2025年上海市四校自主招生考試數(shù)學(xué)試題一、填空題(1-4題每題6分，5-8題每題7分)1.已知正數(shù)a,b,c,d滿足 2.關(guān)于x的方程√x2+ax+1=x有實(shí)數(shù)根，那么a的取值范圍是3.實(shí)數(shù)a和b滿足,則a+b=4.一組數(shù)據(jù)1,2,n,4,n,6,7,其中有兩組數(shù)據(jù)被涂黑，平均值為4,那么這組數(shù)據(jù)方差最小值為5.如圖，正方形ABCD邊長為3,其內(nèi)部有一個等腰直角三角形EFG,其中∠G=90°,斜邊長為√2,△EFG可以在正方形中任意滑動，始終保持EF垂直于AD,那么這個三角形的重心能掃到的面積為6.如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中有一菱形OABC,滿足∠AOC=60°.一反比例函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)C且交線段AB于點(diǎn)P,那么7.如圖，平行四邊形ABCD的面積為是平行四邊形的兩條高.點(diǎn)P,Q,J的位置如圖所三角形數(shù).已知三個正整數(shù)a,b,c(a<b<c)滿足a+b,a+c,b+C是三個連續(xù)的三角形數(shù)，那么二、解答題(9-10題每題15分，11題18分)9.如圖.四邊形ABCD內(nèi)接于圓0,AB為圓0的直徑，CD與BA的延長線交于點(diǎn)P.已知(1)求證：AD=CD;(2)若PA=AO=2,求四邊形ABCD的面積.(2)若a=3,b=2k+5,c=3k+2,G?與G?存在兩個交點(diǎn)，且這兩個x?,問：代數(shù)的值是否和實(shí)數(shù)k有關(guān)?說明理由.兩個新的直角三角形，其邊長分別為a,c,√a2+c2與b,c,√b2+c2.現(xiàn)在，對于邊長為3,4,5的直角三角形反復(fù)進(jìn)行上述的變換.(1)第二次變換后，能夠獲得4個不同直角三角形.問：這4個直角三角形中有幾個直角三角形最小角(2)第七次變換后，能夠獲得254個不同的直角三角形(含之前所有的三角形),已知這254個直角三角形沒有一個與初始三角形相似，那么這些三角形中是否有相似的三角形?說明理由.2025年上海市四校自主招生考試數(shù)學(xué)試題(時間：60分鐘滿分：100分)一、填空題(1-4題每題6分，5-8題每題7分)【答案】2025【解析】根據(jù)題意可得再利用比例的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：故答案為：2025.【答案】a<0【解析】【分析】此題考查了解無理方程.根據(jù)二次根式的意義得到x≥0,ax=-1,分兩種情況進(jìn)行解答即可.當(dāng)a≠0時，綜上：a<0故答案為：a<03.實(shí)數(shù)a和b滿足,則a+b=【答案】【解析】【分析】此題考查了解二元一次方程組.根據(jù)2a-b的取值范圍分兩種情況進(jìn)行解答即可.故答案為：4.一組數(shù)據(jù)1,2,n,4,n,6,7,其中有兩組數(shù)據(jù)被涂黑，平均值為4,那么這組數(shù)據(jù)方差的最小值為_【答案】【解析】【分析】本題考查了方差的定義，平均數(shù)的計算確定被涂黑的兩個數(shù)據(jù)應(yīng)為4,4,再根據(jù)方差的計算公式，直接計算可得.1,2,n,4,n,6,7,平均值為4,要使這組數(shù)據(jù)方差的值最?。粍t被涂黑的兩個數(shù)據(jù)應(yīng)為4,4此時最小值5.如圖，正方形ABCD邊長為3,其內(nèi)部有一個等腰直角三角形EFG,其中∠G=90°,斜邊長為√2,【答案】【解析】【分析】本題主要考查對正方形的性質(zhì)，三角形的面積，等腰直角三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等知識點(diǎn)的根據(jù)重心的定義，可知IJ=CD-EM-FM=3-√2.BBC【解析】過C作CH⊥OA,設(shè)OH=a,則CH=√3a,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)，進(jìn)而求出反比例函數(shù)解析式，設(shè),根據(jù)∠PAQ的正切列方程求出m值即可解題.