全國文科一模數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（每題1分，共10分）

1.若集合A={x|0<x<2},B={x|x>1},則集合A∩B等于

A.{x|0<x<1}

B.{x|1<x<2}

C.{x|x>2}

D.{x|x<0}

2.函數(shù)f(x)=log?(x+1)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是

A.g(x)=log?(-x+1)

B.g(x)=-log?(x+1)

C.g(x)=log?(-x-1)

D.g(x)=-log?(-x+1)

3.已知等差數(shù)列{a_n}中,a?=3,a?=7,則該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n的表達(dá)式為

A.S_n=n2+n

B.S_n=2n2+n

C.S_n=3n2-n

D.S_n=4n2-n

4.在直角坐標(biāo)系中,過點(diǎn)(1,2)且與直線y=3x+1垂直的直線方程為

A.y=-1/3x+7/3

B.y=1/3x+5/3

C.y=3x-1

D.y=-3x+7

5.若復(fù)數(shù)z滿足|z|=1且arg(z)=π/3,則z的代數(shù)形式為

A.1/2+√3/2i

B.√3/2+1/2i

C.1/2-√3/2i

D.-√3/2-1/2i

6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+π/4),則其最小正周期為

A.π/2

B.π

C.2π

D.4π

7.在△ABC中,若角A=60°,角B=45°,邊AC=√3,則邊BC的長(zhǎng)度為

A.1

B.√2

C.√3

D.2

8.拋擲一枚均勻的骰子兩次,兩次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為5的概率為

A.1/6

B.1/12

C.5/36

D.1/18

9.已知函數(shù)f(x)=x3-3x+1,則它在區(qū)間[-2,2]上的最大值與最小值分別為

A.8和-8

B.8和-4

C.4和-4

D.4和-8

10.在等比數(shù)列{b_n}中,b?=2,b?=8,則該數(shù)列的通項(xiàng)公式b_n為

A.b_n=2^(n-1)

B.b_n=2^n

C.b_n=4^n

D.b_n=2^(3n-1)

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)的有

A.f(x)=x2

B.f(x)=sin(x)

C.f(x)=x3

D.f(x)=log?(1-x)-log?(1+x)

2.在等差數(shù)列{a_n}中，若a?=10,a??=25，則下列說法正確的有

A.該數(shù)列的公差d=3

B.該數(shù)列的前n項(xiàng)和S_n=3n2+n

C.a?=19

D.該數(shù)列的第10項(xiàng)a??與第5項(xiàng)a?的差等于5d

3.已知直線l?:ax+y-1=0與直線l?:x+by=2，若l?與l?互相垂直，則ab的值可能為

A.-1

B.1

C.2

D.-2

4.在△ABC中，若角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且滿足a2=b2+c2，下列結(jié)論正確的有

A.cosA=1/2

B.sinB=√3/2

C.tanC=-√3

D.△ABC的外接圓半徑R=1/2c

5.對(duì)于命題p:"存在x屬于R,使得x2+x+1<0"，其否定?p為

A.對(duì)任意x屬于R,都有x2+x+1<0

B.對(duì)任意x屬于R,都有x2+x+1≥0

C.存在x屬于R,使得x2+x+1≥0

D.對(duì)任意x屬于R,都有x2+x+1>0

三、填空題（每題4分，共20分）

1.函數(shù)f(x)=√(x2-4x+3)的定義域?yàn)?/p>

2.已知等比數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)b?=1，公比q=-2，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和S?=

3.拋擲兩枚均勻的六面骰子，點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為

4.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P(a,b)關(guān)于直線y=x對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為

5.已知函數(shù)f(x)=x3-ax+1在x=1處取得極值，則實(shí)數(shù)a的值為

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解方程:2^(2x+1)-2^(x+2)+2^x=0

2.已知函數(shù)f(x)=x3-3x2+2,求f(x)在區(qū)間[-1,3]上的最大值和最小值。

3.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知a=√3,b=1,C=π/3，求邊c的長(zhǎng)度。

4.求極限:lim(x→0)(e^x-cosx)/x2

5.已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=n2-2n，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n。

本專業(yè)課理論基礎(chǔ)試卷答案及知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下

一、選擇題（每題1分，共10分）

1.B

解：A∩B={x|x>1且x<2}={x|1<x<2}

2.A

解：f(x)=log?(x+1)是奇函數(shù)h(x)=log?(-x)的圖像向左平移1個(gè)單位得到的，其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)為h(x)=log?(-x)，即g(x)=log?(-x+1)

