第一章矢量分析1.1場(chǎng)的概念1.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1.3矢量場(chǎng)的通量和散度1.4矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度1.5圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系1.6亥姆霍茲定理小結(jié)

1.1場(chǎng)

的

概

念

1.1.1矢性函數(shù)數(shù)學(xué)上,實(shí)數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a

都可以稱為標(biāo)量,因?yàn)樗荒艽碓摯鷶?shù)量的大小。在物理學(xué)中,任意一個(gè)代數(shù)量一旦被賦予物理單位,則成為一個(gè)具有物理意義的標(biāo)量,即所謂的物理量,如電壓u、電流i、面積S、體積V

等等。

在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點(diǎn)

P

是一個(gè)既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量,故稱為實(shí)數(shù)矢量。實(shí)數(shù)矢量可用黑體A

表示,而白體A

表示A的大小(即A

的模)。若用幾何圖形表示,實(shí)數(shù)矢量是從原點(diǎn)出發(fā)的一條帶有箭頭的直線段,直線段的長(zhǎng)度表示矢量A的模,箭頭的指向表示該矢量A

的方向。矢量一旦被賦予物理單位,便成為具有物理意義的矢量,如電場(chǎng)強(qiáng)度E、磁場(chǎng)強(qiáng)度

H、速度v等等。

若某一矢量的模和方向都保持不變,此矢量稱為常矢,如某物體所受到的重力。而在實(shí)際問(wèn)題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會(huì)發(fā)生變化的矢量,這種矢量我們稱為變矢,如沿著某一曲線物體運(yùn)動(dòng)的速度v等。

設(shè)t是一數(shù)性變量,A(t)為變矢,對(duì)于某一區(qū)間G[a,b]內(nèi)的每一個(gè)數(shù)值t,A

都有一個(gè)確定的矢量A(t)與之對(duì)應(yīng),則稱A(t)為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為

而G[a,b]為A(t)的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標(biāo)系中的三個(gè)坐標(biāo)分量都是變量t的函數(shù),分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t),則矢性函數(shù)A(t)也可用其坐標(biāo)表示為

其中,ex、ey、ez為x軸、y

軸、z

軸的正向單位矢量。

1.1.2標(biāo)量場(chǎng)和矢量場(chǎng)

如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點(diǎn),都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值,則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)。換句話說(shuō),在某一空間區(qū)域中,物理量的無(wú)限集合表示一種場(chǎng)。

若該物理量與時(shí)間無(wú)關(guān),則該場(chǎng)稱為靜態(tài)場(chǎng);若該物理量與時(shí)間有關(guān),則該場(chǎng)稱為動(dòng)態(tài)場(chǎng)或稱為時(shí)變場(chǎng)。

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時(shí),數(shù)學(xué)上只需用一個(gè)代數(shù)變量來(lái)描述,這些代數(shù)變量(即標(biāo)量函數(shù))所確定的場(chǎng)稱為標(biāo)量場(chǎng),如溫度場(chǎng)T(x,y,z)、電位場(chǎng)φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中,其狀態(tài)不僅需要確定其大小,同時(shí)還需確定它們的方向,這就需要用一個(gè)矢量來(lái)描述,因此稱為矢量場(chǎng),例如電場(chǎng)、磁場(chǎng)、流速場(chǎng)等等。

1.1.3標(biāo)量場(chǎng)的等值面和矢量場(chǎng)的矢量線

在研究場(chǎng)的特性時(shí),以場(chǎng)圖表示場(chǎng)變量在空間逐點(diǎn)分布的情況具有很大的意義。對(duì)于標(biāo)量場(chǎng),常用等值面的概念來(lái)描述。所謂等值面,是指在標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)中,使其函數(shù)φ取相同數(shù)值的所有點(diǎn)組成的集合,這些點(diǎn)組成一個(gè)曲面,該曲面稱為等值面。如溫度場(chǎng)的等值面,就是由溫度相同的點(diǎn)所組成的一個(gè)曲面,此曲面稱為等溫面。等值面在二維空間就變?yōu)榈戎稻€。如地圖上的等高線,就是由高度相同的點(diǎn)連成的一條曲線。

