高代期中考試試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）

1.向量組中，線性無關(guān)的向量組的秩等于該向量組的向量個數(shù)。

A.正確

B.錯誤

答案：B

2.如果矩陣A的行列式為0，則矩陣A是奇異矩陣。

A.正確

B.錯誤

答案：A

3.矩陣的秩是指矩陣中非零子式的最高階數(shù)。

A.正確

B.錯誤

答案：B

4.兩個向量組等價，當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩。

A.正確

B.錯誤

答案：A

5.矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的行列式等于原矩陣的行列式。

A.正確

B.錯誤

答案：A

6.任何矩陣都可以進(jìn)行行變換得到單位矩陣。

A.正確

B.錯誤

答案：B

7.兩個矩陣相乘，結(jié)果矩陣的秩小于等于兩個矩陣秩的最小值。

A.正確

B.錯誤

答案：A

8.矩陣的行最簡形式是唯一的。

A.正確

B.錯誤

答案：A

9.矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。

A.正確

B.錯誤

答案：A

10.矩陣的逆矩陣的行列式等于原矩陣行列式的倒數(shù)。

A.正確

B.錯誤

答案：B

二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）

11.以下哪些矩陣是可逆的？

A.行列式為0的矩陣

B.行列式不為0的矩陣

C.秩小于行數(shù)的矩陣

D.秩等于行數(shù)的矩陣

答案：BD

12.矩陣的初等行變換包括以下哪些操作？

A.交換兩行

B.將一行乘以非零常數(shù)

C.將一行加上另一行的倍數(shù)

D.將一行乘以零

答案：ABC

13.以下哪些矩陣是正交矩陣？

A.單位矩陣

B.轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣的矩陣

C.行列式為1的矩陣

D.行列式為-1的矩陣

答案：AB

14.以下哪些矩陣是對稱矩陣？

A.轉(zhuǎn)置矩陣等于其自身的矩陣

B.行列式為0的矩陣

C.秩等于行數(shù)的矩陣

D.秩等于列數(shù)的矩陣

答案：A

15.以下哪些矩陣是奇異矩陣？

A.行列式為0的矩陣

B.秩小于行數(shù)的矩陣

C.秩等于行數(shù)的矩陣

D.秩等于列數(shù)的矩陣

答案：AB

16.以下哪些矩陣是正定矩陣？

A.所有特征值都大于0的矩陣

B.所有特征值都大于等于0的矩陣

C.所有主子式都大于0的矩陣

D.所有主子式都大于等于0的矩陣

答案：AC

17.以下哪些矩陣是半正定矩陣？

A.所有特征值都大于等于0的矩陣

B.所有主子式都大于等于0的矩陣

C.所有特征值都大于0的矩陣

D.所有主子式都大于0的矩陣

答案：AB

18.以下哪些矩陣是負(fù)定矩陣？

A.所有特征值都小于0的矩陣

B.所有特征值都小于等于0的矩陣

C.所有主子式都小于0的矩陣

D.所有主子式都小于等于0的矩陣

答案：A

19.以下哪些矩陣是半負(fù)定矩陣？

A.所有特征值都小于等于0的矩陣

B.所有主子式都小于等于0的矩陣

C.所有特征值都小于0的矩陣

D.所有主子式都小于0的矩陣

答案：AB

20.以下哪些矩陣是正交矩陣？

A.轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣的矩陣

B.行列式為1的矩陣

C.行列式為-1的矩陣

D.秩等于行數(shù)的矩陣

答案：ABCD

三、判斷題（每題2分，共20分）

21.矩陣的秩等于其行階梯形中非零行的個數(shù)。（正確）

22.矩陣的秩等于其列階梯形中非零列的個數(shù)。（正確）

23.矩陣的秩等于其行最簡形中非零行的個數(shù)。（錯誤）

24.矩陣的秩等于其列最簡形中非零列的個數(shù)。（錯誤）

25.矩陣的秩等于其行階梯形中非零子式的最高階數(shù)。（錯誤）

26.矩陣的秩等于其列階梯形中非零子式的最高階數(shù)。（錯誤）

27.矩陣的秩等于其行最簡形中非零子式的最高階數(shù)。（正確）

28.矩陣的秩等于其列最簡形中非零子式的最高階數(shù)。（正確）

29.矩陣的秩等于其行階梯形中非零行的個數(shù)。（正確）

30.矩陣的秩等于其列階梯形中非零列的個數(shù)。（正確）

四、簡答題（每題5分，共20分）

31.什么是矩陣的秩？

答案：矩陣的秩是指矩陣中非零子式的最高階數(shù)，或者等價地，矩陣的秩等于其行階梯形中非零行的個數(shù)。

32.什么是矩陣的初等變換？

答案：矩陣的初等變換包括三種類型：交換兩行（或列），將一行（或列）乘以非零常數(shù)，將一行（或列）加上另一行（或列）的倍數(shù)。

33.什么是正交矩陣？

答案：正交矩陣是指其轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣的方陣，即滿足A^TA=AA^T=I的矩陣。

34.什么是矩陣的特征值？

答案：矩陣的特征值是指滿足det(A-λI)=0的值λ，其中A是矩陣，I是單位矩陣，det表示行列式。

五、討論題（每題5分，共20分）

35.討論矩陣的秩與矩陣的行最簡形之間的關(guān)系。

答案：矩陣的秩等于其行最簡形中非零行的個數(shù)。行最簡形是通過對矩陣進(jìn)行初等行變換得到的，它保留了原矩陣的秩。

36.討論矩陣的初等變換對矩陣秩的影響。

答案：矩陣的初等變換不改變矩陣的秩。這是因?yàn)槌醯茸儞Q相當(dāng)于左乘或右乘初等矩陣，而初等矩陣是可逆的，因此不會改變矩陣的秩。

37.討論正交矩陣的性質(zhì)。

答案：正交矩陣具有以下性質(zhì)：其轉(zhuǎn)置矩陣等于其逆矩陣，其行列式為1或-1，其特征值的絕對值為1，其列向量和行向量都是正交的。