人教版七年級數學下冊期末解答題測試題附答案一、解答題1．（1）小麗計劃在母親節(jié)那天送份禮物媽媽，特設計一個表面積為12dm2的正方體紙盒，則這個正方體的棱長是．（2）為了增加小區(qū)的綠化面積，幸福公園準備修建一個面積121πm2的草坪，草坪周圍用籬笆圍繞．現(xiàn)從對稱美的角度考慮有甲，乙兩種方案，甲方案：建成正方形；乙方案：建成圓形的．如果從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，你會選擇哪種方案？請說明理由；（3）在（2）的方案中，審批時發(fā)現(xiàn)修如此大的草坪，目的是親近自然，若按上方案就沒達到目的，因此建議用如圖的設計方案：正方形里修三條小路，三條小路的寬度是一樣，這樣草坪的實際面積就減少了21πm2，請你根據此方案求出各小路的寬度（π取整數）．2．如圖所示的正方形紙板是由兩張大小相同的長方形紙板拼接而成的，已知一個長方形紙板的面積為162平方厘米，求正方形紙板的邊長．3．（1）若一圓的面積與這個正方形的面積都是，設圓的周長為，正方形的周長為，則______．（填“=”或“<”或“>”號）（2）如圖，若正方形的面積為，李明同學想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為3：2，他能裁出嗎？請說明理由．4．如圖，用兩個邊長為15的小正方形拼成一個大的正方形，（1）求大正方形的邊長？（2）若沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，能否使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為720cm2？5．如圖用兩個邊長為cm的小正方形紙片拼成一個大的正方形紙片，沿著大正方形紙片的邊的方向截出一個長方形紙片，能否使截得的長方形紙片長寬之比為，且面積為cm2？請說明理由．二、解答題6．已知，AB∥CD，點E為射線FG上一點．（1）如圖1，若∠EAF＝25°，∠EDG＝45°，則∠AED=．（2）如圖2，當點E在FG延長線上時，此時CD與AE交于點H，則∠AED、∠EAF、∠EDG之間滿足怎樣的關系，請說明你的結論；（3）如圖3，當點E在FG延長線上時，DP平分∠EDC，∠AED＝32°，∠P＝30°，求∠EKD的度數．7．如圖，直線，一副直角三角板中，．（1）若如圖1擺放，當平分時，證明：平分．（2）若如圖2擺放時，則（3）若圖2中固定，將沿著方向平移，邊與直線相交于點，作和的角平分線相交于點（如圖3），求的度數．（4）若圖2中的周長，現(xiàn)將固定，將沿著方向平移至點與重合，平移后的得到，點的對應點分別是，請直接寫出四邊形的周長．（5）若圖2中固定，（如圖4）將繞點順時針旋轉，分鐘轉半圈，旋轉至與直線首次重合的過程中，當線段與的一條邊平行時，請直接寫出旋轉的時間．8．綜合與實踐背景閱讀：在同一平面內，兩條不重合的直線的位置關系有相交、平行，若兩條不重合的直線只有一個公共點，我們就說這兩條直線相交，若兩條直線不相交，我們就說這兩條直線互相平行兩條直線的位置關系的性質和判定是幾何的重要知識，是初中階段幾何合情推理的基礎．已知：AM∥CN，點B為平面內一點，AB⊥BC于B．問題解決：（1）如圖1，直接寫出∠A和∠C之間的數量關系；（2）如圖2，過點B作BD⊥AM于點D，求證：∠ABD＝∠C；（3）如圖3，在（2）問的條件下，點E、F在DM上，連接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，則∠EBC＝．9．已知，如圖：射線分別與直線、相交于、兩點，的角平分線與直線相交于點，射線交于點，設，且．（1）________，________；直線與的位置關系是______；（2）如圖，若點是射線上任意一點，且，試找出與之間存在一個什么確定的數量關系？并證明你的結論．（3）若將圖中的射線繞著端點逆時針方向旋轉（如圖）分別與、相交于點和點時，作的角平分線與射線相交于點，問在旋轉的過程中的值變不變？若不變，請求出其值；若變化，請說明理由．10．如圖，已知，是的平分線．（1）若平分，求的度數；（2）若在的內部，且于，求證：平分；（3）在（2）的條件下，過點作，分別交、于點、，繞著點旋轉，但與、始終有交點，問：的值是否發(fā)生變化？若不變，求其值；若變化，求其變化范圍．三、解答題11．已知：直線∥，A為直線上的一個定點，過點A的直線交于點B，點C在線段BA的延長線上．D，E為直線上的兩個動點，點D在點E的左側，連接AD，AE，滿足∠AED＝∠DAE．點M在上，且在點B的左側．（1）如圖1，若∠BAD＝25°，∠AED＝50°，直接寫出ABM的度數；（2）射線AF為∠CAD的角平分線．