第一章矢量分析1.1場的概念1.2標量場的方向?qū)?shù)和梯度1.3矢量場的通量和散度1.4矢量場的環(huán)量和旋度1.5圓柱坐標系與球坐標系1.6亥姆霍茲定理小結

1.1場

的

概

念

1.1.1矢性函數(shù)數(shù)學上,實數(shù)域內(nèi)任一代數(shù)量a

都可以稱為標量,因為它只能代表該代數(shù)量的大小。在物理學中,任意一個代數(shù)量一旦被賦予物理單位,則成為一個具有物理意義的標量,即所謂的物理量,如電壓u、電流i、面積S、體積V

等等。

在二維空間或三維空間內(nèi)的任一點

P

是一個既存在大小(或稱為模)又有方向特性的量,故稱為實數(shù)矢量。實數(shù)矢量可用黑體A

表示,而白體A

表示A的大小(即A

的模)。若用幾何圖形表示,實數(shù)矢量是從原點出發(fā)的一條帶有箭頭的直線段,直線段的長度表示矢量A的模,箭頭的指向表示該矢量A

的方向。矢量一旦被賦予物理單位,便成為具有物理意義的矢量,如電場強度E、磁場強度

H、速度v等等。

若某一矢量的模和方向都保持不變,此矢量稱為常矢,如某物體所受到的重力。而在實際問題中遇到的更多的是模和方向或兩者之一會發(fā)生變化的矢量,這種矢量我們稱為變矢,如沿著某一曲線物體運動的速度v等。

設t是一數(shù)性變量,A(t)為變矢,對于某一區(qū)間G[a,b]內(nèi)的每一個數(shù)值t,A

都有一個確定的矢量A(t)與之對應,則稱A(t)為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)。記為

而G[a,b]為A(t)的定義域。矢性函數(shù)A(t)在直角坐標系中的三個坐標分量都是變量t的函數(shù),分別為Ax(t)、Ay(t)、Az(t),則矢性函數(shù)A(t)也可用其坐標表示為

其中,ex、ey、ez為x軸、y

軸、z

軸的正向單位矢量。

1.1.2標量場和矢量場

如果在某一空間區(qū)域內(nèi)的每一點,都對應著某個物理量的一個確定的值,則稱在此區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場。換句話說,在某一空間區(qū)域中,物理量的無限集合表示一種場。

若該物理量與時間無關,則該場稱為靜態(tài)場;若該物理量與時間有關,則該場稱為動態(tài)場或稱為時變場。

在研究物理系統(tǒng)中溫度、壓力、密度等在一定空間的分布狀態(tài)時,數(shù)學上只需用一個代數(shù)變量來描述,這些代數(shù)變量(即標量函數(shù))所確定的場稱為標量場,如溫度場T(x,y,z)、電位場φ(x,y,z)等。然而在許多物理系統(tǒng)中,其狀態(tài)不僅需要確定其大小,同時還需確定它們的方向,這就需要用一個矢量來描述,因此稱為矢量場,例如電場、磁場、流速場等等。

1.1.3標量場的等值面和矢量場的矢量線

在研究場的特性時,以場圖表示場變量在空間逐點分布的情況具有很大的意義。對于標量場,常用等值面的概念來描述。所謂等值面,是指在標量場φ(x,y,z)中,使其函數(shù)φ取相同數(shù)值的所有點組成的集合,這些點組成一個曲面,該曲面稱為等值面。如溫度場的等值面,就是由溫度相同的點所組成的一個曲面,此曲面稱為等溫面。等值面在二維空間就變?yōu)榈戎稻€。如地圖上的等高線,就是由高度相同的點連成的一條曲線。

標量場φ(x,y,z)的等值面方程為

對于矢量場A(x,y,z),則用一些有向線來形象地表示矢量A(x,y,z)在空間的分布,這些有向線稱為矢量線,如圖1-1所示。矢量線上任一點的切線方向表示該點矢量A(x,y,z)的方向。在直角坐標系中,其矢量線方程可寫為

圖1-1矢量場的矢量線

例1-1

求數(shù)量場φ=(x+y)2-z

通過點M(1,0,1)的等值面方程。

解:點

M

的坐標是x0=1,y0=0,z0=1,則該點的數(shù)量場的場值為

其等值面方程

例1-2求矢量場A=xy2ex+x2yey+zy2ez的矢量線方程。

解:矢量線應滿足的微分方程為

從而有

解之即得矢量方程:

C1

和C2

是積分常數(shù)。

1.2標量場的方向?qū)?shù)和梯度

1.2.1標量場的方向?qū)?shù)在標量場中,標量φ=φ(M)的分布情況可以由等值面或等值線來描述,但這只能大致地了解標量φ

在場中的整體分布情況。而要詳細地研究標量場,還必須對它的局部狀態(tài)進行深入分析,即要考察標量φ

在場中各點處的鄰域內(nèi)沿每一方向的變化情況。為此,引入方向?qū)?shù)的概念

在直角坐標系中,方向?qū)?shù)可按下述公式計算。

若函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點

M0(x0,y0,z0)處可微,cosα、cosβ、cosγ為l方向的方向余弦,則函數(shù)φ=φ(x,y,z)在點

M0(x0,y0,z0)處沿l方向的方向?qū)?shù)必定存在,且為

證明:M

點的坐標為M(x0+Δx,y0+Δy,z0+Δz),由于函數(shù)φ在M0

處可微,故

式中Δ為高階無窮小。上述等式兩邊除以ρ,可得

當ρ趨于零時對上式取極限,可得

例1-3

求數(shù)量場在點M(1,1,2)處沿l=ex+2ey+2ez方向的方向?qū)?shù)。

解:l方向的方向余弦為

而其數(shù)量場對坐標的偏導數(shù)為

數(shù)量場在l方向的方向?qū)?shù)為

在點

M

處沿l方向的方向?qū)?shù)為

1.2.2標量場的梯度

方向?qū)?shù)可以描述標量場中某點處標量沿某方向的變化率。但從場中某一點出發(fā)有無窮多個方向,通常不必要更不可能研究所有方向的變化率,而只是關心沿哪一個方向變化率最大,此變化率是多少?我們從方向?qū)?shù)的計算公式來討論這個問題。標量場φ(x,y,z)在l方向上的方向?qū)?shù)為

在直角坐標系中,令

則

矢量l°是l方向的單位矢量,矢量G

是在給定點處的一常矢量。由上式顯然可見,當l與G的方向一致時,即cos(G,l°)=1時,標量場在點

M

處的方向?qū)?shù)最大,也就是說,沿矢量G

的方向的方向?qū)?shù)最大,此最大值為

這樣,我們找到了一個矢量G,其方向是標量場在

M

點處變化率最大的方向,其模值即為最大的變化率。

在標量場φ(M)中的一點

M處,其方向為函數(shù)φ=φ(M)在

M

點處變化率最大的方向,其大小又恰好等于最大變化率矢量G

的模,該最大變化率矢量

G

稱為標量場φ=φ(M)在

M

點處的梯度,用gradφ(M)表示。在直角坐標系中,梯度的表達式為

梯度用哈密爾頓微分算子表示的表達式為

由上面的分析可知:

(1)在某點M

處沿任意方向的方向?qū)?shù)等于該點處的梯度在此方向上的投影;

