高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)資料與練習(xí)題一、專(zhuān)題概述（一）核心地位函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的主線，貫穿代數(shù)、幾何、概率統(tǒng)計(jì)等模塊，是連接初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的橋梁。高考中，函數(shù)內(nèi)容占比約20%~25%，覆蓋選擇、填空、解答題等所有題型，且常與導(dǎo)數(shù)、不等式、三角函數(shù)等知識(shí)綜合考查，是區(qū)分學(xué)生能力的關(guān)鍵板塊。（二）考查方向1.基礎(chǔ)概念：定義域、值域、對(duì)應(yīng)法則、奇偶性、單調(diào)性、周期性、對(duì)稱性等；2.圖像與變換：常見(jiàn)函數(shù)（一次、二次、指數(shù)、對(duì)數(shù)、冪函數(shù)）的圖像特征，平移、伸縮、對(duì)稱變換；3.綜合應(yīng)用：函數(shù)性質(zhì)的融合（如奇偶性+單調(diào)性）、函數(shù)與方程（零點(diǎn)問(wèn)題）、函數(shù)與不等式（解不等式、最值）；4.創(chuàng)新題型：抽象函數(shù)、復(fù)合函數(shù)、分段函數(shù)的性質(zhì)探究，函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用。二、核心知識(shí)點(diǎn)梳理（一）函數(shù)的定義與三要素1.定義：設(shè)\(A、B\)為非空數(shù)集，若存在對(duì)應(yīng)關(guān)系\(f\)，使得對(duì)任意\(x∈A\)，都有唯一\(y∈B\)與之對(duì)應(yīng)，則稱\(f:A→B\)為函數(shù)，記為\(y=f(x)\)。2.三要素：定義域：自變量\(x\)的取值范圍（需滿足分式分母非零、偶次根號(hào)下非負(fù)、對(duì)數(shù)真數(shù)正等限制）；值域：函數(shù)值\(y\)的取值范圍（由定義域和對(duì)應(yīng)法則唯一確定）；對(duì)應(yīng)法則：\(x\)到\(y\)的映射規(guī)則（如\(f(x)=x2\)表示“平方”操作）。注：兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)定義域與對(duì)應(yīng)法則完全一致（值域由前兩者決定）。（二）函數(shù)的基本性質(zhì)1.單調(diào)性定義：設(shè)函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\(I\)上有定義，若對(duì)任意\(x?<x?∈I\)，都有\(zhòng)(f(x?)<f(x?)\)（或\(f(x?)>f(x?)\)），則稱\(f(x)\)在\(I\)上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減）。判定方法：定義法（作差比較）、導(dǎo)數(shù)法（\(f’(x)>0\)遞增，\(f’(x)<0\)遞減）、復(fù)合函數(shù)“同增異減”（如\(y=f(g(x))\)，\(f\)與\(g\)單調(diào)性相同則遞增，相反則遞減）。2.奇偶性定義：若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且\(f(-x)=f(x)\)（偶函數(shù)）或\(f(-x)=-f(x)\)（奇函數(shù)），則稱\(f(x)\)為偶（奇）函數(shù)。性質(zhì)：偶函數(shù)圖像關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱，奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；奇函數(shù)在\(x=0\)處有定義時(shí)，\(f(0)=0\)。3.周期性定義：若存在非零常數(shù)\(T\)，使得對(duì)任意\(x∈\)定義域，都有\(zhòng)(f(x+T)=f(x)\)，則稱\(f(x)\)為周期函數(shù)，\(T\)為周期（最小正周期為最小正數(shù)\(T\)）。常見(jiàn)周期：\(f(x+a)=-f(x)\)（周期\(2a\)）、\(f(x+a)=1/f(x)\)（周期\(2a\)）。4.