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空間直線、平面的平行第七章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識落實第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識落實【知識篩查】

直線與平面、平面與平面平行的判定定理與性質(zhì)定理

溫馨提示三種平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化

1.兩條平行線中的一條直線與平面平行(另一條直線不在該平面內(nèi)),另一條直線也與這個平面平行.2.過平面外一點可以作無數(shù)條直線與該平面平行,這些直線都在同一平面內(nèi).3.過兩條異面直線中的一條可以作唯一一個平面與另一條直線平行.4.兩個平面平行,其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.5.夾在兩個平行平面間的與兩個平面都相交的平行線段相等.6.經(jīng)過平面外一點,有且只有一個平面和已知平面平行.7.兩條直線被三個平行平面所截,截得的對應(yīng)線段成比例.8.如果兩個平面分別平行于第三個平面,那么這兩個平面互相平行.9.如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線,那么這兩個平面平行.10.垂直于同一條直線的兩個平面平行.【知識鞏固】

1.下列說法正確的畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線,則這條直線平行于這個平面.(

)(2)若一條直線平行于一個平面,則這條直線平行于這個平面內(nèi)的任一條直線.(

)(3)若直線a與平面α內(nèi)無數(shù)條直線平行,則a∥α.(

)(4)如果一個平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(

)(5)如果兩個平面平行,那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.(

)××××√2.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,下列結(jié)論正確的是(

)A.AD1∥BC1B.平面AB1D1∥平面BDC1C.AD1∥DC1D.AD1∥平面BDC1ABD如圖,因為AB

C1D1,所以四邊形AD1C1B為平行四邊形,所以AD1∥BC1,所以A正確.易證BD∥B1D1,AB1∥DC1,又AB1∩B1D1=B1,BD∩DC1=D,所以平面AB1D1∥平面BDC1,所以B正確.易知AD1與DC1異面,故C錯誤.因為AD1∥BC1,AD1?平面BDC1,BC1?平面BDC1,所以AD1∥平面BDC1,故D正確.3.如圖,在四面體ABCD中,M,N分別是△ACD,△BCD的重心,則在四面體的四個面中與MN平行的是

.

平面ABC,平面ABD如圖,連接AM并延長交CD于點E,連接BN并延長交CD于點F.由重心性質(zhì)可知,E,F重合為一點,且該點為CD的中點E,由

,得MN∥AB,所以MN∥平面ABC,且MN∥平面ABD.4.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E為AD的中點,點F在CD上,若EF∥平面AB1C,則EF=

.

根據(jù)題意,因為EF∥平面AB1C,EF?平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又E是AD的中點,所以F是CD的中點.因此,在Rt△DEF中,DE=DF=1,從而5.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分別是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中點,N是BC的中點,點M在四邊形EFGH及其內(nèi)部運動,當點M滿足條件

時,有MN∥平面B1BDD1.

M∈線段FH由題意易知平面HNF∥平面B1BDD1,當點M滿足在線段FH上時有MN∥平面B1BDD1.第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點1線面平行、面面平行的基本問題例1(1)設(shè)m,n表示不同直線,α,β表示不同平面,則下列說法正確的是(

)A.若m∥α,m∥n,則n∥αB.若m?α,n?β,m∥β,n∥α,則α∥βC.若α∥β,m∥α,m∥n,則n∥βD.若α∥β,m∥α,n∥m,n?β,則n∥βDA錯誤,n有可能在平面α內(nèi).B錯誤,平面α有可能與平面β相交.C錯誤,n也有可能在平面β內(nèi).D正確,易知m∥β或m?β,若m?β,又n∥m,n?β,則n∥β;若m∥β,過m作平面γ交平面β于直線l,則m∥l,又n∥m,∴n∥l,又n?β,l?β,∴n∥β.(2)設(shè)α,β,γ是三個不同的平面,m,n是兩條不同的直線,在命題“α∩β=m,n?γ,且

,則m∥n”中的橫線處填入下列三組條件中的一組,使該命題為真命題.