(2)標量場φ=φ(M)中的每一點

M

處的梯度垂直于過該點的等值面,且指向函數(shù)φ(M)增大的方向。這一點是因為點

M

處梯度的坐標恰好是過

M點的等值面φ(x,y,z)=c法線的方向?qū)?shù),即梯度為其法向矢量,因此梯度垂直于該等值面。

等值面和方向?qū)?shù)均與梯度存在一種比較特殊的關系,這使得梯度成為研究標量場的一個極為重要的矢量。

下面給出梯度的基本運算法則。u(M)和v(M)為標量場,c

為一常數(shù)。很容易證明下面的梯度運算法則成立。

例1-4

標量函數(shù)r

是動點M(x,y,z)的矢量r=xex+yey+zez

的模,即證明:

例1-5

求r

在點M(1,0,1)處沿l=ex+2ey+2ez

方向的方向?qū)?shù)。

解:由例1-4得知

點

M

處的坐標為x=1,y=0,z=1,而所以r在M

點處的梯度為

r在點M

處沿l方向的方向?qū)?shù)為

而

所以

例1-6

已知位于原點處的點電荷q在點M(x,y,z)處產(chǎn)生的電位為其中矢徑r

為r=xex+yey+zez,且已知電場強度與電位的關系是E=-?φ,求電場強度E。

解:

根據(jù)?f(u)=f'(u)·?u

的運算法則:

又由例1-4得知,所以

1.3矢量場的通量和散度

1.3.1矢量場的通量在分析和描繪矢量場的特性時,矢量穿過一個曲面的通量是一個很重要的基本概念。將曲面的一個面元用矢量dS來表示,其方向取為面元的法線方向,其大小為dS,即

n

是面元法線方向的單位矢量。n的指向有兩種情況:對開曲面上的面元,設這個開曲面是由封閉曲線l所圍成的,則選定繞行的方向后,沿繞行方向按右手螺旋的拇指方向就是n

的方向,如圖1-3(a)所示;對封閉曲面上的面元,n

取為封閉曲面的外法線方向,如圖1-3(b)所示。

圖1-3法線方向的取法

若面元dS

位于矢量場A

中,由于面元dS

很小,且面元上各點的場值可以認為是相同的,矢量場A和面元dS的標量積A·dS

便稱為矢量A

穿過面元dS

的通量。例如在流速場中,流速v是一個矢量,v·dS

就是每秒鐘通過面元dS

的通量。通量是一個標量。

將曲面S

各面元上的A·dS

相加,它表示矢量場A穿過整個曲面S

的通量,也稱為矢量A

在曲面S

上的面積分:

如果曲面是一個封閉曲面,則

該積分表示矢量A

穿過封閉曲面S的通量。若

Ψ>0,表示有凈通量流出,這說明封閉曲面S內(nèi)必定有矢量場的源;若

Ψ<0,表示有凈通量流入,說明封閉曲面S

內(nèi)有洞(負的源)。在大學物理課程中我們已知,通過封閉曲面的電通量

Ψ

等于該封閉曲面所包圍的自由電荷Q。若電荷Q

為正電荷,Ψ

為正,則表示有電通量流出;若電荷Q

為負電荷,Ψ

為負,則表示有電通量流入。

1.3.2矢量場的散度

上述通量是一個大范圍面積上的積分量,它反映了在某一空間內(nèi)場源總的特性,但它沒有反映出場源分布的特性。為了研究矢量場A

在某一點附近的通量特性,我們把包圍某點的封閉曲面向該點無限收縮,使包含這個點在內(nèi)的體積元ΔV

趨于零,取如下極限:

稱此極限為矢量場A

在某點的散度,記為divA,即散度的定義式為

此式表明,矢量場A的散度是一個標量,它表示從該點單位體積內(nèi)散發(fā)出來的矢量A的通量(即通量密度)。它反映出矢量場A在該點通量源的強度。顯然,在無源區(qū)域中,矢量場A在各點的散度均為零。

矢量場A

的散度可表示為哈密爾頓微分算子?與矢量A

的標量積,即

計算?·A

時,先按標量積規(guī)則展開,再做微分運算。在直角坐標系中有

利用哈密爾頓微分算子,讀者可以證明,散度運算符合下列規(guī)則:

1.3.3散度定理

矢量A的散度代表的是其通量的體密度,因此可直觀地知道,矢量場A

散度的體積分等于該矢量穿過包圍該體積的封閉曲面的總通量,即

上式稱為散度定理,也稱為高斯定理。

證明這個定理時,將閉合曲面S

圍成的體積V分成許多體積元dVi(i=1,2,…,n),計算每個體積元的小封閉曲面Si

上穿過的通量,然后疊加。由散度的定義可得

由于相鄰兩體積元有一個公共表面,這個公共表面上的通量對這兩個體積元來說恰好是等值異號,求和時就互相抵消了。

除了鄰近S面的那些體積元外,所有體積元都是由幾個相

鄰體積元間的公共表面包圍而成的,這些體積元的通量總和為零。而鄰近S

面的那些體積元,它們中有部分表面是在S

面上的面元dS,這部分表面的通量沒有被抵消,其總和剛好等于從封閉曲面S穿出的通量。因此有

故得到

例1-7

已知矢量場r=xex+yey+zez,求由內(nèi)向外穿過圓錐面x2+y2=z2與平面z=H

所圍成的封閉曲面的通量。

解:根據(jù)題意(見圖1-4)可把封閉曲面分成S1面,即Z=H

所圍成的平面,S2

面也就是圓錐面。則所圍成的封閉曲面的通量為

因為在圓錐側面上r處處垂直于dS,所以

圖1-4圓錐面與平面圍成的封閉曲面

例1-8在坐標原點處點電荷產(chǎn)生電場,在此電場中任一點處的電位移矢量為

求穿過原點為球心、R

為半徑的球面的電通量(見圖1-5)。

解:穿過以原點為球心,R為半徑的球面的電通量為

由于球面的法線方向與dS

的方向一致,因此

圖1-5例1-8圖

1.4矢量場的環(huán)量和旋度

1.4.1矢量場的環(huán)量在力場中,某一質(zhì)點沿著指定的曲線l運動時,力場所做的功可表示為力場F

沿曲線l的線積分,即

其中dl是曲線l的線元矢量,方向是該線元的切線方向,θ角為力場F

與線元矢量dl的夾角。在矢量場A

中,若曲線l是一閉合曲線,其矢量場A

沿閉合曲線l的線積分可表示為

此線積分稱為矢量場A

的環(huán)量(或稱旋渦量),如圖1-6所示。

圖1-6矢量場的環(huán)量

1.4.2矢量場的旋度

從式(1-24)中可以看出,環(huán)量是矢量A

在大范圍內(nèi)閉合曲線上的線積分,它反映了閉合曲線內(nèi)旋渦源分布的情況,而從矢量場分析的要求來看,我們需要知道每個點附近的旋渦源分布的情況。為此,我們把閉合曲線收縮,使它包圍的面積元ΔS趨于零,并求其極限值:

此極限值的意義就是環(huán)量的面密度,或稱為環(huán)量強度。由于面元是有方向的,它與閉合曲線l的繞行方向成右手螺旋關系,因此在給定點上,上述的極限對于不同的面元是不同的。為此,引入如下定義,稱為矢量場A

的旋度,記為rotA:

由式(1-26)可以看出,矢量場A的旋度是一個矢量,其大小是矢量A在給定處的最大環(huán)量面密度,其方向就是當面元的取向使環(huán)量面密度最大時,該面元的方向n。矢量場A的旋度描述了矢量A在該點的旋渦源強度。若在某區(qū)域中各點的旋度等于零,即rotA=0,則稱矢量場為無旋場或保守場。

矢量場A

的旋度可用哈密爾頓微分算子?與矢量A

的矢量積來表示,即

計算時,可先按矢量積的規(guī)則展開,然后再作微分運算。在直角坐標系中可得

即

利用哈密爾頓微分算子可以證明旋度運算符合如下規(guī)則:

式(1-33)說明,任意矢量場的旋度的散度恒等于零。式(1-34)表明任一標量場的梯度的旋度恒等于零。式(1-35)中的?2

稱為拉普拉斯算子,在直角坐標系中有

1.4.3斯托克斯定理

因為旋度代表單位面積的環(huán)量,因此矢量場在閉合曲線l上的環(huán)量等于閉合曲線l所包圍曲面S

上旋度的總和,即

此式稱為斯托克斯定理或斯托克斯公式。它將矢量旋度的面積分轉換成該矢量的線積分,或?qū)⑹噶緼的線積分轉換為該矢量旋度的面積分。式中dS的方向與dl的方向成右手螺旋關系。

例1-11

求矢量A=-yex+xey+cez(c是常數(shù))沿曲線l:(x-2)2+y

2=R2、z=0的環(huán)量(見圖1-7)。圖1-7例1-11圖

解:由于在曲線l上z=0,因此dz=0。

環(huán)量的計算通常利用曲線的參數(shù)方程。

例1-12

求矢量場A=x(z-y)ex+y(x-z)ey+z(y-x)ez在點M(1,0,1)處的旋度以及沿n=2ex+6ey+3ez

方向的環(huán)量面密度。

解:矢量場A

的旋度

在點

M(1,0,1)處的旋度

n方向的單位矢量

則沿n

方向的環(huán)量面密度為

例1-13

在坐標原點處放置一點電荷q,它在自由空間產(chǎn)生的電場強度矢量為

求自由空間任意點(r≠0)電場強度的旋度?×E。

解:

這說明點電荷產(chǎn)生的電場為無旋場。

1.5圓柱坐標系與球坐標系

1.5.1圓柱坐標系在圓柱坐標系(簡稱柱坐標系)中,任意一點P

的位置用ρ、?、z

三個量來表示,如圖1-8所示。各量的變化范圍如下:

圖1-8圓柱坐標系

P

點的三個坐標單位矢量為eρ、e?、ez,分別指向ρ、?、z

的增加方向。值得注意的是與直角坐標系的不同點,即除ez

外,eρ

和e?都不是常矢量,它們的方向隨

P

點位置的不同而變化,但eρ、e?、ez

三者總保持正交關系,并遵循右手螺旋法則:

矢量A

在球面坐標系中可表示為

以坐標原點為起點,指向P

點的矢量r稱為P

點的位置矢量或矢徑。在圓柱坐標系中P點的位置矢量是

式中未顯示角度?,但角度?

將影響eρ

的方向。對任意增量dρ、d?、dz,P

點位置沿ρ、?、z

方向的長度增量(長度元)分別為

它們的拉梅系數(shù)(它們同各自坐標增量之比)分別為

與三個單位矢量相垂直的三個面積元以及體積元分別是

哈密爾頓微分算子?的表示式為

拉普拉斯微分算子?2的表示式為

在圓柱坐標系中標量場的梯度、矢量場的散度和旋度的表示式,可以根據(jù)上面介紹的關系自行導出,也可以從附錄中查出。

1.5.2球面坐標系

在球面坐標系(簡稱球坐標系)中,任意

P

點的位置用r、θ、?

三個量來表示,如圖1-9所示。

它們分別稱為矢徑長度、高低角和方位角,它們的變化范圍如下:

圖1-9球面坐標系

P

點的三個坐標單位矢量是er、eθ、e?。er

的方向指向矢徑延伸的方向;eθ

的方向垂直于矢徑并在矢徑和z

軸形成的平面內(nèi),指向θ角增大的方向;e?的方向垂直于矢徑并在矢徑和z軸形成的平面內(nèi),指向?

角增大的方向。三者都不是常矢量,但保持正交,并遵循右手螺旋法則,即

矢量A

在球面坐標系中可表示為

拉普拉斯微分算子?2

的表示式為

在球面坐標系中標量場的梯度,矢量場的散度和旋度的表示式,可以根據(jù)上面介紹的關系自行導出,也可以從附錄中查出。

例1-14

在一對相距為l的點電荷+q

和-q

的靜電場中,當距離r?l時,其空間電位的表達式為

求其電場強度E(r,θ,?)。

解:在球面坐標系中,哈密爾頓微分算子?的表達式為

因為

所以

1.6亥姆霍茲定理

在上面的分析中,對于標量場引入了梯度。梯度是一個矢量,它給出了標量場中某點最大變化率的方向,它是由標量場φ

對各坐標偏微分所決定的。對于矢量場我們引入散度和旋度。矢量場的散度是一個標量函數(shù),它表示矢量場中某點的通量密度,是矢量場中某點通量源強度的度量,它取決于矢量場的各坐標分量對各自坐標的偏微分,所以散度是由場分量沿各自方向上的變化率來決定的。

矢量場的旋度是一個矢量函數(shù),它表示矢量場中某點的最大環(huán)量強度,是矢量場中某點旋渦源強度的度量,它取決于矢量場的各坐標分量分別對與之垂直方向坐標的偏微分,所以旋度是由各場分量在與之正交方向上的變化率來決定的。

以上分析表明,散度表示矢量場中各點場與通量源的關系,而旋度表示場中各點場與旋渦源的關系。故場的散度和旋度一旦確定,這就意味著場的通量源和旋渦源也就確定了。既然場是由源所激發(fā)的,通量源和旋渦源的確定便意味著場也確定,因此必然導致下述亥姆霍茲定理成立。

亥姆霍茲定理的簡單表達是:若矢量場

F

在無限空間中處處單值,且其導數(shù)連續(xù)有界,而源分布在有限空間區(qū)域中,則矢量場由其散度和旋度唯一確定,并且可以表示為一個標量函數(shù)的梯度和一個矢量函數(shù)的旋度之和,即

亥姆霍茲定理的嚴格的表述和證明這里不再給出,讀者可參考其它文獻。簡化的證明如下:

假設在無限空間中有兩個矢量函數(shù)F

和G,它們具有相同的散度和旋度,但這兩個矢量函數(shù)不相等,可令

由于矢量F

和矢量G具有相同的散度和旋度,根據(jù)矢量場由其散度和旋度唯一確定,那么矢量g應該為零矢量,也就是矢量F與矢量G

是同一個矢量?，F(xiàn)在我們來證明矢量g為零矢量。對式(1-44)兩邊取散度,得

因為?·F=?·G,所以

對式(1-44)兩邊取旋度,得

同樣由于?×G=?×F,因此

由矢量恒等式?×?φ=0,可令

φ是在無限空間取值的任意標量函數(shù),將式(1-46)代入式(1-45),可得

已知滿足拉普拉斯方程的函數(shù)不會出現(xiàn)極值,而φ

又是無限空間上取值的任意函數(shù),因此它只能是一個常數(shù)(φ=c),從而求得g=?φ=0,于是式(1-44)變成F=G。由此可以得出,已知矢量的散度和旋度所決定的矢量是唯一的。因此,亥姆霍茲定理得證。

在無限空間中一個既有散度又有旋度的矢量場,可表示為一個無旋場Fd(有散度)和一個無散場Fc(有旋度)之和:

對于無旋場Fd

來說,?×Fd=0,但這個場的散度不會處處為零。因為任何一個物理場必然有源來激發(fā)它,若這個場的旋渦源和通量源都為零,那么這個場就不存在了。

因此無旋場必然對應于有散場,根據(jù)矢量恒等式?×?φ=0,可令(負號是人為加的)