標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)的等值面方程為

對(duì)于矢量場(chǎng)A(x,y,z),則用一些有向線來(lái)形象地表示矢量A(x,y,z)在空間的分布,這些有向線稱為矢量線,如圖1-1所示。矢量線上任一點(diǎn)的切線方向表示該點(diǎn)矢量A(x,y,z)的方向。在直角坐標(biāo)系中,其矢量線方程可寫(xiě)為

圖1-1矢量場(chǎng)的矢量線

例1-1

求數(shù)量場(chǎng)φ=(x+y)2-z

通過(guò)點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。

解:點(diǎn)

M

的坐標(biāo)是x0=1,y0=0,z0=1,則該點(diǎn)的數(shù)量場(chǎng)的場(chǎng)值為

其等值面方程

例1-2求矢量場(chǎng)A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。

解:矢量線應(yīng)滿足的微分方程為

從而有

解之即得矢量方程:

C1

和C2

是積分常數(shù)。

1.2標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度

1.2.1標(biāo)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)在標(biāo)量場(chǎng)中,標(biāo)量φ=φ(M)的分布情況可以由等值面或等值線來(lái)描述,但這只能大致地了解標(biāo)量φ

在場(chǎng)中的整體分布情況。而要詳細(xì)地研究標(biāo)量場(chǎng),還必須對(duì)它的局部狀態(tài)進(jìn)行深入分析,即要考察標(biāo)量φ

在場(chǎng)中各點(diǎn)處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此,引入方向?qū)?shù)的概念

在直角坐標(biāo)系中,方向?qū)?shù)可按下述公式計(jì)算。

若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點(diǎn)

M0(x0,y0,z0)處可微,cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦,則函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點(diǎn)

M0(x0,y0,z0)處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在,且為

證明:M

點(diǎn)的坐標(biāo)為M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz),由于函數(shù)φ在M0

處可微,故

式中Δ為高階無(wú)窮小。上述等式兩邊除以ρ,可得

當(dāng)ρ趨于零時(shí)對(duì)上式取極限,可得

例1-3

求數(shù)量場(chǎng)在點(diǎn)M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

解:l方向的方向余弦為

而其數(shù)量場(chǎng)對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)為

數(shù)量場(chǎng)在l方向的方向?qū)?shù)為

在點(diǎn)

M

處沿l方向的方向?qū)?shù)為

1.2.2標(biāo)量場(chǎng)的梯度

方向?qū)?shù)可以描述標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)處標(biāo)量沿某方向的變化率。但從場(chǎng)中某一點(diǎn)出發(fā)有無(wú)窮多個(gè)方向,通常不必要更不可能研究所有方向的變化率,而只是關(guān)心沿哪一個(gè)方向變化率最大,此變化率是多少?我們從方向?qū)?shù)的計(jì)算公式來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。標(biāo)量場(chǎng)φ(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為

在直角坐標(biāo)系中,令

則

矢量l°是l方向的單位矢量,矢量G

是在給定點(diǎn)處的一常矢量。由上式顯然可見(jiàn),當(dāng)l與G的方向一致時(shí),即cos(G,l°)=1時(shí),標(biāo)量場(chǎng)在點(diǎn)

M

處的方向?qū)?shù)最大,也就是說(shuō),沿矢量G

的方向的方向?qū)?shù)最大,此最大值為

這樣,我們找到了一個(gè)矢量G,其方向是標(biāo)量場(chǎng)在

M

點(diǎn)處變化率最大的方向,其模值即為最大的變化率。

在標(biāo)量場(chǎng)φ(M)中的一點(diǎn)