對(duì)稱性點(diǎn)對(duì)稱：\(f(a+x)=-f(a-x)\)（關(guān)于點(diǎn)\((a,0)\)對(duì)稱）；\(f(a+x)+f(b-x)=c\)（關(guān)于點(diǎn)\((\frac{a+b}{2},\frac{c}{2})\)對(duì)稱）；線對(duì)稱：\(f(a+x)=f(a-x)\)（關(guān)于直線\(x=a\)對(duì)稱）；\(f(a+x)=f(b-x)\)（關(guān)于直線\(x=\frac{a+b}{2}\)對(duì)稱）；對(duì)稱性與周期性：若\(f(x)\)關(guān)于\(x=a\)和\(x=b\)對(duì)稱（\(a≠b\)），則周期為\(2|a-b|\)；若關(guān)于\(x=a\)和點(diǎn)\((b,0)\)對(duì)稱，則周期為\(4|a-b|\)。（三）常見(jiàn)函數(shù)類(lèi)型及圖像函數(shù)類(lèi)型解析式定義域值域單調(diào)性奇偶性圖像特征一次函數(shù)\(f(x)=kx+b\)（\(k≠0\)）\(\mathbb{R}\)\(\mathbb{R}\)\(k>0\)遞增，\(k<0\)遞減非奇非偶（\(b≠0\)）；奇函數(shù)（\(b=0\)）直線，過(guò)\((0,b)\)、\((-b/k,0)\)二次函數(shù)\(f(x)=ax2+bx+c\)（\(a≠0\)）\(\mathbb{R}\)\(a>0\)時(shí)\([\frac{4ac-b2}{4a},+∞)\)；\(a<0\)時(shí)\((-∞,\frac{4ac-b2}{4a}]\)對(duì)稱軸\(x=-\frac{2a}\)，\(a>0\)時(shí)左減右增，\(a<0\)時(shí)左增右減非奇非偶（\(b≠0\)）；偶函數(shù)（\(b=0\)）拋物線，開(kāi)口方向由\(a\)決定指數(shù)函數(shù)\(f(x)=a^x\)（\(a>0,a≠1\)）\(\mathbb{R}\)\((0,+∞)\)\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減非奇非偶過(guò)\((0,1)\)，漸近線\(y=0\)對(duì)數(shù)函數(shù)\(f(x)=\log_ax\)（\(a>0,a≠1\)）\((0,+∞)\)\(\mathbb{R}\)\(a>1\)遞增，\(0<a<1\)遞減非奇非偶過(guò)\((1,0)\)，漸近線\(x=0\)冪函數(shù)\(f(x)=x^α\)（\(α∈\mathbb{R}\)）由\(α\)決定（如\(α=1/2\)時(shí)\([0,+∞)\)，\(α=-1\)時(shí)\((-∞,0)∪(0,+∞)\)）由\(α\)決定（如\(α=2\)時(shí)\([0,+∞)\)，\(α=-1\)時(shí)\((-∞,0)∪(0,+∞)\)）\(α>0\)時(shí)\((0,+∞)\)遞增，\(α<0\)時(shí)\((0,+∞)\)遞減奇偶性由\(α\)決定（如\(α=2\)偶函數(shù)，\(α=3\)奇函數(shù)）過(guò)\((1,1)\)，圖像形狀由\(α\)決定（四）函數(shù)圖像變換1.平移變換：\(y=f(x)→y=f(x+a)\)（左加右減，\(a>0\)左移）；\(y=f(x)→y=f(x)+b\)（上加下減，\(b>0\)上移）。2.伸縮變換：\(y=f(x)→y=f(kx)\)（橫坐標(biāo)縮為\(1/|k|\)，\(k>0\)）；\(y=f(x)→y=Af(x)\)（縱坐標(biāo)伸為\(|A|\)倍，\(A>0\)）。3.對(duì)稱變換：\(y=f(x)→y=-f(x)\)（關(guān)于\(x\)軸對(duì)稱）；\(y=f(x)→y=f(-x)\)（關(guān)于\(y\)軸對(duì)稱）；\(y=f(x)→y=-f(-x)\)（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）；\(y=f(x)→y=f(|x|)\)（保留右半部分，左半部分對(duì)稱到右側(cè)）；\(y=f(x)→y=|f(x)|\)（保留上半部分，下半部分翻折到上方）。三、高頻考點(diǎn)突破（一）定義域與值域的求解1.定義域：逐一分析限制條件，取交集。例：求\(f(x)=\sqrt{2x-1}+\frac{1}{\ln(3-x)}\)的定義域。解：\(2x-1≥0→x≥1/2\)；\(\ln(3-x)≠0→3-x≠1→x≠2\)；\(3-x>0→x<3\)。故定義域?yàn)閈([1/2,2)∪(2,3)\)。2.值域：根據(jù)函數(shù)類(lèi)型選擇方法（配方法、換元法、單調(diào)性法、導(dǎo)數(shù)法等）。