對于無散場Fc

來說,?·Fc=0,但這個場的旋度不會處處為零,根據(jù)矢量恒等式?·(?×A)=0,可令

將式(1-49)和式(1-50)代入式(1-48),便可得到式(1-43),即

也就是說矢量場F

可表示為一個標量場的梯度再加上一個矢量場的旋度。

亥姆霍茲定理告訴我們,研究一個矢量場必須從它的散度和旋度兩方面著手。因為,矢量場的散度應滿足的關系和矢量場的旋度應滿足的關系,決定了矢量的基本性質(zhì),故將矢量場的旋度和矢量場的散度稱為矢量場的基本方程。例如,以后我們將學到靜電場的基本方程是

對于各向同性的媒質(zhì),電通量密度和電場強度的關系為D=εE,因此電場強度的散度可以寫為

上述方程說明靜電場是一個無旋場,但是它是有散場,其電通量源的強度為ρ/ε(ρ為電荷的體密度)。

小

結

(1)我們討論的物理量若只有大小,則它是一個標量函數(shù),該標量函數(shù)在某一空間區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場,該場稱為標量場。若我們討論的物理量既有大小又有方向,則它是一個矢量函數(shù),該矢量函數(shù)在某一空間區(qū)域內(nèi)確定了該物理量的一個場,該場稱為矢量場。矢量運算應滿足矢量運算法則。

(2)標量函數(shù)u

在某點沿l方向的變化率,稱為標量場u

沿該方向的方向?qū)?shù)。標量場u

在該點的梯度gradu=?u

與方向?qū)?shù)的關系為

標量場u

的梯度是一個矢量,它的大小和方向就是該點最大變化率的大小和方向。

在標量場u中,具有相同u

值的點構成一等值面。在等值面的法線方向上,u

值變化最快。因此,梯度的方向也就是等值面的法線方向。

(5)哈密爾頓微分算子?是一個兼有矢量和微分運算作用的運算符號。?·A

可以看作兩個矢量的標量積,?×A

可以看作兩個矢量的矢量積。計算時,先按矢量運算法則展開,然后再作微分運算。?u

可以看作矢量與標量相乘。在直角坐標系中,其?算子可表示為

在圓柱坐標系中,其?算子可表示為

在球面坐標系中,其?算子可表示為

(6)亥姆霍茲定理總結了矢量場共同的性質(zhì):矢量場可由矢量場的散度和旋度唯一地確定;矢量場的散度和旋度各自對應矢量場中的一種源。所以分析矢量場時,應從研究它的散度和旋度入手,旋度方程和散度方程構成了矢量場的基本特性。第二章靜電場2.1庫侖定律與電場強度2.2高斯定理2.3靜電場的旋度與靜電場的電位2.4電偶極子2.5電介質(zhì)中的場方程2.6靜電場的邊界條件2.7導體系統(tǒng)的電容2.8電場能量與能量密度2.9電場力小結

2.1庫侖定律與電場強度

2.1.1庫侖定律

庫侖定律是描述真空中兩個靜止點電荷之間相互作用的實驗定律,如圖2-1所示,其內(nèi)容是,點電荷q'作用于點電荷q

的力為

圖2-1庫侖定律用圖

式中:R=r-r'表示從r'到r的矢量;R

是r'到r的距離;R°是R

的單位矢量;ε0是表征真空電性質(zhì)的物理量,稱為真空的介電常數(shù),其值為

庫侖定律表明,真空中兩個點電荷之間的作用力的大小與兩點電荷電量之積成正比,與距離平方成反比,力的方向沿著它們的連線,同號電荷之間是斥力,異號電荷之間是引力。點電荷q'受到q的作用力為F',且F'=-F,可見兩點電荷之間的作用力符合牛頓第三定律。

庫侖定律只能直接用于點電荷。所謂點電荷,是指當帶電體的尺度遠小于它們之間的距離時,將其電荷集中于一點的理想化模型。對于實際的帶電體,一般應該看成是分布在一定的區(qū)域內(nèi),稱其為分布電荷。用電荷密度來定量描述電荷的空間分布情況。電荷體密度的含義是,在電荷分布區(qū)域內(nèi),取體積元ΔV,若其中的電量為Δq,則電荷體密度為

其單位是庫/米3(C/m3)。這里的ΔV

趨于零,是指相對于宏觀尺度而言很小的體積,以便能精確地描述電荷的空間變化情況;但是相對于微觀尺度,該體積元又是足夠大,它包含了大量的帶電粒子,這樣才可以將電荷分布看作空間的連續(xù)函數(shù)。

如果電荷分布在宏觀尺度h

很小的薄層內(nèi),則可認為電荷分布在一個幾何曲面上,用面密度描述其分布。若面積元ΔS內(nèi)的電量為Δq,則面密度為

對于分布在一條細線上的電荷用線密度描述其分布情況。若線元Δl內(nèi)的電量為Δq,則線密度為

2.1.2電場強度

電荷q'對電荷q

的作用力,是由于q'在空間產(chǎn)生電場,電荷q在電場中受力。用電場強度來描述電場,空間一點的電場強度定義為該點的單位正試驗電荷所受到的力。在點r處,試驗電荷q

受到的電場力為

這里的試驗電荷是指帶電量很小,引入到電場內(nèi)不影響電場分布的電荷。由兩個點電荷間作用力的公式(2-1),可以得到位于點r'處的點電荷q'在r處產(chǎn)生的電場強度為

以后我們將電荷所在點r'稱為源點,將觀察點r稱為場點。如果真空中一共有n

個點電荷,則r點處的電場強度可由疊加原理計算,即

對于體分布的電荷,可將其視為一系列點電荷的疊加,從而得出r點的電場強度為

同理,面電荷和線電荷產(chǎn)生的電場強度分別為

例2-1一個半徑為a

的均勻帶電圓環(huán),求軸線上的電場強度。

解:取坐標系如圖2-2,圓環(huán)位于xoy平面,圓環(huán)中心與坐標原點重合,設電荷線密度為ρl。

圖2-2例2-1用圖

2.2高

斯

定

理

從庫侖定律出發(fā),可以推導出高斯定理。先介紹立體角的概念。如圖2-3所示,立體角是由過一點的射線,繞過該點的某一軸旋轉一周所掃出的錐面所限定的空間。如果以點o'為球心、R

為半徑作球面,若立體角的錐面在球面上截下的面積為S,則此立體角的大小為Ω=S/R2。立體角的單位是球面度(sr)。整個球面對球心的立體角是4π。

對于任一個有向曲面S,面上的面積元dS對某點o'的立體角是

式中:r是面積元所處的位置;r'是點o'的位置;R是從點r'到點r的矢徑;θ是有向面元dS

與R

的夾角。立體角可以為正,也可以為負,視夾角θ為銳角或鈍角而定。整個曲面S

對點o'所張的立體角為

若S是封閉曲面,則

即任意封閉面對其內(nèi)部任一點所張的立體角為4π,對外部點所張的立體角為零。

高斯定理描述通過一個閉合面電場強度的通量與閉合面內(nèi)電荷間的關系。先考慮點電荷的電場穿過任意閉曲面S

的通量:

若q

位于S

內(nèi)部,上式中的立體角為4π;若q位于S

外部,上式中的立體角為零。對點電荷系或分布電荷,由疊加原理得出高斯定理為

上式中,Q是閉合面內(nèi)的總電荷。高斯定理是靜電場的一個基本定理。它說明,在真空中穿過任意閉合面的電場強度通量,等于該閉合面內(nèi)部的總電荷量與ε0

之比。應該注意曲面上的電場強度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的,不要錯誤地認為其與曲面S外部的電荷無關。但是外部電荷在閉合面上產(chǎn)生的電場強度的通量為零。

