第1頁、共2頁2021年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷試題一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1.已知（其中為虛數(shù)單位），則．2、已知則3、若,則圓心坐標(biāo)為4、如圖邊長為3的正方形則5、已知則6.已知二項式的展開式中，的系數(shù)為，則________．7、已知,目標(biāo)函數(shù)，則的最大值為8、已知無窮遞縮等比數(shù)列的各項和為則數(shù)列的各項和為9、在圓柱底面半徑為,高為,為上底底面的直徑,點是下底底面圓弧上的一個動點，點繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則面積的范圍10.甲、乙兩人在花博會的A、B、C、D不同展館中各選個去參觀，則兩人選擇中恰有一個館相同的概率為________．11、已知拋物線,若第一象限的點在拋物線上，拋物線焦點為則直線的斜率為12.已知，且對任意都有或中有且僅有一個成立，，，則的最小值為________．二、選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）13、以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（）A.B.C.D.14、已知參數(shù)方程,以下哪個圖像是該方程的圖像（）15.已知，對于任意的，都存在，使得成立，則下列選項中，可能的值是（）16、已知兩兩不同的滿足，且，，，，則下列選項中恒成立的是（）三、解答題（本大題共有5題，滿分76分,解答下列各題必須寫出必要的步驟)17、如圖，在長方體中，（1)若是邊的動點，求三棱錐的體積；（2)求與平面所成的角的大小.18、在Δ中，已知（1)若求Δ的面積；（2)若,求Δ的周長.19.已知某企業(yè)今年（2021年）第一季度的營業(yè)額為億元，以后每個季度（一年有四個季度）營業(yè)額都比前一季度多億元，該企業(yè)第一季度是利潤為億元，以后每一季度的利潤都比前一季度增長.（1）求2021第一季度起20季度的營業(yè)額總和；（2）問哪一年哪個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？20、已知是其左右焦點，,直線過點交于兩點，且在線段上.（1)若是上頂點，求的值；（2)若且原點到直線的距離為，求直線的方程；（3)證明：對于任意總存在唯一一條直線使得.21、如果對任意使得都有,則稱是關(guān)聯(lián)的.（1)判斷并證明是否是關(guān)聯(lián)？是否是關(guān)聯(lián)？（2)是關(guān)聯(lián)的，在上有,解不等式；（3)“是關(guān)聯(lián)的，且是關(guān)聯(lián)”當(dāng)且僅當(dāng)“是關(guān)聯(lián)的”．以下內(nèi)容，題后含答案、解析2021年上海市夏季高考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1～6題每題4分，第7～12題每題5分）1.已知（其中為虛數(shù)單位），則．【思路分析】復(fù)數(shù)實部和虛部分別相加【解析】：2、已知則【思路分析】求出集合A，再求出【解析】：，所以3、若,則圓心坐標(biāo)為【思路分析】將圓一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，直接讀取圓心坐標(biāo)【解析】：可以化為所以圓心為4、如圖邊長為3的正方形則【思路分析】利用向量投影轉(zhuǎn)化到邊上.【解析】方法一：方法二：由已知，，，則；5、已知則【思路分析】利用反函數(shù)定義求解.【解析】由題意，得原函數(shù)的定義域為：，結(jié)合反函數(shù)的定義，得，解得，所以，；6.已知二項式的展開式中，的系數(shù)為，則________．【思路分析】利用二項式展開式通項公式求解.【解析】7、已知,目標(biāo)函數(shù)，則的最大值為【思路分析】作出不等式表示的平面區(qū)域，根據(jù)z的幾何意義求最值.【解析】如圖，可行域的三個頂點為：、，，結(jié)合直線方程與的幾何意義，得，，則；當(dāng)8、已知無窮遞縮等比數(shù)列的各項和為則數(shù)列的各項和為【思路分析】利用無窮遞縮等比數(shù)列求和公式建立方程求出公比，再得到通項公式，根據(jù)特點求和.