M處,其方向?yàn)楹瘮?shù)φ=φ(M)在

M

點(diǎn)處變化率最大的方向,其大小又恰好等于最大變化率矢量G

的模,該最大變化率矢量

G

稱為標(biāo)量場(chǎng)φ=φ(M)在

M

點(diǎn)處的梯度,用gradφ(M)表示。在直角坐標(biāo)系中,梯度的表達(dá)式為

梯度用哈密爾頓微分算子表示的表達(dá)式為

由上面的分析可知:

(1)在某點(diǎn)M

處沿任意方向的方向?qū)?shù)等于該點(diǎn)處的梯度在此方向上的投影;

(2)標(biāo)量場(chǎng)φ=φ(M)中的每一點(diǎn)

M

處的梯度垂直于過(guò)該點(diǎn)的等值面,且指向函數(shù)φ(M)增大的方向。這一點(diǎn)是因?yàn)辄c(diǎn)

M

處梯度的坐標(biāo)恰好是過(guò)

M點(diǎn)的等值面φ(x,y,z)=c法線的方向?qū)?shù),即梯度為其法向矢量,因此梯度垂直于該等值面。

等值面和方向?qū)?shù)均與梯度存在一種比較特殊的關(guān)系,這使得梯度成為研究標(biāo)量場(chǎng)的一個(gè)極為重要的矢量。

下面給出梯度的基本運(yùn)算法則。u(M)和v(M)為標(biāo)量場(chǎng),c

為一常數(shù)。很容易證明下面的梯度運(yùn)算法則成立。

例1-4

標(biāo)量函數(shù)r

是動(dòng)點(diǎn)M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez

的模,即證明:

例1-5

求r

在點(diǎn)M(1,0,1)處沿l=ex+2ey+2ez

方向的方向?qū)?shù)。

解:由例1-4得知

點(diǎn)

M

處的坐標(biāo)為x=1,y=0,z=1,而所以r在M

點(diǎn)處的梯度為

r在點(diǎn)M

處沿l方向的方向?qū)?shù)為

而

所以

例1-6

已知位于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在點(diǎn)M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為其中矢徑r

為r=xex+yey+zez,且已知電場(chǎng)強(qiáng)度與電位的關(guān)系是E=-?φ,求電場(chǎng)強(qiáng)度E。

解:

根據(jù)?f(u)=f'(u)·?u

的運(yùn)算法則:

又由例1-4得知,所以

1.3矢量場(chǎng)的通量和散度

1.3.1矢量場(chǎng)的通量在分析和描繪矢量場(chǎng)的特性時(shí),矢量穿過(guò)一個(gè)曲面的通量是一個(gè)很重要的基本概念。將曲面的一個(gè)面元用矢量dS來(lái)表示,其方向取為面元的法線方向,其大小為dS,即

n

是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況:對(duì)開(kāi)曲面上的面元,設(shè)這個(gè)開(kāi)曲面是由封閉曲線l所圍成的,則選定繞行的方向后,沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n

的方向,如圖1-3(a)所示;對(duì)封閉曲面上的面元,n

取為封閉曲面的外法線方向,如圖1-3(b)所示。

圖1-3法線方向的取法

若面元dS

位于矢量場(chǎng)A

中,由于面元dS

很小,且面元上各點(diǎn)的場(chǎng)值可以認(rèn)為是相同的,矢量場(chǎng)A和面元dS的標(biāo)量積A·dS

便稱為矢量A

穿過(guò)面元dS

的通量。例如在流速場(chǎng)中,流速v是一個(gè)矢量,v·dS

就是每秒鐘通過(guò)面元dS

的通量。通量是一個(gè)標(biāo)量。

將曲面S

各面元上的A·dS

相加,它表示矢量場(chǎng)A穿過(guò)整個(gè)曲面S

的通量,也稱為矢量A

在曲面S

上的面積分:

如果曲面是一個(gè)封閉曲面,則

該積分表示矢量A

穿過(guò)封閉曲面S的通量。若

Ψ>0,表示有凈通量流出,這說(shuō)明封閉曲面S內(nèi)必定有矢量場(chǎng)的源;若

Ψ<0,表示有凈通量流入,說(shuō)明封閉曲面S

內(nèi)有洞(負(fù)的源)。在大學(xué)物理課程中我們已知,通過(guò)封閉曲面的電通量

Ψ

等于該封閉曲面所包圍的自由電荷Q。若電荷Q

為正電荷,Ψ

為正,則表示有電通量流出;若電荷Q

為負(fù)電荷,Ψ

為負(fù),則表示有電通量流入。

1.3.2矢量場(chǎng)的散度

上述通量是一個(gè)大范圍面積上的積分量,它反映了在某一空間內(nèi)場(chǎng)源總的特性,但它沒(méi)有反映出場(chǎng)源分布的特性。為了研究矢量場(chǎng)A

在某一點(diǎn)附近的通量特性,我們把包圍某點(diǎn)的封閉曲面向該點(diǎn)無(wú)限收縮,使包含這個(gè)點(diǎn)在內(nèi)的體積元ΔV

趨于零,取如下極限:

稱此極限為矢量場(chǎng)A

在某點(diǎn)的散度,記為divA,即散度的定義式為

此式表明,矢量場(chǎng)A的散度是一個(gè)標(biāo)量,它表示從該點(diǎn)單位體積內(nèi)散發(fā)出來(lái)的矢量A的通量(即通量密度)。它反映出矢量場(chǎng)A在該點(diǎn)通量源的強(qiáng)度。顯然,在無(wú)源區(qū)域中,矢量場(chǎng)A在各點(diǎn)的散度均為零。

矢量場(chǎng)A

的散度可表示為哈密爾頓微分算子?與矢量A

的標(biāo)量積,即

計(jì)算?·A

時(shí),先按標(biāo)量積規(guī)則展開(kāi),再做微分運(yùn)算。在直角坐標(biāo)系中有

利用哈密爾頓微分算子,讀者可以證明,散度運(yùn)算符合下列規(guī)則:

1.3.3散度定理

矢量A的散度代表的是其通量的體密度,因此可直觀地知道,矢量場(chǎng)A

散度的體積分等于該矢量穿過(guò)包圍該體積的封閉曲面的總通量,即

上式稱為散度定理,也稱為高斯定理。

證明這個(gè)定理時(shí),將閉合曲面S

圍成的體積V分成許多體積元dVi(i=1,2,…,n),計(jì)算每個(gè)體積元的小封閉曲面Si

上穿過(guò)的通量,然后疊加。由散度的定義可得

由于相鄰兩體積元有一個(gè)公共表面,這個(gè)公共表面上的通量對(duì)這兩個(gè)體積元來(lái)說(shuō)恰好是等值異號(hào),求和時(shí)就互相抵消了。

除了鄰近S面的那些體積元外,所有體積元都是由幾個(gè)相

鄰體積元間的公共表面包圍而成的,這些體積元的通量總和為零。而鄰近S

面的那些體積元,它們中有部分表面是在S

面上的面元dS,這部分表面的通量沒(méi)有被抵消,其總和剛好等于從封閉曲面S穿出的通量。因此有

故得到

例1-7

已知矢量場(chǎng)r=xex+yey+zez,求由內(nèi)向外穿過(guò)圓錐面x2+y2=z2與平面z=H

所圍成的封閉曲面的通量。

解:根據(jù)題意(見(jiàn)圖1-4)可把封閉曲面分成S1面,即Z=H

所圍成的平面,S2

面也就是圓錐面。則所圍成的封閉曲面的通量為

因?yàn)樵趫A錐側(cè)面上r處處垂直于dS,所以

圖1-4圓錐面與平面圍成的封閉曲面

例1-8在坐標(biāo)原點(diǎn)處點(diǎn)電荷產(chǎn)生電場(chǎng),在此電場(chǎng)中任一點(diǎn)處的電位移矢量為

求穿過(guò)原點(diǎn)為球心、R

為半徑的球面的電通量(見(jiàn)圖1-5)。

解:穿過(guò)以原點(diǎn)為球心,R為半徑的球面的電通量為

由于球面的法線方向與dS

的方向一致,因此

圖1-5例1-8圖

1.4矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度

1.4.1矢量場(chǎng)的環(huán)量在力場(chǎng)中,某一質(zhì)點(diǎn)沿著指定的曲線l運(yùn)動(dòng)時(shí),力場(chǎng)所做的功可表示為力場(chǎng)F