①如圖2，當點D在點B右側時，用等式表示∠EAF與∠ABD之間的數量關系，并證明；②當點D與點B不重合，且∠ABM＋∠EAF＝150°時，直接寫出∠EAF的度數．12．已知直線，M，N分別為直線，上的兩點且，P為直線上的一個動點．類似于平面鏡成像，點N關于鏡面所成的鏡像為點Q，此時．（1）當點P在N右側時：①若鏡像Q點剛好落在直線上（如圖1），判斷直線與直線的位置關系，并說明理由；②若鏡像Q點落在直線與之間（如圖2），直接寫出與之間的數量關系；（2）若鏡像，求的度數．13．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E、F點，．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則______；（2）將直角如圖2位置擺放，N為AC上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由．（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長AC交直線b于點Q，點P是射線GF上一動點，探究，與的數量關系，請直接寫出結論．14．問題情境（1）如圖1，已知，，，求的度數．佩佩同學的思路：過點作，進而，由平行線的性質來求，求得________．問題遷移（2）圖2．圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．①如圖2，當點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數量關系；②如圖3，當點在，兩點之間運動時，與，之間有何數量關系？請判斷并說明理由；拓展延伸（3）當點在，兩點之間運動時，若，的角平分線，相交于點，請直接寫出與，之間的數量關系．15．綜合與探究綜合與實踐課上，同學們以“一個含角的直角三角尺和兩條平行線”為背景開展數學活動，如圖，已知兩直線，，且，三角形是直角三角形，，，操作發(fā)現(xiàn)：（1）如圖1．，求的度數；（2）如圖2．創(chuàng)新小組的同學把直線向上平移，并把的位置改變，發(fā)現(xiàn)，請說明理由．實踐探究：（3）填密小組在創(chuàng)新小組發(fā)現(xiàn)的結論的基礎上，將圖2中的圖形繼續(xù)變化得到圖3，平分，此時發(fā)現(xiàn)與又存在新的數量關系，請寫出與的數量關系并說明理由．四、解答題16．解讀基礎：（1）圖1形似燕尾，我們稱之為“燕尾形”，請寫出、、、之間的關系，并說明理由；（2）圖2形似8字，我們稱之為“八字形”，請寫出、、、之間的關系，并說明理由：應用樂園：直接運用上述兩個結論解答下列各題（3）①如圖3，在中，、分別平分和，請直接寫出和的關系；②如圖4，．（4）如圖5，與的角平分線相交于點，與的角平分線相交于點，已知，，求和的度數．17．（生活常識）射到平面鏡上的光線（入射光線）和變向后的光線（反射光線）與平面鏡所夾的角相等．如圖1，MN是平面鏡，若入射光線AO與水平鏡面夾角為∠1，反射光線OB與水平鏡面夾角為∠2，則∠1=∠2.（現(xiàn)象解釋）如圖2，有兩塊平面鏡OM，ON，且OM⊥ON，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD.求證AB∥CD.（嘗試探究）如圖3，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MON=55，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD相交于點E，求∠BEC的大小.（深入思考）如圖4，有兩塊平面鏡OM，ON，且∠MONα，入射光線AB經過兩次反射，得到反射光線CD，光線AB與CD所在的直線相交于點E，∠BED=β,α與β之間滿足的等量關系是.（直接寫出結果）18．模型與應用.（模型）（1）如圖①，已知AB∥CD，求證∠1＋∠MEN＋∠2＝360°.（應用）（2）如圖②，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度數為．如圖③，已知AB∥CD，則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n的度數為．（3）如圖④，已知AB∥CD，∠AM1M2的角平分線M1O與∠CMnMn－1的角平分線MnO交于點O，若∠M1OMn＝m°．在（2）的基礎上，求∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋……＋∠n－1的度數．（用含m、n的代數式表示）19．如圖，，點A、B分別在直線MN、GH上，點O在直線MN、GH之間，若，．