以上的高斯定理也稱為高斯定理的積分形式,它說明通過閉合曲面的電場強度通量與閉合面內(nèi)的電荷之間的關系,并沒有說明某一點的情況。要分析一個點的情形,要用微分形式。如果閉合面內(nèi)的電荷是密度為ρ的體分布電荷,則式(2-15)可以寫為

式中V是S

所限定的體積。用散度定理,可以將上式左面的面積分變換為散度的體積分,即

由于體積V

是任意的,所以有

這就是高斯定理的微分形式。它說明,真空中任一點的電場強度的散度等于該點的電荷密度與ε0之比。微分形式描述了一點處的電場強度的空間變化和該點電荷密度的關系。盡管該點的電場強度是由空間的所有電荷產(chǎn)生的,可是這一點電場強度的散度僅僅取決于該點的電荷密度,而與其它電荷無關。

高斯定理的積分形式可以用來計算平面對稱、柱對稱及球?qū)ΨQ的靜電場問題。解題的關鍵是能夠?qū)㈦妶鰪姸葟姆e分號中提出來,這就要求找出一個封閉面(高斯面)S,且S

由兩部分S1

和S2組成。在S1

上,電場強度E與有向面積元dS

平行,E‖dS(或二者之間的夾角固定不變),并且電場強度的大小保持不變;在S2

上,有E·dS=0。這樣就可求出對稱分布電荷產(chǎn)生的場。

微分形式用來從電場分布計算電荷分布。

例2-2假設在半徑為a的球體內(nèi)均勻分布著密度為ρ0的電荷,試求任意點的電場強度。

解:本題的電荷分布是球?qū)ΨQ的,電場強度僅有徑向分量

Er,同時它具有球?qū)ΨQ性質(zhì)。作一個與帶電體同心、半徑為r

的球面,將積分形式的高斯定理運用到此球面上。

當r>a

時:

故

當r<a

時:

所以

例2-3

已知半徑為a

的球內(nèi)、外的電場強度為

求電荷分布。

解:由高斯定理的微分形式得電荷密度為

用球坐標中的散度公式

可得

2.3靜電場的旋度與靜電場的電位

靜電場是一個矢量場,除了要討論它的散度外,還要討論它的旋度。在點電荷及分布電荷的電場強度表示式中,均含有因子這里,以體分布電荷產(chǎn)生的電場強度為例,討論靜電場的旋度特性。由于

可將體電荷的電場強度表示式(2-8)改寫

應注意式中的積分是對源點r'進行的,算子?是對場點作用的,因而可將?移到積分號外。此式說明,電場強度可表示為一個標量位函數(shù)的負梯度,所以有

即,靜電場的旋度恒等于零。這表明靜電場是無旋場。

如上所述,可用一個標量函數(shù)的負梯度表示電場強度。這個標量函數(shù)就是靜電場的位函數(shù),簡稱為電位。電位φ

的定義由下式確定:

電位的單位是伏(V),因此電場強度的單位是伏/米(V/m)。

體分布的電荷在場點r處的電位為

線電荷和面電荷的電位表示式與上式相似,只需將電荷密度和積分區(qū)域作相應的改變。對于位于源點r'處的點電荷q,其在r處產(chǎn)生的電位為

式(2-23)和式(2-24)中本來還要加上一個常數(shù),但為計算上簡單,取這個常數(shù)為零。

因為靜電場是無旋場,其在任意閉合回路的環(huán)量為零,即

這表明,靜電場是一個保守場,它沿某一路徑從

P0點到

P

點的線積分與路徑無關,僅僅與起點和終點的位置有關。下面討論電場強度沿某一路徑的線積分:

因為

故

或

通常,稱φ(P)-φ(P0)為P

與P0

兩點間的電位差(或電壓)。一般選取一個固定點,規(guī)定其電位為零,稱這一固定點為參考點。當取P0

點為參考點時,P

點處的電位為

當電荷分布在有限的區(qū)域時,選取無窮遠處為參考點較為方便。此時:

下面分析電位所滿足的微分方程。將E=-?φ

代入高斯定理的微分形式得到

上面的方程稱為泊松方程。若討論的區(qū)域ρ=0,則電位微分方程變

上述方程為二階偏微分方程,稱為拉普拉斯方程。其中

例2-4

位于xoy平面上的半徑為a、圓心在坐標原點的帶電圓盤,面電荷密度為ρS,如圖2-4所示,求z

軸上的電位。圖2-4均勻帶電圓盤

解:由面電荷產(chǎn)生的電位公式:

以上結果是z>0的結論。對z軸上的任意點,電位為

例2-5

求均勻帶電球體產(chǎn)生的電位。

解:在前面我們計算了均勻帶電球體的電場:

由此可求出電位。當r>a

時:

當r<a

時:

例2-6若半徑為a

的導體球面的電位為U0,球外無電荷,求空間的電位。

解:可以通過求解電位的微分方程計算電位。對于一般問題,電位方程是二階偏微分方程,但是對于本題,因其是對稱的,就簡化為常微分方程。顯然電位僅僅是變量r

的函數(shù)。球外的電位用φ

表示:

將以上方程寫成球坐標的形式,即

對以上方程積分一次,得

即

再對其積分一次,得

這里出現(xiàn)的兩個常數(shù)通過導體球面上的電位和無窮遠處的電位來確定。在導體球面上,電位為U0,無窮遠處電位為零。分別將r=a、r=∞代入上式,得

這樣解出兩個常數(shù)為

所以

附帶要說明的是,凡是采用積分形式高斯定理能夠解決的問題,總能夠用求解常微分方程的方法,來求解給定問題的泊松方程。

總之,真空中靜電場的基本解可歸納為

即靜電場是一個無旋、有源(指通量源)場,電荷就是電場的源。電力線總是從正電荷出發(fā),到負電荷終止。

2.4電

偶

極

子

電偶極子是指由間距很小的兩個等量異號點電荷組成的系統(tǒng),如圖2-5所示。真空中電偶極子的電場和電位可用來分析電介質(zhì)的極化問題。用電偶極矩表示電偶極子的大小和空間取向,它定義為電荷q乘以有向距離l,即

電偶極距是一個矢量,它的方向是由負電荷指向正電荷。取電偶極子的軸和z軸重合,電偶極子的中心在坐標原點。電偶極子在空間任意點

P

的電位為

圖2-5電偶極子

從而有

或

其電場強度在球坐標中的表示式為

電偶極子的電位和電場的分布如圖2-6所示。電偶極子的電位和電場分別與r2

和r3成反比,單個點電荷的電位和電場分別與r

和r2

成反比。這是因為在遠區(qū),正負電荷產(chǎn)生的電場有一部分相互抵消的緣故。電偶極子的場分布具有軸對稱性。同理,由兩個大小相等,反平行放置且二者之間的間距很小的電偶極子組成的帶電系統(tǒng),叫作電四極子。電四極子的電位和電場分別與r3

和r4

成反比。以此類推,可以求出電多極子等的電位和電場。

圖2-6電偶極子的電位和電場分布

2.5電介質(zhì)中的場方程

根據(jù)物質(zhì)的電特性,可將其分為導電物質(zhì)和絕緣物質(zhì)兩類。通常稱前者為導體,后者為電介質(zhì)。導體的特點是其內(nèi)部有大量的能自由運動的電荷,在外電場的作用下,這些自由電荷可以作宏觀運動。相反,介質(zhì)中的帶電粒子被約束在介質(zhì)的分子中,而不能作宏觀運動。