例：求\(f(x)=x+\sqrt{1-2x}\)的值域。解：令\(t=\sqrt{1-2x}\)（\(t≥0\)），則\(x=(1-t2)/2\)，代入得\(f(t)=(1-t2)/2+t=-1/2t2+t+1/2=-1/2(t-1)2+1\)。因\(t≥0\)，故值域?yàn)閈((-∞,1]\)。（二）函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用思路：利用奇偶性簡(jiǎn)化問(wèn)題（如\(f(x)\)偶則\(f(x)=f(|x|)\)），結(jié)合單調(diào)性解不等式或求最值。例：已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，在\([0,+∞)\)上單調(diào)遞減，求\(f(1-2x)>f(3)\)的解集。解：\(f(1-2x)=f(|1-2x|)\)，由單調(diào)性得\(|1-2x|<3→-3<1-2x<3→-1<x<2\)。解集為\((-1,2)\)。（三）函數(shù)圖像的識(shí)別與變換思路：利用單調(diào)性、極值、奇偶性、漸近線等特征排除選項(xiàng)；變換順序遵循“平移/伸縮→對(duì)稱”或“對(duì)稱→平移/伸縮”（注意順序?qū)ζ揭屏康挠绊懀＠汉瘮?shù)\(f(x)=\ln(2x-1)\)的圖像是由\(y=\lnx\)的圖像經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？解：方法一：先右移1個(gè)單位得\(y=\ln(x-1)\)，再橫坐標(biāo)縮為1/2得\(y=\ln(2x-1)\)；方法二：先橫坐標(biāo)縮為1/2得\(y=\ln2x\)，再右移1/2個(gè)單位得\(y=\ln(2(x-1/2))=\ln(2x-1)\)。（四）函數(shù)與方程（零點(diǎn)問(wèn)題）1.零點(diǎn)定義：\(f(x)=0\)的實(shí)數(shù)解（即圖像與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）。2.零點(diǎn)存在定理：若\(f(x)\)在\([a,b]\)連續(xù)且\(f(a)f(b)<0\)，則\((a,b)\)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)（反之不成立，如\(f(x)=x2\)在\([-1,1]\)上\(f(-1)f(1)=1>0\)，但有零點(diǎn)\(x=0\)）。3.零點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷：結(jié)合單調(diào)性（單調(diào)函數(shù)至多1個(gè)零點(diǎn)）、極值（若極大值>0且極小值<0，則有3個(gè)零點(diǎn)）。例：求\(f(x)=e^x-x-2\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：\(f’(x)=e^x-1\)，令\(f’(x)=0\)得\(x=0\)。\(x<0\)時(shí)\(f’(x)<0\)，\(f(x)\)遞減；\(x>0\)時(shí)\(f’(x)>0\)，\(f(x)\)遞增。極小值\(f(0)=1-0-2=-1<0\)，又\(f(-2)=e^{-2}-(-2)-2=1/e2>0\)，\(f(2)=e2-2-2=e2-4>0\)，故\(f(x)\)在\((-2,0)\)和\((0,2)\)內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，共2個(gè)零點(diǎn)。四、易錯(cuò)點(diǎn)警示（一）忽略定義域的限制錯(cuò)誤示例：求\(f(x)=\ln(x-1)\)的單調(diào)性，誤答“\(\mathbb{R}\)上遞增”（正確：定義域\((1,+∞)\)，遞增）。規(guī)避方法：所有函數(shù)性質(zhì)的討論都必須在定義域內(nèi)進(jìn)行。（二）混淆奇偶性的前提條件錯(cuò)誤示例：判斷\(f(x)=x2(x≥0)\)的奇偶性，誤答“偶函數(shù)”（正確：定義域\([0,+∞)\)不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，非奇非偶）。規(guī)避方法：先驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再判斷\(f(-x)\)與\(f(x)\)的關(guān)系。