（1）=；（2）如圖2，點C、D是、角平分線上的兩點，且，求的度數；（3）如圖3，點F是平面上的一點，連結FA、FB，E是射線FA上的一點，若，，且，求n的值．20．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°．求∠APC度數．小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°．問題遷移：(1)如圖3，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由；(2)在(1)的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時(點P與點A、B、O三點不重合)，請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數量關系．【參考答案】一、解答題1．（1）dm；（2）從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據此方案求出小路的寬度為【分析】（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據算術平方根的定義求解即可；（2）根據正方形的周解析：（1）dm；（2）從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）根據此方案求出小路的寬度為【分析】（1）先求得正方體的一個面的面積，然后依據算術平方根的定義求解即可；（2）根據正方形的周長公式以及圓形的周長公式即可求出答案；（3）根據圖形的平移求解．【詳解】解：（1）∵正方體有6個面且每個面都相等，∴正方體的一個面的面積=2dm2．∴正方形的棱長=dm；故答案為：dm；（2）甲方案：設正方形的邊長為xm，則x2=121∴x=11∴正方形的周長為：4x=44m乙方案:設圓的半徑rm為，則r2==121∴r=11∴圓的周長為：2=22m∴442222(2-∵4＞∴2∴∴正方形的周長比圓的周長大故從節(jié)省籬笆費用的角度考慮，選擇乙方案建成圓形；（3）依題意可進行如圖所示的平移，設小路的寬度為ym,則（11–y）2=12121∴11–y=10∴y=∵取整數∴y=答：根據此方案求出小路的寬度為；【點睛】本題主要考查的是算術平方根的定義，熟練掌握正方形的性質以及平移的性質是解題的關鍵；2．正方形紙板的邊長是18厘米【分析】根據正方形的面積公式進行解答．【詳解】解：設小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊長是厘米，根據題意得：，∴，取正值，可得，解析：正方形紙板的邊長是18厘米【分析】根據正方形的面積公式進行解答．【詳解】解：設小長方形的寬為x厘米，則小長方形的長為厘米，即得正方形紙板的邊長是厘米，根據題意得：，∴，取正值，可得，∴答：正方形紙板的邊長是18厘米．【點評】本題考查了算術平方根的實際應用，解題的關鍵是熟悉正方形的面積公式．3．（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據實數大小比較的方法，可得答案；（2）設裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關于解析：（1）＜；（2）不能，理由見解析【分析】（1）分別根據圓的面積和正方形的面積得出其半徑或邊長，再分別求得其周長，根據實數大小比較的方法，可得答案；（2）設裁出的長方形的長為，寬為，由題意得關于的方程，解得的值，從而可得長方形的長和寬，將其與正方形的邊長比較，可得答案．【詳解】解：（1）圓的面積與正方形的面積都是，圓的半徑為，正方形的邊長為，，，，，．（2）不能裁出長和寬之比為的長方形，理由如下：設裁出的長方形的長為，寬為，由題意得：，解得或（不合題意，舍去），長為，寬為，正方形的面積為，正方形的邊長為，，不能裁出長和寬之比為的長方形．【點睛】本題考查了算術平方根在正方形和圓的面積及周長計算中的簡單應用，熟練掌握相關計算公式是解題的關鍵．4．（1）30；（2）不能.【解析】【分析】（1）根據已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積是：∴大正解析：（1）30；（2）不能.【解析】【分析】（1）根據已知正方形的面積求出大正方形的面積，即可求出邊長；（2）先求出長方形的邊長，再判斷即可．【詳解】解：（1）∵大正方形的面積是：∴大正方形的邊長是：＝30；（2）設長方形紙片的長為4xcm，寬為3xcm，則4x?3x＝720，解得：x＝，4x＝＝＞30，所以沿此大正方形邊的方向剪出一個長方形，不能使剪出的長方形紙片的長寬之比為4：3，且面積為720cm2．