2.5.1介質(zhì)的極化

任何物質(zhì)的分子或原子都是由帶負電的電子和帶正電的原子核組成的。依其特性,分子可分為極性分子和非極性分子。非極性分子是指分子的正負電荷中心重合,無外加電場時,分子偶極矩為零的分子,如H2、N2、CCl4

等分子。極性分子是指分子的正負電荷中心不重合,無外加電場時,分子偶極矩不為零,本身具有一個固

有

極

矩

的

分

子,如H2O分子。

介質(zhì)的極化一般分為三種情況。分別叫作電子極化、離子極化、取向極化。電子極化是指組成原子的電子云在電場的作用下,電子云相對于原子核發(fā)生位移,形成附加的電偶極矩。離子極化發(fā)生在由等量異號電荷組成的離子型分子中,在電場作用下組成離子型分子的正負粒子,從其平衡位置發(fā)生位移,產(chǎn)生附加的電偶極矩。極性分子本身具有固有電偶極矩,由于分子的熱運動,使各個分子的電偶極矩雜亂無章地排列,從而其合成電矩為零。但是在電場作用下,分子的電矩向電場方向轉動,使得系統(tǒng)受到的總外力為零,總力矩為零,并且系統(tǒng)的能量最小,即達到一個穩(wěn)定平衡,這樣就產(chǎn)生一個合成電矩,這種極化為取向極化。

單原子的電介質(zhì)只有電子極化;所有化合物都存在離子極化和電子極化;一些化合物同時存在三種極化。

在極化介質(zhì)中,每一個分子都是一個電偶極子,整個介質(zhì)可以看成是真空中電偶極子有序排列的集合體。用極化強度表征電介質(zhì)的極化性質(zhì)。極化強度是一個矢量,它代表單位體積中電矩的矢量和。假設體積ΔV

里分子電矩的總和為∑p,則極化強度P

為

極化強度的單位是C/m2。

2.5.2極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位

當一塊電介質(zhì)受外加電場的作用而極化后,就等效為真空中一系列電偶極子。極化介質(zhì)產(chǎn)生的附加電場,實質(zhì)上就是這些電偶極子產(chǎn)生的電場,如圖2-7所示。

圖2-7極化介質(zhì)的電位

設極化介質(zhì)的體積為V,表面積是S,極化強度是P,現(xiàn)在計算介質(zhì)外部任一點的電位。在介質(zhì)中r'處取一個體積元ΔV',因|r-r'|遠大于ΔV'的線度,故可將ΔV'中介質(zhì)當成一偶極子,其偶極矩為p=PΔV',它在r處產(chǎn)生的電位是

整個極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位是上式的積分:

對上式進行變換,利

變換為

再利用矢量恒等式:

式中,n是S

上某點的外法向單位矢量。上式的第一項與面分布電荷產(chǎn)生的電位表示式形式相同,第二項與體分布電荷產(chǎn)生的電位表達式形式上相同,P(r')·n

和-?'·P(r')分別有面電荷密度和體電荷密度的量綱,因此極化介質(zhì)產(chǎn)生的電位可以看作等效體分布電荷和面分布電荷在真空中共同產(chǎn)生的。等效體電荷密度和面電荷密度分別為

這個等效電荷也稱為極化電荷,或者稱為束縛電荷。在實際計算時,我們一般把公式(2-45)寫為下述形式:

在以上的分析中,場點是選取在介質(zhì)外部。可以證明,上面的結果也適用于極化介質(zhì)內(nèi)部任一點的電位的計算。有了電位表達式,就能求出極化介質(zhì)產(chǎn)生的電場。實際上,以上的電位電場,僅僅考慮的是束縛電荷產(chǎn)生的那一部分,空間的總電場應該再加上自由電荷(也就是外加電荷)產(chǎn)生的電場。

例2-7

一個半徑為a的均勻極化介質(zhì)球,極化強度是P0ez,求極化電荷分布及介質(zhì)球的電偶極矩。

解:取球坐標系,讓球心位于坐標原點。

極化電荷體密度為

極化電荷面密度為

分布電荷對于原點的偶極矩由下式計算(附帶說一下,一個帶電系統(tǒng)的電偶極距,與選取的參考點無關,也就是說,可以選取任意點作為參考點來計算電偶極距。我們在此是選坐標的原點為電偶極距的參考點):

積分區(qū)域D

是電荷分布的區(qū)域。因此

代入球面上的各量,有

得

其實,由于本問題是均勻極化,等效偶極矩肯定等于極化強度與體積之積。

2.5.3介質(zhì)中的場方程

在真空中高斯定理的微分形式為?·E=ρ/ε0,其中的電荷是指自由電荷。如前述,極化介質(zhì)產(chǎn)生的電場等效于束縛電荷的影響,因此,在電介質(zhì)中,高斯定理的微分形式便可寫為

將ρp=-?·P

代入,得

2.5.4介電常數(shù)

在分析電介質(zhì)中的靜電問題時,必須知道極化強度P

與電場強度E

之間的關系。P

與E

間的關系由介質(zhì)的固有特性決定,這種關系稱為組成關系。如果P

和E同方向,就稱為各向同性介質(zhì),若二者成正比,就稱為線性介質(zhì)。實際應用中的大多數(shù)介質(zhì)都是線性各向同性介質(zhì),其組成關系為

式中χe

為極化率,是一個無量綱常數(shù)。從而有

稱εr

為介質(zhì)的相對介電常數(shù),稱ε為介質(zhì)的介電常數(shù)。

對于均勻介質(zhì)(ε為常數(shù)),電位滿足如下的泊松方程:

在自由電荷為零的區(qū)域,電位滿足拉普拉斯方程。

例2-8一個半徑為a

的導體球,帶電量為Q,在導體球外套有外半徑為b的同心介質(zhì)球殼,殼外是空氣,如圖2-8所示。求空間任一點的D、E、P以及束縛電荷密度。圖2-8例2-8用圖

解:因?qū)w及介質(zhì)的結構是球?qū)ΨQ的,要保持導體球內(nèi)的電場強度為零,顯然自由電荷及其束縛電荷的分布也必須是球?qū)ΨQ的。從而,D、E、P

的分布也是球?qū)ΨQ的。即自由電荷均勻分布在導體球面上,D在徑向方向,且在與導體球同心的任一球面上D的數(shù)值相等。用介質(zhì)中的高斯定理的積分形式,取半徑為r并且與導體球同心的球面為高斯面,得

介質(zhì)內(nèi)(a<r<b):

介質(zhì)外(b<r):

介質(zhì)內(nèi)表面(r=a)的束縛電荷面密度:

介質(zhì)外表面(r=b)的束縛電荷面密度:

2.6靜電場的邊界條件

不同的電介質(zhì)的極化性質(zhì)一般不同,因而在不同介質(zhì)的分界面上靜電場的場分量一般不連續(xù)。場分量在界面上的變化規(guī)律叫作邊界條件。

如圖2-9所示,分界面兩側的介電常數(shù)分別為ε1、ε2,用n

表示界面的法向,并規(guī)定其方向由介質(zhì)1指向介質(zhì)2?？梢詫?/p>

D

和E在界面上分解為法向分量和切向分量,法向分量沿n方向,切向分量與n垂直。先推導法向分量的邊界條件。在分界面兩側作一個圓柱形閉合曲面,頂面和底面分別位于分界面兩側且都與分界面平行,其面積為ΔS。

圖2-9法向邊界條件

將介質(zhì)中積分形式的高斯定理應用于這個閉合面,然后令圓柱的高度趨于零,此時在側面的積分為零,于是有

即

或

其中,ρS

表示分界面上的自由面電荷密度。上式說明,電位移矢量的法向分量在通過界面時一般不連續(xù)。如果界面上無自由電荷分布,即在ρS=0時,邊界條件變?yōu)?/p>

