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二項(xiàng)分布與超幾何分布第十一章2026高中總復(fù)習(xí)優(yōu)化設(shè)計(jì)GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI內(nèi)容索引0102第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成第一環(huán)節(jié)必備知識(shí)落實(shí)【知識(shí)篩查】

1.伯努利試驗(yàn)與n重伯努利試驗(yàn)(1)只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).(2)將一個(gè)伯努利試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱(chēng)為n重伯努利試驗(yàn).問(wèn)題思考n重伯努利試驗(yàn)具有哪些共同特征?(1)同一個(gè)伯努利試驗(yàn)重復(fù)做n次;(2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立.2.二項(xiàng)分布(1)定義:一般地,在n重伯努利試驗(yàn)中,設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p(0<p<1),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù),則X的分布列為P(X=k)=_________,k=0,1,2,…,n.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,則稱(chēng)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,記作

X~B(n,p).(2)均值和方差:若X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).溫馨提示當(dāng)n=1時(shí),隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布,此時(shí)E(X)=p,D(X)=p(1-p).3.超幾何分布(1)定義:一般地,假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件,其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù),則X的分布列為其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式,那么稱(chēng)隨機(jī)變量X服從超幾何分布.【知識(shí)鞏固】

1.下列說(shuō)法正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)在n重伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)的結(jié)果相互沒(méi)有影響.(

)(2)在n重伯努利試驗(yàn)中,各次試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率可以不同.(

)(3)如果在一次試驗(yàn)中,某事件發(fā)生的概率為p,那么在n重伯努利試驗(yàn)中,這個(gè)事件恰好發(fā)生k次的概率

(

)(4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布,其概率公式相當(dāng)于(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,其中a=p,b=1-p.(

)(5)從4名男演員和3名女演員中隨機(jī)選出4名,其中女演員的人數(shù)X服從超幾何分布.(

)√×√×√2.在100張獎(jiǎng)券中,有4張能中獎(jiǎng),從中任取2張,則2張都能中獎(jiǎng)的概率為(

)CA4.從4名男生和2名女生中任選3人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽,則所選3人中,女生至多有1人的概率為

.

1第二環(huán)節(jié)關(guān)鍵能力形成能力形成點(diǎn)1n重伯努利試驗(yàn)與二項(xiàng)分布命題角度1n重伯努利試驗(yàn)的概率例1

甲、乙兩名射擊運(yùn)動(dòng)員各射擊一次,擊中目標(biāo)的概率分別

,假設(shè)每人每次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒(méi)有影響.(1)求甲射擊3次,至少有1次未擊中目標(biāo)的概率;(2)求兩人各射擊2次,甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)1次的概率.命題角度2二項(xiàng)分布的應(yīng)用例2

“綠水青山就是金山銀山”的理念越來(lái)越深入人心.據(jù)此,某網(wǎng)站調(diào)查了人們對(duì)生態(tài)文明建設(shè)的關(guān)注情況,調(diào)查數(shù)據(jù)表明,參與調(diào)查的人員中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的約占80%.現(xiàn)從參與調(diào)查的關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人員中隨機(jī)選出200人,并將這200人按年齡(單位:歲)分組:第1組[15,25),第2組[25,35),第3組[35,45),第4組[45,55),第5組[55,65],得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)求這200人的平均年齡(每一組用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表);(2)現(xiàn)在要從年齡在第1,2組的人員中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查,求抽取的3人中至少1人的年齡在第1組中的概率;(3)用頻率估計(jì)概率,從所有參與生態(tài)文明建設(shè)關(guān)注調(diào)查的人員(假設(shè)人數(shù)很多,各人是否關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)互不影響)中任意選出3人,設(shè)這3人中關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列及均值.解

(1)由小矩形面積和等于1可得(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1,解得a=0.035.所以平均年齡為(20×0.01+30×0.015+40×0.035+50×0.030+60×0.010)×10=41.5(歲).解題心得1.求n重伯努利試驗(yàn)概率的三個(gè)步驟(1)判斷:依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的特征,判斷所給試驗(yàn)是否為n重伯努利試驗(yàn).(2)拆分:判斷所求事件是否需要拆分為幾個(gè)互斥事件的和事件,若需要,則先拆分.(3)計(jì)算:先對(duì)拆分后的每個(gè)事件依據(jù)n重伯努利試驗(yàn)的概率計(jì)算公式求解概率,再利用互斥事件的概率加法公式計(jì)算.2.二項(xiàng)分布滿足的條件(1)在每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的;(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;(3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;(4)隨機(jī)變量是n重伯努利試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)設(shè)事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,在三重伯努利試驗(yàn)中,若事件A至少發(fā)生一次的概率為