故答案為（1）30；（2）不能.【點睛】本題考查算術平方根，解題的關鍵是能根據題意列出算式．5．不能截得長寬之比為，且面積為cm2的長方形紙片，見解析【分析】根據拼圖求出大正方形的邊長，再根據長方形的長、寬之比為3：2，計算長方形的長與寬進行驗證即可．【詳解】解：不能，因為大正方形紙解析：不能截得長寬之比為，且面積為cm2的長方形紙片，見解析【分析】根據拼圖求出大正方形的邊長，再根據長方形的長、寬之比為3：2，計算長方形的長與寬進行驗證即可．【詳解】解：不能，因為大正方形紙片的面積為（）2+（）2=36（cm2），所以大正方形的邊長為6cm，設截出的長方形的長為3bcm，寬為2bcm，則6b2=30，所以b=（取正值），所以3b=3=＞，所以不能截得長寬之比為3：2，且面積為30cm2的長方形紙片．【點睛】本題考查了算術平方根，理解算術平方根的意義是正確解答的關鍵．二、解答題6．（1）70°；（2），證明見解析；（3）122°【分析】（1）過作，根據平行線的性質得到，，即可求得；（2）過過作，根據平行線的性質得到，，即；（3）設，則，通過三角形內角和得到，由角平分線解析：（1）70°；（2），證明見解析；（3）122°【分析】（1）過作，根據平行線的性質得到，，即可求得；（2）過過作，根據平行線的性質得到，，即；（3）設，則，通過三角形內角和得到，由角平分線定義及得到，求出的值再通過三角形內角和求．【詳解】解：（1）過作，，，，，，故答案為：；（2）．理由如下：過作，，，，，，，；（3），設，則，，，又，，，平分，，，，即，解得，，．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定，正確做出輔助線是解決問題的關鍵．7．（1）見詳解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s【分析】（1）運用角平分線定義及平行線性質即可證得結論；（2）如圖2，過點E作EK∥MN，利用平行線性解析：（1）見詳解；（2）15°；（3）67.5°；（4）45cm；（5）10s或30s或40s【分析】（1）運用角平分線定義及平行線性質即可證得結論；（2）如圖2，過點E作EK∥MN，利用平行線性質即可求得答案；（3）如圖3，分別過點F、H作FL∥MN，HR∥PQ，運用平行線性質和角平分線定義即可得出答案；（4）根據平移性質可得D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，再結合DE＋EF＋DF＝35cm，可得出答案；（5）設旋轉時間為t秒，由題意旋轉速度為1分鐘轉半圈，即每秒轉3°，分三種情況：①當BC∥DE時，②當BC∥EF時，③當BC∥DF時，分別求出旋轉角度后，列方程求解即可．【詳解】（1）如圖1，在△DEF中，∠EDF＝90°，∠DFE＝30°，∠DEF＝60°，∵ED平分∠PEF，∴∠PEF＝2∠PED＝2∠DEF＝2×60°＝120°，∵PQ∥MN，∴∠MFE＝180°?∠PEF＝180°?120°＝60°，∴∠MFD＝∠MFE?∠DFE＝60°?30°＝30°，∴∠MFD＝∠DFE，∴FD平分∠EFM；（2）如圖2，過點E作EK∥MN，∵∠BAC＝45°，∴∠KEA＝∠BAC＝45°，∵PQ∥MN，EK∥MN，∴PQ∥EK，∴∠PDE＝∠DEK＝∠DEF?∠KEA，又∵∠DEF＝60°．∴∠PDE＝60°?45°＝15°，故答案為：15°；（3）如圖3，分別過點F、H作FL∥MN，HR∥PQ，∴∠LFA＝∠BAC＝45°，∠RHG＝∠QGH，∵FL∥MN，HR∥PQ，PQ∥MN，∴FL∥PQ∥HR，∴∠QGF＋∠GFL＝180°，∠RHF＝∠HFL＝∠HFA?∠LFA，∵∠FGQ和∠GFA的角平分線GH、FH相交于點H，∴∠QGH＝∠FGQ，∠HFA＝∠GFA，∵∠DFE＝30°，∴∠GFA＝180°?∠DFE＝150°，∴∠HFA＝∠GFA＝75°，∴∠RHF＝∠HFL＝∠HFA?∠LFA＝75°?45°＝30°，∴∠GFL＝∠GFA?∠LFA＝150°?45°＝105°，∴∠RHG＝∠QGH＝∠FGQ＝（180°?105°）＝37.5°，∴∠GHF＝∠RHG＋∠RHF＝37.5°＋30°＝67.5°；（4）如圖4，∵將△DEF沿著CA方向平移至點F與A重合，平移后的得到△D′E′A，∴D′A＝DF，DD′＝EE′＝AF＝5cm，∵DE＋EF＋DF＝35cm，∴DE＋EF＋D′A＋AF＋DD′＝35＋10＝45（cm），即四邊形DEAD′的周長為45cm；（5）設旋轉時間為t秒，由題意旋轉速度為1分鐘轉半圈，即每秒轉3°，分三種情況：BC∥DE時，如圖5，此時AC∥DF，∴∠CAE＝∠DFE＝30°，∴3t＝30，解得：t＝10；BC∥EF時，如圖6，∵BC∥EF，∴∠BAE＝∠B＝45°，∴∠BAM＝∠BAE＋∠EAM＝45°＋45°＝90°，∴3t＝90，解得：t＝30；BC∥DF時，如圖7，延長BC交MN于K，延長DF交MN于R，∵∠DRM＝∠EAM＋∠DFE＝45°＋30°＝75°，∴∠BKA＝∠DRM＝75°，∵∠ACK＝180°?