或

這說明在無自由電荷分布的界面上,電位移矢量的法向分量是連續(xù)的。

現(xiàn)在推導電場強度切向分量的邊界條件。設分界面兩側的電場強度分別為E1、E2,如圖2-10所示。在界面上作一狹長矩形回路,兩條長邊分別在分界面兩側,且都與分界面平行。作電場強度沿該矩形回路的積分,并令矩形的短邊趨于零,有

因為Δl2=l°Δl,Δl1=-l°Δl,l°是沿l方向的單位矢量,上式變?yōu)?/p>

注意到n⊥l°,故有

或

這表明,電場強度的切向分量在邊界面兩側是連續(xù)的。

邊界條件式(2-59)和式(2-63)可以用電位來表示。電場強度的切向分量連續(xù),意味著電位是連續(xù)的,即

由于

法向分量的邊界條件用電位表示為

在ρS=0時,有

最后,分析電場強度矢量經(jīng)過兩種電介質(zhì)界面時其方向的改變情況。設區(qū)域1和區(qū)域2內(nèi)電力線與法向的夾角分別為θ1、θ2,由式(2-61)和式(2-63)得

另外,在導體表面,邊界條件可以簡化。導體內(nèi)的靜電場在靜電平衡時為零。設導體外部的場為E、D,導體的外法向為n,則導體表面的邊界條件簡化為

例2-9同心球電容器的內(nèi)導體半徑為a,外導體的內(nèi)半徑為b,其間填充兩種介質(zhì),上半部分的介電常數(shù)為ε1,下半部分的介電常數(shù)為ε2,如圖2-11所示。設內(nèi)、外導體帶電分別為q

和-q,求各部分的電位移矢量和電場強度。圖2-11例2-9用圖

解:兩個極板間的場分布要同時滿足介質(zhì)分界面和導體表面的邊界條件。因為內(nèi)、外導體均是一個等位面,可以假設電場沿徑向方向,然后,再驗證這樣的假設滿足所有的邊界條件。

要滿足介質(zhì)分界面上電場強度切向分量連續(xù),上下兩部分的電場強度應滿足:

在半徑為r

的球面上作電位移矢量的面積分,有

可以驗證,這樣的場分布也滿足介質(zhì)分界面上的法向分量和

導體表面的邊界條件。

2.7導體系統(tǒng)的電容

導體是指內(nèi)部含有大量自由電荷的物質(zhì)。在靜電平衡時,導體內(nèi)部電場為零,導體本身是一個等位體,其表面是一個等位面,從而導體內(nèi)部無電荷,電荷只分布在導體的表面上。

2.7.1電位系數(shù)

在n

個導體組成的系統(tǒng)中,空間任一點的電位由導體表面的電荷產(chǎn)生。同樣,任一導體的電位也由各個導體的表面電荷產(chǎn)生。由疊加原理可知,每一點的電位由n

部分組成。導體j對電位的貢獻正比于它的電荷面密度ρSj,而ρSj又正比于導體j

的帶電總量qj,因而,導體j對導體i的電位貢獻可寫為

導體i的總電位應該是整個系統(tǒng)內(nèi)所有導體對它的貢獻的疊加,即導體i的電位為

將其寫成線性方程組,有

或?qū)懗删仃囆问?

其中:[φ]=[φ1,φ2,…,φn]T

和[q]=[q1,q2,…,qn]T

是n×1列矩陣;[p]是n×n方陣;這一方陣的元素pij稱為電位系數(shù)。電位系數(shù)pij的物理意義是,導體j帶一庫侖的正電荷,而其余導體均不帶電時導體i上的電位。

由電位系數(shù)的定義可知,導體j帶正電,電力線自導體j出發(fā),終止于導體i上或終止于地面。又由于導體i不帶電,有多少電力線終止于它,就有多少電力線自它發(fā)出,所發(fā)出的電力線不是終止于其它導體上,就是終止于地面。電位沿電力線下降,其它導體的電位一定介于導體j的電位和地面的電位之間,所以

電位系數(shù)具有互易性質(zhì),即

2.7.2電容系數(shù)和部分電容

多導體系統(tǒng)的電荷可以用各個導體的電位來表示,即將式(2-71)改寫為

其中,[β]為[p]的逆矩陣,其矩陣元素

式中:Δ是矩陣[p]的行列式;Mij是行列式中pij

的代數(shù)余子式。將式(2-74)寫成方程組,有

稱βij為電容系數(shù)。它的物理意義是,導體j的電位為1V,其余導體均接地,這時導體i上的感應電荷量為βij。由電容系數(shù)的定義得知,導體j的電位比其余導體的電位都高,所以電力線從導體j發(fā)出終止于其它導體或地,也就是說導體j帶正電,其余導體帶負電。根據(jù)電荷守恒定律,n個導體上的電荷再加上地面的電荷應為零,這樣其余n-1個導體所帶電荷總和的絕對值必定不大于導體j的電荷量,由此可推出:

將式(2-76)寫為

令

則上式變?yōu)?/p>

這表明,每個導體上的電荷均由n

部分組成,而其中的每一部分,都可以在其它導體上找到與之對應的等值異號電荷。如導體1上的C12(φ1-φ2)這部分電荷,在導體2上有一部分電荷C21(φ2-φ1)與之對應。仿照電容器電容的定義,比例系數(shù)C12是導體1和2之間的部分電容。一般而言,Cij是導體i和j

之間的互部分電容,Cii是導體i的自部分電容,也就是導體i和地之間的部分電容。部分電容也具有互易性,且為非負值,即

三個導體的部分電容如圖2-12所示。

圖2-12部分電容

兩個導體所組成的系統(tǒng)是實際中廣泛應用的導體系

統(tǒng)。若兩個導體分別帶電

Q、-Q,且它們之間的電位差不受外界影響,則此系統(tǒng)構成一個電容器。電容器的電容C

與電位系數(shù)的關系為

例2-10

導體球及與其同心的導體球殼構成一個雙導體系統(tǒng)。若導體球的半徑為a,球殼的內(nèi)半徑為b,殼的厚度很薄可以不計(如圖2-13所示),求電位系數(shù)、電容系數(shù)和部分電容。圖2-13例2-10用圖

解:先求電位系數(shù)。設導體球帶電量為q1,球殼帶總電荷為零,無限遠處的電位為零,由對稱性可得

因此有

再設導體球的總電荷為零,球殼帶電荷為q2,可得

因此

電容系數(shù)矩陣等于電位系數(shù)矩陣的逆矩陣,故有

部分電容為

例2-11

假設真空中兩個導體球的半徑都為a,兩球心之間的距離為d,且d?a,求兩個導體球之間的電容。

解:因為兩個導體球球心間的距離遠大于導體球的半徑,球面的電荷可以看作均勻分布的,再由電位系數(shù)的定義,可得

代入電容器的電容表示式(2-86),得

例2-12一同軸線內(nèi)導體的半徑為a,外導體的內(nèi)半徑為b,內(nèi)、外導體之間填充兩種絕緣材料,a<r<r0的介電常數(shù)為ε1,r0<r<b