①α∥γ,n?β;②m∥γ,n∥β;③n∥β,m?γ.可以填入的條件有

.(填序號)

①③由面面平行的性質(zhì)定理可知,①正確;當m∥γ,n∥β時,n和m可能平行,也可能異面,②錯誤;當n∥β,m?γ時,n和m在同一平面內(nèi),且沒有公共點,所以m∥n,③正確.解題心得判斷線面平行、面面平行的真假命題判斷多以小題出現(xiàn),可通過畫圖,用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.正方體是較為常見的模型.對點訓(xùn)練1(1)若直線a⊥b,且直線a∥平面α,則直線b與平面α的位置關(guān)系是(

)A.b?αB.b∥αC.b?α或b∥αD.b與α相交或b?α或b∥αD當b與α相交或b?α或b∥α?xí)r,均可滿足直線a⊥b,且直線a∥平面α的情況,故選D.(2)給出下列關(guān)于互不相同的直線l,m,n和平面α,β,γ的三個命題:①若l與m為異面直線,l?α,m?β,則α∥β;②若α∥β,l?α,m?β,則l∥m;③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,l∥γ,則m∥n.其中真命題的個數(shù)為(

)A.3 B.2C.1 D.0C①中,當α與β相交時,也存在符合題意的l,m;②中,l與m也可能異面;③中,l∥γ,l?β,β∩γ=m?l∥m,同理l∥n,則m∥n.能力形成點2直線與平面平行的判定與性質(zhì)例2

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=CC1=2,點D為AB的中點.(1)證明:AC1∥平面B1CD;(2)若P,Q分別是△A1CD與△B1CD的重心,證明:PQ∥平面ABC.證明

(1)如圖,連接BC1,交B1C于點O,連接OD.在三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1是平行四邊形,所以O(shè)是BC1的中點.因為D為AB的中點,所以O(shè)D∥AC1.又OD?平面B1CD,AC1?平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.(2)如圖,P是△A1CD的重心,連接A1P并延長,交CD于點M,則M為CD的中點.同理連接B1Q,并延長,與CD也相交于點M.又因為AB∥A1B1,所以PQ∥AB.因為PQ?平面ABC,AB?平面ABC,所以PQ∥平面ABC.解題心得1.證明直線與平面平行的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線.2.利用幾何體的特征,合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)、構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式等證明兩直線平行.3.證明線面平行時,注意說明已知直線不在已知平面內(nèi).對點訓(xùn)練2如圖所示,在多面體中,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,AD∥BC,AB=CD,∠ABC=60°,BC=2AD=4DE=4.(1)在AC上作一點P,使

PE∥平面ABF,請寫出作法并說明理由;(2)求三棱錐A-CDE的高.解

(1)取BC的中點G,連接DG,交AC于點P,連接PE,此時P為所求作的點,如圖所示.理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.又BC∥AD,∴四邊形BGDA為平行四邊形,∴DG∥AB,即DP∥AB.又AB?平面ABF,DP?平面ABF,∴DP∥平面ABF.∵AF∥DE,AF?平面ABF,DE?平面ABF,∴DE∥平面ABF.又DP,DE?平面PDE,DP∩DE=D,∴平面ABF∥平面PDE.又PE?平面PDE,∴PE∥平面ABF.能力形成點3平面與平面平行的判定與性質(zhì)例3

如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形.

(1)證明:平面A1BD∥平面CD1B1;(2)若平面ABCD∩平面CD1B1=直線l,證明:B1D1∥l.證明

(1)由題設(shè)知BB1

DD1,所以四邊形BB1D1D是平行四邊形,所以BD∥B1D1.因為BD?平面CD1B1,B1D1?平面CD1B1,所以BD∥平面CD1B1.因為A1D1

B1C1

BC,所以四邊形A1BCD1是平行四邊形,所以A1B∥D1C.因為A1B?平面CD1B1,D1C?平面CD1B1,所以A1B∥平面CD1B1.又因為BD∩A1B=B,所以平面A1BD∥平面CD1B1.(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,又平面ABCD∩平面CD1B1=直線l,平面ABCD∩平面A1BD=直線BD,所以直線l∥直線BD.又由(1)知BD∥B1D1,所以B1D1∥l.解題心得1.證明面面平行的方法(1)定義法:兩個平面沒有公共點.(2)判定定理:一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面.(3)轉(zhuǎn)化為線線平行:若平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行,則α∥β.(4)利用平行平面的傳遞性:若α∥β,β∥γ,則α∥γ.2.應(yīng)用平面與平面平行的性質(zhì)定理的基本步驟

對點訓(xùn)練3如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,BC∥平面PAD,,E是PD的中點.(1)求證:BC∥AD.(2)求證:CE∥平面PAB.(3)