∠ACB＝90°，∴∠CAK＝90°?∠BKA＝15°，∴∠CAE＝180°?∠EAM?∠CAK＝180°?45°?15°＝120°，∴3t＝120，解得：t＝40，綜上所述，△ABC繞點A順時針旋轉的時間為10s或30s或40s時，線段BC與△DEF的一條邊平行．【點睛】本題主要考查了平行線性質及判定，角平分線定義，平移的性質等，添加輔助線，利用平行線性質是解題關鍵．8．（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質和直角三角形內角關系即可求解．（2）過點B作BG∥DM，根據平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質解析：（1）；（2）見解析；（3）105°【分析】（1）通過平行線性質和直角三角形內角關系即可求解．（2）過點B作BG∥DM，根據平行線找角的聯(lián)系即可求解．（3）利用（2）的結論，結合角平分線性質即可求解．【詳解】解：（1）如圖1，設AM與BC交于點O,∵AM∥CN，∴∠C＝∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴∠A＋∠AOB＝90°，∠A＋∠C＝90°，故答案為：∠A＋∠C＝90°；（2）證明：如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG＝90°，∴∠ABD＋∠ABG＝90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG＋∠ABG＝90°，∴∠ABD＝∠CBG，∵AM∥CN，∴∠C＝∠CBG，∴∠ABD＝∠C；（3）如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE，由（2）知∠ABD＝∠CBG，∴∠ABF＝∠GBF，設∠DBE＝α，∠ABF＝β，則∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝∠AFB＝β，∠BFC＝3∠DBE＝3α，∴∠AFC＝3α＋β，∵∠AFC＋∠NCF＝180°，∠FCB＋∠NCF＝180°，∴∠FCB＝∠AFC＝3α＋β，△BCF中，由∠CBF＋∠BFC＋∠BCF＝180°得：2α＋β＋3α＋3α＋β＝180°，∵AB⊥BC，∴β＋β＋2α＝90°，∴α＝15°，∴∠ABE＝15°，∴∠EBC＝∠ABE＋∠ABC＝15°＋90°＝105°．故答案為：105°．【點睛】本題考查平行線性質，畫輔助線，找到角的和差倍分關系是求解本題的關鍵．9．（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，證明見解析；（3）不變，2【分析】（1）根據（α-35）2+|β-α|=0，即可計算α和β的值，再根據內錯角相等可證AB∥CD；（2解析：（1）35，35，平行；（2）∠FMN+∠GHF=180°，證明見解析；（3）不變，2【分析】（1）根據（α-35）2+|β-α|=0，即可計算α和β的值，再根據內錯角相等可證AB∥CD；（2）先根據內錯角相等證GH∥PN，再根據同旁內角互補和等量代換得出∠FMN+∠GHF=180°；（3）作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R，先根據同位角相等證ER∥FQ，得∠FQM1=∠R，設∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，得出∠EPM1=2∠R，即可得=2．【詳解】解：（1）∵（α-35）2+|β-α|=0，∴α=β=35，∴∠PFM=∠MFN=35°，∠EMF=35°，∴∠EMF=∠MFN，∴AB∥CD；（2）∠FMN+∠GHF=180°；理由：由（1）得AB∥CD，∴∠MNF=∠PME，∵∠MGH=∠MNF，∴∠PME=∠MGH，∴GH∥PN，∴∠GHM=∠FMN，∵∠GHF+∠GHM=180°，∴∠FMN+∠GHF=180°；（3）的值不變，為2，理由：如圖3中，作∠PEM1的平分線交M1Q的延長線于R，∵AB∥CD，∴∠PEM1=∠PFN，∵∠PER=∠PEM1，∠PFQ=∠PFN，∴∠PER=∠PFQ，∴ER∥FQ，∴∠FQM1=∠R，設∠PER=∠REB=x，∠PM1R=∠RM1B=y，則有：，可得∠EPM1=2∠R，∴∠EPM1=2∠FQM1，∴==2．