（三）圖像變換順序錯(cuò)誤錯(cuò)誤示例：求\(y=f(2x+1)\)的圖像，誤將“先縮后移1個(gè)單位”（正確：先移1個(gè)單位得\(y=f(x+1)\)，再縮為1/2得\(y=f(2x+1)\)，或先縮為1/2得\(y=f(2x)\)，再移1/2個(gè)單位）。規(guī)避方法：對(duì)于\(y=f(kx+b)\)，可分解為\(y=f(k(x+b/k))\)，即“先平移\(|b/k|\)個(gè)單位，再伸縮”。（四）誤用零點(diǎn)存在定理錯(cuò)誤示例：認(rèn)為\(f(a)f(b)≥0\)時(shí)\((a,b)\)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)（正確：如\(f(x)=x2\)在\([-1,1]\)上有零點(diǎn)\(x=0\)）。規(guī)避方法：零點(diǎn)存在定理是存在性定理，而非唯一性或排除性定理，需結(jié)合單調(diào)性進(jìn)一步判斷。五、經(jīng)典例題解析例1（定義域求解，2023年全國(guó)甲卷理科第1題）求函數(shù)\(f(x)=\sqrt{x-1}+\frac{1}{x-2}\)的定義域。解：\(x-1≥0→x≥1\)；\(x-2≠0→x≠2\)。故定義域?yàn)閈([1,2)∪(2,+∞)\)。例2（奇偶性與單調(diào)性綜合，2023年全國(guó)乙卷文科第5題）已知\(f(x)\)是偶函數(shù)，在\([0,+∞)\)上單調(diào)遞增，若\(f(2x-1)<f(3)\)，則\(x\)的取值范圍是（）A.\((-1,2)\)B.\((-∞,-1)∪(2,+∞)\)C.\((-2,1)\)D.\((-∞,-2)∪(1,+∞)\)解：\(f(2x-1)=f(|2x-1|)\)，由單調(diào)性得\(|2x-1|<3→-1<x<2\)，選A。例3（圖像識(shí)別，2022年全國(guó)新課標(biāo)Ⅰ卷理科第7題）函數(shù)\(f(x)=x3-3x2+2\)的圖像大致是（）解：\(f’(x)=3x(x-2)\)，極大值\(f(0)=2\)，極小值\(f(2)=-2\)，\(x→±∞\)時(shí)\(f(x)→±∞\)，故圖像為先增后減再增，選對(duì)應(yīng)選項(xiàng)。例4（零點(diǎn)問(wèn)題，2021年全國(guó)甲卷理科第12題）已知\(f(x)=x3+ax2+bx+c\)，\(f(0)=f(2)=0\)，\(f(-1)=-3\)，求\(f(x)\)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)。解：\(f(0)=0→c=0\)；\(f(2)=0→8+4a+2b=0→2a+b=-4\)；\(f(-1)=-1+a-b=-3→a-b=-2\)。解得\(a=-2\)，\(b=0\)，故\(f(x)=x2(x-2)\)，零點(diǎn)為\(x=0\)（二重根）、\(x=2\)，共2個(gè)零點(diǎn)。六、針對(duì)性練習(xí)題（一）基礎(chǔ)題1.求\(f(x)=\sqrt{3-2x}+\log_3(x+1)\)的定義域；2.判斷\(f(x)=x3+sinx\)的奇偶性；3.求\(f(x)=2x2-4x+1\)在\([-1,2]\)上的值域。答案：1.\([-1,3/2]\)；2.奇函數(shù)；3.\([-1,7]\)。（二）提升題1.已知\(f(x)\)是奇函數(shù)，在\((0,+∞)\)上單調(diào)遞減，證明\(f(x)\)在\((-∞,0)\)上單調(diào)遞減；2.求\(f(x)=2^{x+1}-1\)的反函數(shù)；3.解不等式\(f(|x-1|)<f(2)\)，其中\(zhòng)(f(x)\)是偶函數(shù)，在\([0,+∞)\)上單調(diào)遞增。答案：1.略（用定義法，設(shè)\(x?<x?<0\)，則\(-x?>-x?>0\)，\(f(x?)=-f(-x?)>-f(-x?)=f(x?)\)）；2.\(f^{-1}(x)=\log_2(x+1)-1\)（\(x>-1\)）；3.\((-1,3)\)。（三）壓軸題1.求\(f(x)=x3-3x+a\)有三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)\(a\)的取值范圍；2.討論\(f(x)=\lnx-ax\)（\(a>0\)）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；3.已知\(f(x)\)是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)\(0<x<1