【解析】，9、在圓柱底面半徑為,高為,為上底底面的直徑,點是下底底面圓弧上的一個動點，點繞著下底底面旋轉(zhuǎn)一周，則面積的范圍【思路分析】注意幾何題設(shè)與幾何性質(zhì)選擇求面積的的方法；【解析】由題意，當(dāng)點在下底底面圓弧上的運動時，的底邊，所以，面積的取值與高相關(guān)；當(dāng)時，最大為：，面積的最大值為：；當(dāng)時，最小為：，面積的最大值為：；所以，面積的取值范圍為：；10.甲、乙兩人在花博會的A、B、C、D不同展館中各選個去參觀，則兩人選擇中恰有一個館相同的概率為________．【思路分析】注意“閱讀，理解”，等價為“兩個”排列組合題；【解析】由題意、、、四個不同的場館，每人可選擇的參觀方法有：種，則甲、乙兩個人每人選個場館的參觀方法有：種；由此，甲、乙兩人恰好參觀同一個場館的參觀方法有：種；（或等價方法1：甲、乙兩人恰好參觀同一個場館的參觀方法有：種）；（或等價方法2【補集法】：甲、乙兩人參觀兩個不同一個場館的參觀方法有：種；甲、乙兩人參觀兩個相同場館的參觀方法有：種；所以，甲、乙兩人恰好參觀同一個場館的參觀方法有：種）；所以，甲、乙兩人恰好參觀同一個場館的概率為：；11、已知拋物線,若第一象限的點在拋物線上，拋物線焦點為則直線的斜率為【思路分析】注意理解與應(yīng)用拋物線的定義以及直線斜率公式的特征；【解析】方法一：如圖，設(shè)，，再由拋物線的定義結(jié)合題設(shè)得，，則，又，解得，則直線的斜率為：；方法二：過、分別向準(zhǔn)線引垂線，垂足為、，直線與軸的交點為，由拋物線定義，得，，于，則，又由已知，則，結(jié)合平面幾何中，“內(nèi)錯角相等”，所以，直線的斜率為：)方法三：：結(jié)合本題是填充題的特點，數(shù)形結(jié)合并利用“二級結(jié)論”，弦長公式，即，解得，結(jié)合題設(shè)與圖像，所以）12.已知，且對任意都有或中有且僅有一個成立，，，則的最小值為________．【思路分析】注意閱讀與等價轉(zhuǎn)化題設(shè)中的遞推關(guān)系；【答案】31；【解析】方法一：由題設(shè)，知：；或中恰有一個成立；或中恰有一個成立；…或中恰有一個成立；則①，，，，則，當(dāng)時，的和為最小值為：31；②，，，，則，當(dāng)時，的和為最小值為：32；因此，的最小值為：31）；方法二：：或中恰有一個成立；等價為：或中恰有一個成立；或中恰有一個成立；等價為：或中恰有一個成立；…或中恰有一個成立；等價為：或中恰有一個成立；又要求的和為最小，所以，希望盡量出現(xiàn)1和2，則有數(shù)列：6，1，2，1，2，1，2，8，9或6，7，1，2，1，2，1，2，9；因此，的最小值為：31；）方法三：：設(shè)，或恰好只有一個為1；①②的最小值為）方法四：：由題設(shè)，知：；由題設(shè)，得：再結(jié)合題設(shè)，要使的和為最小，①考慮按：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；②考慮按：當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；）二、選擇題（本大題共有4題，每題5分，滿分20分）13、以下哪個函數(shù)既是奇函數(shù)，又是減函數(shù)（）A.B.C.D.【思路分析】注意研究函數(shù)性質(zhì)的方法；【解析】排除法：B、C、D涉及函數(shù)都是增函數(shù)；【歸納總結(jié)】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)的研究方法；基礎(chǔ)題；14、已知參數(shù)方程,以下哪個圖像是該方程的圖像（）【思路分析】注意利用集合觀點，根據(jù)方程研究曲線的方法；【解析】方法一（特值法）：令，解得，代入?yún)?shù)方程，得，所以，方程對應(yīng)的曲線一定過、、，故選B；方法二：在方程對應(yīng)的曲線上任取一點，對應(yīng)的參數(shù)為：，由題意，得；當(dāng)時，代入已知的參數(shù)方程，得，所以，點也在方程對應(yīng)的曲線上，所以，方程對應(yīng)的曲線關(guān)于原點成中心對稱；取，代入?yún)?shù)方程，則，，即點在曲線上；）驗證點、都不在曲線上；因為，當(dāng)時，或，當(dāng)時，或，所以，點不在方程對應(yīng)的曲線上；故，方程對應(yīng)的曲線不關(guān)于軸成對稱；因為，當(dāng)時，或，當(dāng)時，或，所以，點不在方程對應(yīng)的曲線上；故，方程對應(yīng)的曲線不關(guān)于軸成對稱；故選B；15.