【點睛】本題主要考查平行線的判定與性質，熟練掌握內錯角相等證平行，平行線同旁內角互補等知識是解題的關鍵．10．（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據垂直的定義及鄰補角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過，分別作，，根據解析：（1）90°；（2）見解析；（3）不變，180°【分析】（1）根據鄰補角的定義及角平分線的定義即可得解；（2）根據垂直的定義及鄰補角的定義、角平分線的定義即可得解；（3），過，分別作，，根據平行線的性質及平角的定義即可得解．【詳解】解（1），分別平分和，，，，；（2），，即，，是的平分線，，，又，，又在的內部，平分；（3）如圖，不發(fā)生變化，，過，分別作，，則有，，，，，，，，，，，，不變．【點睛】此題考查了平行線的性質，熟記平行線的性質及作出合理的輔助線是解題的關鍵．三、解答題11．（1）；（2）①，見解析；②或【分析】（1）由平行線的性質可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；（2）①設，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對比即可；②分類討論點在的左右兩側的情況，解析：（1）；（2）①，見解析；②或【分析】（1）由平行線的性質可得到：，，再利用角的等量代換換算即可；（2）①設，，利用角平分線的定義和角的等量代換表示出對比即可；②分類討論點在的左右兩側的情況，運用角的等量代換換算即可．【詳解】．解：（1）設在上有一點N在點A的右側，如圖所示：∵∴，∴∴（2）①．證明：設，．∴．∵為的角平分線，∴．∵，∴．∴．∴．②當點在點右側時，如圖：由①得：又∵∴∵∴當點在點左側，在右側時，如圖：∵為的角平分線∴∵∴，∵∴∴∵∴又∵∴∴當點和在點左側時，設在上有一點在點的右側如圖：此時仍有，∴∴綜合所述：或【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的定義，角的等量代換等，靈活運用平行線的性質和角平分線定義等量代換出角的關系是解題的關鍵．12．（1）①，證明見解析，②，（2）或．【分析】(1)①根據和鏡像證出，即可判斷直線與直線的位置關系，②過點Q作QF∥CD，根據平行線的性質證即可；(2)過點Q作QF∥CD，根據點P的位置不同，解析：（1）①，證明見解析，②，（2）或．【分析】(1)①根據和鏡像證出，即可判斷直線與直線的位置關系，②過點Q作QF∥CD，根據平行線的性質證即可；(2)過點Q作QF∥CD，根據點P的位置不同，分類討論，依據平行線的性質求解即可．【詳解】（1）①，證明：∵，∴，∵，∴，∴；②過點Q作QF∥CD，∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）如圖，當點P在N右側時，過點Q作QF∥CD，同（1）得，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，∴，如圖，當點P在N左側時，過點Q作QF∥CD，同（1）得，，同理可得，，∵，∴，∴，∵，∴，∴；綜上，的度數為或．【點睛】本題考查了平行線的性質與判定，解題關鍵是恰當的作輔助線，熟練利用平行線的性質推導角之間的關系．13．（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見解析；（3）當點P在GF上時，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當點P在線段GF的延長線上時，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．解析：（1）136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°，理由見解析；（3）當點P在GF上時，∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；當點P在線段GF的延長線上時，140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【分析】（1）如圖1，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據平行線的性質可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可求得答案；（2）如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，根據平行線的性質可得∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，然后結合已知條件可得∠BCP＝∠NEF，然后利用∠ACP+∠BCP＝90°即可得到結論；（3）分兩種情況，如圖3，當點P在GF上時，過點P作PN∥OG，則NP∥OG∥EF，根據平行線的性質可推出∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，進一步可得結論；如圖4，當點P在線段GF的延長線上時，同上面方法利用平行線的性質解答即可．