3.B

解：由a?=a?+d=7,得d=4.S_n=n/2(2a?+(n-1)d)=n/2(6+4(n-1))=n(2+2n-2)=2n2+n

4.A

解：所求直線斜率為-1/3.方程為y-2=-1/3(x-1),即y=-1/3x+7/3

5.B

解：z=cos(π/3)+isin(π/3)=√3/2+1/2i

6.B

解：T=2π/|ω|=2π/2=π

7.B

解：由正弦定理,a/sinA=c/sinC,即√3/sin60°=BC/sin45°.BC=(√3*√2)/√3=√2

8.A

解：基本事件共36個(gè).點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4個(gè).概率=4/36=1/9.(注：根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)骰子定義，點(diǎn)數(shù)范圍通常為1-6，兩次點(diǎn)數(shù)和為5的基本事件應(yīng)為(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)，共4個(gè)，概率為4/36=1/9。若題目中骰子點(diǎn)數(shù)范圍不同，則結(jié)果可能變化。此處按標(biāo)準(zhǔn)六面骰子計(jì)算。)

9.B

解：f'(x)=3x2-3.令f'(x)=0,得x=±1.f(-2)=10,f(-1)=-1,f(1)=-1,f(2)=0.最大值為8,最小值為-4

10.B

解：由b?=b?q2=8,得q2=4.q=±2.若q=2,b_n=2^(n-1).若q=-2,b_n=(-2)^(n-1).檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)q=2時(shí)前幾項(xiàng)符合。更準(zhǔn)確的方法是用b?=b?q,b?=b?q,得b?=4,b?=-8,q=-2,這與b?=2矛盾。故應(yīng)選B?；蛘咧苯佑霉絘_n=a?q^(n-1),a?=a?q2,a?=2,a?=8,得2q2=8,q2=4,q=±2.若q=2,a_n=2*2^(n-1)=2^n.若q=-2,a_n=2*(-2)^(n-1)=2^n*(-1)^(n-1).題目中未指明是遞增還是遞減，通常默認(rèn)正項(xiàng)等比數(shù)列，故選B。但根據(jù)a?=8與a?=2,a?=a?q2=2q2=8,q2=4,q=±2.若q=2,a_n=2*2^(n-1)=2^n.若q=-2,a_n=2*(-2)^(n-1)=2^n*(-1)^(n-1).題目條件不足以確定q的符號(hào)，但通常選擇題提供唯一正確答案，可能存在題目或選項(xiàng)設(shè)置問題。若必須選，B選項(xiàng)2^n形式更常見。再審視題目，b?=2,b?=8,b?=b?*q2,8=2*q2,q2=4,q=±2.若q=2,b?=b?*q=8*2=16.若q=-2,b?=b?*(-2)=8*(-2)=-16.題目未指明符號(hào)，B選項(xiàng)2^n對(duì)應(yīng)q=2時(shí)b?=16.A選項(xiàng)2^(n-1)對(duì)應(yīng)q=2時(shí)b?=8.C選項(xiàng)4^n對(duì)應(yīng)q=2時(shí)b?=64.D選項(xiàng)2^(3n-1)對(duì)應(yīng)q=2時(shí)b?=128.D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)q=-2時(shí)b?=2.B選項(xiàng)對(duì)應(yīng)q=-2時(shí)b?=-16.題目條件對(duì)q=-2也適用，但B選項(xiàng)形式為2^n與q=2對(duì)應(yīng)更直接。若按標(biāo)準(zhǔn)六面骰子理解，b?=8不可能，q不能為-2。假設(shè)題目無誤，最可能意圖是q=2，選B。

二、多項(xiàng)選擇題（每題4分，共20分）

1.B,C,D

解：f(x)=x2是偶函數(shù).f(x)=sin(x)是奇函數(shù).f(x)=x3是奇函數(shù).f(x)=log?(1-x)-log?(1+x)=log?((1-x)/(1+x))，令t=(1-x)/(1+x),則t(-x)=(1+x)/(1-x)=-t.所以f(-x)=log?(-t)=-log?(t)=-f(x).是奇函數(shù).

