★數(shù)學(xué)文化——立體幾何背景問題2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引一二三幾何體體積中的數(shù)學(xué)文化幾何體表面積中的數(shù)學(xué)文化球的切、接問題中的數(shù)學(xué)文化幾何體體積中的數(shù)學(xué)文化1.我國古代數(shù)學(xué)名著《增刪算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“有個(gè)金球里面空,球高尺二厚三分,一寸自方十六兩,試問金球幾許金?”意思是:有一個(gè)空心金球,它的直徑12寸,球壁厚0.3寸,1立方寸金重1斤,試問金球重是多少斤?(注:π取3,寸、斤是我國古代計(jì)量單位)(

)A.125.77 B.864 C.123.23 D.369.69C由題意知,大球半徑R=6,空心球的半徑r=6-0.3=5.7,則其體積

(63-5.73)≈123.23(立方寸).又1立方寸金重1斤,則金球重123.23斤,故選C.2.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有如下問題:“今有筑城,上廣二丈,下廣五丈四尺,高三丈八尺,長五千五百五十尺,秋程人功三百尺.問:須工幾何?”意思是:“現(xiàn)要筑造底面為等腰梯形的直棱柱的城墻,其中底面等腰梯形的上底為2丈、下底為5.4丈、高為3.8丈,直棱柱的側(cè)棱長為5550尺.如果一個(gè)秋天工期的單個(gè)人可以筑出300立方尺,問:一個(gè)秋天工期需要多少個(gè)人才能筑起這個(gè)城墻?”(注:丈、尺是我國古代計(jì)量單位,一丈等于十尺)(

)A.24642 B.26011 C.52022 D.78033B3.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載:“今有羨除”.劉徽注:“羨除,隧道也.其所穿地,上平下邪.”現(xiàn)有一個(gè)羨除如圖所示,四邊形ABCD,ABFE,CDEF均為等腰梯形,AB∥CD∥EF,AB=6,CD=8,EF=10,EF到平面ABCD的距離為3,CD與AB間的距離為10,則這個(gè)羨除的體積是(

)A.110 B.116

C.118

D.120D4.斗拱是中國古典建筑最富裝飾性的構(gòu)件之一.如圖,斗拱構(gòu)件之一的“斗”的幾何體,由棱臺(tái)與長方體形凹槽(長方體去掉一個(gè)長相等,寬和高分別為原長方體一半的小長方體)組成.若棱臺(tái)兩底面面積分別是400cm2、900cm2,高為9cm,長方體形凹槽的高為12cm,“斗”的密度是0.50g/cm3,那么這個(gè)“斗”的質(zhì)量是(

)A.3990g B.3010g C.6900g D.6300gC圖①

圖②D6.我國數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理:“冪勢(shì)既同,則積不容異”.意思是:兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等,則這兩個(gè)幾何體的體積相等.橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體.如圖,將底面直徑都為2b,高都為a的橢半球體和被挖去同底等高的圓錐的圓柱放置于同一平面β上,用平行于平面β且與平面β距離為d的平面截這兩個(gè)幾何體,可得到圓和圓環(huán)兩個(gè)截面且面積相等.據(jù)此,短半軸長為1,長半軸長為3的橢球體的體積是

.

4π幾何體表面積中的數(shù)學(xué)文化7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都是直角三角形的三棱錐稱之為“鱉臑”.現(xiàn)有一鱉臑P-ABC如圖所示,PB⊥底面ABC,AC⊥BC,PB=AC=4,其體積為8,則其表面積為(

)B8.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著,書中有如下問題:“今有倉,廣三丈,袤四丈五尺,容粟一萬斛,問高幾何?”其意思為:有一個(gè)長方體的糧倉,寬3丈,長4丈5尺,可裝粟一萬斛.已知1斛粟的體積為2.7立方尺,1丈為10尺,則該糧倉的高是

尺.若將這些粟裝入一個(gè)圓柱形糧倉內(nèi),且使這個(gè)圓柱形糧倉的表面積(含上下兩底)最小,那么它的底面半徑是

尺.

20設(shè)長方體高為h,根據(jù)長方體體積公式可得10

000×2.7=30×45×h,解得h=20尺.設(shè)圓柱形糧倉的底面半徑為R,高為H,表面積為S.根據(jù)題意可知,長方體糧倉的體積等于圓柱形糧倉的體積,球的切、接問題中的數(shù)學(xué)文化9.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中將正四棱錐稱為方錐.已知半球內(nèi)有一個(gè)方錐,方錐的底面內(nèi)接于半球的底面,方錐的頂點(diǎn)在半球的球面上,若方錐的體積為18,則半球的表面積為(

)A.9π

B.18π

C.27π

D.36πC10.半正多面體亦稱“阿基米德多面體”,是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美.如圖,將正方體沿交于一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)截去一個(gè)三棱錐,如此共可截去八個(gè)三棱錐,得到一個(gè)有十四個(gè)面的半正多面體,它們的棱長都相等,其中八個(gè)為正三角形,六個(gè)為正方形,稱這樣的半正多面體為二十四等邊體.若棱長為2的二十四等邊體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上,則該球的表面積為(

)A11.《九章算術(shù)》中記載,塹堵是底面為直角三角形的直三棱柱,陽馬指底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐.在塹堵ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,AA1=2,當(dāng)陽馬B-ACC1A1的體積為

時(shí),塹堵ABC-A1B1C1的外接球的體積的最小值為(

)B12.端午節(jié)為每年農(nóng)歷五月初五,是中國首個(gè)入選世界非遺的節(jié)日.民間有吃粽子、佩香囊的習(xí)俗,吃粽子是為了紀(jì)念戰(zhàn)國時(shí)期楚國愛國詩人屈原,佩香囊有驅(qū)瘟驅(qū)蟲、襟頭點(diǎn)綴之用.“扈江離與辟芷兮,紉秋蘭以為佩.”粽子和香囊都是六面體,如圖,平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的,將它沿虛線折起來,可以得到如圖所示香囊、粽子形狀的六面體.有以下命題:①②④

平行四邊形形狀的紙片是由六個(gè)邊長為1的正三角形構(gòu)成的,標(biāo)上各頂點(diǎn)后按照虛線翻折成六面體如圖所示,則折后棱AB,CD所在直線相交,故③錯(cuò)誤,④正確.13.魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在著作《九章算術(shù)注》中,