沿曲線l的線積分,即

其中dl是曲線l的線元矢量,方向是該線元的切線方向,θ角為力場(chǎng)F

與線元矢量dl的夾角。在矢量場(chǎng)A

中,若曲線l是一閉合曲線,其矢量場(chǎng)A

沿閉合曲線l的線積分可表示為

此線積分稱為矢量場(chǎng)A

的環(huán)量(或稱旋渦量),如圖1-6所示。

圖1-6矢量場(chǎng)的環(huán)量

1.4.2矢量場(chǎng)的旋度

從式(1-24)中可以看出,環(huán)量是矢量A

在大范圍內(nèi)閉合曲線上的線積分,它反映了閉合曲線內(nèi)旋渦源分布的情況,而從矢量場(chǎng)分析的要求來(lái)看,我們需要知道每個(gè)點(diǎn)附近的旋渦源分布的情況。為此,我們把閉合曲線收縮,使它包圍的面積元ΔS趨于零,并求其極限值:

此極限值的意義就是環(huán)量的面密度,或稱為環(huán)量強(qiáng)度。由于面元是有方向的,它與閉合曲線l的繞行方向成右手螺旋關(guān)系,因此在給定點(diǎn)上,上述的極限對(duì)于不同的面元是不同的。為此,引入如下定義,稱為矢量場(chǎng)A

的旋度,記為rotA:

由式(1-26)可以看出,矢量場(chǎng)A的旋度是一個(gè)矢量,其大小是矢量A在給定處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當(dāng)面元的取向使環(huán)量面密度最大時(shí),該面元的方向n。矢量場(chǎng)A的旋度描述了矢量A在該點(diǎn)的旋渦源強(qiáng)度。若在某區(qū)域中各點(diǎn)的旋度等于零,即rotA=0,則稱矢量場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)或保守場(chǎng)。

矢量場(chǎng)A

的旋度可用哈密爾頓微分算子?與矢量A

的矢量積來(lái)表示,即

計(jì)算時(shí),可先按矢量積的規(guī)則展開(kāi),然后再作微分運(yùn)算。在直角坐標(biāo)系中可得

即

利用哈密爾頓微分算子可以證明旋度運(yùn)算符合如下規(guī)則:

式(1-33)說(shuō)明,任意矢量場(chǎng)的旋度的散度恒等于零。式(1-34)表明任一標(biāo)量場(chǎng)的梯度的旋度恒等于零。式(1-35)中的?2

稱為拉普拉斯算子,在直角坐標(biāo)系中有

1.4.3斯托克斯定理

因?yàn)樾却韱挝幻娣e的環(huán)量,因此矢量場(chǎng)在閉合曲線l上的環(huán)量等于閉合曲線l所包圍曲面S

上旋度的總和,即

此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分轉(zhuǎn)換成該矢量的線積分,或?qū)⑹噶緼的線積分轉(zhuǎn)換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關(guān)系。

例1-11

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線l:(x-2)2+y

2=R2、z=0的環(huán)量(見(jiàn)圖1-7)。圖1-7例1-11圖

解:由于在曲線l上z=0,因此dz=0。

環(huán)量的計(jì)算通常利用曲線的參數(shù)方程。

例1-12

求矢量場(chǎng)A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點(diǎn)M(1,0,1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez

方向的環(huán)量面密度。

解:矢量場(chǎng)A

的旋度

在點(diǎn)

M(1,0,1)處的旋度

n方向的單位矢量

則沿n

方向的環(huán)量面密度為

例1-13

在坐標(biāo)原點(diǎn)處放置一點(diǎn)電荷q,它在自由空間產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為

