考點規(guī)范練50二項式定理1.(多選)下列關于(a-b)10的展開式的說法正確的是()A.展開式的二項式系數之和是1024B.展開式的第6項的二項式系數最大C.展開式的第5項或第7項的二項式系數最大D.展開式的第6項的系數最小答案:ABD解析:由二項式系數的性質知C100+C101+C102+…+C1010=210=1024,故A正確;依題意,展開式中有11項,故二項式系數最大的項為中間項,即為第6項,故B正確,C錯誤;由展開式的通項Tr+1=C10ra10-r(-b)r=(-1)rC10ra10-rbr2.(2024北京,4)(x-x)4的二項展開式中x3的系數為()A.15 B.6 C.-4 D.-13答案:B解析:Tr+1=C4r·x4-r·(-x)r=(-1)r·C4r·得r=2.C42x2(-x)2=6x故選B.3.若(1+3)4=a+b3(a,b為有理數),則a+b等于()A.36 B.46 C.34 D.44答案:D解析:(1+3)4=1+C41×3+C42×(3)2+C43×(3)3+(3)4=28+1634.已知(1+x)10=a1+a2x+a3x2+…+a11x10,若數列a1,a2,a3,…,ak(1≤k≤11,k∈N*)是一個單調遞增數列,則k的最大值是()A.5 B.6 C.7 D.8答案:B解析:由題意知an=C10n-1(n=因為(1+x)10的展開式中二項式系數最大的項是第6項,所以a6=C105最大,所以k的最大值為5.已知(mx+1)n(n∈N*,m∈R)的展開式只有第5項的二項式系數最大,設(mx+1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,若a1=8,則a2+a3+…+an=()A.63 B.64 C.247 D.255答案:C解析:由于(mx+1)n(n∈N*,m∈R)的展開式只有第5項的二項式系數最大,故n=8,則(mx+1)n=(mx+1)8=a0+a1x+a2x2+…+anxn.令x=0,可得a0=1.∵a1=mC87=8m=8,∴m=1.故(mx+1)n=(x+1)8,且(x+1)8=1+8x+a2x2+…+a8x8,再令x=1,可得1+8+a2+a3+…+a8=28=256,∴a2+a3+…+an=a2+a3+…+a8=247,故選6.“楊輝三角”是中國古代數學文化的瑰寶之一,最早在中國南宋數學家楊輝1261年所著的《解析九章算法》一書中出現,歐洲數學家帕斯卡在1654年才發(fā)現這一規(guī)律,比楊輝要晚近四百年.如圖,在由二項式系數所構成的“楊輝三角”中,記第2行的第3個數字為a1,第3行的第3個數字為a2……第n(n≥2)行的第3個數字為an-1,則a1+a2+a3+…+a10=()A.220 B.186 C.120 D.96答案:A解析:a1+a2+a3+…+a10=C22+C32+C42+…+C112=C33+C37.在x+1xn的展開式中,各項系數的和為128,把展開式中各項重新排列,A.435 B.3C.314 D.答案:D解析:依題意,令x=1,可得各項系數的和為2n=128,解得n=7.故x+1x7的展開式的通項公式為Tr+由7-3r2∈Z,得r=0,2,4,6,故展開式中有4項為有理項,有4把展開式中各項重新排列,則有理項都互不相鄰的排法有A44A54種故有理項都互不相鄰的概率為A48.(多選)若(2x+1)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,x∈R,則()A.a0=1B.ar=C10r210-r(-1)r,r=0,1,2,C.a1+a2+…+a10=1D.(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=310答案:AD解析:令x=-1,得a0=(-2+1)10=1,故A正確.由已知得(2x+1)10=[-1+2(x+1)]10,故ar=C10r(-1)10-r2r,r=0,1,2,…,10,故B錯誤.令x=0,得a0+a1+a2+…+a10又a0=1,則a1+a2+…+a10=0,故C錯誤.令x=-2,得a0-a1+a2-…+a10=310,則(a0+a2+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2=(a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9)(a0+a2+…+a10-a1-a3-…-a9)=1×310=310,故D正確.9.已知(x-1)3+(x+1)4=x4+a1x3+a2x2+a3x+a4,則a1=,a2+a3+a4=.

答案:510解析:因為a1為展開式中x3的系數,所以a1=C30(-1)0+C4令x=1,則有1+a1+a2+a3+a4=(1-1)3+(1+1)4=16,所以a2+a3+a4=16-5-1=10.10.已知(x+1)6=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6