21.3實(shí)際問題與一元二次方程第二十一章一元二次方程學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟；會(huì)分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，列一元二次方程解決實(shí)際問題，并根據(jù)具體問題的實(shí)際意義，檢驗(yàn)方程的解是否合理.情境導(dǎo)入【探究1】有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?第1輪傳染后患病人數(shù)_______人；1.如果每輪每人傳染2人.第2輪傳染后患病人數(shù)

人.1+2=31+2+6=9第2輪第1輪如果每輪每人傳染3人呢？1+3=41+3+12=16探究新知【分析】設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，其傳染示意圖如圖所示：第2輪???12x第1輪注意：不要忽視他的二次傳染第1輪傳染后患病人數(shù)_______人;第2輪傳染后患病人數(shù)______________人.[1+x+(1+x)x](1+x)探究新知根據(jù)示意圖，列表如下：傳染源人數(shù)第1輪傳染后的人數(shù)第2輪傳染后的人數(shù)

1

1+x=(1+x)11+x+x(1+x)=(1+x)2x1=

，

x2=

.解方程，得答:平均一個(gè)人傳染了________個(gè)人.10-12x2=-12不合題意，舍去10解:設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人.(1+x)2=121設(shè)列解檢答注意:一元二次方程的解有可能不符合題意，所以一定要進(jìn)行檢驗(yàn)探究新知傳染源新增患者人數(shù)本輪結(jié)束患者總?cè)藬?shù)第一輪11?x=x1+x第二輪1+x(1+x)x1+x+(1+x)x=第三輪

第n輪思考:如果按這樣的傳染速度，n輪后傳染后有多少人患了流感?(1+x)n(1+x)2(1+x)2?x(1+x)2+(1+x)2?x=(1+x)3(1+x)2如果按照這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患流感?(1+x)2+(1+x)2?x=121+121×10=1331人

或(10+1)3=1331歸納總結(jié)傳染問題的數(shù)量關(guān)系:【前提】傳染源每輪都一直在傳染a(x+1)n=b原有量(a)

-------傳播前的數(shù)量傳播速度(x)

-------一個(gè)傳播多少個(gè)輪數(shù)(n)

-------傳播多少輪最終量(b)-------經(jīng)過傳播后的數(shù)量探究新知【探究2】兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大?下降率是什么意思？它與原成本、終成本之間有何數(shù)量關(guān)系？下降率=×100%原成本－終成本原成本探究新知前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，設(shè)下降率是x，則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元，如果保持這個(gè)下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2探究新知②設(shè)甲種藥品成本平均每年的下降率為x，由等量關(guān)系

可得方程

，解這個(gè)方程，得到方程的兩根，根據(jù)問題的實(shí)際意義，應(yīng)選擇哪個(gè)根呢？為什么？終成本=原成本×(1-下降率)25000(1-x)2=3000探究新知應(yīng)選擇x1=0.225.因?yàn)楦鶕?jù)問題的實(shí)際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于1的正數(shù).注意：下降率不能超過1解：設(shè)甲種藥品的年平均下降率為x.根據(jù)題意，列方程，得探究新知③

設(shè)乙種藥品成本平均每年的下降率為

y，

則由等量關(guān)系

,可得方程

.終成本=原成本×(1-下降率)26000(1-y)2=3600成本下降額較大的藥品，它的成本下降率不一定大.解方程，得y1≈0.225，y2≈1.775.根據(jù)問題的實(shí)際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5%.綜上所述，甲乙兩種藥品成本的年平均下

降率相同，都是22.5%.歸納總結(jié)平均變化率問題中常見概念1.增長率問題a(1+x)2=b，其中a為增長前的量，x為增長率，2為增長次數(shù)，b為增長后的量.2.降低率問題a(1-x)2=b，其中a為降低前的量，x為降低率，2為降低次數(shù)，b為降低后的量.注意1與x位置不可調(diào)換.探究新知【探究3】如圖，要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長為27

cm，寬為21cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長寬比例相同的矩形．如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上、下邊襯等寬，左、右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）？探究新知【分析】由題意封面的長寬之比也是27:21=9:7，中央的矩形的長寬之比也是9:7，那你知道上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是多少嗎？設(shè)中央的矩形的長和寬分別是9acm和7acm，由此得上、下邊襯與左、右邊襯的寬度之比是探究新知設(shè)上下邊襯的寬均為

9xcm，左右邊襯寬為

7xcm，則中央的矩形的長為(27?18x)cm，寬為(21?14x)cm.設(shè)上、下邊襯的寬均為9xcm，而不是設(shè)為xcm，這樣做有什么好處？列出的方程為整數(shù)式，方便計(jì)算．探究新知于是可列出方程解得整理，得16x2?48x+9=0.要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，則中央矩形的面積是封面面積的四分之三.探究新知

符合實(shí)際意義．當(dāng)

時(shí)，上、下邊襯的寬度之和會(huì)超過封面的長度，不符合實(shí)際情況．方程的哪個(gè)根符合實(shí)際意義？為什么？故上下邊襯的寬為左右邊襯的寬為解得

（舍去）．探究新知如果換一種設(shè)未知數(shù)的方法，是否可以更簡單地解決上面的問題？設(shè)中央矩形的長為9xcm．則寬為7xcm．列方程得

．即

x2=，∴上、下邊襯的寬為

（cm），左、右邊襯的寬為

（cm）．D每個(gè)支干只長一次，即傳染源只參加一輪的傳