【詳解】解：（1）如圖1，作CP∥a，∵，∴CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝180°﹣∠CEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+180°﹣∠CEF＝90°，∵∠AOG＝46°，∴∠CEF＝136°，故答案為136°；（2）∠AOG+∠NEF＝90°．理由如下：如圖2，作CP∥a，則CP∥a∥b，∴∠AOG＝∠ACP，∠BCP+∠CEF＝180°，而∠NEF+∠CEF＝180°，∴∠BCP＝∠NEF，∵∠ACP+∠BCP＝90°，∴∠AOG+∠NEF＝90°；（3）如圖3，當點P在GF上時，過點P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∴∠OPQ＝∠GOP+∠PQF，∴∠OPQ＝140°﹣∠POQ+∠PQF；如圖4，當點P在線段GF的延長線上時，過點P作PN∥OG，∴NP∥OG∥EF，∴∠GOP＝∠OPN，∠PQF＝∠NPQ，∵∠OPN＝∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP＝∠OPQ+∠PQF，∴140°﹣∠POQ＝∠OPQ+∠PQF．【點睛】本題考查了平行線的性質以及平行公理的推論等知識，屬于常考題型，正確添加輔助線、靈活應用平行線的判定和性質是解題的關鍵．14．（1）；（2）①，②，理由見解析；（3）【分析】（1）過點作，則，由平行線的性質可得的度數；（2）①過點作的平行線，依據平行線的性質可得與，之間的數量關系；②過作，依據平行線的性質可得，，即解析：（1）；（2）①，②，理由見解析；（3）【分析】（1）過點作，則，由平行線的性質可得的度數；（2）①過點作的平行線，依據平行線的性質可得與，之間的數量關系；②過作，依據平行線的性質可得，，即可得到；（3）過和分別作的平行線，依據平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到與，之間的數量關系為．【詳解】解：（1）如圖1，過點作，則，由平行線的性質可得，，又∵，，∴，故答案為：；（2）①如圖2，與，之間的數量關系為；過點P作PM∥FD，則PM∥FD∥CG，∵PM∥FD，∴∠1=∠α，∵PM∥CG，∴∠2=∠β，∴∠1+∠2=∠α+∠β，即：，②如圖，與，之間的數量關系為；理由：過作，∵，∴，∴，，∴；（3）如圖，由①可知，∠N=∠3+∠4，∵EN平分∠DEP，AN平分∠PAC，∴∠3=∠α，∠4=∠β，∴，∴與，之間的數量關系為．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是過拐點作平行線，利用平行線的性質得出結論．15．（1）；（2）理由見解析；（3），理由見解析．【分析】（1）由平角定義求出∠3＝42°，再由平行線的性質即可得出答案；（2）過點B作BD∥a．由平行線的性質得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠解析：（1）；（2）理由見解析；（3），理由見解析．【分析】（1）由平角定義求出∠3＝42°，再由平行線的性質即可得出答案；（2）過點B作BD∥a．由平行線的性質得∠2＋∠ABD＝180°，∠1＝∠DBC，則∠ABD＝∠ABC?∠DBC＝60°?∠1，進而得出結論；（3）過點C作CP∥a，由角平分線定義得∠CAM＝∠BAC＝30°，∠BAM＝2∠BAC＝60°，由平行線的性質得∠1＝∠BAM＝60°，∠PCA＝∠CAM＝30°，∠2＝∠BCP＝60°，即可得出結論．【詳解】解：（1）如圖1，，，，；圖1（2）理由如下：如圖2．過點作，圖2，，，，，，；（3），圖3理由如下：如圖3，過點作，平分，，，又，，，，，又，，．【點睛】本題是三角形綜合題目，考查了平移的性質、直角三角形的性質、平行線的判定與性質、角平分線定義、平角的定義等知識；本題綜合性強，熟練掌握平移的性質和平行線的性質是解題的關鍵．四、解答題16．