求自由空間任意點(diǎn)(r≠0)電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度?×E。

解:

這說(shuō)明點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為無(wú)旋場(chǎng)。

1.5圓柱坐標(biāo)系與球坐標(biāo)系

1.5.1圓柱坐標(biāo)系在圓柱坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱柱坐標(biāo)系)中,任意一點(diǎn)P

的位置用ρ、?、z

三個(gè)量來(lái)表示,如圖1-8所示。各量的變化范圍如下:

圖1-8圓柱坐標(biāo)系

P

點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)單位矢量為eρ、e?、ez,分別指向ρ、?、z

的增加方向。值得注意的是與直角坐標(biāo)系的不同點(diǎn),即除ez

外,eρ

和e?都不是常矢量,它們的方向隨

P

點(diǎn)位置的不同而變化,但eρ、e?、ez

三者總保持正交關(guān)系,并遵循右手螺旋法則:

矢量A

在球面坐標(biāo)系中可表示為

以坐標(biāo)原點(diǎn)為起點(diǎn),指向P

點(diǎn)的矢量r稱為P

點(diǎn)的位置矢量或矢徑。在圓柱坐標(biāo)系中P點(diǎn)的位置矢量是

式中未顯示角度?,但角度?

將影響eρ

的方向。對(duì)任意增量dρ、d?、dz,P

點(diǎn)位置沿ρ、?、z

方向的長(zhǎng)度增量(長(zhǎng)度元)分別為

它們的拉梅系數(shù)(它們同各自坐標(biāo)增量之比)分別為

與三個(gè)單位矢量相垂直的三個(gè)面積元以及體積元分別是

哈密爾頓微分算子?的表示式為

拉普拉斯微分算子?2的表示式為

在圓柱坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)的梯度、矢量場(chǎng)的散度和旋度的表示式,可以根據(jù)上面介紹的關(guān)系自行導(dǎo)出,也可以從附錄中查出。

1.5.2球面坐標(biāo)系

在球面坐標(biāo)系(簡(jiǎn)稱球坐標(biāo)系)中,任意

P

點(diǎn)的位置用r、θ、?

三個(gè)量來(lái)表示,如圖1-9所示。

它們分別稱為矢徑長(zhǎng)度、高低角和方位角,它們的變化范圍如下:

圖1-9球面坐標(biāo)系

P

點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)單位矢量是er、eθ、e?。er

的方向指向矢徑延伸的方向;eθ

的方向垂直于矢徑并在矢徑和z

軸形成的平面內(nèi),指向θ角增大的方向;e?的方向垂直于矢徑并在矢徑和z軸形成的平面內(nèi),指向?

角增大的方向。三者都不是常矢量,但保持正交,并遵循右手螺旋法則,即

矢量A

在球面坐標(biāo)系中可表示為

拉普拉斯微分算子?2

的表示式為

在球面坐標(biāo)系中標(biāo)量場(chǎng)的梯度,矢量場(chǎng)的散度和旋度的表示式,可以根據(jù)上面介紹的關(guān)系自行導(dǎo)出,也可以從附錄中查出。

例1-14

在一對(duì)相距為l的點(diǎn)電荷+q

和-q

的靜電場(chǎng)中,當(dāng)距離r?l時(shí),其空間電位的表達(dá)式為

求其電場(chǎng)強(qiáng)度E(r,θ,?)。

解:在球面坐標(biāo)系中,哈密爾頓微分算子?的表達(dá)式為

因?yàn)?/p>

所以

1.6亥姆霍茲定理

在上面的分析中,對(duì)于標(biāo)量場(chǎng)引入了梯度。梯度是一個(gè)矢量,它給出了標(biāo)量場(chǎng)中某點(diǎn)最大變化率的方向,它是由標(biāo)量場(chǎng)φ

