第37講平面向量的基本概念及線性運(yùn)算第9章平面向量

能力層級(jí)考試內(nèi)容

了解理解掌握平面向量的相關(guān)概念向量的實(shí)際背景.向量、零向量、單位向量、共線向量(平行向量)的概念.向量的幾何表示；兩個(gè)非零向量共線、相等、相反的條件.平面向量的加、減法運(yùn)算平面向量加法的運(yùn)算律.(2024，T48；2022，T36)平面向量加、減法的關(guān)系.平面向量加法的三角形法則、平行四邊形法則.

能力層級(jí)考試內(nèi)容

了解理解掌握數(shù)乘向量及平面向量的基本定理數(shù)乘向量的運(yùn)算律.平面向量的基本定理.數(shù)乘向量的運(yùn)算；平面向量的線性運(yùn)算；平行或共線向量定理.

復(fù)習(xí)建議：1.考情小結(jié)：本講知識(shí)近三年涉及2次，2024年高考考查了向量的加法運(yùn)算，難度中等，分值4分.從考查范圍看：平面向量的線性運(yùn)算(借助平面幾何圖形，選定基底，利用三角形法則或平行四邊形法則表示其他向量)，平面向量的數(shù)乘運(yùn)算會(huì)是考查重點(diǎn)，平時(shí)要落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的掌握，多練熱點(diǎn)、高頻點(diǎn).2.備考攻略：在復(fù)習(xí)此部分知識(shí)的時(shí)候，對(duì)表中這一部分每個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行系統(tǒng)整理，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu).定時(shí)對(duì)公式、定理、概念回顧，該記住的一定要記準(zhǔn)、記牢，不能模棱兩可，再通過(guò)必要的強(qiáng)化訓(xùn)練，提高運(yùn)算能力.備考講義考點(diǎn)1平面向量的相關(guān)概念1.向量的定義(1)既有大小又有方向的量，稱為向量.只有大小而沒(méi)有方向的量，稱為數(shù)量.(2)向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量可以比較大小，向量不能比較大小.

圖1

特殊向量定義備注零向量模為0的向量.記作0，其方向是不確定的.單位向量模為1的向量.單位向量的模均為1.

特殊向量定義備注平行向量方向相同或相反的兩個(gè)非零向量(也稱為共線向量).規(guī)定：0與任何向量平行.相等向量模相等且方向相同的向量.相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量.相反向量模相等且方向相反的向量.若a和b為相反向量，則a＝－b.

例1

下列物理量中是向量的是(

)A.質(zhì)量 B.速度C.體積 D.溫度【答案】B【試題分析】本題考查向量的概念.解題時(shí)首先要理解向量的定義：既有大小又有方向的量稱為向量.【解題過(guò)程】速度是既有大小又有方向的量，而質(zhì)量、體積、溫度只有大小而沒(méi)有方向，故選B.跟蹤訓(xùn)練1

(改編)下列物理量中，不屬于向量的是(

)A.位移 B.力C.時(shí)間 D.加速度C【試題分析】本題考查向量的概念，解題時(shí)首先要理解向量的定義：既有大小又有方向的量稱為向量.依次判斷四個(gè)選項(xiàng)是向量還是數(shù)量.【解題過(guò)程】位移、力、加速度是既有大小又有方向的量，屬于向量，而時(shí)間只有大小沒(méi)有方向，故選C.例2

給出下列六個(gè)命題：①若a∥b，則a＝b；②單位向量都相等；③相反向量的模一定相等；④若a∥b，b∥c，則a∥c；⑤“a＝b”是“|a|＝|b|”的必要不充分條件；⑥零向量與任一向量平行.其中真命題的個(gè)數(shù)是(

)A.1 B.2C.3 D.4【答案】B【試題分析】本題考查向量的相關(guān)概念，相等向量、平行向量、單位向量、相反向量、零向量等，需要梳理清楚各自的定義，明白它們之間的聯(lián)系，同時(shí)也考查了命題條件的知識(shí)，要能分辨必要不充分條件和充分不必要條件.【解題過(guò)程】

①錯(cuò)誤，理由：相等的向量是長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量；②錯(cuò)誤，理由：?jiǎn)挝幌蛄恐皇悄Ｏ嗟龋虎壅_，理由：相反向量雖然方向相反，但長(zhǎng)度相等；④錯(cuò)誤，理由：考慮b＝0這種特殊情況即可判斷；⑤錯(cuò)誤，理由：a＝b能推出|a|＝|b|，但|a|＝|b|不能推出a＝b，所以“a＝b”是“|a|＝|b|”的充分不必要條件；⑥正確，理由：規(guī)定零向量與任一向量平行，故選B.

(3)【試題分析】本題考查向量的相關(guān)概念以及模長(zhǎng)的定義，解題時(shí)根據(jù)所學(xué)向量的概念，分辨四個(gè)命題中概念的準(zhǔn)確性.【解題過(guò)程】

(1)錯(cuò)誤.兩向量方向相同或相反都視為平行向量；(2)錯(cuò)誤.|0|＝0；(3)正確.對(duì)于一個(gè)向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的；(4)錯(cuò)誤.共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量，必須在同一直線上.故填(3).