（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根據三角形外角等于不相鄰的兩個內角之和即可得出結論；（2）根據三角形內角和定理及對頂角相等即可得出結解析：（1），理由詳見解析；（2），理由詳見解析：（3）①；②360°；（4）；.【分析】（1）根據三角形外角等于不相鄰的兩個內角之和即可得出結論；（2）根據三角形內角和定理及對頂角相等即可得出結論；（3）①根據角平分線的定義及三角形內角和定理即可得出結論；②連結BE，由（2）的結論及四邊形內角和為360°即可得出結論；（4）根據（1）的結論、角平分線的性質以及三角形內角和定理即可得出結論．【詳解】（1）．理由如下：如圖1，，，，；（2）．理由如下：在中，，在中，，，；（3）①，，、分別平分和，，．故答案為：．②連結．∵，．故答案為：；（4）由（1）知，，，，，，，，，，，；．【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和；熟練掌握角平分線的性質，進行合理的等量代換是解題的關鍵．17．【現(xiàn)象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠解析：【現(xiàn)象解釋】見解析；【嘗試探究】BEC70；【深入思考】2.【分析】[現(xiàn)象解釋]根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用∠2+∠3=90°得出∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即可得出∠DCB+∠ABC=180°，即可證得AB∥CD；[嘗試探究]根據三角形內角和定理求得∠2+∠3=125°，根據平面鏡反射光線的規(guī)律得∠1=∠2，∠3=∠4，再利用平角的定義得出∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，即可得出∠EBC+BCE=360°-250°=110°，根據三角形內角和定理即可得出∠BEC=180°-110°=70°；[深入思考]利用平角的定義得出∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，利用外角的性質∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，而∠BOC=∠3-∠2=α，即可證得β=2α．【詳解】[現(xiàn)象解釋]如圖2，∵OM⊥ON，∴∠CON=90°，∴∠2+∠3=90°∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴∠DCB+∠ABC=180°，∴AB∥CD；【嘗試探究】如圖3，在△OBC中，∵∠COB=55°，∴∠2+∠3=125°，∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠2+∠3+∠4=250°，∵∠1+∠2+∠EBC+∠3+∠4+∠BCE=360°，∴∠EBC+BCE=360°-250°=110°，∴∠BEC=180°-110°=70°；【深入思考】如圖4，β=2α，理由如下：∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠ABC=180°-2∠2，∠BCD=180°-2∠3，∴∠BED=∠ABC-∠BCD=（180°-2∠2）-（180°-2∠3）=2（∠3-∠2）=β，∵∠BOC=∠3-∠2=α，∴β=2α．【點睛】本題考查了平行線的判定，三角形外角的性質以及三角形內角和定理，熟練掌握三角形的性質是解題的關鍵．18．（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF解析：（1）證明見解析；（2）900°，180°(n－1)；（3）(180n－180－2m)°【詳解】【模型】（1）證明：過點E作EF∥CD，∵AB∥CD，∴EF∥AB，∴∠1＋∠MEF＝180°，同理∠2＋∠NEF＝180°∴∠1＋∠2＋∠MEN＝360°【應用】（2）分別過E點，F(xiàn)點，G點，H點作L1，L2，L3，L4平行于AB，利用（1）的方法可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180×5=900°；由上面的解題方法可得：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＋…＋∠n=180°(n－1)，故答案是：900°，180°(n－1)；（3）過點O作SR∥AB，∵AB∥CD，∴SR∥CD，∴∠AM1O＝∠M1OR同理∠CMnO＝∠MnOR∴∠AM1O＋∠CMnO＝∠M1OR＋∠MnOR，∴∠AM1