,則事件A恰好發(fā)生一次的概率為(

)C(2)某網(wǎng)絡(luò)購(gòu)物平臺(tái)的商家進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng),顧客購(gòu)物消費(fèi)每滿600元,可選擇直接返回60元現(xiàn)金或參加一次答題返現(xiàn),答題返現(xiàn)規(guī)則如下:從電腦題庫(kù)中隨機(jī)選出一道題目讓顧客限時(shí)作答,若答對(duì),則可獲得120元返現(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì),若答錯(cuò),則沒(méi)有返現(xiàn).假設(shè)顧客答對(duì)每道題目的概率都是0.4,且答題的結(jié)果互不影響.①若某顧客購(gòu)物消費(fèi)1800元,請(qǐng)分析作為網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)的商家,是希望該顧客選擇直接返回180元現(xiàn)金,還是選擇參加3次答題返現(xiàn).②若某顧客購(gòu)物消費(fèi)7200元,且都選擇參加答題返現(xiàn),請(qǐng)計(jì)算該顧客答對(duì)多少次題目的概率最大,最有可能返回多少元現(xiàn)金.解

①設(shè)X表示顧客參加3次答題返現(xiàn)中答對(duì)題目的次數(shù),則由題意可知X~B(3,0.4),所以E(X)=3×0.4=1.2,所以該顧客選擇參加3次答題返現(xiàn)可獲得的返現(xiàn)金額的均值為1.2×120=144(元).因?yàn)?44<180,所以商家希望該顧客選擇參加3次答題返現(xiàn).②依題意,該顧客參加了12次答題返現(xiàn).設(shè)答對(duì)題目的次數(shù)為Y,則Y~B(12,0.4).設(shè)該顧客答對(duì)k次題目的概率最大,解得4.2≤k≤5.2,所以k=5.答對(duì)5次題目可獲得的返現(xiàn)獎(jiǎng)勵(lì)為5×120=600(元).故該顧客答對(duì)5次題目的概率最大,最有可能返回600元現(xiàn)金.能力形成點(diǎn)2超幾何分布命題角度1利用超幾何分布求分布列例3

端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有10個(gè)粽子,其中豆沙粽2個(gè),肉粽3個(gè),白粽5個(gè),這三種粽子的外觀完全相同.從中隨機(jī)取3個(gè).(1)求三種粽子各取到1個(gè)的概率;(2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個(gè)數(shù),求X的分布列與均值.命題角度2超幾何分布的應(yīng)用例4

某超市在節(jié)日期間進(jìn)行有獎(jiǎng)促銷(xiāo),凡在該超市購(gòu)物滿500元的顧客,可以獲得一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì),有兩種方案.方案一:在抽獎(jiǎng)的盒子中有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球,3個(gè)白球,顧客一次性摸出2個(gè)球,規(guī)定摸到2個(gè)黑球獎(jiǎng)勵(lì)50元,1個(gè)黑球獎(jiǎng)勵(lì)20元,沒(méi)有摸到黑球獎(jiǎng)勵(lì)15元.方案二:在抽獎(jiǎng)的盒子中有除顏色外完全相同的2個(gè)黑球,3個(gè)白球,顧客不放回地每次摸出一個(gè)球,直到將所有黑球摸出才停止,規(guī)定2次摸出所有黑球獎(jiǎng)勵(lì)50元,3次摸出所有黑球獎(jiǎng)勵(lì)30元,4次摸出所有黑球獎(jiǎng)勵(lì)20元,5次摸出所有黑球獎(jiǎng)勵(lì)10元.(1)設(shè)X為1名顧客選擇方案一時(shí)摸出黑球的個(gè)數(shù),求隨機(jī)變量X的均值;(2)若你為一名要摸獎(jiǎng)的顧客,請(qǐng)問(wèn)你選擇哪種方案進(jìn)行抽獎(jiǎng)?說(shuō)明理由.解題心得1.超幾何分布的兩個(gè)特點(diǎn)(1)超幾何分布是不放回抽樣問(wèn)題;(2)隨機(jī)變量為抽到的某類(lèi)個(gè)體的個(gè)數(shù).2.超幾何分布屬于古典概型,主要應(yīng)用于抽查產(chǎn)品、摸不同類(lèi)別的小球等概率模型.3.對(duì)于超幾何分布的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題,關(guān)鍵是利用超幾何分布的概率計(jì)算公式得出概率或分布列,有時(shí)需根據(jù)分布列求出均值或方差.對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2在箱子中有10個(gè)除顏色外完全相同的球,其中有3個(gè)紅球,3個(gè)白球,4個(gè)黑球.從這10個(gè)球中一次性任意取出3個(gè).求:(1)取出的3個(gè)球