對(duì)各坐標(biāo)偏微分所決定的。對(duì)于矢量場(chǎng)我們引入散度和旋度。矢量場(chǎng)的散度是一個(gè)標(biāo)量函數(shù),它表示矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的通量密度,是矢量場(chǎng)中某點(diǎn)通量源強(qiáng)度的度量,它取決于矢量場(chǎng)的各坐標(biāo)分量對(duì)各自坐標(biāo)的偏微分,所以散度是由場(chǎng)分量沿各自方向上的變化率來(lái)決定的。

矢量場(chǎng)的旋度是一個(gè)矢量函數(shù),它表示矢量場(chǎng)中某點(diǎn)的最大環(huán)量強(qiáng)度,是矢量場(chǎng)中某點(diǎn)旋渦源強(qiáng)度的度量,它取決于矢量場(chǎng)的各坐標(biāo)分量分別對(duì)與之垂直方向坐標(biāo)的偏微分,所以旋度是由各場(chǎng)分量在與之正交方向上的變化率來(lái)決定的。

以上分析表明,散度表示矢量場(chǎng)中各點(diǎn)場(chǎng)與通量源的關(guān)系,而旋度表示場(chǎng)中各點(diǎn)場(chǎng)與旋渦源的關(guān)系。故場(chǎng)的散度和旋度一旦確定,這就意味著場(chǎng)的通量源和旋渦源也就確定了。既然場(chǎng)是由源所激發(fā)的,通量源和旋渦源的確定便意味著場(chǎng)也確定,因此必然導(dǎo)致下述亥姆霍茲定理成立。

亥姆霍茲定理的簡(jiǎn)單表達(dá)是:若矢量場(chǎng)

F

在無(wú)限空間中處處單值,且其導(dǎo)數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限空間區(qū)域中,則矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定,并且可以表示為一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度和一個(gè)矢量函數(shù)的旋度之和,即

亥姆霍茲定理的嚴(yán)格的表述和證明這里不再給出,讀者可參考其它文獻(xiàn)。簡(jiǎn)化的證明如下:

假設(shè)在無(wú)限空間中有兩個(gè)矢量函數(shù)F

和G,它們具有相同的散度和旋度,但這兩個(gè)矢量函數(shù)不相等,可令

由于矢量F

和矢量G具有相同的散度和旋度,根據(jù)矢量場(chǎng)由其散度和旋度唯一確定,那么矢量g應(yīng)該為零矢量,也就是矢量F與矢量G

是同一個(gè)矢量。現(xiàn)在我們來(lái)證明矢量g為零矢量。對(duì)式(1-44)兩邊取散度,得

因?yàn)?·F=?·G,所以

對(duì)式(1-44)兩邊取旋度,得

同樣由于?×G=?×F,因此

由矢量恒等式?×?φ=0,可令

φ是在無(wú)限空間取值的任意標(biāo)量函數(shù),將式(1-46)代入式(1-45),可得

已知滿足拉普拉斯方程的函數(shù)不會(huì)出現(xiàn)極值,而φ

又是無(wú)限空間上取值的任意函數(shù),因此它只能是一個(gè)常數(shù)(φ=c),從而求得g=?φ=0,于是式(1-44)變成F=G。由此可以得出,已知矢量的散度和旋度所決定的矢量是唯一的。因此,亥姆霍茲定理得證。

在無(wú)限空間中一個(gè)既有散度又有旋度的矢量場(chǎng),可表示為一個(gè)無(wú)旋場(chǎng)Fd(有散度)和一個(gè)無(wú)散場(chǎng)Fc(有旋度)之和:

對(duì)于無(wú)旋場(chǎng)Fd

來(lái)說(shuō),?×Fd=0,但這個(gè)場(chǎng)的散度不會(huì)處處為零。因?yàn)槿魏我粋€(gè)物理場(chǎng)必然有源來(lái)激發(fā)它,若這個(gè)場(chǎng)的旋渦源和通量源都為零,那么這個(gè)場(chǎng)就不存在了。

因此無(wú)旋場(chǎng)必然對(duì)