已知，對于任意的，都存在，使得成立，則下列選項中，可能的值是（）【思路分析】注意仔細(xì)審題，關(guān)注關(guān)鍵詞“任意的”、“都存在”；【解析】方法一：由題設(shè)，變形得，又由題設(shè)“對任意的，都存在使得成立”，若設(shè)函數(shù)對任意的的值域為，設(shè)函數(shù)，的值域為，則，又因為；而，當(dāng)時，，，而符合題意；方法二：由題意，得，解得，又對于任意的時，，原問題，等價為：當(dāng)時，即時，取遍能所有的數(shù)；所以，一定存在整數(shù)，使得：或者，解得或者，所以選D；）方法三：的可能值是選D16、已知兩兩不同的滿足，且，，，，則下列選項中恒成立的是（）【思路分析】注意通過審題與理解，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化【解析】方法一：方法二：舉特例去選擇，代入方法三：令，則由已知，又由（*），構(gòu)造函數(shù)，（*）即為，結(jié)合函數(shù)圖像，，又函數(shù)在遞增，所以）三、解答題（本大題共有5題，滿分76分,解答下列各題必須寫出必要的步驟)17、如圖，在長方體中，（1)若是邊的動點，求三棱錐的體積；（2)求與平面所成的角的大小.【思路分析】（1)利用體積計算公式計算；（2）證明，找到線面角度，再計算【解析】（1)如圖1，；（2）如圖2，與平面所成的角；在中圖1圖218、在Δ中，已知（1)若求Δ的面積；（2)若,求Δ的周長.【思路分析】（1）由已知利用余弦定理即可求解的值；再利用面積公式求Δ的面積．（2）根據(jù)與建立關(guān)于角度的三角方程，求解的值，在求，則根據(jù)正弦定理以及，則三邊可求．【解析】（1)；19.已知某企業(yè)今年（2021年）第一季度的營業(yè)額為億元，以后每個季度（一年有四個季度）營業(yè)額都比前一季度多億元，該企業(yè)第一季度是利潤為億元，以后每一季度的利潤都比前一季度增長.（1）求2021第一季度起20季度的營業(yè)額總和；（2）問哪一年哪個季度的利潤首次超過該季度營業(yè)額的？【思路分析】（1）根據(jù)每個季度比上個季度營業(yè)額增加億元可以知道數(shù)列為一個等差數(shù)列，求解20季度營業(yè)收入總額為即為等差數(shù)列前20項的和；（2）通過數(shù)列通項公式建立數(shù)列不等式，利用計算器計算求解不等式即可。【解析】（1）設(shè)為第季度的營業(yè)額，為利潤，由題意得，的首項為億元，公差為億元,所以2021到2025年，20季度營業(yè)收入總額為：（億元）（2）由已知得，由已知的，的首項為億元，公比為,即所以，利用計算器991可得，所以2027年第二季度該公司的利潤首次超過該季度營業(yè)收入的20、已知是其左右焦點，,直線過點交于兩點，且在線段上.（1)若是上頂點，求的值；（2)若且原點到直線的距離為，求直線的方程；（3)證明：對于任意總存在唯一一條直線使得.【思路分析】（1）根據(jù)橢圓的定義以及建立關(guān)于的方程；（2）通過原點到直線的距離建立關(guān)于直線斜率的方程，求解斜率；（3）找到直線斜率與m的函數(shù)關(guān)系，結(jié)合函數(shù)關(guān)系式判斷是否是唯一解使得；【解析】（1)；（2）設(shè)；設(shè)，原點到直線的距離為（在線段上，設(shè)，直線，則，聯(lián)立直線與橢圓得即所以代入，所以，，即對于任意，使得的直線有且僅有一條；21、如果對任意使得都有,則稱是關(guān)聯(lián)的.（1)判斷并證明是否是關(guān)聯(lián)？是否是關(guān)聯(lián)？（2)是關(guān)聯(lián)的，在上有,解不等式；（3)“是關(guān)聯(lián)的，且是關(guān)聯(lián)”當(dāng)且僅當(dāng)“是關(guān)聯(lián)的”．【思路分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)”定義進(jìn)行判斷；（2）根據(jù)“是關(guān)聯(lián)”有：；以及函數(shù)解析式作出函數(shù)圖像，利用圖像解不等式；（3）分為充分性、必要性兩個方面證明；【解析】是關(guān)聯(lián)；不是關(guān)聯(lián)；（2)是以3為周期的函數(shù)，然后就是要在里面，可以看出只有兩個周期中可以找到解,答案是（3）充分性：，且遞增，