(1+√3+3√3/3+3*3/27+√3/3)-3(1+2√3/3+3/9)+2+2√3/3=(1+√3+√3+1/9+√3/3)-(3+6√3/3+1)+2+2√3/3=(10/9+4√3/3)-(4+6√3/3)+2+2√3/3=10/9-4+2+(4√3-6√3+2√3)/3=10/9-2=8/9。比較f(-1),f(1-√3/3),f(1+√3/3),f(3)的值。f(3)=33-3*32+2*3=27-27+6=6。最大值為max{f(3),f(1+√3/3)}=8/9。最小值為min{f(-1),f(1-√3/3)}=-8/9。

5.解：a?(b×c)=(1,2,-1)?[(2,-1,1)×(0,1,1)]。計(jì)算向量積：(2,-1,1)×(0,1,1)=(-1*1-1*1,1*0-1*1,2*1-(-1)*0)=(-2,-1,2)。計(jì)算點(diǎn)積：(1,2,-1)?(-2,-1,2)=1*(-2)+2*(-1)+(-1)*2=-2-2-2=-6。

試卷所涵蓋的理論基礎(chǔ)部分的知識(shí)點(diǎn)分類和總結(jié)

本試卷主要考察了高中高三階段數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)理論知識(shí)，涵蓋了集合、函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何、不等式、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)等多個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)。各題型所考察學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)詳解及示例如下：

一、選擇題主要考察了函數(shù)的基本概念、性質(zhì)、圖像和應(yīng)用，包括定義域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值、函數(shù)值計(jì)算等。例如，考察了指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)、絕對(duì)值函數(shù)等的基本性質(zhì)和應(yīng)用。

二、多項(xiàng)選擇題主要考察了學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，涉及多個(gè)知識(shí)點(diǎn)的交叉應(yīng)用，例