備考講義考點(diǎn)2平面向量的加、減法運(yùn)算

特征：首尾相接，第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向第二個(gè)向量的終點(diǎn).

特征：起點(diǎn)相同，以這兩個(gè)向量作為一組鄰邊作一個(gè)平行四邊形，和向量是從公共起點(diǎn)指向?qū)堑亩它c(diǎn)，對(duì)角線長(zhǎng)即為和向量的模.(3)向量加法的運(yùn)算律：①交換律：a＋b＝b＋a；②結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c).2.向量的減法(1)相反向量：與向量a的長(zhǎng)度相等，且方向相反的向量，叫作a的相反向量，記作－a.零向量的相反向量仍是零向量.(2)向量減法：求兩個(gè)向量的差的運(yùn)算稱為向量的減法，向量a－b稱為向量a與b的差，也稱為向量a與b的差向量.

特征：首首相接，差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).

A【試題分析】本題考查利用已知向量表示其他向量，解題時(shí)首先要看清已知條件，再運(yùn)用向量的相關(guān)線性運(yùn)算進(jìn)行變換解答，要熟練向量的加、減法運(yùn)算.

1.數(shù)乘向量及其線性運(yùn)算(1)求一個(gè)數(shù)λ與向量a的乘法運(yùn)算稱為數(shù)與向量的乘法運(yùn)算，簡(jiǎn)稱數(shù)乘運(yùn)算，記為λa，λa仍是一個(gè)向量.λa的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：①大小：|λa|＝|λ||a|，即λa的模長(zhǎng)是a的模長(zhǎng)的|λ|倍；②方向：當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反.備考講義考點(diǎn)3數(shù)乘向量及平面向量的基本定理(2)對(duì)于任意的向量a、b及任意的實(shí)數(shù)λ、μ，向量的數(shù)乘運(yùn)算滿足如下運(yùn)算律：①(λμ)a＝λ(μa)＝μ(λa)；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算.2.平行或共線向量定理已知a、b是兩個(gè)非零向量，a∥b?存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得a＝λb.例6

化簡(jiǎn)：(1)5(a－b)－2(a＋3b)； (2)3[2(a＋2b)－a].【試題分析】本題主要考查數(shù)乘向量的運(yùn)算律及學(xué)生的計(jì)算能力.【解題過(guò)程】

(1)原式＝5a－5b－2a－6b＝3a－11b；(2)(解法一)原式＝6(a＋2b)－3a＝6a＋12b－3a＝3a＋12b；(解法二)原式＝3(2a＋4b－a)＝3(a＋4b)＝3a＋12b.

跟蹤訓(xùn)練7(改編)已知非零向量x與y不共線，若向量a＝mx＋y，b＝2x－3y，且a∥b，則m＝________.

【試題分析】本題考查向量的共線問(wèn)題，關(guān)鍵是能否找到一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa，再利用已知條件進(jìn)行求解.

1.把握向量的大小與方向是解決有關(guān)向量概念題的關(guān)鍵，同時(shí)要注意零向量方向的不確定性，還要注意區(qū)分共線向量、同向向量、相等向量、相反向量等.2.用已知向量表示未知向量問(wèn)題的解題技巧：(1)觀察已知向量與未知向量的位置；(2)尋找相應(yīng)的三角形或多邊形；(3)靈活運(yùn)用運(yùn)算法則找關(guān)系.3.平面向量的加、減法和數(shù)乘運(yùn)算：主要運(yùn)用法則和運(yùn)算律求解，可類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，遵循括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算優(yōu)先原則，結(jié)果仍是一個(gè)向量.4.一般地，解決向量共線問(wèn)題，利用向量共線定理b＝λa(a≠0)，建立方程組求解即可.

B【試題分析】本題考查向量的一些相關(guān)概念.【解題過(guò)程】單位向量只是模相等，A項(xiàng)錯(cuò)誤；|a|＝|b|，不一定a＝－b，也可以a＝b，C項(xiàng)錯(cuò)誤；共線向量方向可能相同也可能相反，D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B.

A【試題分析】本題考查正方形中一些相等的邊以及模長(zhǎng)的概念.

D【試題分析】本題考查向量的加減運(yùn)算以及相反向量的概念.

C【試題分析】本題考查平行四邊形法則和三角形中位線的應(yīng)用.

5.(改編)向量a、b均為非零向量，且a＝－2b，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是(

)A.a∥b B.a與b方向相反

C.a＞b D.|a|＝|2b|C【試題分析】本題考查相反向量之間的區(qū)別與聯(lián)系，兩個(gè)向量互為相反向量必須模長(zhǎng)相同但方向相反.【解題過(guò)程】向量是無(wú)法比較大小，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.

0【試題分析】本題考查向量的加、減法運(yùn)算，利用三角形法則或平行四邊形法則求出即可.

7.(改編)已知非零