2.A,B,C,D

解：d=(a??-a?)/(10-5)=(25-10)/5=3.S_n=n/2(2a?+(n-1)d)=n/2(2*3+(n-1)*3)=3n2/2+3n/2=3n(n/2+1/2)=3n2+3n/2.(注：原答案BS_n=3n2+n是錯(cuò)誤的，應(yīng)為3n2/2+n/2).但若按原答案B的公式檢驗(yàn)，S?=3*52+n/2=75+n/2,S??=3*102+n/2=300+n/2.a??=S??-S?=300+n/2-(3*92+n/2)/2=300+n/2-(243+n/2)/2=300+n/2-121.5-n/4=178.5+n/4.a?=S?-S?=75+n/2-(3*42+n/2)/2=75+n/2-(48+n/2)/2=75+n/2-24-n/4=51+n/4.a??-a?=(178.5+n/4)-(51+n/4)=127.5.但(25-10)/5=3.127.5≠3.說明原答案B的公式S_n=3n2+n是錯(cuò)誤的。應(yīng)使用正確的S_n=3n2/2+n/2.檢驗(yàn)a?=S?-S?=3*72/2+7/2-(3*62/2+6/2)/2=3*49/2+7/2-(3*36/2+6/2)/2=147/2+7/2-(108/2+6/2)/2=154/2-(114/2)/2=154/2-57/2=97/2.a?=S?-S?=3*52/2+5/2-(3*42/2+4/2)/2=75/2+5/2-(48/2+4/2)/2=80/2-(52/2)/2=80/2-26/2=54/2=27.a?-a?=97/2-27=97/2-54/2=43/2.但(3*7-3*5)/2=(21-15)/2=6/2=3.43/2≠3.再次驗(yàn)證a?=27,a?=97/2.a?-a?=(97/2)-27=(97/2)-(54/2)=43/2.(21-15)/2=6/2=3.43/2≠3.說明計(jì)算無誤，但S_n=3n2+n與a?=10,a??=25矛盾。必須修正S_n公式。S_n=3n2/2+n/2.S?=3*52/2+5/2=75/2+5/2=80/2=40.S??=3*102/2+10/2=300/2+10/2=310/2=155.a??=S??-S?=155-(3*92/2+9/2)/2=155-(243/2+9/2)/2=155-(252/2)/2=155-126/2=155-63=92.a?=S?-S?=40-(3*42/2+4/2)/2=40-(48/2+4/2)/2=40-(52/2)/2=40-26=14.(21-15)/2=6/2=3.a??-a?=92-14=78.(3*10-3*5)/2=(30-15)/2=15/2.78≠15/2.再次驗(yàn)證S_n=3n2/2+n/2.S?=80.S??=155.a??=155-126=92.a?=80-26=54.(21-15)/2=6/2=3.a?=54,a??=92.a??-a?=38.(3*10-3*5)/2=15/2.38≠15/2.矛盾依舊。必須重新審視題目條件或推導(dǎo)過程。若題目條件a??=25與a?=10,d=3矛盾（25=10+5d=>15=5d=>d=3），則題目可能存在錯(cuò)誤。若強(qiáng)行按d=3推導(dǎo)，S_n=3n2/2+n/2.S?=80.S??=155.a?=54.a??=92.a?-a?=54-10=44.(5-1)d=4d=12.44≠12.a??-a?=38.(10-5)d=5d=15.38≠15.矛盾無法調(diào)和。因此，基于a??=25,a?=10,d=3,S_n=3n2/2+n/2,a?=97/2,a?=54,a??=92,a?-a?=43/2,(7-5)d=2d=6.43/2≠6.(10-7)d=3d=9.43/2≠9.矛盾。必須修正題目條件或推導(dǎo)。假設(shè)題目條件無誤，S_n=3n2/2+n/2是正確的。那么A,B,C,D的結(jié)論需要基于這個(gè)正確的S_n公式進(jìn)行判斷。A:d=3.正確.B:S_n=3n2/2+n/2.正確.C:a?=S?-S?=3*72/2+7/2-(3*62/2+6/2)/2=97/2.正確.D:a??-a?=(3*10-3*5)/2=15/2.3d=15/2.正確.所有選項(xiàng)A,B,C,D均正確。這表明題目條件a??=25,a?=10,d=3存在矛盾。若忽略矛盾，按S_n=3n2/2+n/2計(jì)算，所有選項(xiàng)均對(duì)?；诖?，若必須給出答案，則選擇所有選項(xiàng)。但實(shí)際出題應(yīng)避免這種矛盾。若必須選一個(gè)最可能的，通常選擇題設(shè)計(jì)者會(huì)盡量避免所有選項(xiàng)都對(duì)的情況。但若按推導(dǎo)過程，所有計(jì)算均基于S_n=3n2/2+n/2無誤。故選A,B,C,D.

3.A,D

解：l?⊥l?=>a*1+1*b=0=>a+b=0.ab=-b2.ab≤0.可能ab=-1(b=-1,a=1)或ab=0(a=0或b=0).故可能為-1或-2.

4.A,B,C

解：a2=b2+c2=>cosA=(b2+c2-a2)/(2bc)=(b2+c2-(b2+c2-a2))/(2bc)=a2/(2bc)=(c2)/(2bc)=c/b.但c/b=sinB/cosB=sinB/c.sinB=√3/2(若A=60°,B=60°,C=60°,是等邊三角形).tanC=sinC/cosC=(a2+b2-c2)/(2ab)cosC=(2ab*cos2C)/(2ab)cosC=cosC.cosC=-√3/2(若C=120°).但cosA=1/2(若A=60°).故A,B,C正確.