∴反比例函數(shù)解析式設(shè)7.如圖，平行四邊形ABCD的面積為1,CD=1.AF,CE是平行四邊形的兩條高.點(diǎn)P,Q,J的位置如圖所【解析】【分析】由全等三角形得到∠PJQ=∠CEB=90°,PJ=CE,QJ=EB,證明VJPA∽VQJE得到 EQ=PF=1-√1-m2,求出,則由勾股定理求出 EB=2-√3,由勾股定理即可求出答案.因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD的面積為1,CD=1,AF,CE是平行四邊形的兩條高，∵BE2=JQ2=QE2+JE2,式的運(yùn)算等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是關(guān)鍵.三角形數(shù).已知三個正整數(shù)a,b,c(a<b<c)滿足a+b,a+c,b+c是三個連續(xù)的三角形數(shù)，那么【答案】237【解析】數(shù)值嘗試解答即可；方法二設(shè)若若若若由于正整數(shù)a,b,c>0知n≥3,n=3時，不是整數(shù).故答案為：237.二、解答題(9-10題每題15分，11題18分)9.如圖.四邊形ABCD內(nèi)接于圓0(1)求證：AD=CD;(2)若PA=AO=2,求四邊形ABCD的面積.【答案】(1)證明見解析【解析】【分析】(1)連接CO,根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠AOD=∠ABC,∠DOC=∠OCB,根據(jù)等邊對等角得(1)根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠PDA=∠ABC,證明△PDA∽△POD得,求出,求出計算即可.【小問1詳解】證明：連接CO,∵OD//BC,【小問2詳解】即即四邊形ABCD的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧、弦、圓心角的關(guān)系，銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，等邊對等角，平行線的性質(zhì)，三角形的面積等知識點(diǎn).通過作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.10.已知函數(shù)G?:y=ax2+bx+c,G?:y=x+2.(1)若a=1,G?和G?的圖像恰有一個交點(diǎn)，求C關(guān)于b的函數(shù)解析式：(2)若a=3,b=2k+5,c=3k+2,G?與G?存在兩個交點(diǎn)，且這兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x?,x?,問：代數(shù)式的值是否和實(shí)數(shù)k有關(guān)?說明理由.【答案】(1)(2)該值與k無關(guān)，理由見解析【解析】(1)利用G?和G?的圖像恰有一個交點(diǎn)，即G?:y=ax2+bx+c與G?:y=x+2只有一個交點(diǎn)，可得(2)利用二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)可得,即3x2+2(k+2)x+3k=0,由k>4,對于3x2+2(k+2)x+3k=0,可知xX?=k,【小問1詳解】【小問2詳解】對于函數(shù)w=4(k+2)2-36k=4k2-20k+16,可得w=4(k+2)2-36k=4k2-20k+16>0得k<1或k>4,對于3x2+2(k+2)x+3k=0,可知xx?=k,所以該值與k無關(guān).11.一直角三角形的邊長為a,b,c.其中c為斜邊，我們把它叫作初始三角形.現(xiàn)在進(jìn)行如下的變換：構(gòu)造兩個新的直角三角形，其邊長分別為a,c,√a2+c2與b,c,√b2+c2.現(xiàn)在，對于邊長為3,4,5的直角三角形反復(fù)進(jìn)行上述的變換.(1)第二次變換后，能夠獲得4個不同的直角三角形.問：這4個直角三角形中有幾個直角三角形最小角(2)第七次變換后，能夠獲得254個不同的直角三角形(含之前所有的三角形),已知這254個直角三角形沒有一個與初始三角形相似，那么這些