的介電常數(shù)為ε2,如圖2-14所示,求單位長度的電容。圖2-14例2-12用圖

解:設內(nèi)、外導體單位長度帶電分別為ρl、-ρl,內(nèi)、外導體間的場分布具有軸對稱性。由高斯定理可求出內(nèi)、外導體間的電位移為

各區(qū)域的電場強度為

內(nèi)、外導體間的電壓為

因此,單位長度的電容為

2.8電場能量與能量密度

2.8.1電場能量一個帶電系統(tǒng)的建立,都要經(jīng)過其電荷從零到終值的變化過程,在此過程中,外力必須對系統(tǒng)做功。由能量守恒定律得知,帶電系統(tǒng)的能量等于外力所做的功。下面計算n個帶電體組成的系統(tǒng)的靜電能量。設每個帶電體的最終電位為φ1、φ2、…、φn,最終電荷為q1、q2、…、qn。帶電系統(tǒng)的能量與建立系統(tǒng)的過程無關,僅僅與系統(tǒng)的最終狀態(tài)有關。

假設在建立系統(tǒng)過程中的任一時刻,各個帶電體的電量均是各自終值的α

倍(α<1),即帶電量為αqi,電位為αφi,經(jīng)過一段時間,帶電體i的電量增量為d(αqi),外源對它所做的功為αφid(αqi)。外源對n

個帶電體做功為

因而,電場能量的增量為

在整個過程中,電場的儲能為

電場能量的表達式可以推廣到分布電荷的情形。對于體分布電荷,可將其分割為一系列體積元ΔV,每一體積元的電量為ρΔV,當ΔV趨于零時,得到體分布電荷的能量為

式中,φ

為電荷所在點的電位。同理,面電荷和線電荷的電場能量分別

式(2-89)也適用于計算帶電導體系統(tǒng)的能量。帶電導體系統(tǒng)的能量也可以用電位系數(shù)或電容系數(shù)來表示:

如果電容器極板上的電量為±q,電壓為U,則電容器內(nèi)儲存的靜電能量為

2.8.2能量密度

電場能量的計算公式(2-90)計算的是靜電場的總能量,這個公式容易造成電場能量儲存在電荷分布空間的印象。事實上,只要有電場的地方,移動帶電體都要做功。這說明電場能量儲存于電場所在的空間。以下分析電場能量的分布并引入能量密度的概念。

設在空間某區(qū)域有體電荷分布和面電荷分布,體電荷

分布在S和S'限定的區(qū)域V

內(nèi),面電荷分布在導體表面S上,如圖2-15所示,該系統(tǒng)的能量為

將?·D=ρ和D·n=ρS

代入上式,有

圖2-15能量密度

考慮到區(qū)域V

以外沒有電荷,故可以將體積分擴展到整個空間,而面積分仍在導體表面進行。利用矢量恒等式

則

例2-13

若真空中電荷q

均勻分布在半徑為a的球體內(nèi),計算電場能量。

解:用高斯定理可以得到電場為

所以

如果用式(2-90)在電荷分布空間積分,其結果與此一致。

例2-14

若一同軸線內(nèi)導體的半徑為a,外導體的內(nèi)半徑為b,之間填充介電常數(shù)為ε的介質(zhì),當內(nèi)、外導體間的電壓為U(外導體的電位為零)時,求單位長度的電場能量。

解:設內(nèi)、外導體間電壓為U

時,內(nèi)導體單位長度帶電量為ρl,則導體間的電場強度為

兩導體間的電壓為

即

單位長度的電場能量

2.9電

場

力

帶電體之間的相互作用力從原則上講可以用庫侖定律計算,但是實際上,除了少數(shù)簡單情形以外,這種計算往往較難。在此介紹一種通過電場能量求力的方法,稱為虛位移法。有時,這種方法顯得方便而簡潔。

虛位移法求帶電導體所受電場力的思路是:假設在電場力F的作用下,受力導體有一個位移dr,從而電場力做功F·dr;因這個位移會引起電場強度的改變,這樣電場能量就要產(chǎn)生一個增量dWe;再根據(jù)能量守恒定律,電場力做功及場能增量之和應該等于外源供給帶電系統(tǒng)的能量dWb,即

1.電荷不變

如果虛位移過程中,各個導體的電荷量不變,就意味著各導體都不連接外源。此時外源對系統(tǒng)做功dWb

為零,即

因此,在位移的方向上,電場力為

我們分別取虛位移的方向在x、y

和z方向,就可以得出電場力的矢量形式:

2.電位不變

如果在虛位移的過程中,各個導體的電位不變,就意味著每個導體都和恒壓電源相連接。此時,當導體的相對位置改變時,每個電源因要向?qū)w輸送電荷而做功。設各導體的電位分別為φ1、φ2、…、φn,各導體的電荷增量分別為dq1、dq2、…、dqn,則電源做功為

系統(tǒng)的電場能量為

系統(tǒng)能量的增量為

代入式(2-102),得

因此,在位移的方向上,電場力為

與其相應的矢量形式為

最后應說明,在電荷不變和電位不變條件下,電場力的表達式不同,但最終計算出的電場力是相同的。

例2-15若平板電容器極板面積為A,間距為x,電極之間的電壓為U,求極板間的作用力。

解:設一個極板在yoz

平面,第二個極板的坐標為x,此時,電容器儲能為

當電位不變時,第二個極板受力為

當電荷不變時,考慮到

將能量表達式改寫為

可見,兩種情況下的計算結果相同。式中的負號表示極板間的作用力為吸引力。

例2-16平行雙線的兩個導體圓柱的半徑均為a,二者的中軸線相距為d,單位長度帶電分別為±λ,求帶負電荷的導體圓柱單位長度所受到的電場力(假定導體間距d

遠大于半徑a)。

解:我們知道,這個問題的單位長度電容為

為了采用虛位移法求電場力,必須假設導體有一個位移。我們把帶正電荷的導體圓柱固定不動,假定帶負電的導體圓柱在電場力的作用下它的中軸線移動到x處,這樣,單位長度的電容就變?yōu)?/p>

這個系統(tǒng)單位長度的電場能量為

我們使用電荷不變情形下的電場力公式,可以求出帶負電的導體柱單位長度受力為

最后,我們再令這個受力表達式中的x

為d,就得到導體圓柱單位長度的受力

當保持電位不變時,同樣可以求出受力。此時,兩個導體之間的電壓為

在x變化的情形下,要使得電位不變,電荷密度λ

不再是常數(shù)。這時,系統(tǒng)的單位長度的電場能量為

我們使用電位不變情形下的電場力公式,可以求出帶負電的導體柱單位長度受力為

我們再使用關系式最后再令x

為d,就得到帶負電荷的導體單位長度受力為

例2-17

空氣中有一個半徑為a

的導體球均勻帶電,電荷總量為Q,求導體球面上的電荷單位面積受到的電場力。

解:我們知道,根據(jù)同性電荷相斥的原則,不論導體球上的電荷是正是負,導體表面的電荷都受到一個沿半徑方向向外的電場力。導體球的電容為C=4πε0a,因而靜電能量為

我們采用電荷不變情形下電場力的公式來計算。我們把導體半徑a看作變量(注意在虛位移情形下,導體半徑應該有一個假想的位移,所以半徑a在虛位移過程中不應看作常數(shù))。此時,導體面上單位面積受到的電場力為

這個力的方向是沿著矢徑方向向外的。

當然,我們可以通過庫侖定律計算這個問題。下面我們采用庫侖定律重新計算這個問題。我們知道,在F=qE公式中,其電場表示的是外加電荷產(chǎn)生的場,不包括試驗電荷q所產(chǎn)生的場。為此,我們做如下的處理。我們假定導體球的球心和坐標的原點重合,并且假定導體是一個無限薄的球殼。我們在空間A(0,0,a)點,人為地作一個以

A

點為圓心、以b

為半徑的圓。注意,這樣得到的是球面上的一個圓,假設這個圓所帶的電量為q,當半徑b

比較小時,我們可以近似地認為,其形狀是一個平面圓盤。我們有q=πb2σ,其中σ是電荷面密度。

上述