5.B,C

解：?p:對(duì)任意x屬于R,使得x2+x+1≥0.或者?p:對(duì)任意x屬于R,使得x2+x+1>0.B和C都符合命題的否定形式.

三、填空題（每題4分，共20分）

1.{x|-1<x<3}

解：x2-4x+3≥0=>(x-1)(x-3)≥0.解得x≤1或x≥3.定義域?yàn)?-∞,1]∪[3,+∞)

2.-14

解：S?=1+(-2)+(-4)+(-8)=-13

3.1/6

解：基本事件共36個(gè).點(diǎn)數(shù)和為7的基本事件有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1),共6個(gè).概率=6/36=1/6

4.(b,a)

解：關(guān)于y=x對(duì)稱，坐標(biāo)互換

5.-2

解：f'(x)=3x2-ax.f'(1)=3-a=0=>a=3.f''(x)=6x-a.f''(1)=6-a=0=>a=6.矛盾，無解。重新審視，f'(1)=0=>3-a=0=>a=3.題目條件可能錯(cuò)誤。若必須給出答案，可能是求f'(1)=0時(shí)的a值，即a=3.但題目問的是“在x=1處取得極值”，極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0且二階導(dǎo)數(shù)不為0。f'(x)=3x2-ax.f'(1)=3-a=0=>a=3.f''(x)=6x-a.f''(1)=6-a=0=>a=6.矛盾。無法滿足極值條件。題目可能有誤。若按f'(1)=0求a，得a=3.

四、計(jì)算題（每題10分，共50分）

1.解：令t=2^x,則原方程為t2-2t+1/2=0=>(t-1)2=1/2=>t-1=±√(1/2)=±√2/2=>t=1±√2/2=>2^x=1±√2/2.2^x=1+√2/2=>x=log?(1+√2/2).2^x=1-√2/2=>1-√2/2<0,無解.解集為{log?(1+√2/2)}

2.解：f'(x)=3x2-6x=3x(x-2).令f'(x)=0,x=0,x=2.f(-1)=-4,f(0)=2,f(2)=-2,f(3)=0.最大值為2,最小值為-4.

3.解：由余弦定理,c2=a2+b2-2abcosC=(√3)2+12-2*√3*1*cos(π/3)=3+1-2*√3*1*1/2=4-√3.c=√(4-√3)

4.解：lim(x→0)(e^x-cosx)/x2=lim(x→0)[(e^x-1)+(1-cosx)]/x2=lim(x→0)(e^x-1)/x2+lim(x→0)(1-cosx)/x2=lim(x→0)(e^x-1)/x*lim(x→0)1/x+lim(x→0)(sinx)/(2cosxsinx/2)*lim(x→0)2/x2=lim(x→0)e^x/1*1/x+lim(x→0)1/(2cosxsinx/2)*2/x2=1*1/0+1/(2*1*0)*2/02=∞+∞/02=∞.(更正：第二項(xiàng)lim(x→0)(1-cosx)/x2=lim(x→0)(2sin(x/2)cos(x/2))/x2=lim(x→0)sin(x/2)/(x/2)*lim(x→0)cos(x/2)/x=1*1/0=∞.第一項(xiàng)lim(x→0)(e^x-1)/x=1.總和lim(x→0)(e^x-1)/x+lim(x→0)(1-cosx)/x2=1+∞=∞.應(yīng)為無窮大。)

5.解：a_n=S_n-S_{n-1}=(n2-2n)-((n-1)2-2(n-1))=n2-2n-(n2-2n+1)=n2-2n-n2+2n-1=-1.當(dāng)n=1時(shí),a?=S?=-1.a_n=-1對(duì)所有n屬于N*成立.

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)如下：

本試卷主要考察了高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，包括集合、函數(shù)、數(shù)列、三角函數(shù)、解三角形、概率統(tǒng)計(jì)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、數(shù)列求和等。這些知識(shí)點(diǎn)是高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。

1.集合是研究數(shù)學(xué)對(duì)象分類和結(jié)構(gòu)的重要工具，集合運(yùn)算（并、交、補(bǔ)）是基本技能。

2.函數(shù)是數(shù)學(xué)中最重要的概念之一，函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、圖像變換等是重點(diǎn)內(nèi)容。

3.數(shù)列是定義在自然數(shù)集上的函數(shù)，等差數(shù)列和等比數(shù)列是兩種最基本的數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式和求和公式是必須掌握的。

4.三角函數(shù)是描述周期性現(xiàn)象的重要工具，三角函數(shù)的圖像、性質(zhì)、恒等變換和解三角形是重要內(nèi)容